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四、实践操作。共7分
1. 请按3:1的比画出图形A放大后的图形,再按1:2的比画出图形B缩小后的图形。4分
1. 请按3:1的比画出图形A放大后的图形,再按1:2的比画出图形B缩小后的图形。4分
答案
解：
图形A放大后尺寸：
底：2×3=6（格）
高：1×3=3（格）
画出底为6格、高为3格，内角与原平行四边形A完全相同的平行四边形，即为图形A按3:1放大后的图形。
图形B缩小后尺寸：
底：8÷2=4（格）
高：6÷2=3（格）
画出底为4格、高为3格，两条斜边倾斜角度与原三角形B完全一致的三角形，即为图形B按1:2缩小后的图形。
图形A放大后尺寸：
底：2×3=6（格）
高：1×3=3（格）
画出底为6格、高为3格，内角与原平行四边形A完全相同的平行四边形，即为图形A按3:1放大后的图形。
图形B缩小后尺寸：
底：8÷2=4（格）
高：6÷2=3（格）
画出底为4格、高为3格，两条斜边倾斜角度与原三角形B完全一致的三角形，即为图形B按1:2缩小后的图形。
解析
【分析】
首先明确图形放大或缩小的核心规则：缩放仅改变图形的尺寸大小，不会改变图形的形状、各内角的度数以及边的倾斜角度。解题时第一步先数出原图形的关键边长：先看图形A是平行四边形，数出它原本的底占2格，高占1格，按照3:1放大，就是所有对应边的长度都扩大为原来的3倍，计算出新的底和高后，保持原平行四边形的斜边倾斜角度不变，就可以画出放大后的图形。再看图形B是三角形，数出它原本的底占8格，高占6格，按照1:2缩小，就是所有对应边的长度都缩小为原来的1/2，计算出新的底和高后，保持原三角形两条斜边的倾斜角度不变，就可以画出缩小后的图形。
【解析】
1. 处理图形A的放大：
原平行四边形A的底为2格，高为1格，按3:1的比例放大：
放大后底的长度 = 2×3 = 6（格）
放大后高的长度 = 1×3 = 3（格）
保持原平行四边形的内角、斜边倾斜方向完全不变，画出底为6格、高为3格的平行四边形，即为图形A放大后的图形。
2. 处理图形B的缩小：
原三角形B的底为8格，高为6格，按1:2的比例缩小：
缩小后底的长度 = 8÷2 = 4（格）
缩小后高的长度 = 6÷2 = 3（格）
保持原三角形两条斜边的倾斜角度完全不变，画出底为4格、高为3格的三角形，即为图形B缩小后的图形。
【答案】
图形A放大后尺寸：底：2×3=6（格），高：1×3=3（格），画出底为6格、高为3格，内角与原平行四边形A完全相同的平行四边形，即为图形A按3:1放大后的图形。图形B缩小后尺寸：底：8÷2=4（格），高：6÷2=3（格），画出底为4格、高为3格，两条斜边倾斜角度与原三角形B完全一致的三角形，即为图形B按1:2缩小后的图形。
【知识点】
图形放大与缩小，方格纸作图
【点评】
本题是图形缩放的基础操作题，核心易错点是部分同学仅计算底和高的缩放后随意画边，忽略了缩放不改变图形形状、边的倾斜角度必须和原图一致的要求，解题时要牢记图形缩放的本质是所有对应边按相同比例变化，形状保持不变。
【难度系数】
0.7
首先明确图形放大或缩小的核心规则：缩放仅改变图形的尺寸大小，不会改变图形的形状、各内角的度数以及边的倾斜角度。解题时第一步先数出原图形的关键边长：先看图形A是平行四边形，数出它原本的底占2格，高占1格，按照3:1放大，就是所有对应边的长度都扩大为原来的3倍，计算出新的底和高后，保持原平行四边形的斜边倾斜角度不变，就可以画出放大后的图形。再看图形B是三角形，数出它原本的底占8格，高占6格，按照1:2缩小，就是所有对应边的长度都缩小为原来的1/2，计算出新的底和高后，保持原三角形两条斜边的倾斜角度不变，就可以画出缩小后的图形。
【解析】
1. 处理图形A的放大：
原平行四边形A的底为2格，高为1格，按3:1的比例放大：
放大后底的长度 = 2×3 = 6（格）
放大后高的长度 = 1×3 = 3（格）
保持原平行四边形的内角、斜边倾斜方向完全不变，画出底为6格、高为3格的平行四边形，即为图形A放大后的图形。
2. 处理图形B的缩小：
