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20. 如图，Rt△ABO 的顶点 O 在坐标原点，点 B 在 x 轴上，∠ABO = 90°，∠AOB = 30°，OB = 2√3，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x ＞ 0)$ 的图象经过 OA 的中点 C，交 AB 于点 D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接 CD，求四边形 CDBO 的面积.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接 CD，求四边形 CDBO 的面积.
答案
20.(1)$\because ∠ ABO=90°,∠ AOB=30°,OB=2\sqrt{3}$,
$\therefore OA=2AB,\therefore AB=2$.
过点$C$作$CE⊥ OB$于点$E$.
$\because ∠ ABO=90°,\therefore CE// AB.\because OC=AC$,
$\therefore OE=BE=\frac{1}{2}OB=\sqrt{3},CE=\frac{1}{2}AB=1$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(\sqrt{3},1)$.
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$OA$的中点$C$,
$\therefore 1=\frac{k}{\sqrt{3}},\therefore k=\sqrt{3}$.
$\therefore$反比例函数的关系式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$.
(2)$\because OB=2\sqrt{3}$,$\therefore$点$D$的横坐标为$2\sqrt{3}$.
代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$,得$y=\frac{1}{2}$,$\therefore D(2\sqrt{3},\frac{1}{2})$,
$\therefore BD=\frac{1}{2}.\because AB=2,\therefore AD=\frac{3}{2}$.
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· BE=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
又$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB· AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}CDBO}=S_{△ AOB}-S_{△ ACD}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$.
$\therefore OA=2AB,\therefore AB=2$.
过点$C$作$CE⊥ OB$于点$E$.
$\because ∠ ABO=90°,\therefore CE// AB.\because OC=AC$,
$\therefore OE=BE=\frac{1}{2}OB=\sqrt{3},CE=\frac{1}{2}AB=1$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(\sqrt{3},1)$.
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过$OA$的中点$C$,
$\therefore 1=\frac{k}{\sqrt{3}},\therefore k=\sqrt{3}$.
$\therefore$反比例函数的关系式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$.
(2)$\because OB=2\sqrt{3}$,$\therefore$点$D$的横坐标为$2\sqrt{3}$.
代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$,得$y=\frac{1}{2}$,$\therefore D(2\sqrt{3},\frac{1}{2})$,
$\therefore BD=\frac{1}{2}.\because AB=2,\therefore AD=\frac{3}{2}$.
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· BE=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
又$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB· AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}CDBO}=S_{△ AOB}-S_{△ ACD}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$.
解析
【分析】
(1) 要求反比例函数关系式，需要先得到图象上点C的坐标。首先利用Rt△ABO中30°角的性质和勾股定理求出AB的长度，再过C作CE垂直OB，结合C是OA中点，可知CE是△OAB的中位线，利用中位线性质求出OE、CE的长度，即可得到C点坐标，代入反比例函数表达式求出k值即可。
(2) 求四边形CDBO的面积可采用割补法：先根据D在AB上确定其横坐标与B相同，代入反比例函数得到D点纵坐标，再分别计算Rt△AOB的面积和△ACD的面积，用大三角形面积减去小三角形面积即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=$2\sqrt{3}$，
由30°角所对直角边是斜边的一半得$OA=2AB$，结合勾股定理$OB^2+AB^2=OA^2$，代入得$(2\sqrt{3})^2+AB^2=(2AB)^2$，解得$AB=2$。
过点$C$作$CE⊥OB$于点$E$，
∵$∠ABO=90°$，
∴$CE// AB$，
又
∵$C$是$OA$的中点，
∴$CE$是△OAB的中位线，
∴$OE=BE=\frac{1}{2}OB=\sqrt{3}$，$CE=\frac{1}{2}AB=1$，即点$C$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
将$C(\sqrt{3},1)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$1=\frac{k}{\sqrt{3}}$，解得$k=\sqrt{3}$，
