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1. 下面的函数是反比例函数的是(
A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=\dfrac{2}{x+1}$
C.$y=\dfrac{2}{x}$
D.$y=\dfrac{2}{x^2}$
C
).A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=\dfrac{2}{x+1}$
C.$y=\dfrac{2}{x}$
D.$y=\dfrac{2}{x^2}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心是熟练掌握反比例函数的定义，首先明确反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），判断时需核对三个要点：①右边为分式，分子是非零常数；②分母仅含有自变量$x$；③$x$的次数为1。接下来逐个排查各选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义，排除；
选项B：$y=\frac{2}{x+1}$的分母为$x+1$，不是仅含自变量$x$，不符合反比例函数的定义，排除；
选项C：$y=\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=2≠0$，是反比例函数，符合要求；
选项D：$y=\frac{2}{x^2}$的分母中$x$的次数为2，不符合反比例函数中$x$次数为1的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记反比例函数的定义特征，答题时需注意区分分母的组成、自变量的次数等易错点，避免误选。
【难度系数】
0.9
解题的核心是熟练掌握反比例函数的定义，首先明确反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），判断时需核对三个要点：①右边为分式，分子是非零常数；②分母仅含有自变量$x$；③$x$的次数为1。接下来逐个排查各选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一判断：
选项A：$y=\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数的定义，排除；
选项B：$y=\frac{2}{x+1}$的分母为$x+1$，不是仅含自变量$x$，不符合反比例函数的定义，排除；
选项C：$y=\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=2≠0$，是反比例函数，符合要求；
选项D：$y=\frac{2}{x^2}$的分母中$x$的次数为2，不符合反比例函数中$x$次数为1的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记反比例函数的定义特征，答题时需注意区分分母的组成、自变量的次数等易错点，避免误选。
【难度系数】
0.9
2. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$A(1,-2)$，则$k$的值为(
A.1
B.2
C.$-2$
D.$-1$
C
).A.1
B.2
C.$-2$
D.$-1$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定反比例函数中未知系数k的值，我们可以利用函数图象上的点的性质：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足对应的函数解析式。因此只需将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(1,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=1$，$y=-2$代入解析式可得：
$\displaystyle -2=\frac{k}{1}$
解得：$k=-2$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法
【点评】
本题是基础考查题，核心考察函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，计算量极小，掌握对应基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定反比例函数中未知系数k的值，我们可以利用函数图象上的点的性质：若一个点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足对应的函数解析式。因此只需将已知点A的坐标代入反比例函数解析式，解关于k的一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(1,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=1$，$y=-2$代入解析式可得：
$\displaystyle -2=\frac{k}{1}$
解得：$k=-2$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法
【点评】
本题是基础考查题，核心考察函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，计算量极小，掌握对应基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 点$A(1,y_1)$，$B(3,y_2)$是反比例函数$y=\frac{9}{x}$图象上的两点，则$y_1$，$y_2$的大小关系是(
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能确定
A
).A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能确定
答案
3.A
解析
【分析】
解题有两种思路：思路1：反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可直接将两点的横坐标代入解析式求出对应的y值，再比较大小；思路2：先判断反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系，结合增减性判断y值的大小。本题中反比例函数k=9＞0，且两点横坐标均为正，位于第一象限，两种方法都可快速得出结果。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将点$A(1,y_1)$代入$y=\frac{9}{x}$，得$y_1=\frac{9}{1}=9$；
将点$B(3,y_2)$代入$y=\frac{9}{x}$，得$y_2=\frac{9}{3}=3$；
∵$9＞3$，
∴$y_1＞y_2$。
方法二（性质判断法）：
对于反比例函数$y=\frac{9}{x}$，$k=9＞0$，
