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1. 下列方程是一元二次方程的是(
A.$(x-1)(x+2)=x^2+3$
B.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-2=0$
C.$(x-1)^2=-2x+5$
D.$ax^2+bx+c=0$
C
).A.$(x-1)(x+2)=x^2+3$
B.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}-2=0$
C.$(x-1)^2=-2x+5$
D.$ax^2+bx+c=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要明确一元二次方程需满足三个核心条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时先逐一化简每个选项的方程，再对照三个条件排查即可。
【解析】
先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对各选项逐一分析：
选项A：将左边展开得$x^2+x-2=x^2+3$，两边消去$x^2$后化简为$x-5=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
选项B：方程分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
选项C：将左边展开得$x^2-2x+1=-2x+5$，移项合并同类项后得$x^2-4=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求。
选项D：未说明$a≠0$，若$a=0$，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，易错点在于：未先化简方程就直接判断次数（如选项A）、忽略整式方程的要求（如选项B）、忘记二次项系数不能为0的限定（如选项D），解题时需先化简再按定义逐条验证。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要明确一元二次方程需满足三个核心条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。解题时先逐一化简每个选项的方程，再对照三个条件排查即可。
【解析】
先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
对各选项逐一分析：
选项A：将左边展开得$x^2+x-2=x^2+3$，两边消去$x^2$后化简为$x-5=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
选项B：方程分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
选项C：将左边展开得$x^2-2x+1=-2x+5$，移项合并同类项后得$x^2-4=0$，满足一元二次方程的所有条件，符合要求。
选项D：未说明$a≠0$，若$a=0$，方程变为$bx+c=0$，是一元一次方程，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、方程化简
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，易错点在于：未先化简方程就直接判断次数（如选项A）、忽略整式方程的要求（如选项B）、忘记二次项系数不能为0的限定（如选项D），解题时需先化简再按定义逐条验证。
【难度系数】
0.8
2. 我们知道方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ 的解是 $x_1 = 1, x_2 = -3$，现给出另一个方程 $(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$，它的解是(
A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
D
).A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
答案
2.D
解析
【分析】
观察题目给出的两个方程，可发现二者结构完全相同，可利用整体换元的思想简化计算。我们可以把第二个方程中的$(2x+3)$看作一个整体设为$t$，此时第二个方程就转化为已知解的方程$t^2+2t-3=0$，先得到$t$的两个取值，再分别解关于$x$的一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：设$ t = 2x + 3 $，则原方程$ (2x+3)^2 + 2(2x+3) - 3 = 0 $可转化为：
$ t^2 + 2t - 3 = 0 $
由题可知该方程的解为$ t_1 = 1 $，$ t_2 = -3 $。
分别将$t$的取值代入$ t = 2x + 3 $求解$x$：
① 当$ t = 1 $时，$ 2x + 3 = 1 $，
移项得$ 2x = 1 - 3 = -2 $，
解得$ x = -1 $；
② 当$ t = -3 $时，$ 2x + 3 = -3 $，
移项得$ 2x = -3 - 3 = -6 $，
解得$ x = -3 $。
所以原方程的解为$ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3 $，故选D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程，整体思想，一元一次方程求解
【点评】
本题考查方程求解中的换元思想，通过观察方程结构的共性，将复杂的方程转化为已知解的方程，可避免重新解一元二次方程，减少计算量，解题时要注意培养观察方程特征、灵活运用简便方法的意识。
【难度系数】
0.7
观察题目给出的两个方程，可发现二者结构完全相同，可利用整体换元的思想简化计算。我们可以把第二个方程中的$(2x+3)$看作一个整体设为$t$，此时第二个方程就转化为已知解的方程$t^2+2t-3=0$，先得到$t$的两个取值，再分别解关于$x$的一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：设$ t = 2x + 3 $，则原方程$ (2x+3)^2 + 2(2x+3) - 3 = 0 $可转化为：
$ t^2 + 2t - 3 = 0 $
由题可知该方程的解为$ t_1 = 1 $，$ t_2 = -3 $。
分别将$t$的取值代入$ t = 2x + 3 $求解$x$：
① 当$ t = 1 $时，$ 2x + 3 = 1 $，