∴反比例函数的关系式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$。
(2)
∵点$D$在$AB$上，$AB⊥x$轴，$OB=2\sqrt{3}$，
∴$D$点横坐标为$2\sqrt{3}$，
将$x=2\sqrt{3}$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$，得$y=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，即$D(2\sqrt{3},\frac{1}{2})$，
∴$BD=\frac{1}{2}$，$AD=AB-BD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
△ACD中，AD边上的高等于BE的长度$\sqrt{3}$，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
又$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OB×AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形CDBO}=S_{△AOB}-S_{△ACD}=2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$；(2) $\frac{5\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 三角形中位线定理
3. 割补法求不规则图形面积
【点评】
本题是反比例函数与直角三角形结合的基础综合题，既考查了反比例函数解析式的求解方法，也考查了利用几何性质计算图形面积的能力，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要求反比例函数关系式，需要先得到图象上点C的坐标。首先利用Rt△ABO中30°角的性质和勾股定理求出AB的长度，再过C作CE垂直OB，结合C是OA中点，可知CE是△OAB的中位线，利用中位线性质求出OE、CE的长度，即可得到C点坐标，代入反比例函数表达式求出k值即可。
(2) 求四边形CDBO的面积可采用割补法：先根据D在AB上确定其横坐标与B相同，代入反比例函数得到D点纵坐标，再分别计算Rt△AOB的面积和△ACD的面积，用大三角形面积减去小三角形面积即可得到四边形面积。
【解析】
(1) 在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=$2\sqrt{3}$，
由30°角所对直角边是斜边的一半得$OA=2AB$，结合勾股定理$OB^2+AB^2=OA^2$，代入得$(2\sqrt{3})^2+AB^2=(2AB)^2$，解得$AB=2$。
过点$C$作$CE⊥OB$于点$E$，
∵$∠ABO=90°$，
∴$CE// AB$，
又
∵$C$是$OA$的中点，
∴$CE$是△OAB的中位线，
∴$OE=BE=\frac{1}{2}OB=\sqrt{3}$，$CE=\frac{1}{2}AB=1$，即点$C$的坐标为$(\sqrt{3},1)$。
将$C(\sqrt{3},1)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$1=\frac{k}{\sqrt{3}}$，解得$k=\sqrt{3}$，
∴反比例函数的关系式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$。
(2)
∵点$D$在$AB$上，$AB⊥x$轴，$OB=2\sqrt{3}$，
∴$D$点横坐标为$2\sqrt{3}$，
将$x=2\sqrt{3}$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$，得$y=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，即$D(2\sqrt{3},\frac{1}{2})$，
∴$BD=\frac{1}{2}$，$AD=AB-BD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
△ACD中，AD边上的高等于BE的长度$\sqrt{3}$，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AD×BE=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
又$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OB×AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$，
∴$S_{四边形CDBO}=S_{△AOB}-S_{△ACD}=2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$；(2) $\frac{5\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 三角形中位线定理
3. 割补法求不规则图形面积
【点评】
本题是反比例函数与直角三角形结合的基础综合题，既考查了反比例函数解析式的求解方法，也考查了利用几何性质计算图形面积的能力，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用割补法简化面积计算。
【难度系数】
0.7
21.某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现:商品的月总产量稳定在600件.商品的月销量Q(件)由基本销售量与浮动销售量两个部分组成,其中基本销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件)(x≤10)成反比例,且可以得到如下信息:
(1)求Q与x的函数关系式.
(2)若生产出的商品正好销完,求售价x.
(3)求售价x为多少时,月销售额最大,最大值是多少?
(1)求Q与x的函数关系式.
(2)若生产出的商品正好销完,求售价x.
(3)求售价x为多少时,月销售额最大,最大值是多少?
答案
21.(1)由题意,设$Q=a+\frac{k}{x}$,
由表格可知,当$x=5$时,$Q=580$,当$x=8$时,$Q=400$,
$\therefore \begin{cases}a+\frac{k}{5}=580,\\a+\frac{k}{8}=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=100,\\k=2400.\end{cases}$
即$Q$与$x$的函数关系式是$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$.
(2)令$Q=600$,代入函数关系式,得
$600=100+\frac{2400}{x}$,解得$x=4.8$.
故若生产的商品正好销完,此时售价$x$为$4.8$.
