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1.(2024·宁波余姚)若分式$\frac{2}{x+2}$有意义,则$x$的取值应满足 ……………………(
A.$x≠-2$
B.$x=-1$
C.$x=-2$
D.$x≠-1$
A
)A.$x≠-2$
B.$x=-1$
C.$x=-2$
D.$x≠-1$
答案
A
解析
【分析】要确定分式有意义时x的取值，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此只需让该分式的分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围，再匹配选项选出正确答案。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\frac{2}{x+2}$，需满足$x+2≠0$，解得$x≠-2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础知识点，属于简单题型，只需牢记“分式分母不为0”的规则即可快速解答，适合刚接触分式的学生巩固基础。
【难度系数】0.9
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\frac{2}{x+2}$，需满足$x+2≠0$，解得$x≠-2$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础知识点，属于简单题型，只需牢记“分式分母不为0”的规则即可快速解答，适合刚接触分式的学生巩固基础。
【难度系数】0.9
2.(2024·绍兴嵊州)若分式$\frac{x-1}{2x+1}$的值为0,则$x$的值是 ………………………………(
A.1
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.不存在
A
)A.1
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.不存在
答案
A
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个核心条件：①分子等于0；②分母不等于0。先令分子为0求出可能的x值，再代入分母检验是否满足分母不为0，最终确定正确的x值。
【解析】
根据分式值为0的条件：
1. 令分子等于0：$ x - 1 = 0 $，解得 $ x = 1 $；
2. 检验分母是否不为0：将 $ x = 1 $ 代入分母 $ 2x + 1 $，得 $ 2×1 + 1 = 3 ≠ 0 $，满足分母不为0的要求。
因此x的值为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的值为0的条件
【点评】
本题考查分式值为0的基础知识点，解题关键是同时满足分子为0和分母不为0两个条件，避免只计算分子忽略分母的常见错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个核心条件：①分子等于0；②分母不等于0。先令分子为0求出可能的x值，再代入分母检验是否满足分母不为0，最终确定正确的x值。
【解析】
根据分式值为0的条件：
1. 令分子等于0：$ x - 1 = 0 $，解得 $ x = 1 $；
2. 检验分母是否不为0：将 $ x = 1 $ 代入分母 $ 2x + 1 $，得 $ 2×1 + 1 = 3 ≠ 0 $，满足分母不为0的要求。
因此x的值为1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的值为0的条件
【点评】
本题考查分式值为0的基础知识点，解题关键是同时满足分子为0和分母不为0两个条件，避免只计算分子忽略分母的常见错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
3.(2024·金华浦江)已知$x=2y$,则分式$\dfrac{x-y}{2x+y}$的值为 ………………………………（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{1}{5}$
D
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{1}{5}$
答案
D
解析
【分析】
本题已知x与y的等量关系，解题思路是利用代入消元法，将x用2y替换后代入分式，通过化简计算得出分式的值，进而选出正确选项。
【解析】
已知$x = 2y$，将其代入分式$\dfrac{x - y}{2x + y}$中：
分子：$x - y = 2y - y = y$；
分母：$2x + y = 2×2y + y = 5y$；
则分式的值为$\dfrac{y}{5y} = \dfrac{1}{5}$（隐含$y≠0$，保证分母不为0），对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的代入求值、代数式化简
【点评】
本题是分式求值的基础题，通过代入已知变量关系即可快速求解，考查学生对分式基本运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
本题已知x与y的等量关系，解题思路是利用代入消元法，将x用2y替换后代入分式，通过化简计算得出分式的值，进而选出正确选项。
【解析】
已知$x = 2y$，将其代入分式$\dfrac{x - y}{2x + y}$中：
分子：$x - y = 2y - y = y$；
分母：$2x + y = 2×2y + y = 5y$；
则分式的值为$\dfrac{y}{5y} = \dfrac{1}{5}$（隐含$y≠0$，保证分母不为0），对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的代入求值、代数式化简
【点评】
本题是分式求值的基础题，通过代入已知变量关系即可快速求解，考查学生对分式基本运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