∴在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵点$A$、$B$的横坐标1、3均为正数，两点都在第一象限，且$1＜3$，
∴$y_1＞y_2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速判断，掌握反比例函数中k的符号与函数增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路：思路1：反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可直接将两点的横坐标代入解析式求出对应的y值，再比较大小；思路2：先判断反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系，结合增减性判断y值的大小。本题中反比例函数k=9＞0，且两点横坐标均为正，位于第一象限，两种方法都可快速得出结果。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将点$A(1,y_1)$代入$y=\frac{9}{x}$，得$y_1=\frac{9}{1}=9$；
将点$B(3,y_2)$代入$y=\frac{9}{x}$，得$y_2=\frac{9}{3}=3$；
∵$9＞3$，
∴$y_1＞y_2$。
方法二（性质判断法）：
对于反比例函数$y=\frac{9}{x}$，$k=9＞0$，
∴在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵点$A$、$B$的横坐标1、3均为正数，两点都在第一象限，且$1＜3$，
∴$y_1＞y_2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用函数增减性快速判断，掌握反比例函数中k的符号与函数增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
4.一个直角三角形的两直角边长分别为$x,y$，其面积为2，则$y$与$x$之间的关系用图象表示大致为(
C
). 答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先结合直角三角形的面积公式推导y与x的函数关系，再根据x的实际意义确定自变量的取值范围，最后结合函数类型和取值范围匹配对应的图像：
1. 先回忆直角三角形面积公式，利用面积为2的已知条件，列出关于x、y的等式；
2. 整理等式得到y与x的函数解析式，判断函数类型；
3. 明确x是直角三角形的边长，因此x只能取正数，由此确定图像所在的象限；
4. 逐一比对选项，选出符合要求的图像。
【解析】
已知直角三角形两直角边长为x、y，面积为2，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=2$
整理得：$xy=4$，即$y=\frac{4}{x}$。
由于x是直角三角形的边长，因此$x＞0$，对应的$y=\frac{4}{x}$的图像是位于第一象限的反比例函数分支，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的解析式，反比例函数的图像，自变量取值范围
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先根据等量关系求出函数解析式，尤其要注意实际问题中自变量的隐含限制条件，避免因忽略边长为正的要求误选包含第三象限分支的选项B。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合直角三角形的面积公式推导y与x的函数关系，再根据x的实际意义确定自变量的取值范围，最后结合函数类型和取值范围匹配对应的图像：
1. 先回忆直角三角形面积公式，利用面积为2的已知条件，列出关于x、y的等式；
2. 整理等式得到y与x的函数解析式，判断函数类型；
3. 明确x是直角三角形的边长，因此x只能取正数，由此确定图像所在的象限；
4. 逐一比对选项，选出符合要求的图像。
【解析】
已知直角三角形两直角边长为x、y，面积为2，根据直角三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}xy=2$
整理得：$xy=4$，即$y=\frac{4}{x}$。
由于x是直角三角形的边长，因此$x＞0$，对应的$y=\frac{4}{x}$的图像是位于第一象限的反比例函数分支，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的解析式，反比例函数的图像，自变量取值范围
【点评】
本题结合几何面积问题考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先根据等量关系求出函数解析式，尤其要注意实际问题中自变量的隐含限制条件，避免因忽略边长为正的要求误选包含第三象限分支的选项B。
【难度系数】
0.7
5. 反比例函数$y=\frac{1-6t}{x}$的图象与直线$y=-x+2$有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（
A.$t＜\frac{1}{6}$
B.$t＞\frac{1}{6}$
C.$t≤\frac{1}{6}$
D.$t≥\frac{1}{6}$
B
）.A.$t＜\frac{1}{6}$
B.$t＞\frac{1}{6}$
C.$t≤\frac{1}{6}$
D.$t≥\frac{1}{6}$
答案
5.B
解析
【分析】
要确定t的取值范围，可按以下思路推导：
1. 函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先联立两个函数的解析式，消去y后得到关于x的一元二次方程，两个交点的横坐标就是该方程的两个实根。
2. 结合题目的两个条件：①图象有两个交点，说明一元二次方程有两个不相等的实根，即判别式Δ＞0；②两交点横坐标的积为负数，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积小于0。
3. 把上述条件转化为关于t的不等式求解即可，需注意当两根异号时，判别式必然为正，可简化计算。
【解析】
联立反比例函数与一次函数的解析式：
将$y=-x+2$代入$y=\frac{1-6t}{x}$，得：
$-x+2=\frac{1-6t}{x}$
由反比例函数的定义可知$x≠0$，两边同乘$x$整理得：
$x^2-2x+(1-6t)=0$
设两个交点的横坐标分别为$x_1$、$x_2$，根据题意两交点横坐标的积为负数，即$x_1x_2＜0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，$x_1x_2=1-6t$，因此列不等式：
$1-6t＜0$
解得$t＞\frac{1}{6}$。
此时验证判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×(1-6t)=24t$，当$t＞\frac{1}{6}$时，$\Delta=24t＞0$，满足方程有两个不相等实根，即两个函数有两个交点的条件。