(3)设月销售额为$w$元,
由题意,得$w=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$,
$\therefore w$随$x$的增大而增大.$\because x≤10$,
$\therefore$当$x=10$时,$w$取得最大值,此时$w=3400$.
故售价$x$为$10$时,月销售额最大,最大值是$3400$元.
由表格可知,当$x=5$时,$Q=580$,当$x=8$时,$Q=400$,
$\therefore \begin{cases}a+\frac{k}{5}=580,\\a+\frac{k}{8}=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=100,\\k=2400.\end{cases}$
即$Q$与$x$的函数关系式是$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$.
(2)令$Q=600$,代入函数关系式,得
$600=100+\frac{2400}{x}$,解得$x=4.8$.
故若生产的商品正好销完,此时售价$x$为$4.8$.
(3)设月销售额为$w$元,
由题意,得$w=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$,
$\therefore w$随$x$的增大而增大.$\because x≤10$,
$\therefore$当$x=10$时,$w$取得最大值,此时$w=3400$.
故售价$x$为$10$时,月销售额最大,最大值是$3400$元.
解析
【分析】
(1) 根据题意，Q由固定的基本销售量和与x成反比例的浮动销售量组成，因此可设函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$（a为基本销售量，k为反比例系数），再将表格中两组x、Q的对应值代入，得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到Q与x的函数关系式。
(2) 生产的商品正好销完，说明月销量Q等于月总产量600件，将Q=600代入第(1)问得到的函数关系式，解分式方程即可求出售价x。
(3) 月销售额=售价×月销量，即$w=xQ$，将Q的解析式代入并化简，得到w关于x的函数表达式，根据函数的增减性结合$x≤10$的限制条件，即可求出w的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 由题意，设Q与x的函数关系式为$Q=a+\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$\begin{cases}x=5, Q=580\\x=8, Q=400\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}a+\frac{k}{5}=580\\a+\frac{k}{8}=400\end{cases}$
两式相减得$\frac{3k}{40}=180$，解得$k=2400$，将$k=2400$代入第二个方程，解得$a=100$。
因此Q与x的函数关系式为$\boldsymbol{Q=100+\frac{2400}{x} \ (x≤10)}$。
(2) 若商品正好销完，则$Q=600$，代入解析式得：
$600=100+\frac{2400}{x}$
移项得$\frac{2400}{x}=500$，解得$x=4.8$，经检验$x=4.8$是原方程的解，符合题意。
(3) 设月销售额为w元，由题意得：
$w=x· Q=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$
因为$100＞0$，所以w随x的增大而增大，又因为$x≤10$，所以当$x=10$时，w取最大值，最大值为$100×10+2400=3400$元。
【答案】
(1) $Q=100+\frac{2400}{x} \ (x≤10)$
(2) 4.8元/件
(3) 售价为10元/件时月销售额最大，最大值是3400元
【知识点】
反比例函数应用，分式方程求解，一次函数性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的综合应用，解题核心是准确梳理各数量之间的关系，注意求解分式方程后要检验解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
(1) 根据题意，Q由固定的基本销售量和与x成反比例的浮动销售量组成，因此可设函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$（a为基本销售量，k为反比例系数），再将表格中两组x、Q的对应值代入，得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到Q与x的函数关系式。
(2) 生产的商品正好销完，说明月销量Q等于月总产量600件，将Q=600代入第(1)问得到的函数关系式，解分式方程即可求出售价x。
(3) 月销售额=售价×月销量，即$w=xQ$，将Q的解析式代入并化简，得到w关于x的函数表达式，根据函数的增减性结合$x≤10$的限制条件，即可求出w的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 由题意，设Q与x的函数关系式为$Q=a+\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$\begin{cases}x=5, Q=580\\x=8, Q=400\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}a+\frac{k}{5}=580\\a+\frac{k}{8}=400\end{cases}$
两式相减得$\frac{3k}{40}=180$，解得$k=2400$，将$k=2400$代入第二个方程，解得$a=100$。
因此Q与x的函数关系式为$\boldsymbol{Q=100+\frac{2400}{x} \ (x≤10)}$。
(2) 若商品正好销完，则$Q=600$，代入解析式得：
$600=100+\frac{2400}{x}$
移项得$\frac{2400}{x}=500$，解得$x=4.8$，经检验$x=4.8$是原方程的解，符合题意。
(3) 设月销售额为w元，由题意得：
$w=x· Q=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$
因为$100＞0$，所以w随x的增大而增大，又因为$x≤10$，所以当$x=10$时，w取最大值，最大值为$100×10+2400=3400$元。
【答案】
(1) $Q=100+\frac{2400}{x} \ (x≤10)$
(2) 4.8元/件
(3) 售价为10元/件时月销售额最大，最大值是3400元
【知识点】
反比例函数应用，分式方程求解，一次函数性质
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的综合应用，解题核心是准确梳理各数量之间的关系，注意求解分式方程后要检验解是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
22.如图,点A,B分别在x轴,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴于点C,AO=CD=2,AB=DA=$\sqrt{5}$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象过CD的中点E.
