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7. 利用加减消元法解方程组$\begin{cases}3x - 4y = 16, \quad ① \\5x + 6y = 33。 \quad ②\end{cases}$嘉嘉说：“要消去$x$，可以将①$×3 -$②$×5$。”淇淇说：“要消去$y$，可以将①$×3 +$②$×2$。”关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是 $···$（ ）
A.嘉嘉对，淇淇不对
B.嘉嘉不对，淇淇对
C.嘉嘉和淇淇都对
D.嘉嘉和淇淇都不对
A.嘉嘉对，淇淇不对
B.嘉嘉不对，淇淇对
C.嘉嘉和淇淇都对
D.嘉嘉和淇淇都不对
答案
7.B
解析
【分析】
要判断嘉嘉和淇淇的说法是否正确，需依据加减消元法的核心：通过给两个方程乘以适当的数，使某一未知数的系数绝对值相等，再通过相加或相减消去该未知数。先分别分析两人的做法：
1. 嘉嘉说消去x，需让两方程中x的系数绝对值相等后相减。方程①中x系数为3，方程②中x系数为5，要使x系数相等，最小公倍数是15，应将①×5、②×3后相减，而嘉嘉的做法是①×3 -②×5，计算后x系数为9-25=-16≠0，无法消去x，故嘉嘉错误。
2. 淇淇说消去y，方程①中y系数为-4，方程②中y系数为6，最小公倍数是12，将①×3（y系数变为-12）、②×2（y系数变为12），相加后y系数为0，可消去y，淇淇的做法正确。
【解析】
根据加减消元法的消元规则，逐一验证两人说法：
嘉嘉的做法：消去x时，需使两方程x的系数绝对值相等。方程①×3得：9x -12y = 48；方程②×5得：25x +30y =165。两式相减得：(9x-25x)+(-12y-30y)=48-165，即-16x -42y=-117，x的系数不为0，无法消去x，故嘉嘉说法错误。
淇淇的做法：消去y时，需使两方程y的系数绝对值相等。方程①×3得：9x -12y=48；方程②×2得：10x +12y=66。两式相加得：(9x+10x)+(-12y+12y)=48+66，即19x=114，y的系数为0，成功消去y，故淇淇说法正确。
综上，嘉嘉不对，淇淇对，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的基本应用，核心是掌握消元时需调整目标未知数的系数使其绝对值相等，通过简单计算即可判断说法正误，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断嘉嘉和淇淇的说法是否正确，需依据加减消元法的核心：通过给两个方程乘以适当的数，使某一未知数的系数绝对值相等，再通过相加或相减消去该未知数。先分别分析两人的做法：
1. 嘉嘉说消去x，需让两方程中x的系数绝对值相等后相减。方程①中x系数为3，方程②中x系数为5，要使x系数相等，最小公倍数是15，应将①×5、②×3后相减，而嘉嘉的做法是①×3 -②×5，计算后x系数为9-25=-16≠0，无法消去x，故嘉嘉错误。
2. 淇淇说消去y，方程①中y系数为-4，方程②中y系数为6，最小公倍数是12，将①×3（y系数变为-12）、②×2（y系数变为12），相加后y系数为0，可消去y，淇淇的做法正确。
【解析】
根据加减消元法的消元规则，逐一验证两人说法：
嘉嘉的做法：消去x时，需使两方程x的系数绝对值相等。方程①×3得：9x -12y = 48；方程②×5得：25x +30y =165。两式相减得：(9x-25x)+(-12y-30y)=48-165，即-16x -42y=-117，x的系数不为0，无法消去x，故嘉嘉说法错误。
淇淇的做法：消去y时，需使两方程y的系数绝对值相等。方程①×3得：9x -12y=48；方程②×2得：10x +12y=66。两式相加得：(9x+10x)+(-12y+12y)=48+66，即19x=114，y的系数为0，成功消去y，故淇淇说法正确。
综上，嘉嘉不对，淇淇对，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的基本应用，核心是掌握消元时需调整目标未知数的系数使其绝对值相等，通过简单计算即可判断说法正误，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
8.(2024·杭州上城)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的，《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图1中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x,y$的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是$\begin{cases}3x+2y=19, \\ x+4y=23。\end{cases}$类似地，若图2所示算筹图列出的方程组解得$x=3$，则图2中的“?”所表示的算筹为 …………………………………………………（ ）
A.$|$
B.$||$
C.$|||$
D.$||||$
A.$|$
B.$||$
C.$|||$
D.$||||$
答案
8.B 解析:由图2可列出方程$4x+3y=27$。因为$x=3$，所以$y=5$，所以图2中的“?”所表示的算筹表示的数为$(11-5)÷ 3=2$。故选B。
解析
【分析】首先明确算筹图的含义：每行从左到右的算筹依次表示未知数$x$的系数、$y$的系数、常数项，结合图1的示例可理解算筹与数字的对应规则。根据图2的算筹列出方程组，再利用已知$x=3$，通过代入法求出$y$的值，进而计算“?”对应的数字，最终确定答案。