因此t的取值范围是$t＞\frac{1}{6}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
函数交点问题，根与系数的关系，根的判别式
【点评】
本题考查函数图象交点与一元二次方程根的对应关系，解题的关键是掌握联立函数解析式转化为方程的方法，结合根的性质列不等式求解，其中两根异号时判别式自然为正，可减少不必要的计算。
【难度系数】
0.7
要确定t的取值范围，可按以下思路推导：
1. 函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先联立两个函数的解析式，消去y后得到关于x的一元二次方程，两个交点的横坐标就是该方程的两个实根。
2. 结合题目的两个条件：①图象有两个交点，说明一元二次方程有两个不相等的实根，即判别式Δ＞0；②两交点横坐标的积为负数，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积小于0。
3. 把上述条件转化为关于t的不等式求解即可，需注意当两根异号时，判别式必然为正，可简化计算。
【解析】
联立反比例函数与一次函数的解析式：
将$y=-x+2$代入$y=\frac{1-6t}{x}$，得：
$-x+2=\frac{1-6t}{x}$
由反比例函数的定义可知$x≠0$，两边同乘$x$整理得：
$x^2-2x+(1-6t)=0$
设两个交点的横坐标分别为$x_1$、$x_2$，根据题意两交点横坐标的积为负数，即$x_1x_2＜0$。
根据一元二次方程根与系数的关系，$x_1x_2=1-6t$，因此列不等式：
$1-6t＜0$
解得$t＞\frac{1}{6}$。
此时验证判别式：$\Delta=(-2)^2-4×1×(1-6t)=24t$，当$t＞\frac{1}{6}$时，$\Delta=24t＞0$，满足方程有两个不相等实根，即两个函数有两个交点的条件。
因此t的取值范围是$t＞\frac{1}{6}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
函数交点问题，根与系数的关系，根的判别式
【点评】
本题考查函数图象交点与一元二次方程根的对应关系，解题的关键是掌握联立函数解析式转化为方程的方法，结合根的性质列不等式求解，其中两根异号时判别式自然为正，可减少不必要的计算。
【难度系数】
0.7
6. 小王想存钱购买一套5000元的户外活动装备，他目前已有存款1000元，后期每个月计划存入相同金额，则他存够买设备的钱所需月数$y$与每个月存款额$x$元之间的函数关系式是(
A.$y=\dfrac{4000}{x}$
B.$y=\dfrac{5000}{x}$
C.$y=\dfrac{6000}{x}$
D.$y=1000x - 5000$
A
).A.$y=\dfrac{4000}{x}$
B.$y=\dfrac{5000}{x}$
C.$y=\dfrac{6000}{x}$
D.$y=1000x - 5000$
答案
6.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确小王还需要存多少钱才能凑够装备费用，再根据“每月存款额×存款月数=还需存款总额”的等量关系，整理变形就能得到月数y和每月存款额x的函数关系式。
【解析】
第一步：计算还需存款的总额，已知装备总价5000元，小王已有存款1000元，因此还需要存的金额为：$5000-1000=4000$元。
第二步：找等量关系列等式，每月存款额为x元，存够4000元需要y个月，因此满足：$x· y=4000$。
第三步：将等式变形为用x表示y的形式，得到：$y=\dfrac{4000}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活存钱场景考查函数关系式的列法，解题关键是先求出待攒的总金额，找准数量间的等量关系，变形后即可得到正确结果，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确小王还需要存多少钱才能凑够装备费用，再根据“每月存款额×存款月数=还需存款总额”的等量关系，整理变形就能得到月数y和每月存款额x的函数关系式。
【解析】
第一步：计算还需存款的总额，已知装备总价5000元，小王已有存款1000元，因此还需要存的金额为：$5000-1000=4000$元。
第二步：找等量关系列等式，每月存款额为x元，存够4000元需要y个月，因此满足：$x· y=4000$。
第三步：将等式变形为用x表示y的形式，得到：$y=\dfrac{4000}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活存钱场景考查函数关系式的列法，解题关键是先求出待攒的总金额，找准数量间的等量关系，变形后即可得到正确结果，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
7. 关于反比例函数 $y=\frac{3}{x}$，下列结论正确的是（
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D.图象经过点 $(a,3a)$，则 $a=1$
C
）。A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D.图象经过点 $(a,3a)$，则 $a=1$
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本性质，解题思路如下：首先确定反比例函数中比例系数k的取值为3＞0，再结合反比例函数的图象位置、增减性、与坐标轴的交点特征，以及点在函数图象上的坐标满足函数解析式的规律，逐一判断四个选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，其中比例系数$k=3＞0$：
1. 判断选项A：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、三象限，而非第二、四象限，故A错误；
2. 判断选项B：反比例函数中$x≠0$，$y≠0$，因此图象与x轴、y轴均无交点，故B错误；
3. 判断选项C：当$k＞0$时，反比例函数在图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，该选项表述符合性质，故C正确；
4. 判断选项D：若点$(a,3a)$在函数图象上，将坐标代入解析式得$3a=\frac{3}{a}$，整理得$a^2=1$，解得$a=\pm1$，并非只有$a=1$，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，重点需要注意反比例函数增减性的适用前提是“在每一个象限内”，同时代入点坐标求解参数时要注意解的完整性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的基本性质，解题思路如下：首先确定反比例函数中比例系数k的取值为3＞0，再结合反比例函数的图象位置、增减性、与坐标轴的交点特征，以及点在函数图象上的坐标满足函数解析式的规律，逐一判断四个选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，其中比例系数$k=3＞0$：