(1)求证:△AOB≌△DCA;
(2)求k的值;
(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,试判断点G是否在反比例函数的图象上,并说明理由.
(1)求证:△AOB≌△DCA;
(2)求k的值;
(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,试判断点G是否在反比例函数的图象上,并说明理由.
答案
22.(1)$\because$点$A$,$B$分别在$x$轴,$y$轴上,$DC⊥ x$轴,
$\therefore ∠ AOB=∠ DCA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ DCA$中,$\begin{cases}AB=DA,\\AO=DC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOB≌\mathrm{Rt}△ DCA(\mathrm{HL})$.
(2)$\because ∠ DCA=90°,DA=\sqrt{5},CD=2$,
$\therefore AC=\sqrt{DA^2-CD^2}=1.\therefore OC=3$.
$\because E$是$CD$中点,$\therefore CE=1.\therefore E(3,1)$.
将点$E(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=3$.
(3)点$G$在反比例函数的图象上.理由如下:
$\because △ BFG$和$△ DCA$关于某点成中心对称,
$\therefore △ BFG≌△ DCA$.
$\therefore FG=CA=1,BF=DC=2,∠ BFG=∠ DCA=90°$.
又$OB=AC=1$,
$\therefore OF=OB+BF=1+2=3$.
$\therefore$点$G$的坐标为$(1,3)$.
$\because 1×3=3$,
$\therefore G(1,3)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上.
$\therefore ∠ AOB=∠ DCA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ DCA$中,$\begin{cases}AB=DA,\\AO=DC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOB≌\mathrm{Rt}△ DCA(\mathrm{HL})$.
(2)$\because ∠ DCA=90°,DA=\sqrt{5},CD=2$,
$\therefore AC=\sqrt{DA^2-CD^2}=1.\therefore OC=3$.
$\because E$是$CD$中点,$\therefore CE=1.\therefore E(3,1)$.
将点$E(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=3$.
(3)点$G$在反比例函数的图象上.理由如下:
$\because △ BFG$和$△ DCA$关于某点成中心对称,
$\therefore △ BFG≌△ DCA$.
$\therefore FG=CA=1,BF=DC=2,∠ BFG=∠ DCA=90°$.
又$OB=AC=1$,
$\therefore OF=OB+BF=1+2=3$.
$\therefore$点$G$的坐标为$(1,3)$.
$\because 1×3=3$,
$\therefore G(1,3)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上.
解析
【分析】
(1) 要证明△AOB≌△DCA，先观察两个三角形均为直角三角形，题目已给出斜边AB=DA、直角边AO=CD，符合直角三角形全等的HL判定条件，只需先确认两个三角形为直角三角形，再代入HL判定即可。
(2) 求k的值需先得到点E的坐标：先用勾股定理计算AC的长度，结合AO的长度得到OC的长度，再根据E是CD中点得到E的纵坐标，即可确定E点坐标，代入反比例函数解析式就能求出k。
(3) 判断点G是否在反比例函数图象上，只需验证G点横、纵坐标的乘积是否等于k。根据中心对称的性质可知△BFG和△DCA全等，可得对应边的长度，结合OB的长度算出OF的长度，进而得到G点坐标，代入验证即可。
【解析】
(1) $\because$点$A$,$B$分别在$x$轴,$y$轴上,$DC⊥ x$轴,
$\therefore ∠ AOB=∠ DCA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ DCA$中,$\begin{cases}AB=DA,\\AO=DC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOB≌\mathrm{Rt}△ DCA(\mathrm{HL})$.
