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7.不等式$2x+4＞6$的最小整数解为
2
.答案
2
解析
【分析】
要解决这个问题，需先求出一元一次不等式的解集，再从解集中筛选出最小整数。解题思路如下：第一步，按照解一元一次不等式的常规步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求出不等式的解集；第二步，在解集范围内找到最小的整数即为所求答案。
【解析】
解不等式$2x+4＞6$：
1. 移项，得：$2x＞6-4$
2. 合并同类项，得：$2x＞2$
3. 系数化为1（不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变），得：$x＞1$
大于1的整数有2、3、4……，其中最小的整数是2。
【答案】
2
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式的求解以及整数解的确定，掌握解一元一次不等式的基本步骤，注意不等号方向是否需要改变是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需先求出一元一次不等式的解集，再从解集中筛选出最小整数。解题思路如下：第一步，按照解一元一次不等式的常规步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求出不等式的解集；第二步，在解集范围内找到最小的整数即为所求答案。
【解析】
解不等式$2x+4＞6$：
1. 移项，得：$2x＞6-4$
2. 合并同类项，得：$2x＞2$
3. 系数化为1（不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变），得：$x＞1$
大于1的整数有2、3、4……，其中最小的整数是2。
【答案】
2
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式的求解以及整数解的确定，掌握解一元一次不等式的基本步骤，注意不等号方向是否需要改变是解题的关键。
【难度系数】
0.9
8.一部电梯的额定限载量为1 000千克,工人师傅利用手推车将一批货物整箱搬运到电梯里,然后工人师傅随货物一起乘电梯到楼顶.已知工人师傅的体重为60千克,手推车的质量为20千克,货物每箱的质量为50千克,则工人师傅最多只能搬运货物
18
箱.答案
18
解析
【分析】
解题时首先要明确电梯的总载重不能超过额定限载量1000千克，总载重包含三部分：工人师傅的体重、手推车的质量、所有货物的总质量。我们可以设搬运的货物箱数为未知数，先表示出总重量，再根据“总重量≤额定限载量”列出不等式，解出未知数的取值范围，最后结合货物箱数为正整数的实际要求，取范围内的最大整数即可得到答案。
【解析】
设工人师傅最多搬运$x$箱货物。
根据总重量不超过1000千克，列不等式：
$60 + 20 + 50x ≤ 1000$
化简得：$80 + 50x ≤ 1000$
移项计算：$50x ≤ 1000 - 80$
即：$50x ≤ 920$
两边同时除以50得：$x ≤ 18.4$
由于货物箱数必须为正整数，因此$x$可取的最大值为18。
【答案】
18
【知识点】
一元一次不等式应用、实际问题整数解
【点评】
本题核心是找准题目中的不等关系，正确列出不等式，解题时需要注意结合实际场景对解的限制，避免直接取计算得到的小数结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确电梯的总载重不能超过额定限载量1000千克，总载重包含三部分：工人师傅的体重、手推车的质量、所有货物的总质量。我们可以设搬运的货物箱数为未知数，先表示出总重量，再根据“总重量≤额定限载量”列出不等式，解出未知数的取值范围，最后结合货物箱数为正整数的实际要求，取范围内的最大整数即可得到答案。
【解析】
设工人师傅最多搬运$x$箱货物。
根据总重量不超过1000千克，列不等式：
$60 + 20 + 50x ≤ 1000$
化简得：$80 + 50x ≤ 1000$
移项计算：$50x ≤ 1000 - 80$
即：$50x ≤ 920$
两边同时除以50得：$x ≤ 18.4$
由于货物箱数必须为正整数，因此$x$可取的最大值为18。
【答案】
18
【知识点】
一元一次不等式应用、实际问题整数解
【点评】
本题核心是找准题目中的不等关系，正确列出不等式，解题时需要注意结合实际场景对解的限制，避免直接取计算得到的小数结果。
【难度系数】
0.7
9.若关于$x$的不等式$\frac{x - k}{3} + 2x ＜ 3(x - 1) + 5$的解都是正数，则$k$的取值范围是
$k≤ -6$
。答案
$k≤ -6$
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次不等式问题，解题思路如下：第一步先按照一元一次不等式的常规解法步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），求出不等式的解集，用含k的代数式表示x的取值范围；第二步根据“不等式的解都是正数”即所有解满足x＞0的条件，得到关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围，注意列不等式时要判断等号是否可取。
【解析】
解不等式$\frac{x - k}{3} + 2x ＜ 3(x - 1) + 5$：
1. 去分母（两边同乘3，不等号方向不变）：
$x - k + 6x ＜ 9(x - 1) + 15$
2. 去括号：
$7x - k ＜ 9x - 9 + 15$
3. 移项、合并同类项：
$7x - 9x ＜ k + 6$
$-2x ＜ k + 6$
4. 系数化为1（两边同除以-2，不等号方向改变）：
$x ＞ -\frac{k + 6}{2}$
∵ 不等式的所有解都是正数，即所有解满足$x ＞ 0$
∴ 解集的下界需满足$-\frac{k + 6}{2} ≥ 0$
解该不等式：
$-k - 6 ≥ 0$
$-k ≥ 6$
$k ≤ -6$
【答案】
$k≤ -6$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的基本性质，含参数不等式求解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的求解及含参数不等式的解集应用，易错点为系数化为1时不等号方向的变化，以及根据解集限制列不等式时等号的取舍，做题时可验证等号成立时是否符合题意避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的一元一次不等式问题，解题思路如下：第一步先按照一元一次不等式的常规解法步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），求出不等式的解集，用含k的代数式表示x的取值范围；第二步根据“不等式的解都是正数”即所有解满足x＞0的条件，得到关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围，注意列不等式时要判断等号是否可取。