移项得$ 2x = 1 - 3 = -2 $，
解得$ x = -1 $；
② 当$ t = -3 $时，$ 2x + 3 = -3 $，
移项得$ 2x = -3 - 3 = -6 $，
解得$ x = -3 $。
所以原方程的解为$ x_1 = -1 $，$ x_2 = -3 $，故选D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程，整体思想，一元一次方程求解
【点评】
本题考查方程求解中的换元思想，通过观察方程结构的共性，将复杂的方程转化为已知解的方程，可避免重新解一元二次方程，减少计算量，解题时要注意培养观察方程特征、灵活运用简便方法的意识。
【难度系数】
0.7
3. 用配方法解方程$x^2 + 2x -1 =0$时，配方结果正确的是（
A.$(x+2)^2=2$
B.$(x+1)^2=2$
C.$(x+2)^2=3$
D.$(x+1)^2=3$
B
）.A.$(x+2)^2=2$
B.$(x+1)^2=2$
C.$(x+2)^2=3$
D.$(x+1)^2=3$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道配方法配方的题目，首先回忆配方法对二次项系数为1的一元二次方程的操作步骤：第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方的形式，最后对比选项选出正确结果即可。
【解析】
对原方程$x^2 + 2x -1 =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，注意移项变号，得：$x^2 + 2x = 1$
2. 一次项系数为2，它的一半是1，平方为$1^2=1$，在等号两边同时加1：
$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$
3. 左侧根据完全平方公式整理，得：$(x+1)^2 = 2$
对比选项，可知B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的操作步骤，注意常数项移项要变号，添加的是一次项系数一半的平方，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道配方法配方的题目，首先回忆配方法对二次项系数为1的一元二次方程的操作步骤：第一步先将常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方的形式，最后对比选项选出正确结果即可。
【解析】
对原方程$x^2 + 2x -1 =0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，注意移项变号，得：$x^2 + 2x = 1$
2. 一次项系数为2，它的一半是1，平方为$1^2=1$，在等号两边同时加1：
$x^2 + 2x + 1 = 1 + 1$
3. 左侧根据完全平方公式整理，得：$(x+1)^2 = 2$
对比选项，可知B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题关键是牢记配方法的操作步骤，注意常数项移项要变号，添加的是一次项系数一半的平方，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 方程$(x-2)^2=(2x+3)^2$的根是（
A.$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-5$
B.$x_1=x_2=-5$
C.$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=5$
D.$x_1=5,x_2=-5$
A
）.A.$x_1=-\dfrac{1}{3},x_2=-5$
B.$x_1=x_2=-5$
C.$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=5$
D.$x_1=5,x_2=-5$
答案
4.A
解析
【分析】
观察方程特征，左右两边均为整式的平方形式，可通过两种思路求解：一是利用平方根的性质，若$a^2=b^2$则$a=\pm b$，直接将二次方程降为两个一元一次方程求解；二是先移项得到$a^2-b^2=0$的结构，再用平方差公式因式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0得到一元一次方程求解。两种方法都能避免展开整理成一般式的复杂计算，符合现阶段知识要求。
【解析】
利用直接开平方法求解：
已知$(x-2)^2=(2x+3)^2$，根据平方根的性质可得：
$x-2 = \pm(2x+3)$
分两种情况计算：
① 当$x-2=2x+3$时：
移项得$x-2x=3+2$，合并同类项得$-x=5$，解得$x_1=-5$；
② 当$x-2=-(2x+3)$时：
去括号得$x-2=-2x-3$，移项得$x+2x=-3+2$，合并同类项得$3x=-1$，解得$x_2=-\frac{1}{3}$。
因此方程的根为$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，针对两边为完全平方式的特殊结构方程，优先选择直接开平方法或因式分解法可简化计算，解题时需注意开平方时不要遗漏负号的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程特征，左右两边均为整式的平方形式，可通过两种思路求解：一是利用平方根的性质，若$a^2=b^2$则$a=\pm b$，直接将二次方程降为两个一元一次方程求解；二是先移项得到$a^2-b^2=0$的结构，再用平方差公式因式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0得到一元一次方程求解。两种方法都能避免展开整理成一般式的复杂计算，符合现阶段知识要求。
【解析】
利用直接开平方法求解：
已知$(x-2)^2=(2x+3)^2$，根据平方根的性质可得：
$x-2 = \pm(2x+3)$
分两种情况计算：
① 当$x-2=2x+3$时：
移项得$x-2x=3+2$，合并同类项得$-x=5$，解得$x_1=-5$；
② 当$x-2=-(2x+3)$时：
去括号得$x-2=-2x-3$，移项得$x+2x=-3+2$，合并同类项得$3x=-1$，解得$x_2=-\frac{1}{3}$。
因此方程的根为$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，针对两边为完全平方式的特殊结构方程，优先选择直接开平方法或因式分解法可简化计算，解题时需注意开平方时不要遗漏负号的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5. 已知$2+\sqrt{3}$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$的一个实数根，则实数$m$的值是（
