登录
10.如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）.A.3
B.4
C.5
D.6
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先结合正方形的性质确定各点坐标的关联：正方形ABCD的边AB在y轴上，边长为2，因此AD、BC均为水平线段，长度为2。已知反比例函数上的点横、纵坐标的乘积等于k，我们可以用同一个未知数表示出在反比例函数图象上的E、C两点的坐标，再代入反比例函数表达式联立方程，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=AD=BC=2，AD、BC均为水平线段，AB为竖直线段。
设点A的纵坐标为a，则A(0,a)，
∵E是AD的中点，AD水平向右长度为2，
∴D(2,a)，E点坐标为(1,a)，
∵B点在A点下方，AB=2，C点在B点右侧、BC长度为2，
∴C点坐标为(2, a-2)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过E、C两点，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k，
∴将E(1,a)代入得：$k = 1 × a = a$ ①，
将C(2, a-2)代入得：$k = 2 × (a-2)$ ②，
把①代入②得：$a = 2(a-2)$，
解得$a=4$，因此$k=a=4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的典型题型，解题核心是利用几何图形的性质表示出函数图象上点的坐标，再结合反比例函数$k=xy$的特性建立方程求解，能够很好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正方形的性质确定各点坐标的关联：正方形ABCD的边AB在y轴上，边长为2，因此AD、BC均为水平线段，长度为2。已知反比例函数上的点横、纵坐标的乘积等于k，我们可以用同一个未知数表示出在反比例函数图象上的E、C两点的坐标，再代入反比例函数表达式联立方程，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=AD=BC=2，AD、BC均为水平线段，AB为竖直线段。
设点A的纵坐标为a，则A(0,a)，
∵E是AD的中点，AD水平向右长度为2，
∴D(2,a)，E点坐标为(1,a)，
∵B点在A点下方，AB=2，C点在B点右侧、BC长度为2，
∴C点坐标为(2, a-2)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过E、C两点，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于k，
∴将E(1,a)代入得：$k = 1 × a = a$ ①，
将C(2, a-2)代入得：$k = 2 × (a-2)$ ②，
把①代入②得：$a = 2(a-2)$，
解得$a=4$，因此$k=a=4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的典型题型，解题核心是利用几何图形的性质表示出函数图象上点的坐标，再结合反比例函数$k=xy$的特性建立方程求解，能够很好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
11.若函数$y=(m-1)x^{m^2 -2}$为反比例函数，则m的值为
-1
.答案
11.-1
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合反比例函数的定义推导。反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（k为常数，且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个要求：①x的指数等于-1；②x的系数不为0。解题时先根据指数的要求列方程求出m的可能取值，再代入系数验证，排除不符合要求的取值即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 先满足指数条件：$m^2 - 2 = -1$
解方程得：$m^2 = 1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 再满足系数不为0的条件：$m-1≠0$，即$m≠1$
结合上述两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数定义的应用，解题时容易忽略系数不为0的隐含限制条件，误将m的取值写为±1，求解这类概念类问题时要注意全面考虑定义中的所有要求。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合反比例函数的定义推导。反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（k为常数，且$k≠0$），因此本题需要同时满足两个要求：①x的指数等于-1；②x的系数不为0。解题时先根据指数的要求列方程求出m的可能取值，再代入系数验证，排除不符合要求的取值即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 先满足指数条件：$m^2 - 2 = -1$
解方程得：$m^2 = 1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 再满足系数不为0的条件：$m-1≠0$，即$m≠1$
结合上述两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数定义的应用，解题时容易忽略系数不为0的隐含限制条件，误将m的取值写为±1，求解这类概念类问题时要注意全面考虑定义中的所有要求。
【难度系数】
0.7
12.若反比例函数$y=\dfrac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限内，正比例函数$y=(2k-9)x$经过第二、四象限，则$k$的整数值是
4
。答案
12.4
解析
【分析】
解题时需先回忆反比例函数、正比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，当$m＞0$时图象位于第一、三象限，$m＜0$时位于第二、四象限；正比例函数$y=ax$中，当$a＞0$时图象经过第一、三象限，$a＜0$时经过第二、四象限。我们可以先根据两个函数的图象位置分别列出关于$k$的不等式，再联立得到不等式组，求解不等式组后在取值范围内找整数解即可。