【解析】
解不等式$\frac{x - k}{3} + 2x ＜ 3(x - 1) + 5$：
1. 去分母（两边同乘3，不等号方向不变）：
$x - k + 6x ＜ 9(x - 1) + 15$
2. 去括号：
$7x - k ＜ 9x - 9 + 15$
3. 移项、合并同类项：
$7x - 9x ＜ k + 6$
$-2x ＜ k + 6$
4. 系数化为1（两边同除以-2，不等号方向改变）：
$x ＞ -\frac{k + 6}{2}$
∵ 不等式的所有解都是正数，即所有解满足$x ＞ 0$
∴ 解集的下界需满足$-\frac{k + 6}{2} ≥ 0$
解该不等式：
$-k - 6 ≥ 0$
$-k ≥ 6$
$k ≤ -6$
【答案】
$k≤ -6$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式的基本性质，含参数不等式求解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的求解及含参数不等式的解集应用，易错点为系数化为1时不等号方向的变化，以及根据解集限制列不等式时等号的取舍，做题时可验证等号成立时是否符合题意避免出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 将下列不等式化成“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式，并将解集在数轴上表示出来.
(1)$5x＞4x-1$；
(2)$-x+2＞7$.
10. 将下列不等式化成“$x＞a$”或“$x＜a$”的形式，并将解集在数轴上表示出来.
(1)$5x＞4x-1$；
(2)$-x+2＞7$.
答案
解:(1)$x＞-1$,其解集在数轴上表示如下:
(2)$x＜-5$,其解集在数轴上表示如下:
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式的求解及解集的数轴表示，解题思路如下：
1. 对于不等式（1），利用不等式的基本性质1，两边同时减去4x，即可直接得到x的取值范围；数轴表示时，“大于”向右画，不包含边界点-1用空心圆圈。
2. 对于不等式（2），先利用不等式的基本性质1，两边同时减2消去常数项，再利用不等式的基本性质3，两边同时乘-1，注意此时不等号方向要改变，得到x的取值范围；数轴表示时，“小于”向左画，不包含边界点-5用空心圆圈。
【解析】
(1) 解不等式$5x＞4x-1$：
根据不等式的基本性质1，不等式两边同时减去$4x$，不等号方向不变，可得：
$5x-4x＞4x-1-4x$
计算得：$x＞-1$
数轴表示：在数轴上找到表示$-1$的点，画空心圆圈，再向右画折线表示所有大于$-1$的数。
(2) 解不等式$-x+2＞7$：
第一步，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2，不等号方向不变，可得：
$-x+2-2＞7-2$
计算得：$-x＞5$
第二步，根据不等式的基本性质3，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$x＜-5$
数轴表示：在数轴上找到表示$-5$的点，画空心圆圈，再向左画折线表示所有小于$-5$的数。
【答案】
(1)$x＞-1$,其解集在数轴上表示如下:
(2)$x＜-5$,其解集在数轴上表示如下:
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质；解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式的基础题型，核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其注意两边同时乘除负数时不等号方向要改变，同时要明确数轴表示解集的规则：空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点，大于向右、小于向左。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次不等式的求解及解集的数轴表示，解题思路如下：
1. 对于不等式（1），利用不等式的基本性质1，两边同时减去4x，即可直接得到x的取值范围；数轴表示时，“大于”向右画，不包含边界点-1用空心圆圈。
2. 对于不等式（2），先利用不等式的基本性质1，两边同时减2消去常数项，再利用不等式的基本性质3，两边同时乘-1，注意此时不等号方向要改变，得到x的取值范围；数轴表示时，“小于”向左画，不包含边界点-5用空心圆圈。
【解析】
(1) 解不等式$5x＞4x-1$：
根据不等式的基本性质1，不等式两边同时减去$4x$，不等号方向不变，可得：
$5x-4x＞4x-1-4x$
计算得：$x＞-1$
数轴表示：在数轴上找到表示$-1$的点，画空心圆圈，再向右画折线表示所有大于$-1$的数。
(2) 解不等式$-x+2＞7$：
第一步，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2，不等号方向不变，可得：
$-x+2-2＞7-2$
计算得：$-x＞5$
第二步，根据不等式的基本性质3，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$x＜-5$
数轴表示：在数轴上找到表示$-5$的点，画空心圆圈，再向左画折线表示所有小于$-5$的数。
【答案】
(1)$x＞-1$,其解集在数轴上表示如下:
(2)$x＜-5$,其解集在数轴上表示如下:
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的基本性质；解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式的基础题型，核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其注意两边同时乘除负数时不等号方向要改变，同时要明确数轴表示解集的规则：空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点，大于向右、小于向左。
【难度系数】
0.8
11.解下列不等式.