【解析】根据图2的算筹规则，可列出方程组：$\begin{cases}? · x + y = 11 \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$。已知$x=3$，将$x=3$代入第二个方程：$4×3 + 3y = 27$，计算得$12 + 3y = 27$，解得$y=5$。再将$x=3$、$y=5$代入第一个方程：$?×3 +5 =11$，则$?×3=6$，解得$?=2$。根据算筹的表示，数字2对应的算筹为“||”，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程组、算筹计数
【点评】本题结合古代算筹的表示方法考查二元一次方程组的应用，核心是理解算筹图中各部分的含义，通过代入法求解未知数，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据图2的算筹规则，可列出方程组：$\begin{cases}? · x + y = 11 \\ 4x + 3y = 27 \end{cases}$。已知$x=3$，将$x=3$代入第二个方程：$4×3 + 3y = 27$，计算得$12 + 3y = 27$，解得$y=5$。再将$x=3$、$y=5$代入第一个方程：$?×3 +5 =11$，则$?×3=6$，解得$?=2$。根据算筹的表示，数字2对应的算筹为“||”，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二元一次方程组、算筹计数
【点评】本题结合古代算筹的表示方法考查二元一次方程组的应用，核心是理解算筹图中各部分的含义，通过代入法求解未知数，难度适中。
【难度系数】0.5
二、填空题
9.(2024·宁波余姚)已知$2x - 3y = 6$，用含$x$的代数式表示$y=$
9.(2024·宁波余姚)已知$2x - 3y = 6$，用含$x$的代数式表示$y=$
$\dfrac{2x-6}{3}$
。答案
9.$\dfrac{2x-6}{3}$
解析
【分析】本题要求用含x的代数式表示y，核心是利用等式的基本性质对二元一次方程进行变形，将y单独分离出来，步骤为：先移项把含y的项集中到一侧，再将y的系数化为1，即可得到结果。
【解析】已知$2x - 3y = 6$，
1. 移项：将含y的项移到等式右侧，常数项移到左侧，得$-3y = 6 - 2x$；
2. 系数化为1：等式两边同时除以$-3$，得$y = \frac{6 - 2x}{-3} = \frac{2x - 6}{3}$。
【答案】$\dfrac{2x-6}{3}$
【知识点】代数式变形、等式的性质
【点评】本题是代数基础题型，考查学生对等式基本性质的简单运用，属于入门级的代数式变形题，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】已知$2x - 3y = 6$，
1. 移项：将含y的项移到等式右侧，常数项移到左侧，得$-3y = 6 - 2x$；
2. 系数化为1：等式两边同时除以$-3$，得$y = \frac{6 - 2x}{-3} = \frac{2x - 6}{3}$。
【答案】$\dfrac{2x-6}{3}$
【知识点】代数式变形、等式的性质
【点评】本题是代数基础题型，考查学生对等式基本性质的简单运用，属于入门级的代数式变形题，难度较低。
【难度系数】0.8
10.(2024·绍兴越城、上虞)若$\begin{cases}x=1, \\ y=-3\end{cases}$是二元一次方程$kx - y = 1$（$k$为常数）的一个解，则$k=$ ______ 。
答案
10.$-2$
解析
【分析】
二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的解$\begin{cases}x=1 \\ y=-3\end{cases}$代入方程$kx - y =1$，可得到关于k的一元一次方程，解此方程即可求出k的值。
【解析】
将$x=1$，$y=-3$代入方程$kx - y =1$，得：
$k×1 - (-3) = 1$
化简得：$k + 3 = 1$
移项解得：$k = 1 - 3 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
二元一次方程的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本应用，属于基础题型，只需掌握方程解的定义，代入求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的解$\begin{cases}x=1 \\ y=-3\end{cases}$代入方程$kx - y =1$，可得到关于k的一元一次方程，解此方程即可求出k的值。
【解析】
将$x=1$，$y=-3$代入方程$kx - y =1$，得：
$k×1 - (-3) = 1$
化简得：$k + 3 = 1$
移项解得：$k = 1 - 3 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
二元一次方程的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程解的基本应用，属于基础题型，只需掌握方程解的定义，代入求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
11.(2024·丽水莲都、缙云)若$\begin{cases} x=a, \\ y=b \end{cases}$是方程组$\begin{cases} 2x+3y=-5, \\ 2x-3y=7 \end{cases}$的解,则代数式$4a^2 - 9b^2$的值是________。
答案
11.$-35$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$4a^2 - 9b^2$，其符合平方差公式的结构特征，先对其因式分解；再根据方程组解的定义，将$\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}$代入原方程组，可直接得到因式分解后所需的两个整体值，通过整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化运算。