【解析】
解：$\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限内，
$\therefore$ 比例系数大于0，即 $k-3＞0$，解得 $k＞3$。
$\because$ 正比例函数$y=(2k-9)x$经过第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数小于0，即 $2k-9＜0$，解得 $k＜4.5$。
联立可得$k$的取值范围是 $3＜k＜4.5$，
在此范围内的整数只有4，故$k$的整数值为4。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，一元一次不等式组的整数解
【点评】
本题是函数性质与不等式结合的基础题型，解题核心是准确掌握两类函数图象位置和比例系数正负的对应关系，求解不等式组后注意结合“整数”的限制条件筛选最终结果。
【难度系数】
0.75
解题时需先回忆反比例函数、正比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{m}{x}$中，当$m＞0$时图象位于第一、三象限，$m＜0$时位于第二、四象限；正比例函数$y=ax$中，当$a＞0$时图象经过第一、三象限，$a＜0$时经过第二、四象限。我们可以先根据两个函数的图象位置分别列出关于$k$的不等式，再联立得到不等式组，求解不等式组后在取值范围内找整数解即可。
【解析】
解：$\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k-3}{x}$的图象位于第一、三象限内，
$\therefore$ 比例系数大于0，即 $k-3＞0$，解得 $k＞3$。
$\because$ 正比例函数$y=(2k-9)x$经过第二、四象限，
$\therefore$ 比例系数小于0，即 $2k-9＜0$，解得 $k＜4.5$。
联立可得$k$的取值范围是 $3＜k＜4.5$，
在此范围内的整数只有4，故$k$的整数值为4。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，一元一次不等式组的整数解
【点评】
本题是函数性质与不等式结合的基础题型，解题核心是准确掌握两类函数图象位置和比例系数正负的对应关系，求解不等式组后注意结合“整数”的限制条件筛选最终结果。
【难度系数】
0.75
13.某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用90～150天(含90与150天)完成总量为300万立方米的土石方运送.设运输公司完成任务所需的时间为y(单位:天)，平均每天运输土石方量为x(单位:万立方米)，请写出y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围
$y=\frac{300}{x}(2≤ x≤ \frac{10}{3})$
.答案
13.$y=\frac{300}{x}(2≤ x≤ \frac{10}{3})$
解析
【分析】
解题时先利用“工作总量=工作效率×工作时间”的基本等量关系，推导得到y与x的函数关系式；再结合题目给出的y的取值范围，代入函数关系式，通过解不等式求出x的取值范围，注意x为每天运输量，取值需符合实际意义。
【解析】
根据运输土石方总量=平均每天运输量×完成任务所需时间，可得：
$xy=300$，变形得$y=\frac{300}{x}$。
已知完成任务的时间y满足$90\le y\le150$，且x＞0，将$y=\frac{300}{x}$代入不等式得：
$90\le \frac{300}{x}\le 150$
分别解两个不等式：
①$\frac{300}{x}\ge90$，两边同乘x（x＞0，不等号方向不变）得$300\ge90x$，解得$x\le\frac{10}{3}$；
②$\frac{300}{x}\le150$，两边同乘x（x＞0，不等号方向不变）得$300\le150x$，解得$x\ge2$。
综上可得x的取值范围为$2\le x\le \frac{10}{3}$，因此y关于x的函数关系式为$y=\frac{300}{x}(2\le x\le \frac{10}{3})$。
【答案】
$y=\frac{300}{x}(2≤ x≤ \frac{10}{3})$
【知识点】
反比例函数的应用；解一元一次不等式；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际工程场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是熟练掌握工作总量、效率、时间三者的关系，同时注意求解自变量范围时要结合实际意义，避免出现不符合现实的取值。
【难度系数】
0.7
解题时先利用“工作总量=工作效率×工作时间”的基本等量关系，推导得到y与x的函数关系式；再结合题目给出的y的取值范围，代入函数关系式，通过解不等式求出x的取值范围，注意x为每天运输量，取值需符合实际意义。
【解析】
根据运输土石方总量=平均每天运输量×完成任务所需时间，可得：
$xy=300$，变形得$y=\frac{300}{x}$。
已知完成任务的时间y满足$90\le y\le150$，且x＞0，将$y=\frac{300}{x}$代入不等式得：
$90\le \frac{300}{x}\le 150$
分别解两个不等式：
①$\frac{300}{x}\ge90$，两边同乘x（x＞0，不等号方向不变）得$300\ge90x$，解得$x\le\frac{10}{3}$；
②$\frac{300}{x}\le150$，两边同乘x（x＞0，不等号方向不变）得$300\le150x$，解得$x\ge2$。
综上可得x的取值范围为$2\le x\le \frac{10}{3}$，因此y关于x的函数关系式为$y=\frac{300}{x}(2\le x\le \frac{10}{3})$。
【答案】
$y=\frac{300}{x}(2≤ x≤ \frac{10}{3})$
【知识点】
反比例函数的应用；解一元一次不等式；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际工程场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是熟练掌握工作总量、效率、时间三者的关系，同时注意求解自变量范围时要结合实际意义，避免出现不符合现实的取值。
【难度系数】
0.7