(1)$\frac{2x - 1}{3} ＜ 3 - x$；
(2)$\frac{2x - 5}{6} ≤ \frac{3x + 1}{4} - \frac{2}{3}$。
(1)$\frac{2x - 1}{3} ＜ 3 - x$；
(2)$\frac{2x - 5}{6} ≤ \frac{3x + 1}{4} - \frac{2}{3}$。
答案
解:(1)$x＜2$.
(2)$x≥ -1$.
(2)$x≥ -1$.
解析
【分析】
这两道题均为一元一次不等式求解问题，解题思路与一元一次方程解法步骤相近，依次按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤计算即可。计算时需注意：①去分母时不要漏乘不含分母的项；②系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{2x - 1}{3} ＜ 3 - x$：
步骤1：去分母，两边同时乘3，不等号方向不变，得：
$2x - 1 ＜ 3(3 - x)$
步骤2：去括号，得：
$2x - 1 ＜ 9 - 3x$
步骤3：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：
$2x + 3x ＜ 9 + 1$
步骤4：合并同类项，得：
$5x ＜ 10$
步骤5：系数化为1，两边同时除以5，不等号方向不变，得：
$x ＜ 2$
(2) 解不等式$\frac{2x - 5}{6} ≤ \frac{3x + 1}{4} - \frac{2}{3}$：
步骤1：去分母，两边同时乘分母的最小公倍数12，不等号方向不变，得：
$2(2x - 5) ≤ 3(3x + 1) - 8$
步骤2：去括号，得：
$4x - 10 ≤ 9x + 3 - 8$
步骤3：合并右侧常数项，得：
$4x - 10 ≤ 9x - 5$
步骤4：移项，得：
$4x - 9x ≤ -5 + 10$
步骤5：合并同类项，得：
$-5x ≤ 5$
步骤6：系数化为1，两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：
$x ≥ -1$
【答案】
(1)$x＜2$；(2)$x≥ -1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式求解的基础题型，主要考查解不等式的常规步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数化为负时未改变不等号方向，熟练掌握运算规则和不等式性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这两道题均为一元一次不等式求解问题，解题思路与一元一次方程解法步骤相近，依次按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤计算即可。计算时需注意：①去分母时不要漏乘不含分母的项；②系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{2x - 1}{3} ＜ 3 - x$：
步骤1：去分母，两边同时乘3，不等号方向不变，得：
$2x - 1 ＜ 3(3 - x)$
步骤2：去括号，得：
$2x - 1 ＜ 9 - 3x$
步骤3：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：
$2x + 3x ＜ 9 + 1$
步骤4：合并同类项，得：
$5x ＜ 10$
步骤5：系数化为1，两边同时除以5，不等号方向不变，得：
$x ＜ 2$
(2) 解不等式$\frac{2x - 5}{6} ≤ \frac{3x + 1}{4} - \frac{2}{3}$：
步骤1：去分母，两边同时乘分母的最小公倍数12，不等号方向不变，得：
$2(2x - 5) ≤ 3(3x + 1) - 8$
步骤2：去括号，得：
$4x - 10 ≤ 9x + 3 - 8$
步骤3：合并右侧常数项，得：
$4x - 10 ≤ 9x - 5$
步骤4：移项，得：
$4x - 9x ≤ -5 + 10$
步骤5：合并同类项，得：
$-5x ≤ 5$
步骤6：系数化为1，两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：
$x ≥ -1$
【答案】
(1)$x＜2$；(2)$x≥ -1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式求解的基础题型，主要考查解不等式的常规步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、系数化为负时未改变不等号方向，熟练掌握运算规则和不等式性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8
12.关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\x + 3y = a\end{cases}$的解满足$2a - 5 ≤ x - 4y ≤ \frac{a - 3}{2}$，求$a$的取值范围.