4.(2024·丽水莲都、缙云)分式$-\dfrac{1}{x-1}$可变形为 ……………………………………………………（
A.$\dfrac{1}{1+x}$
B.$\dfrac{1}{1-x}$
C.$-\dfrac{1}{1+x}$
D.$\dfrac{1}{x-1}$
B
）A.$\dfrac{1}{1+x}$
B.$\dfrac{1}{1-x}$
C.$-\dfrac{1}{1+x}$
D.$\dfrac{1}{x-1}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这个分式变形问题，需运用分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。我们需要将原式$-\dfrac{1}{x-1}$的分母符号调整，把$x-1$转化为$-(1-x)$，再利用符号法则化简得到结果，进而选出正确选项。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
对原式$-\dfrac{1}{x-1}$变形，将分母$x-1$改写为$-(1-x)$，代入得：
$-\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{-(1-x)}=\dfrac{1}{1-x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题考查分式的符号变形，属于基础题型，核心是掌握分式的符号变化规则，难度较低，适合巩固分式的基本性质知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这个分式变形问题，需运用分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。我们需要将原式$-\dfrac{1}{x-1}$的分母符号调整，把$x-1$转化为$-(1-x)$，再利用符号法则化简得到结果，进而选出正确选项。
【解析】
根据分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
对原式$-\dfrac{1}{x-1}$变形，将分母$x-1$改写为$-(1-x)$，代入得：
$-\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{-(1-x)}=\dfrac{1}{1-x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题考查分式的符号变形，属于基础题型，核心是掌握分式的符号变化规则，难度较低，适合巩固分式的基本性质知识点。
【难度系数】
0.8
5. (2024·绍兴柯桥)分式$\frac{1}{3y^2}$和$\frac{1}{2y}$的最简公分母是 ……………………………………………………（
A.$\frac{1}{6y^2}$
B.$3y^2$
C.$6y^2$
D.$6y^3$
C
）A.$\frac{1}{6y^2}$
B.$3y^2$
C.$6y^2$
D.$6y^3$
答案
C
解析
【分析】
求两个分式的最简公分母，需遵循两个步骤：第一步，取各分母系数的最小公倍数；第二步，取相同字母的最高次幂。先确定题目中两个分式的分母，再分别计算系数和字母部分的结果，最后组合得到最简公分母即可。
【解析】
对于分式$\frac{1}{3y^2}$和$\frac{1}{2y}$，计算最简公分母：①系数部分：3和2的最小公倍数是6；②字母部分：相同字母为y，最高次幂是2次（来自$y^2$），因此最简公分母为$6y^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式运算中最简公分母的基础求法，属于分式章节的核心基础知识点，只要掌握最简公分母的计算规则即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
求两个分式的最简公分母，需遵循两个步骤：第一步，取各分母系数的最小公倍数；第二步，取相同字母的最高次幂。先确定题目中两个分式的分母，再分别计算系数和字母部分的结果，最后组合得到最简公分母即可。
【解析】
对于分式$\frac{1}{3y^2}$和$\frac{1}{2y}$，计算最简公分母：①系数部分：3和2的最小公倍数是6；②字母部分：相同字母为y，最高次幂是2次（来自$y^2$），因此最简公分母为$6y^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式运算中最简公分母的基础求法，属于分式章节的核心基础知识点，只要掌握最简公分母的计算规则即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
6.(2024·宁波余姚)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题:第一次由一组人平分10元钱,每人分得若干,第二次比第一次增加6人,平分40元钱,则第二次每人分得的钱与第一次相同,设第一次分钱的人数为$ x $人,则可列方程为 ………………………………………………………………（
A.$ 10x=40(x+6) $
B.$ 10(x-6)=40x $
C.$ \dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6} $
D.$ \dfrac{10}{x-6}=\dfrac{40}{x} $
C
）A.$ 10x=40(x+6) $
B.$ 10(x-6)=40x $
C.$ \dfrac{10}{x}=\dfrac{40}{x+6} $
D.$ \dfrac{10}{x-6}=\dfrac{40}{x} $
答案
C
解析