14.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1,2)，点B与点D在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，则点C的坐标为
(3,6)
。答案
14.(3,6)
解析
【分析】
首先根据矩形的性质，AB平行于y轴可推出AD平行于x轴，因此点B的横坐标与点A的横坐标相同，点D的纵坐标与点A的纵坐标相同。再利用点B、D都在反比例函数图象上，将已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出点B的纵坐标和点D的横坐标。最后根据矩形对边平行的特点，点C的横坐标与点D一致，纵坐标与点B一致，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，且AB//y轴，
∴ AD//x轴，BC//x轴，CD//y轴，
∴ 点B的横坐标与点A(1,2)的横坐标相等，即$x_B=1$；点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，即$y_D=2$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将$x=1$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{1}=6$，即$B(1,6)$。
∵ 点D在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将$y=2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$2=\frac{6}{x}$，解得$x=3$，即$D(3,2)$。
∵ BC//x轴，CD//y轴，
∴ 点C的横坐标等于D的横坐标3，纵坐标等于B的纵坐标6，即$C(3,6)$。
【答案】
(3,6)
【知识点】
矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与矩形性质结合的基础题型，解题关键是根据矩形对边平行的特点，找到未知点与已知点坐标的关联，再结合反比例函数解析式计算对应坐标，计算量小，思路清晰，属于常考基础题。
【难度系数】
0.7
首先根据矩形的性质，AB平行于y轴可推出AD平行于x轴，因此点B的横坐标与点A的横坐标相同，点D的纵坐标与点A的纵坐标相同。再利用点B、D都在反比例函数图象上，将已知的横坐标或纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出点B的纵坐标和点D的横坐标。最后根据矩形对边平行的特点，点C的横坐标与点D一致，纵坐标与点B一致，即可得到点C的坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，且AB//y轴，
∴ AD//x轴，BC//x轴，CD//y轴，
∴ 点B的横坐标与点A(1,2)的横坐标相等，即$x_B=1$；点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，即$y_D=2$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将$x=1$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{1}=6$，即$B(1,6)$。
∵ 点D在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将$y=2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$2=\frac{6}{x}$，解得$x=3$，即$D(3,2)$。
∵ BC//x轴，CD//y轴，
∴ 点C的横坐标等于D的横坐标3，纵坐标等于B的纵坐标6，即$C(3,6)$。
【答案】
(3,6)
【知识点】
矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与矩形性质结合的基础题型，解题关键是根据矩形对边平行的特点，找到未知点与已知点坐标的关联，再结合反比例函数解析式计算对应坐标，计算量小，思路清晰，属于常考基础题。
【难度系数】
0.7
15. 跨学科 密度 一定质量的二氧化碳，其体积$V(\mathrm{m}^3)$是密度$\rho(\mathrm{kg/m}^3)$的反比例函数，请根据图中的已知条件，写出当$\rho=1.1\ \mathrm{kg/m}^3$时二氧化碳的体积$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^3$。
答案
15.9
解析
【分析】
本题是结合密度公式的反比例函数跨学科应用题，解题思路如下：首先根据“V是ρ的反比例函数”设出反比例函数的一般形式$V=\frac{k}{\rho}(k≠0)$，其中常数k对应二氧化碳的质量；再结合图像给出的已知点$\rho=1.98\mathrm{kg/m}^3$、$V=5\mathrm{m}^3$，代入解析式求出k的值；最后将$\rho=1.1\mathrm{kg/m}^3$代入求得的函数式，计算即可得到对应的体积V。
【解析】
解：设V与ρ的反比例函数解析式为$V=\frac{k}{\rho}$（k为常数，$k≠0$）。
由图像可知，当$\rho=1.98\mathrm{kg/m}^3$时，$V=5\mathrm{m}^3$，将其代入解析式得：
$5=\frac{k}{1.98}$
解得$k=1.98×5=9.9$
因此反比例函数解析式为$V=\frac{9.9}{\rho}$。
当$\rho=1.1\mathrm{kg/m}^3$时，代入解析式得：
$V=\frac{9.9}{1.1}=9(\mathrm{m}^3)$
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的应用、密度公式
【点评】
本题融合了数学反比例函数知识和物理密度相关知识，考查反比例函数解析式的求解与代入求值，解题关键是利用已知点求出函数的常数项，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是结合密度公式的反比例函数跨学科应用题，解题思路如下：首先根据“V是ρ的反比例函数”设出反比例函数的一般形式$V=\frac{k}{\rho}(k≠0)$，其中常数k对应二氧化碳的质量；再结合图像给出的已知点$\rho=1.98\mathrm{kg/m}^3$、$V=5\mathrm{m}^3$，代入解析式求出k的值；最后将$\rho=1.1\mathrm{kg/m}^3$代入求得的函数式，计算即可得到对应的体积V。
【解析】