A.0
B.1
C.$-3$
D.$-1$
B
）。A.0
B.1
C.$-3$
D.$-1$
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路依据一元二次方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，则将该数代入方程后，等式左右两边相等。我们可以直接把已知的根$x=2+\sqrt{3}$代入方程，得到关于m的一元一次方程，再通过二次根式的运算、合并同类项求解m的值；也可以利用一元二次方程根与系数的关系，先求出另一个根，再计算两根之积得到m的值，两种方法都符合学段知识要求。
【解析】
方法一：代入法
∵$2+\sqrt{3}$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的实数根
∴将$x=2+\sqrt{3}$代入方程，等式成立：
$(2+\sqrt{3})^2 - 4×(2+\sqrt{3}) + m = 0$
利用完全平方公式展开计算：
$(2+\sqrt{3})^2=2^2 + 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$
计算常数项部分：
$-4×(2+\sqrt{3})=-8-4\sqrt{3}$
代入原式合并同类项：
$7+4\sqrt{3}-8-4\sqrt{3}+m=0$
其中$4\sqrt{3}$与$-4\sqrt{3}$抵消，$7-8=-1$，得：
$-1+m=0$
解得$m=1$
方法二：根与系数关系法
对于一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$，设两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=m$
已知其中一个根$x_1=2+\sqrt{3}$，则另一个根$x_2=4-(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$
因此$m=x_1x_2=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 二次根式运算
3. 乘法公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的性质的应用，代入法是最直接的解题思路，计算时注意二次根式的化简和同类项的合并，避免运算错误，也可结合根与系数的关系简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
解题思路依据一元二次方程根的定义：若一个数是一元二次方程的根，则将该数代入方程后，等式左右两边相等。我们可以直接把已知的根$x=2+\sqrt{3}$代入方程，得到关于m的一元一次方程，再通过二次根式的运算、合并同类项求解m的值；也可以利用一元二次方程根与系数的关系，先求出另一个根，再计算两根之积得到m的值，两种方法都符合学段知识要求。
【解析】
方法一：代入法
∵$2+\sqrt{3}$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的实数根
∴将$x=2+\sqrt{3}$代入方程，等式成立：
$(2+\sqrt{3})^2 - 4×(2+\sqrt{3}) + m = 0$
利用完全平方公式展开计算：
$(2+\sqrt{3})^2=2^2 + 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}$
计算常数项部分：
$-4×(2+\sqrt{3})=-8-4\sqrt{3}$
代入原式合并同类项：
$7+4\sqrt{3}-8-4\sqrt{3}+m=0$
其中$4\sqrt{3}$与$-4\sqrt{3}$抵消，$7-8=-1$，得：
$-1+m=0$
解得$m=1$
方法二：根与系数关系法
对于一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$，设两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=m$
已知其中一个根$x_1=2+\sqrt{3}$，则另一个根$x_2=4-(2+\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$
因此$m=x_1x_2=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 二次根式运算
3. 乘法公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的性质的应用，代入法是最直接的解题思路，计算时注意二次根式的化简和同类项的合并，避免运算错误，也可结合根与系数的关系简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
6. 关于$x$的方程$(x+m)^2=n$，下列说法正确的是(
A.有两个解 $x=\pm\sqrt{n}$
B.当$n≥0$时，有两个解 $x=\pm\sqrt{n}-m$
C.当$n≥0$时，有两个解 $x=\pm\sqrt{n-m}$
D.当$n≤0$时，方程无实根
B
).A.有两个解 $x=\pm\sqrt{n}$
B.当$n≥0$时，有两个解 $x=\pm\sqrt{n}-m$
C.当$n≥0$时，有两个解 $x=\pm\sqrt{n-m}$
D.当$n≤0$时，方程无实根
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：第一步，根据平方的非负性判断方程有实根的前提条件：只有等号右边的n≥0时，方程才有实数根；第二步，当n≥0时，对等式两边开平方，注意正数的平方根有两个，互为相反数，因此开平方后右边带±√n；第三步，将左边的m移项到等号右边，得到方程的解，最后逐一比对选项排除错误选项即可。
【解析】
根据平方根的性质：任意实数的平方非负，因此对方程$(x+m)^2=n$：
1. 当$n＜0$时，方程没有实数根；
2. 当$n≥0$时，等式两边同时开平方，可得$x+m=\pm\sqrt{n}$，移项得$x=\pm\sqrt{n}-m$，此时方程有两个实数根（n=0时为两个相等的实数根）。
逐一分析选项：
A. 未说明$n≥0$的前提，且解未减去m，错误；
B. 推导结果符合上述结论，正确；
C. 移项时错误将m放入根号内，错误；