原三角形B的底为8格，高为6格，按1:2的比例缩小：
缩小后底的长度 = 8÷2 = 4（格）
缩小后高的长度 = 6÷2 = 3（格）
保持原三角形两条斜边的倾斜角度完全不变，画出底为4格、高为3格的三角形，即为图形B缩小后的图形。
【答案】
图形A放大后尺寸：底：2×3=6（格），高：1×3=3（格），画出底为6格、高为3格，内角与原平行四边形A完全相同的平行四边形，即为图形A按3:1放大后的图形。图形B缩小后尺寸：底：8÷2=4（格），高：6÷2=3（格），画出底为4格、高为3格，两条斜边倾斜角度与原三角形B完全一致的三角形，即为图形B按1:2缩小后的图形。
【知识点】
图形放大与缩小，方格纸作图
【点评】
本题是图形缩放的基础操作题，核心易错点是部分同学仅计算底和高的缩放后随意画边，忽略了缩放不改变图形形状、边的倾斜角度必须和原图一致的要求，解题时要牢记图形缩放的本质是所有对应边按相同比例变化，形状保持不变。
【难度系数】
0.7
2. 以平行四边形的任意一条边作底画一个三角形,使平行四边形的面积与三角形的面积比是8:3。3分
答案
设平行四边形选定底边长为a，对应边上的高为h。
$S_{\mathrm{平}} = a h$
$S_{\mathrm{三}} = a h × \frac{3}{8} = \frac{3}{8}ah$
$\mathrm{三角形的底长} = 2S_{\mathrm{三}} ÷ h = 2×\frac{3}{8}ah ÷ h = \frac{3}{4}a$
答：任选平行四边形的一条边，将这条边平均分成4等份，取长度占3份的线段作为三角形的底，连接该线段的两个端点与平行四边形中不在这条边上的任意一个顶点，所得三角形即为符合要求的图形。
$S_{\mathrm{平}} = a h$
$S_{\mathrm{三}} = a h × \frac{3}{8} = \frac{3}{8}ah$
$\mathrm{三角形的底长} = 2S_{\mathrm{三}} ÷ h = 2×\frac{3}{8}ah ÷ h = \frac{3}{4}a$
答：任选平行四边形的一条边，将这条边平均分成4等份，取长度占3份的线段作为三角形的底，连接该线段的两个端点与平行四边形中不在这条边上的任意一个顶点，所得三角形即为符合要求的图形。
解析
【分析】
我们可以从面积公式入手推导作图的参数：首先回忆平行四边形和三角形的面积计算公式，题目要求二者面积比为8:3，我们可以选择平行四边形的任意一条边作为基准，让所作三角形的高和平行四边形这条底对应的高相等，这样就可以消去高的变量，直接推导出三角形需要的底的长度，不需要额外测量高，简化作图步骤。先设平行四边形选定的底边长为a，对应高为h，先写出平行四边形面积，再根据比例得到三角形的目标面积，最后反推三角形的底长，就能得到具体的作图方法。
【解析】
1. 设定参数：任选平行四边形的一条边作为参考底，设该底的长度为a，这条底对应的平行四边形的高为h。
2. 计算平行四边形面积：根据平行四边形面积公式，可得$S_{\mathrm{平行四边形}} = a h$。
3. 根据面积比求三角形目标面积：已知平行四边形与三角形面积比为8:3，因此三角形的面积$S_{\mathrm{三角形}} = S_{\mathrm{平行四边形}} × \frac{3}{8} = \frac{3}{8}ah$。
4. 反推三角形的底长：让所作三角形的高和平行四边形的高h相等，根据三角形面积公式$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × \mathrm{底} × h$，可得三角形的底长为：
$\mathrm{三角形底长} = 2S_{\mathrm{三角形}} ÷ h = 2× \frac{3}{8}ah ÷ h = \frac{3}{4}a$
5. 作图操作：将选定的平行四边形的边平均分成4等份，取长度占3份的线段作为三角形的底，连接该线段的两个端点与平行四边形中不在这条选定边上的任意一个顶点，得到的三角形就满足要求。
【答案】
设平行四边形选定底边长为a，对应边上的高为h。
$S_{\mathrm{平}} = a h$