解：设V与ρ的反比例函数解析式为$V=\frac{k}{\rho}$（k为常数，$k≠0$）。
由图像可知，当$\rho=1.98\mathrm{kg/m}^3$时，$V=5\mathrm{m}^3$，将其代入解析式得：
$5=\frac{k}{1.98}$
解得$k=1.98×5=9.9$
因此反比例函数解析式为$V=\frac{9.9}{\rho}$。
当$\rho=1.1\mathrm{kg/m}^3$时，代入解析式得：
$V=\frac{9.9}{1.1}=9(\mathrm{m}^3)$
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的应用、密度公式
【点评】
本题融合了数学反比例函数知识和物理密度相关知识，考查反比例函数解析式的求解与代入求值，解题关键是利用已知点求出函数的常数项，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
16.如图，在平面直角坐标系中，过点$M(-3,2)$分别作$x$轴，$y$轴的垂线与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象交于$A$，$B$两点，则四边形$MAOB$的面积为
10
。答案
16.10
解析
【分析】
解题思路如下：1. 四边形MAOB是不规则图形，考虑用割补法将其转化为熟悉的矩形、三角形面积之和求解；2. 点M(-3,2)向x轴、y轴作垂线，会和坐标轴围成一个矩形，先计算该矩形的面积；3. 结合反比例函数k的几何意义：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，可求得A、B两点分别对应的两个直角三角形的面积；4. 三部分面积相加即可得到四边形MAOB的面积。
【解析】
解：设过点M作x轴的垂线与x轴交于点C，过点M作y轴的垂线与y轴交于点D。
∵点M的坐标为$(-3,2)$，
∴矩形OCMD的面积为 $|-3| × |2| = 6$。
∵点A在过M的x轴垂线上、同时在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，点B在过M的y轴垂线上、同时在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2} × 4 = 2$，$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2} × 4 = 2$。
∴四边形MAOB的面积 = $S_{\mathrm{矩形}OCMD} + S_{△ OAC} + S_{△ OBD} = 6 + 2 + 2 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何面积的综合题，解题核心是灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积，同时熟练掌握反比例函数中k的几何意义，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 四边形MAOB是不规则图形，考虑用割补法将其转化为熟悉的矩形、三角形面积之和求解；2. 点M(-3,2)向x轴、y轴作垂线，会和坐标轴围成一个矩形，先计算该矩形的面积；3. 结合反比例函数k的几何意义：反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，可求得A、B两点分别对应的两个直角三角形的面积；4. 三部分面积相加即可得到四边形MAOB的面积。
【解析】
解：设过点M作x轴的垂线与x轴交于点C，过点M作y轴的垂线与y轴交于点D。
∵点M的坐标为$(-3,2)$，
∴矩形OCMD的面积为 $|-3| × |2| = 6$。
∵点A在过M的x轴垂线上、同时在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，点B在过M的y轴垂线上、同时在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2} × 4 = 2$，$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2} × 4 = 2$。
∴四边形MAOB的面积 = $S_{\mathrm{矩形}OCMD} + S_{△ OAC} + S_{△ OBD} = 6 + 2 + 2 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
反比例函数k的几何意义，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何面积的综合题，解题核心是灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积，同时熟练掌握反比例函数中k的几何意义，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
17.如图，已知一次函数$y=kx-4$的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中点，则$k=$
4
。答案
17.4
解析
【分析】
要计算k的值，需先找到一次函数$y=kx-4$上除B外的已知点坐标代入求解。首先先求出一次函数与y轴交点B的坐标，再根据A是BC中点、A在x轴上（纵坐标为0）的性质，利用中点坐标的纵坐标关系求出点C的纵坐标，接着结合点C在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上，求出点C的横坐标，最后将C点坐标代入一次函数解析式即可算出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
对于一次函数$y=kx-4$，当$x=0$时，$y=-4$，因此点B坐标为$(0,-4)$。
2. 求点C的纵坐标：
点A在x轴上，故A的纵坐标为0。又A是BC的中点，根据中点坐标的性质，中点的纵坐标等于两端点纵坐标之和的一半，即：
$\dfrac{y_B + y_C}{2}=y_A$
代入$y_B=-4$，$y_A=0$，得$\dfrac{-4 + y_C}{2}=0$，解得$y_C=4$。
3. 求点C的坐标：
点C在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上，将$y=4$代入得$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，因此点C坐标为$(2,4)$。
4. 计算k的值：