D. 当n=0时，方程有实根$x=-m$，因此n≤0时无实根的说法错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用规则，易错点在于容易忽略n的取值范围，或者移项时错误将常数项放到根号内，掌握平方根的性质和开平方的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：第一步，根据平方的非负性判断方程有实根的前提条件：只有等号右边的n≥0时，方程才有实数根；第二步，当n≥0时，对等式两边开平方，注意正数的平方根有两个，互为相反数，因此开平方后右边带±√n；第三步，将左边的m移项到等号右边，得到方程的解，最后逐一比对选项排除错误选项即可。
【解析】
根据平方根的性质：任意实数的平方非负，因此对方程$(x+m)^2=n$：
1. 当$n＜0$时，方程没有实数根；
2. 当$n≥0$时，等式两边同时开平方，可得$x+m=\pm\sqrt{n}$，移项得$x=\pm\sqrt{n}-m$，此时方程有两个实数根（n=0时为两个相等的实数根）。
逐一分析选项：
A. 未说明$n≥0$的前提，且解未减去m，错误；
B. 推导结果符合上述结论，正确；
C. 移项时错误将m放入根号内，错误；
D. 当n=0时，方程有实根$x=-m$，因此n≤0时无实根的说法错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用规则，易错点在于容易忽略n的取值范围，或者移项时错误将常数项放到根号内，掌握平方根的性质和开平方的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.若n是方程$x^2 + mx + n = 0$的根，$n≠0$，则$m+n$等于(
A.$-7$
B.$6$
C.$1$
D.$-1$
D
)。A.$-7$
B.$6$
C.$1$
D.$-1$
答案
7.D
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义，根的含义是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以首先将x=n代入原方程得到关于m、n的等式，再结合已知条件n≠0，对等式进行化简，最终求出m+n的值。
【解析】
∵n是方程$x^2 + mx + n = 0$的根，
∴将x=n代入方程，等式成立，即：
$n^2 + m· n + n = 0$
对左边提取公因式n，可得：
$n(n + m + 1) = 0$
又
∵$n≠0$，
∴$n + m + 1 = 0$
移项得：$m + n = -1$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、提取公因式法因式分解、等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的掌握，解题的关键是把根代入原方程得到参数关系式，结合题目给出的限制条件化简即可得到结果，是对一元二次方程基本概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程根的定义，根的含义是能使方程左右两边相等的未知数的值，所以首先将x=n代入原方程得到关于m、n的等式，再结合已知条件n≠0，对等式进行化简，最终求出m+n的值。
【解析】
∵n是方程$x^2 + mx + n = 0$的根，
∴将x=n代入方程，等式成立，即：
$n^2 + m· n + n = 0$
对左边提取公因式n，可得：
$n(n + m + 1) = 0$
又
∵$n≠0$，
∴$n + m + 1 = 0$
移项得：$m + n = -1$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、提取公因式法因式分解、等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的掌握，解题的关键是把根代入原方程得到参数关系式，结合题目给出的限制条件化简即可得到结果，是对一元二次方程基本概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
8. 新考法 新定义问题 定义新运算$a*b$:对于任意实数$a,b$满足$a*b=(a+b)(a-b)-1$，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如$3*2=(3+2)×(3-2)-1=5-1=4$。若$x*k=2x$($k$为实数)是关于$x$的方程，则它的根的情况是(
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
B
)。A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
8.B
解析
【分析】
解决本题可按三步思考：第一步，准确理解新运算“*”的规则，将x*k按照给定的运算公式展开；第二步，把展开后的式子代入方程x*k=2x，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；第三步，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=(a+b)(a-b)-1$，将$a=x、b=k$代入得：
$x*k=(x+k)(x-k)-1$
由平方差公式得$(x+k)(x-k)=x^2-k^2$，因此$x*k=x^2-k^2-1$
已知$x*k=2x$，代入得方程：
$x^2-k^2-1=2x$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-2x-(k^2+1)=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-(k^2+1)$，计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×[-(k^2+1)]=4+4(k^2+1)=4k^2+8$
∵k为实数，
∴$k^2≥0$，因此$4k^2+8≥8＞0$
即$\Delta＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的知识结合考查，解题的核心是严格遵循新运算规则化简方程，再利用根的判别式判断根的情况，能够较好地考查学生的知识迁移能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步思考：第一步，准确理解新运算“*”的规则，将x*k按照给定的运算公式展开；第二步，把展开后的式子代入方程x*k=2x，整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；第三步，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=(a+b)(a-b)-1$，将$a=x、b=k$代入得：