答案
解:$\begin{cases}2x-y=1,①\\x+3y=a,②\end{cases}$
由①$-$②,得$x-4y=1-a$.
$\because 2a-5≤ x-4y≤ \frac{a-3}{2}$,
$\therefore 2a-5≤ 1-a≤ \frac{a-3}{2}$,解得$\frac{5}{3}≤ a≤ 2$.
由①$-$②,得$x-4y=1-a$.
$\because 2a-5≤ x-4y≤ \frac{a-3}{2}$,
$\therefore 2a-5≤ 1-a≤ \frac{a-3}{2}$,解得$\frac{5}{3}≤ a≤ 2$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知方程组和不等式中代数式$x-4y$的结构特征，发现无需分别求解$x$、$y$的值，直接将方程组中两个方程相减，即可得到用$a$表示$x-4y$的代数式，再将其代入给出的不等式链，转化为关于$a$的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到$a$的取值范围。
【解析】
给定二元一次方程组：
$\begin{cases}2x-y=1,①\\x+3y=a,②\end{cases}$
用①式减去②式，可得：
$(2x-y)-(x+3y)=1-a$
整理得$x-4y=1-a$。
将$x-4y=1-a$代入不等式$2a - 5 ≤ x - 4y ≤ \frac{a - 3}{2}$，可得：
$2a-5 ≤ 1-a ≤ \frac{a-3}{2}$
将不等式链拆分为两个不等式分别求解：
1. 解$2a-5 ≤ 1-a$：
移项得$2a+a ≤ 1+5$，即$3a ≤ 6$，解得$a ≤ 2$。
2. 解$1-a ≤ \frac{a-3}{2}$：
两边同时乘2得$2(1-a) ≤ a-3$，
去括号得$2-2a ≤ a-3$，
移项得$2+3 ≤ a+2a$，即$3a ≥5$，解得$a ≥ \frac{5}{3}$。
综合两个不等式的解，即可得到$a$的取值范围。
【答案】
$\frac{5}{3} ≤ a ≤ 2$
【知识点】
二元一次方程组整体运算、一元一次不等式组解法、不等式的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，通过直接对两个方程作差得到目标代数式，避免了单独求解$x$、$y$的繁琐计算，同时考查了一元一次不等式组的求解能力，解题时注意不等式两边同乘正数时不等号方向不变。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察已知方程组和不等式中代数式$x-4y$的结构特征，发现无需分别求解$x$、$y$的值，直接将方程组中两个方程相减，即可得到用$a$表示$x-4y$的代数式，再将其代入给出的不等式链，转化为关于$a$的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到$a$的取值范围。
【解析】
给定二元一次方程组：
$\begin{cases}2x-y=1,①\\x+3y=a,②\end{cases}$
用①式减去②式，可得：
$(2x-y)-(x+3y)=1-a$
整理得$x-4y=1-a$。
将$x-4y=1-a$代入不等式$2a - 5 ≤ x - 4y ≤ \frac{a - 3}{2}$，可得：
$2a-5 ≤ 1-a ≤ \frac{a-3}{2}$
将不等式链拆分为两个不等式分别求解：
1. 解$2a-5 ≤ 1-a$：
移项得$2a+a ≤ 1+5$，即$3a ≤ 6$，解得$a ≤ 2$。
2. 解$1-a ≤ \frac{a-3}{2}$：
两边同时乘2得$2(1-a) ≤ a-3$，
去括号得$2-2a ≤ a-3$，
移项得$2+3 ≤ a+2a$，即$3a ≥5$，解得$a ≥ \frac{5}{3}$。
综合两个不等式的解，即可得到$a$的取值范围。
【答案】
$\frac{5}{3} ≤ a ≤ 2$
【知识点】
二元一次方程组整体运算、一元一次不等式组解法、不等式的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想的应用，通过直接对两个方程作差得到目标代数式，避免了单独求解$x$、$y$的繁琐计算，同时考查了一元一次不等式组的求解能力，解题时注意不等式两边同乘正数时不等号方向不变。
【难度系数】
0.6