将$C(2,4)$代入一次函数$y=kx-4$，得$4=2k-4$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，中点坐标性质
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用中点性质快速得到点C的纵坐标，再结合反比例函数解析式确定C点坐标，进而求解参数，是函数部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
要计算k的值，需先找到一次函数$y=kx-4$上除B外的已知点坐标代入求解。首先先求出一次函数与y轴交点B的坐标，再根据A是BC中点、A在x轴上（纵坐标为0）的性质，利用中点坐标的纵坐标关系求出点C的纵坐标，接着结合点C在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上，求出点C的横坐标，最后将C点坐标代入一次函数解析式即可算出k的值。
【解析】
1. 求点B的坐标：
对于一次函数$y=kx-4$，当$x=0$时，$y=-4$，因此点B坐标为$(0,-4)$。
2. 求点C的纵坐标：
点A在x轴上，故A的纵坐标为0。又A是BC的中点，根据中点坐标的性质，中点的纵坐标等于两端点纵坐标之和的一半，即：
$\dfrac{y_B + y_C}{2}=y_A$
代入$y_B=-4$，$y_A=0$，得$\dfrac{-4 + y_C}{2}=0$，解得$y_C=4$。
3. 求点C的坐标：
点C在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上，将$y=4$代入得$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，因此点C坐标为$(2,4)$。
4. 计算k的值：
将$C(2,4)$代入一次函数$y=kx-4$，得$4=2k-4$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，中点坐标性质
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是利用中点性质快速得到点C的纵坐标，再结合反比例函数解析式确定C点坐标，进而求解参数，是函数部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
18. 在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=10-x$的图象与函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A$，$B$。设点$A$的坐标为$(x_1,y_1)$，那么长为$x_1$、宽为$y_1$的矩形的面积为________，周长为________。
答案
18.6 20
解析
【分析】
首先，点A是一次函数和反比例函数的交点，因此点A的坐标同时满足两个函数的解析式。要求长为$x_1$、宽为$y_1$的矩形的面积和周长，先回忆矩形面积公式为长×宽，即$x_1y_1$；矩形周长公式为2×(长+宽)，即$2(x_1+y_1)$。接下来结合两个函数的解析式分别求出$x_1y_1$和$x_1+y_1$的值即可，不需要计算出$x_1$、$y_1$的具体数值。
【解析】
1. 计算矩形面积：
∵点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将点A坐标代入反比例函数解析式得：$y_1=\dfrac{6}{x_1}$，
变形可得$x_1y_1=6$，因此矩形面积为$x_1y_1=6$。
2. 计算矩形周长：
∵点$A(x_1,y_1)$在一次函数$y=10-x$的图象上，
∴将点A坐标代入一次函数解析式得：$y_1=10-x_1$，
移项可得$x_1+y_1=10$，因此矩形周长为$2(x_1+y_1)=2×10=20$。
【答案】
6；20
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形周长与面积计算
【点评】
本题不需要联立方程组求解交点的具体坐标，只需利用函数解析式的变形即可得到所需的乘积与和，解题时注意技巧的运用，能有效提升解题效率，考查对函数基本性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先，点A是一次函数和反比例函数的交点，因此点A的坐标同时满足两个函数的解析式。要求长为$x_1$、宽为$y_1$的矩形的面积和周长，先回忆矩形面积公式为长×宽，即$x_1y_1$；矩形周长公式为2×(长+宽)，即$2(x_1+y_1)$。接下来结合两个函数的解析式分别求出$x_1y_1$和$x_1+y_1$的值即可，不需要计算出$x_1$、$y_1$的具体数值。
【解析】
1. 计算矩形面积：
∵点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将点A坐标代入反比例函数解析式得：$y_1=\dfrac{6}{x_1}$，
变形可得$x_1y_1=6$，因此矩形面积为$x_1y_1=6$。
2. 计算矩形周长：
∵点$A(x_1,y_1)$在一次函数$y=10-x$的图象上，
∴将点A坐标代入一次函数解析式得：$y_1=10-x_1$，
移项可得$x_1+y_1=10$，因此矩形周长为$2(x_1+y_1)=2×10=20$。
【答案】
6；20
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形周长与面积计算
【点评】
本题不需要联立方程组求解交点的具体坐标，只需利用函数解析式的变形即可得到所需的乘积与和，解题时注意技巧的运用，能有效提升解题效率，考查对函数基本性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
19.如图，直线$y=mx$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}$相交于A，B两点，点A的坐标为$(1,2)$。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当$mx＞\dfrac{k}{x}$时，$x$的取值范围；
(3)计算线段AB的长。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当$mx＞\dfrac{k}{x}$时，$x$的取值范围；
(3)计算线段AB的长。
答案
19.(1)把$A(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=2$,
即反比例函数的表达式是$y=\frac{2}{x}$.