$S_{\mathrm{三}} = a h × \frac{3}{8} = \frac{3}{8}ah$
$\mathrm{三角形的底长} = 2S_{\mathrm{三}} ÷ h = 2×\frac{3}{8}ah ÷ h = \frac{3}{4}a$
答：任选平行四边形的一条边，将这条边平均分成4等份，取长度占3份的线段作为三角形的底，连接该线段的两个端点与平行四边形中不在这条边上的任意一个顶点，所得三角形即为符合要求的图形。
【知识点】
平行四边形面积公式，三角形面积公式，比例作图
【点评】
本题属于面积公式的灵活应用型作图题，没有要求直接计算面积，而是结合给定的面积比例反推作图的参数，利用同高的情况下面积和底的正比关系简化作图流程，避免了额外测量高的繁琐操作，考察学生对两个基础图形面积公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们可以从面积公式入手推导作图的参数：首先回忆平行四边形和三角形的面积计算公式，题目要求二者面积比为8:3，我们可以选择平行四边形的任意一条边作为基准，让所作三角形的高和平行四边形这条底对应的高相等，这样就可以消去高的变量，直接推导出三角形需要的底的长度，不需要额外测量高，简化作图步骤。先设平行四边形选定的底边长为a，对应高为h，先写出平行四边形面积，再根据比例得到三角形的目标面积，最后反推三角形的底长，就能得到具体的作图方法。
【解析】
1. 设定参数：任选平行四边形的一条边作为参考底，设该底的长度为a，这条底对应的平行四边形的高为h。
2. 计算平行四边形面积：根据平行四边形面积公式，可得$S_{\mathrm{平行四边形}} = a h$。
3. 根据面积比求三角形目标面积：已知平行四边形与三角形面积比为8:3，因此三角形的面积$S_{\mathrm{三角形}} = S_{\mathrm{平行四边形}} × \frac{3}{8} = \frac{3}{8}ah$。
4. 反推三角形的底长：让所作三角形的高和平行四边形的高h相等，根据三角形面积公式$S_{\mathrm{三角形}}=\frac{1}{2} × \mathrm{底} × h$，可得三角形的底长为：
$\mathrm{三角形底长} = 2S_{\mathrm{三角形}} ÷ h = 2× \frac{3}{8}ah ÷ h = \frac{3}{4}a$
5. 作图操作：将选定的平行四边形的边平均分成4等份，取长度占3份的线段作为三角形的底，连接该线段的两个端点与平行四边形中不在这条选定边上的任意一个顶点，得到的三角形就满足要求。
【答案】
设平行四边形选定底边长为a，对应边上的高为h。
$S_{\mathrm{平}} = a h$
$S_{\mathrm{三}} = a h × \frac{3}{8} = \frac{3}{8}ah$
$\mathrm{三角形的底长} = 2S_{\mathrm{三}} ÷ h = 2×\frac{3}{8}ah ÷ h = \frac{3}{4}a$
答：任选平行四边形的一条边，将这条边平均分成4等份，取长度占3份的线段作为三角形的底，连接该线段的两个端点与平行四边形中不在这条边上的任意一个顶点，所得三角形即为符合要求的图形。
【知识点】
平行四边形面积公式，三角形面积公式，比例作图
【点评】
本题属于面积公式的灵活应用型作图题，没有要求直接计算面积，而是结合给定的面积比例反推作图的参数，利用同高的情况下面积和底的正比关系简化作图流程，避免了额外测量高的繁琐操作，考察学生对两个基础图形面积公式的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
五、走进生活。共39分
1. 一个圆柱形的无盖水桶,从里面量得底面半径是4分米,高为6分米。如果用来装水,那么可以装多少千克水?每升水重1千克5分
1. 一个圆柱形的无盖水桶,从里面量得底面半径是4分米,高为6分米。如果用来装水,那么可以装多少千克水?每升水重1千克5分
答案