(2) $\because ∠ DCA=90°,DA=\sqrt{5},CD=2$,
$\therefore AC=\sqrt{DA^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$,
$\therefore OC=OA+AC=2+1=3$.
$\because E$是$CD$中点,$CD=2$,
$\therefore CE=1$,即E点坐标为$(3,1)$.
将点$E(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$1=\frac{k}{3}$,解得$k=3$.
(3) 点$G$在反比例函数的图象上,理由如下:
$\because △ BFG$和$△ DCA$关于某点成中心对称,
$\therefore △ BFG≌△ DCA$,
$\therefore FG=CA=1,BF=DC=2,∠ BFG=∠ DCA=90°$.
由(1)的全等结论可得$OB=AC=1$,
$\therefore OF=OB+BF=1+2=3$,结合$FG=1$、$∠BFG=90°$可得G点坐标为$(1,3)$.
$\because 1×3=3=k$,
$\therefore G(1,3)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{k=3}$；
(3) 点G在反比例函数图象上，理由见解析。
【知识点】
直角三角形全等判定，反比例函数的性质，中心对称的性质
【点评】
本题是平面几何与反比例函数结合的综合题，串联了全等三角形、勾股定理、反比例函数解析式求解、中心对称的性质等多个知识点，解题时要注意坐标与线段长度的转化，通过几何性质求出对应点坐标是解决反比例函数相关问题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AOB≌△DCA，先观察两个三角形均为直角三角形，题目已给出斜边AB=DA、直角边AO=CD，符合直角三角形全等的HL判定条件，只需先确认两个三角形为直角三角形，再代入HL判定即可。
(2) 求k的值需先得到点E的坐标：先用勾股定理计算AC的长度，结合AO的长度得到OC的长度，再根据E是CD中点得到E的纵坐标，即可确定E点坐标，代入反比例函数解析式就能求出k。
(3) 判断点G是否在反比例函数图象上，只需验证G点横、纵坐标的乘积是否等于k。根据中心对称的性质可知△BFG和△DCA全等，可得对应边的长度，结合OB的长度算出OF的长度，进而得到G点坐标，代入验证即可。
【解析】
(1) $\because$点$A$,$B$分别在$x$轴,$y$轴上,$DC⊥ x$轴,
$\therefore ∠ AOB=∠ DCA=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ AOB$和$\mathrm{Rt}△ DCA$中,$\begin{cases}AB=DA,\\AO=DC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOB≌\mathrm{Rt}△ DCA(\mathrm{HL})$.
(2) $\because ∠ DCA=90°,DA=\sqrt{5},CD=2$,
$\therefore AC=\sqrt{DA^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$,
$\therefore OC=OA+AC=2+1=3$.
$\because E$是$CD$中点,$CD=2$,
$\therefore CE=1$,即E点坐标为$(3,1)$.
将点$E(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$1=\frac{k}{3}$,解得$k=3$.
(3) 点$G$在反比例函数的图象上,理由如下:
$\because △ BFG$和$△ DCA$关于某点成中心对称,
$\therefore △ BFG≌△ DCA$,
$\therefore FG=CA=1,BF=DC=2,∠ BFG=∠ DCA=90°$.
由(1)的全等结论可得$OB=AC=1$,
$\therefore OF=OB+BF=1+2=3$,结合$FG=1$、$∠BFG=90°$可得G点坐标为$(1,3)$.
$\because 1×3=3=k$,
$\therefore G(1,3)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{k=3}$；
(3) 点G在反比例函数图象上，理由见解析。
【知识点】
直角三角形全等判定，反比例函数的性质，中心对称的性质
【点评】
本题是平面几何与反比例函数结合的综合题，串联了全等三角形、勾股定理、反比例函数解析式求解、中心对称的性质等多个知识点，解题时要注意坐标与线段长度的转化，通过几何性质求出对应点坐标是解决反比例函数相关问题的核心。
【难度系数】
0.7