$x*k=(x+k)(x-k)-1$
由平方差公式得$(x+k)(x-k)=x^2-k^2$，因此$x*k=x^2-k^2-1$
已知$x*k=2x$，代入得方程：
$x^2-k^2-1=2x$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-2x-(k^2+1)=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-(k^2+1)$，计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×[-(k^2+1)]=4+4(k^2+1)=4k^2+8$
∵k为实数，
∴$k^2≥0$，因此$4k^2+8≥8＞0$
即$\Delta＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、一元二次方程根的判别式、平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的知识结合考查，解题的核心是严格遵循新运算规则化简方程，再利用根的判别式判断根的情况，能够较好地考查学生的知识迁移能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +a^2 -1=0$有一个根为$x=0$，则$a=$
-1
。答案
9. $-1$
[解析]把 $x=0$ 代入$(a-1)x^2 -2x +a^2 -1=0$,得
$a^2 -1=0$,解得 $a=\pm1$,
$\because a-1≠0,\therefore a=-1.$
[解析]把 $x=0$ 代入$(a-1)x^2 -2x +a^2 -1=0$,得
$a^2 -1=0$,解得 $a=\pm1$,
$\because a-1≠0,\therefore a=-1.$
解析
【分析】
已知方程的一个根为x=0，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于a的方程，求解得到a的可能值；又因为原方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0，据此对求出的a的值进行筛选，即可得到最终结果。
【解析】
将x=0代入一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +a^2 -1=0$，可得：
$a^2 -1=0$
解得$a=1$或$a=-1$
∵ 方程是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $a-1≠0$，即$a≠1$
综上，$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，易错点是求解a的取值后忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，导致多解错误，解题时要注意对求出的参数进行验证。
【难度系数】
0.7
已知方程的一个根为x=0，根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于a的方程，求解得到a的可能值；又因为原方程是一元二次方程，需满足二次项系数不为0，据此对求出的a的值进行筛选，即可得到最终结果。
【解析】
将x=0代入一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +a^2 -1=0$，可得：
$a^2 -1=0$
解得$a=1$或$a=-1$
∵ 方程是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $a-1≠0$，即$a≠1$
综上，$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，易错点是求解a的取值后忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，导致多解错误，解题时要注意对求出的参数进行验证。
【难度系数】
0.7
10. 关于$x$的方程$(m-1)x^2 + (m+1)x + 3m + 2 = 0$，当$m$
≠1
时，为一元二次方程。答案
10. ≠1
解析
【分析】
要判断方程为一元二次方程，首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，核心要求是二次项系数不能为0。本题中方程的二次项为$(m-1)x^2$，因此只需保证二次项系数不等于0，即可满足一元二次方程的要求，再解对应的不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
在方程$(m-1)x^2 + (m+1)x + 3m + 2 = 0$中，二次项系数为$m-1$，因此可得不等式：
$m-1 ≠ 0$
解得$m ≠ 1$
【答案】
≠1
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程判定条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对一元二次方程定义的理解，解题关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，避免遗漏该要求导致出错。
【难度系数】
0.8
要判断方程为一元二次方程，首先回忆一元二次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，核心要求是二次项系数不能为0。本题中方程的二次项为$(m-1)x^2$，因此只需保证二次项系数不等于0，即可满足一元二次方程的要求，再解对应的不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
在方程$(m-1)x^2 + (m+1)x + 3m + 2 = 0$中，二次项系数为$m-1$，因此可得不等式：
$m-1 ≠ 0$
解得$m ≠ 1$
【答案】
≠1
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程判定条件
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对一元二次方程定义的理解，解题关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，避免遗漏该要求导致出错。
【难度系数】
0.8
11.若方程$x^2 -2ax +3=0$有一个根是1，则a的值是
2
.答案
11. 2
解析
【分析】