1. $π×4^{2}×6×1=96π$(立方分米) $96π$立方分米$=96$升 $96π×1=96π$(千克)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的解题思路非常清晰：首先明确求水桶能装多少千克水，核心是先算出水桶的内部容积，再结合每升水的重量计算总质量。第一步，水桶是圆柱形，给出的是内部测量的半径和高，直接套用圆柱容积公式计算即可，注意题干里的“无盖”是干扰条件，求装水的体积完全不需要计算水桶的表面积。第二步，完成体积单位立方分米和容积单位升的等量转换，牢记1立方分米=1升。第三步，用容积的升数乘每升水的重量1千克，就能得到水的总质量。
【解析】
1. 代入圆柱容积公式计算水桶内部容积：
圆柱容积计算公式为 $ V=π r^2 h $，已知内部底面半径$ r=4\mathrm{dm} $，高$ h=6\mathrm{dm} $，代入数值可得：
$ V = π × 4^2 × 6 = 96π $（立方分米）
2. 单位换算：
根据体积与容积的单位对应关系，1立方分米=1升，因此$ 96π $立方分米$ = 96π $升
3. 计算水的总质量：
已知每升水重1千克，总质量=容积×单位体积水的重量，代入得：
总质量$ = 96π × 1 = 96π $（千克）
【答案】
可以装$ 96π $千克水（若取$π\approx3.14$，结果为301.44千克）
【知识点】
圆柱容积计算，体积容积单位换算
【点评】
本题是圆柱体积结合生活场景的基础应用题，题干设置的“无盖”条件很容易误导部分同学错误去计算水桶的表面积，解题时要明确求装水的质量本质是求容器的内部容纳体积，不需要计算表面积，同时要注意立方分米和升的等量换算关系，避免单位转换出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们的解题思路非常清晰：首先明确求水桶能装多少千克水，核心是先算出水桶的内部容积，再结合每升水的重量计算总质量。第一步，水桶是圆柱形，给出的是内部测量的半径和高，直接套用圆柱容积公式计算即可，注意题干里的“无盖”是干扰条件，求装水的体积完全不需要计算水桶的表面积。第二步，完成体积单位立方分米和容积单位升的等量转换，牢记1立方分米=1升。第三步，用容积的升数乘每升水的重量1千克，就能得到水的总质量。
【解析】
1. 代入圆柱容积公式计算水桶内部容积：
圆柱容积计算公式为 $ V=π r^2 h $，已知内部底面半径$ r=4\mathrm{dm} $，高$ h=6\mathrm{dm} $，代入数值可得：
$ V = π × 4^2 × 6 = 96π $（立方分米）
2. 单位换算：
根据体积与容积的单位对应关系，1立方分米=1升，因此$ 96π $立方分米$ = 96π $升
3. 计算水的总质量：
已知每升水重1千克，总质量=容积×单位体积水的重量，代入得：
总质量$ = 96π × 1 = 96π $（千克）
【答案】
可以装$ 96π $千克水（若取$π\approx3.14$，结果为301.44千克）
【知识点】
圆柱容积计算，体积容积单位换算
【点评】
本题是圆柱体积结合生活场景的基础应用题，题干设置的“无盖”条件很容易误导部分同学错误去计算水桶的表面积，解题时要明确求装水的质量本质是求容器的内部容纳体积，不需要计算表面积，同时要注意立方分米和升的等量换算关系，避免单位转换出错。
【难度系数】
0.7
2. 一根绳子,用去的是全长的$\frac{2}{3}$,这时还剩下3.6米。这根绳子用去了多少米?5分
答案
2. $3.6÷(3-2)×2=7.2$(米)
解析
【分析】
我们可以先把这根绳子的全长看作单位“1”，由“用去的是全长的$\frac{2}{3}$”可知，相当于把全长平均分成3份，用去的部分占2份，剩下的部分占的份数就是总份数减去用去的份数，也就是3-2=1份。题目给出剩下的长度是3.6米，刚好对应这1份的长度，我们先得到1份的长度后，乘用去部分对应的2份，就能算出用去的长度，这种份数对应法比先求全长再算用去长度的思路更简便。
【解析】
1. 确定各部分对应的份数：将绳子全长分为3份，用去部分占2份，剩余部分对应的份数为：$3-2=1$份