【解析】
1. 对代数式因式分解：
$4a^2 - 9b^2=(2a)^2 - (3b)^2=(2a + 3b)(2a - 3b)$
2. 利用方程组解的定义：
因为$\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x + 3y = -5\\2x - 3y = 7\end{cases}$的解，所以代入得：
$2a + 3b = -5$，$2a - 3b = 7$
3. 整体代入计算：
将上述两式代入因式分解后的代数式，得：
$(2a + 3b)(2a - 3b)=(-5)×7=-35$
【答案】
$-35$
【知识点】
因式分解（平方差公式）、二元一次方程组的解
【点评】
本题考查平方差公式的应用及整体代入思想，通过对所求代数式因式分解，结合方程组解的定义直接整体代入计算，避免了求解方程组的繁琐，是一道基础题型，侧重考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式$4a^2 - 9b^2$，其符合平方差公式的结构特征，先对其因式分解；再根据方程组解的定义，将$\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}$代入原方程组，可直接得到因式分解后所需的两个整体值，通过整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的值，简化运算。
【解析】
1. 对代数式因式分解：
$4a^2 - 9b^2=(2a)^2 - (3b)^2=(2a + 3b)(2a - 3b)$
2. 利用方程组解的定义：
因为$\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}$是方程组$\begin{cases}2x + 3y = -5\\2x - 3y = 7\end{cases}$的解，所以代入得：
$2a + 3b = -5$，$2a - 3b = 7$
3. 整体代入计算：
将上述两式代入因式分解后的代数式，得：
$(2a + 3b)(2a - 3b)=(-5)×7=-35$
【答案】
$-35$
【知识点】
因式分解（平方差公式）、二元一次方程组的解
【点评】
本题考查平方差公式的应用及整体代入思想，通过对所求代数式因式分解，结合方程组解的定义直接整体代入计算，避免了求解方程组的繁琐，是一道基础题型，侧重考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
12.(2024·台州临海、仙居)小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯。根据图中的信息估计纸杯有
50
个。答案
12.50 解析:设两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高$x\mathrm{cm}$，单独一个纸杯的高度为$y\mathrm{cm}$。由题意得$\begin{cases} y+3x=9.5, \\ y+5x=10.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=0.5, \\ y=8, \end{cases}$所以设$n$个纸杯叠放在一起的高度为$32.5\mathrm{cm}$，则$8+0.5(n-1)=32.5$，解得$n=50$。故答案为50。
解析
【分析】要确定叠放纸杯的个数，需先求出单个纸杯的高度和每多叠放一个纸杯增加的高度。观察图形可知，3个纸杯叠放高度为9.5cm，5个纸杯叠放高度为10.5cm，据此设未知数建立方程组求解，再根据总高度32.5cm列方程计算纸杯总数。
【解析】设每多叠放一个纸杯，高度增加$x\mathrm{cm}$，单独一个纸杯的高度为$y\mathrm{cm}$。根据题意，得：
$\begin{cases}y + 3x = 9.5 \\y + 5x = 10.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2x = 1$，解得$x = 0.5$。
将$x = 0.5$代入$y + 3x = 9.5$，得$y + 1.5 = 9.5$，解得$y = 8$。
设$n$个纸杯叠放在一起的高度为$32.5\mathrm{cm}$，则：
$8 + 0.5(n - 1) = 32.5$
化简得$0.5(n - 1) = 24.5$，两边除以0.5得$n - 1 = 49$，解得$n = 50$。
【答案】50
【知识点】二元一次方程组应用，一元一次方程应用
【点评】本题结合实际叠放场景，考查方程模型的建立与求解，关键是从图形中提取等量关系，难度适中，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】设每多叠放一个纸杯，高度增加$x\mathrm{cm}$，单独一个纸杯的高度为$y\mathrm{cm}$。根据题意，得：
$\begin{cases}y + 3x = 9.5 \\y + 5x = 10.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2x = 1$，解得$x = 0.5$。
将$x = 0.5$代入$y + 3x = 9.5$，得$y + 1.5 = 9.5$，解得$y = 8$。
设$n$个纸杯叠放在一起的高度为$32.5\mathrm{cm}$，则：
$8 + 0.5(n - 1) = 32.5$
化简得$0.5(n - 1) = 24.5$，两边除以0.5得$n - 1 = 49$，解得$n = 50$。
【答案】50
【知识点】二元一次方程组应用，一元一次方程应用
【点评】本题结合实际叠放场景，考查方程模型的建立与求解，关键是从图形中提取等量关系，难度适中，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】0.6