(2)当$mx＞\frac{k}{x}$时,$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$.
(3)过点$A$作$AC⊥ x$轴,垂足为$C$.
$\because A(1,2),\therefore AC=2,OC=1$.
$\therefore OA=\sqrt{5}.\therefore AB=2OA=2\sqrt{5}$.
即反比例函数的表达式是$y=\frac{2}{x}$.
(2)当$mx＞\frac{k}{x}$时,$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$.
(3)过点$A$作$AC⊥ x$轴,垂足为$C$.
$\because A(1,2),\therefore AC=2,OC=1$.
$\therefore OA=\sqrt{5}.\therefore AB=2OA=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，仅含1个未知参数$k$，已知函数过点$A(1,2)$，将点坐标代入解析式即可求出$k$，得到反比例函数表达式。
(2) 不等式$mx＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是直线图象在双曲线上方时对应的$x$取值，由于正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知$A(1,2)$可得$B(-1,-2)$，结合图象分象限观察：第三象限内$-1＜x＜0$时、第一象限内$x＞1$时直线均在双曲线上方，合并区间即可。
(3) 由A、B关于原点对称可知$AB=2OA$，过点$A$作$x$轴垂线构造直角三角形，用勾股定理求出$OA$的长度，乘2即可得到线段$AB$的长。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{1}$，解得$k=2$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
(2) 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，故点$B$坐标为$(-1,-2)$，观察图象可得：当$-1＜x＜0$或$x＞1$时，直线在双曲线上方，即$mx＞\dfrac{k}{x}$。
(3) 过点$A$作$AC⊥ x$轴，垂足为$C$，已知$A(1,2)$，则$OC=1$，$AC=2$。在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。由于$A$、$B$关于原点对称，故$AB=2OA=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{x}$
(2) $-1＜x＜0$或$x＞1$
(3) $2\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；函数图象解不等式；勾股定理
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，结合了函数性质、数形结合思想和几何计算，考查的都是函数板块的核心基础考点，掌握函数交点的对称性和图象法解不等式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$，仅含1个未知参数$k$，已知函数过点$A(1,2)$，将点坐标代入解析式即可求出$k$，得到反比例函数表达式。
(2) 不等式$mx＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是直线图象在双曲线上方时对应的$x$取值，由于正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知$A(1,2)$可得$B(-1,-2)$，结合图象分象限观察：第三象限内$-1＜x＜0$时、第一象限内$x＞1$时直线均在双曲线上方，合并区间即可。
(3) 由A、B关于原点对称可知$AB=2OA$，过点$A$作$x$轴垂线构造直角三角形，用勾股定理求出$OA$的长度，乘2即可得到线段$AB$的长。
【解析】
(1) 将点$A(1,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{1}$，解得$k=2$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$。
(2) 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，故点$B$坐标为$(-1,-2)$，观察图象可得：当$-1＜x＜0$或$x＞1$时，直线在双曲线上方，即$mx＞\dfrac{k}{x}$。
(3) 过点$A$作$AC⊥ x$轴，垂足为$C$，已知$A(1,2)$，则$OC=1$，$AC=2$。在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。由于$A$、$B$关于原点对称，故$AB=2OA=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{x}$
(2) $-1＜x＜0$或$x＞1$
(3) $2\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；函数图象解不等式；勾股定理
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，结合了函数性质、数形结合思想和几何计算，考查的都是函数板块的核心基础考点，掌握函数交点的对称性和图象法解不等式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