【分析】首先明确题目核心等量关系：两次分钱时每人分得的钱数相等。第一步，根据“每人分得钱数=总钱数÷人数”，先表示第一次每人分得的钱：第一次人数为$x$，总钱10元，故每人分$\frac{10}{x}$元；第二步，第二次人数比第一次多6人，即人数为$x+6$，总钱40元，故第二次每人分$\frac{40}{x+6}$元；第三步，利用“两次每人分得钱数相同”的等量关系，将两个式子相等，即可得到对应方程，选出正确选项。
【解析】设第一次分钱的人数为$x$人，根据“每人分得钱数=总钱数÷人数”：第一次每人分得的钱为$\frac{10}{x}$元；第二次人数为$(x+6)$人，每人分得的钱为$\frac{40}{x+6}$元。由题意“第二次每人分得的钱与第一次相同”，可列方程$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式方程的应用、列代数式
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是找准“两次人均分钱数相等”的等量关系，正确表示出两次的人均钱数即可，难度较低，适合巩固分式方程应用的基础。
【难度系数】0.8
【解析】设第一次分钱的人数为$x$人，根据“每人分得钱数=总钱数÷人数”：第一次每人分得的钱为$\frac{10}{x}$元；第二次人数为$(x+6)$人，每人分得的钱为$\frac{40}{x+6}$元。由题意“第二次每人分得的钱与第一次相同”，可列方程$\frac{10}{x}=\frac{40}{x+6}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式方程的应用、列代数式
【点评】本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是找准“两次人均分钱数相等”的等量关系，正确表示出两次的人均钱数即可，难度较低，适合巩固分式方程应用的基础。
【难度系数】0.8
7. 如果 $ a - b = 2 $，那么代数式 $ ( \frac{a^2 + b^2}{2a} - b ) · \frac{a}{a - b} $ 的值为 ……………………………（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【分析】本题是代数式的化简求值题，解题思路为：先对代数式中括号内的部分通分，利用完全平方公式化简，再结合分式的乘法法则约分，将代数式转化为含已知条件$a - b$的形式，最后代入$a - b = 2$计算结果，无需单独求解$a$、$b$的值，简化计算过程。
【解析】
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - b ) · \frac{a}{a - b}\\=&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - \frac{2ab}{2a} ) · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{(a - b)^2}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a - b}{2}\end{aligned}$
将$a - b = 2$代入上式，得：$\frac{2}{2} = 1$
【答案】A
【知识点】分式化简、完全平方公式、代数式求值
【点评】本题考查分式的化简求值，核心是利用通分和完全平方公式简化代数式，再代入已知条件计算，属于初中数学基础题型，步骤清晰易操作。
【难度系数】0.7
【解析】
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - b ) · \frac{a}{a - b}\\=&( \frac{a^2 + b^2}{2a} - \frac{2ab}{2a} ) · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{(a - b)^2}{2a} · \frac{a}{a - b}\\=&\frac{a - b}{2}\end{aligned}$
将$a - b = 2$代入上式，得：$\frac{2}{2} = 1$
【答案】A
【知识点】分式化简、完全平方公式、代数式求值
【点评】本题考查分式的化简求值，核心是利用通分和完全平方公式简化代数式，再代入已知条件计算，属于初中数学基础题型，步骤清晰易操作。
【难度系数】0.7
8. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{x}{x - 3} = 1 + \dfrac{mx - 2}{9 - x^2} $ 无解，则 $ m $ 的值为…………………………………………………（
A.$ -3 $ 或 $ -\dfrac{16}{3} $
B.$ -\dfrac{16}{3} $ 或 $ -\dfrac{2}{3} $
C.$ -3 $ 或 $ -\dfrac{16}{3} $ 或 $ -\dfrac{2}{3} $
D.$ -3 $ 或 $ -\dfrac{2}{3} $
C
）A.$ -3 $ 或 $ -\dfrac{16}{3} $
B.$ -\dfrac{16}{3} $ 或 $ -\dfrac{2}{3} $
C.$ -3 $ 或 $ -\dfrac{16}{3} $ 或 $ -\dfrac{2}{3} $
D.$ -3 $ 或 $ -\dfrac{2}{3} $
答案
解析:当$(x+3)(x-3)=0$时,$x_1=3$或$x_2=-3$,原分式方程可化为$\frac{x}{x-3}=1-\frac{mx-2}{(x+3)(x-3)}$,去分母,得$x(x+3)=(x+3)(x-3)-(mx-2)$,整理得$(3+m)x=-7$,因为分式方程无解,所以$3+m=0$,所以$m=-3$,把$x_1=3$或$x_2=-3$,分别代入$(3+m)x=-7$,得$m=-\frac{16}{3}$或$m=-\frac{2}{3}$,综上所述,方程无解时$m$的值为$-\frac{16}{3}$或$-\frac{2}{3}$或$-3$。故选C。
解析
【分析】