这道题可根据方程根的定义求解，解题思路为：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，已知1是方程的根，因此将x=1代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的取值。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 -2ax +3=0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}1^2 - 2a×1 + 3 &= 0\\1 - 2a + 3 &= 0\\4 - 2a &= 0\\2a &= 4\\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的含义，代入已知根后转化为一元一次方程求解即可，计算量小，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
这道题可根据方程根的定义求解，解题思路为：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，已知1是方程的根，因此将x=1代入原方程，即可得到只含未知数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的取值。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 -2ax +3=0$的根
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$\begin{aligned}1^2 - 2a×1 + 3 &= 0\\1 - 2a + 3 &= 0\\4 - 2a &= 0\\2a &= 4\\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的含义，代入已知根后转化为一元一次方程求解即可，计算量小，掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
12. $x^2 + 3x +$
$\frac{9}{4}$
$= (x +$ $\frac{3}{2}$
$)^2$答案
12. $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的逆用，解题时先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比题干给出的式子，二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，即$a=x$；一次项为$3x$，对应公式里的$2ab$，代入$a=x$可先求出$b$的值，再根据公式求出常数项$b^2$即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$
对比题干中式子$x^2+3x+$____$=(x+$____$)^2$，可得一次项系数对应关系：$2b=3$
解得$b=\frac{3}{2}$
则常数项为$b^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
因此两个空依次填入$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法基础
【点评】
本题是配方法的基础题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，明确完全平方式中常数项等于一次项系数一半的平方，是后续用配方法解一元二次方程的必备技能。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的逆用，解题时先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比题干给出的式子，二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，即$a=x$；一次项为$3x$，对应公式里的$2ab$，代入$a=x$可先求出$b$的值，再根据公式求出常数项$b^2$即可。
【解析】
根据完全平方和公式：$(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$
对比题干中式子$x^2+3x+$____$=(x+$____$)^2$，可得一次项系数对应关系：$2b=3$
解得$b=\frac{3}{2}$
则常数项为$b^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
因此两个空依次填入$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法基础
【点评】
本题是配方法的基础题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，明确完全平方式中常数项等于一次项系数一半的平方，是后续用配方法解一元二次方程的必备技能。
【难度系数】
0.85
13. 若一个三角形的三边长均满足方程 $x^2 -6x +8=0$，则此三角形的周长为
6或10或12
。答案
13. 6或10或12
解析
【分析】
解题时先求解一元二次方程得到边长的可能取值，再对三角形三边的组合情况进行分类讨论，每一种组合都需要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合条件的组合后，分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -6x +8=0$
对左边因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
第二步：分类讨论边长组合，验证三边关系：
① 三边长均为2：三边为2、2、2，满足三角形三边关系，周长为$2+2+2=6$；
② 三边长均为4：三边为4、4、4，满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
③ 两边为2，一边为4：三边为2、2、4，由于$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
④ 两边为4，一边为2：三边为4、4、2，满足$2+4＞4$，符合三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，易错点在于考虑边长组合时不全面，或者忽略验证三角形三边关系，导致多算或漏算周长，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时先求解一元二次方程得到边长的可能取值，再对三角形三边的组合情况进行分类讨论，每一种组合都需要验证是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合条件的组合后，分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -6x +8=0$