2. 已知剩余1份对应的实际长度是3.6米，因此用去的2份对应的长度列式计算：
$3.6÷(3-2)×2$
$=3.6÷1×2$
$=7.2$（米）
【答案】
7.2米
【知识点】
分数的意义，分数应用题
【点评】
本题是基础的分数应用题型，核心是找准已知的剩余长度对应的份数/占比，本题用份数对应法可以跳过计算全长的步骤，简化运算，要注意避免出现直接用3.6乘$\frac{2}{3}$的典型错误。
【难度系数】
0.8
我们可以先把这根绳子的全长看作单位“1”，由“用去的是全长的$\frac{2}{3}$”可知，相当于把全长平均分成3份，用去的部分占2份，剩下的部分占的份数就是总份数减去用去的份数，也就是3-2=1份。题目给出剩下的长度是3.6米，刚好对应这1份的长度，我们先得到1份的长度后，乘用去部分对应的2份，就能算出用去的长度，这种份数对应法比先求全长再算用去长度的思路更简便。
【解析】
1. 确定各部分对应的份数：将绳子全长分为3份，用去部分占2份，剩余部分对应的份数为：$3-2=1$份
2. 已知剩余1份对应的实际长度是3.6米，因此用去的2份对应的长度列式计算：
$3.6÷(3-2)×2$
$=3.6÷1×2$
$=7.2$（米）
【答案】
7.2米
【知识点】
分数的意义，分数应用题
【点评】
本题是基础的分数应用题型，核心是找准已知的剩余长度对应的份数/占比，本题用份数对应法可以跳过计算全长的步骤，简化运算，要注意避免出现直接用3.6乘$\frac{2}{3}$的典型错误。
【难度系数】
0.8
3. 隆兴佳园11号楼的实际高度是40米,它的高度与模型高度的比是500:1。模型的高度是多少厘米?5分
答案
3. $40×100÷500=8$(厘米)
解析
【分析】
这是一道比例相关的实际应用题，解题思路如下：1. 首先观察单位，题目给出的实际高度单位是米，最终要求模型高度的单位是厘米，所以第一步要先统一长度单位，把实际高度的米换算为厘米；2. 已知实际高度和模型高度的比是500:1，说明实际高度是模型高度的500倍，因此用换算后的实际高度除以500，就能得到模型的高度，也可以通过设未知数列比例方程的方式，利用比例基本性质求解。
【解析】
第一步：统一长度单位
因为1米=100厘米，所以实际高度40米换算为厘米是：40×100=4000厘米
第二步：根据高度比计算模型高度
由实际高度:模型高度=500:1，可得模型高度=实际高度÷500，代入数值计算：
4000÷500=8（厘米）
也可通过比例方程验证：
解：设模型高度为x厘米
4000:x=500:1
由比例内项积等于外项积得500x=4000，解得x=8
【答案】
8厘米
【知识点】
比例应用，长度单位换算
【点评】
本题是比例尺相关的基础生活应用题，最常见的易错点是忽略单位不统一的问题，直接用40除以500得到0.08米后忘记转换为厘米，解题时先对齐所求结果的单位提前完成单位换算，就能有效避免这类低级错误。
【难度系数】
0.8
这是一道比例相关的实际应用题，解题思路如下：1. 首先观察单位，题目给出的实际高度单位是米，最终要求模型高度的单位是厘米，所以第一步要先统一长度单位，把实际高度的米换算为厘米；2. 已知实际高度和模型高度的比是500:1，说明实际高度是模型高度的500倍，因此用换算后的实际高度除以500，就能得到模型的高度，也可以通过设未知数列比例方程的方式，利用比例基本性质求解。
【解析】
第一步：统一长度单位
因为1米=100厘米，所以实际高度40米换算为厘米是：40×100=4000厘米
第二步：根据高度比计算模型高度
由实际高度:模型高度=500:1，可得模型高度=实际高度÷500，代入数值计算：
4000÷500=8（厘米）
也可通过比例方程验证：
解：设模型高度为x厘米
4000:x=500:1
由比例内项积等于外项积得500x=4000，解得x=8
【答案】
8厘米
【知识点】
比例应用，长度单位换算
【点评】
本题是比例尺相关的基础生活应用题，最常见的易错点是忽略单位不统一的问题，直接用40除以500得到0.08米后忘记转换为厘米，解题时先对齐所求结果的单位提前完成单位换算，就能有效避免这类低级错误。
【难度系数】
0.8