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种核心情况：①去分母后转化的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使分母为0的x值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分情况讨论：先确定最简公分母，去分母得到整式方程，再分别分析整式方程无解的情况，以及整式方程的解为增根的情况，进而求出对应的m值。
【解析】
原分式方程分母$9-x^2=-(x-3)(x+3)$，因此最简公分母为$(x-3)(x+3)$，方程两边同乘最简公分母去分母，注意符号变化：
$x(x+3)=(x+3)(x-3)-(mx-2)$
展开并整理整式方程：
左边：$x^2+3x$；右边：$x^2-9 -mx +2=x^2 -mx -7$
移项合并同类项得：$(3+m)x=-7$
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0时，整式方程无解，即$3+m=0$，解得$m=-3$，此时原分式方程无解，符合条件。
2. 整式方程的解为增根：原分式方程的增根为使分母为0的x值，即$x=3$或$x=-3$。
把$x=3$代入$(3+m)x=-7$，得$3(3+m)=-7$，解得$m=-\frac{16}{3}$；
把$x=-3$代入$(3+m)x=-7$，得$-3(3+m)=-7$，解得$m=-\frac{2}{3}$。
综上，m的值为$-3$、$-\frac{16}{3}$或$-\frac{2}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的情况、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的两种情形，需全面考虑整式方程无解和整式方程的解为增根的情况，避免漏解，是分式方程相关题型的高频考点。
【难度系数】
0.4
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种核心情况：①去分母后转化的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使分母为0的x值）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分情况讨论：先确定最简公分母，去分母得到整式方程，再分别分析整式方程无解的情况，以及整式方程的解为增根的情况，进而求出对应的m值。
【解析】
原分式方程分母$9-x^2=-(x-3)(x+3)$，因此最简公分母为$(x-3)(x+3)$，方程两边同乘最简公分母去分母，注意符号变化：
$x(x+3)=(x+3)(x-3)-(mx-2)$
展开并整理整式方程：
左边：$x^2+3x$；右边：$x^2-9 -mx +2=x^2 -mx -7$
移项合并同类项得：$(3+m)x=-7$
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程本身无解：当一次项系数为0时，整式方程无解，即$3+m=0$，解得$m=-3$，此时原分式方程无解，符合条件。
2. 整式方程的解为增根：原分式方程的增根为使分母为0的x值，即$x=3$或$x=-3$。
把$x=3$代入$(3+m)x=-7$，得$3(3+m)=-7$，解得$m=-\frac{16}{3}$；
把$x=-3$代入$(3+m)x=-7$，得$-3(3+m)=-7$，解得$m=-\frac{2}{3}$。
综上，m的值为$-3$、$-\frac{16}{3}$或$-\frac{2}{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程无解的情况、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的两种情形，需全面考虑整式方程无解和整式方程的解为增根的情况，避免漏解，是分式方程相关题型的高频考点。
【难度系数】
0.4
9.(2024·金华浦江)计算：$\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{x}{1-x}=$______。
答案
$x$
解析
【分析】首先观察两个分式的分母，$1-x$与$x-1$互为相反数，利用分式的符号法则将$\dfrac{x}{1-x}$转化为分母为$x-1$的形式，把异分母分式加减转化为同分母分式加减，再按同分母分式加减法则计算，最后约分得到结果。
【解析】原式$=\dfrac{x^2}{x-1} - \dfrac{x}{x-1}$（根据分式符号法则，$\dfrac{x}{1-x}=-\dfrac{x}{x-1}$），同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，得$\dfrac{x^2 - x}{x-1}$；对分子因式分解：$x^2 - x = x(x-1)$，则原式$=\dfrac{x(x-1)}{x-1}$，约去公因式$x-1$，结果为$x$。
【答案】$x$
【知识点】分式的加减运算，分式的符号法则
【点评】本题是分式加减的基础题型，核心是通过符号法则统一分母，结合同分母分式加减法则计算，难度较低，考查学生对分式基本运算的掌握情况。
【难度系数】0.7
【解析】原式$=\dfrac{x^2}{x-1} - \dfrac{x}{x-1}$（根据分式符号法则，$\dfrac{x}{1-x}=-\dfrac{x}{x-1}$），同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，得$\dfrac{x^2 - x}{x-1}$；对分子因式分解：$x^2 - x = x(x-1)$，则原式$=\dfrac{x(x-1)}{x-1}$，约去公因式$x-1$，结果为$x$。
【答案】$x$
【知识点】分式的加减运算，分式的符号法则
【点评】本题是分式加减的基础题型，核心是通过符号法则统一分母，结合同分母分式加减法则计算，难度较低，考查学生对分式基本运算的掌握情况。
【难度系数】0.7