对左边因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即三角形的边长只能为2或4。
第二步：分类讨论边长组合，验证三边关系：
① 三边长均为2：三边为2、2、2，满足三角形三边关系，周长为$2+2+2=6$；
② 三边长均为4：三边为4、4、4，满足三角形三边关系，周长为$4+4+4=12$；
③ 两边为2，一边为4：三边为2、2、4，由于$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去；
④ 两边为4，一边为2：三边为4、4、2，满足$2+4＞4$，符合三边关系，周长为$4+4+2=10$。
综上，三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，易错点在于考虑边长组合时不全面，或者忽略验证三角形三边关系，导致多算或漏算周长，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
14.设$A=a+3$，$B=a^2 -a +5$，则A与B的大小关系是A
＜
B.（填“＞”“=”或“＜”）答案
14. ＜
解析
【分析】
要比较两个代数式A和B的大小，通常采用作差法：先计算B与A的差，再根据差的正负判断两个式子的大小关系。若差＞0，则B＞A；若差=0，则B=A；若差＜0，则B＜A。接下来将A、B的表达式代入作差，通过整式运算、配方，结合非负数的性质判断差的正负即可。
【解析】
使用作差法比较A与B的大小：
1. 列式作差：
$B - A = (a^2 - a + 5) - (a + 3)$
2. 去括号、合并同类项：
$B - A = a^2 - a + 5 - a - 3 = a^2 - 2a + 2$
3. 对差进行配方变形：
$a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a - 1)^2 + 1$
4. 判断差的正负：
根据平方的非负性可知，$(a - 1)^2 ≥ 0$，因此$(a - 1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$B - A ＞ 0$，由此可得$B ＞ A$。
【答案】
＜
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，解题核心是熟练掌握作差法的运算步骤，能通过配方将代数式转化为含平方的形式，结合非负数的性质判断差的正负即可得出结论。
【难度系数】
0.7
要比较两个代数式A和B的大小，通常采用作差法：先计算B与A的差，再根据差的正负判断两个式子的大小关系。若差＞0，则B＞A；若差=0，则B=A；若差＜0，则B＜A。接下来将A、B的表达式代入作差，通过整式运算、配方，结合非负数的性质判断差的正负即可。
【解析】
使用作差法比较A与B的大小：
1. 列式作差：
$B - A = (a^2 - a + 5) - (a + 3)$
2. 去括号、合并同类项：
$B - A = a^2 - a + 5 - a - 3 = a^2 - 2a + 2$
3. 对差进行配方变形：
$a^2 - 2a + 2 = (a^2 - 2a + 1) + 1 = (a - 1)^2 + 1$
4. 判断差的正负：
根据平方的非负性可知，$(a - 1)^2 ≥ 0$，因此$(a - 1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$B - A ＞ 0$，由此可得$B ＞ A$。
【答案】
＜
【知识点】
作差法比较大小；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，解题核心是熟练掌握作差法的运算步骤，能通过配方将代数式转化为含平方的形式，结合非负数的性质判断差的正负即可得出结论。
【难度系数】
0.7
15.若$x=1$是一元二次方程$x^2+ax+b=0$的一个根，则代数式$a^2+b^2+2ab$的值是
1
。答案
15. 1
解析
【分析】
解题时先根据一元二次方程根的定义思考：若一个数是方程的根，将其代入方程可使等式成立，因此先把x=1代入原方程，求出a+b的值；再观察待求代数式的结构，发现它符合完全平方公式的形式，可因式分解为$(a+b)^2$，最后将a+b的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2+ax+b=0$的一个根
∴将$x=1$代入方程得：$1^2 + a×1 + b = 0$
整理得：$a + b = -1$
根据完全平方公式可得：$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
将$a + b = -1$代入上式得：原式$= (-1)^2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根的意义、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是先利用方程根的性质得到a与b的和，再通过因式分解将待求式转化为含$a+b$的形式后代入计算，思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先根据一元二次方程根的定义思考：若一个数是方程的根，将其代入方程可使等式成立，因此先把x=1代入原方程，求出a+b的值；再观察待求代数式的结构，发现它符合完全平方公式的形式，可因式分解为$(a+b)^2$，最后将a+b的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2+ax+b=0$的一个根
∴将$x=1$代入方程得：$1^2 + a×1 + b = 0$
整理得：$a + b = -1$
根据完全平方公式可得：$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
将$a + b = -1$代入上式得：原式$= (-1)^2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根的意义、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是先利用方程根的性质得到a与b的和，再通过因式分解将待求式转化为含$a+b$的形式后代入计算，思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