1. 判断选项A：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、三象限，而非第二、四象限，故A错误；
2. 判断选项B：反比例函数中$x≠0$，$y≠0$，因此图象与x轴、y轴均无交点，故B错误；
3. 判断选项C：当$k＞0$时，反比例函数在图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，该选项表述符合性质，故C正确；
4. 判断选项D：若点$(a,3a)$在函数图象上，将坐标代入解析式得$3a=\frac{3}{a}$，整理得$a^2=1$，解得$a=\pm1$，并非只有$a=1$，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，重点需要注意反比例函数增减性的适用前提是“在每一个象限内”，同时代入点坐标求解参数时要注意解的完整性，避免漏解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的图象交于点$P(a,b)$,则代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为(
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
C
).A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
8.C [解析]
∵函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的图象交于点$P(a,b)$,
∴$b=\frac{4}{a},b=a-1$,即$ab=4,b-a=-1$.
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=-\frac{1}{4}$.故选C.
归纳总结 本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的表达式,将点的坐标代入表达式并利用整体思想求代数式的值即可.
∵函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$与$y=x-1$的图象交于点$P(a,b)$,
∴$b=\frac{4}{a},b=a-1$,即$ab=4,b-a=-1$.
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=-\frac{1}{4}$.故选C.
归纳总结 本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的表达式,将点的坐标代入表达式并利用整体思想求代数式的值即可.
解析
【分析】
首先，函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此把点P(a,b)分别代入两个函数表达式，就能得到ab和b-a的取值；其次对所求的代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$进行通分化简，会发现化简后的式子可以直接用得到的ab和b-a整体代入计算，不需要求出a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
∵点$P(a,b)$是$y=\frac{4}{x}(x＞0)$和$y=x-1$的图象交点，
∴将$P(a,b)$代入两个函数解析式可得：
$b=\frac{4}{a}$，即$ab=4$；
$b=a-1$，移项得$b-a=-1$。
对$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分化简：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$。
将$ab=4$、$b-a=-1$代入上式：
$\frac{b-a}{ab}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数交点坐标特征，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用交点坐标同时满足两个函数解析式的性质，得到相关代数式的取值，结合分式化简和整体代入思想求解，避免了求解一元二次方程的复杂步骤，体现了整体思想在代数求值中的便捷性。
【难度系数】
0.7
首先，函数图象交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此把点P(a,b)分别代入两个函数表达式，就能得到ab和b-a的取值；其次对所求的代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$进行通分化简，会发现化简后的式子可以直接用得到的ab和b-a整体代入计算，不需要求出a、b的具体数值，能简化计算过程。
【解析】
∵点$P(a,b)$是$y=\frac{4}{x}(x＞0)$和$y=x-1$的图象交点，
∴将$P(a,b)$代入两个函数解析式可得：
$b=\frac{4}{a}$，即$ab=4$；
$b=a-1$，移项得$b-a=-1$。
对$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$通分化简：
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$。
将$ab=4$、$b-a=-1$代入上式：
$\frac{b-a}{ab}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
函数交点坐标特征，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用交点坐标同时满足两个函数解析式的性质，得到相关代数式的取值，结合分式化简和整体代入思想求解，避免了求解一元二次方程的复杂步骤，体现了整体思想在代数求值中的便捷性。
【难度系数】
0.7
9. 如图，A，B 是函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，$△ ABC$ 的面积为S，则(
A.$S=2$
B.$2＜S＜4$
C.$S=4$
D.$S＞4$
C
).A.$S=2$
B.$2＜S＜4$
C.$S=4$
D.$S＞4$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时我们可以先设出反比例函数上点A的坐标，结合反比例函数解析式可得点A横、纵坐标的乘积等于k=2；再根据A、B关于原点对称，得到点B的坐标；结合AC、BC和坐标轴的平行关系推出点C的坐标，进而求出直角三角形ABC两条直角边的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为$(-a,-b)$。
∵AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标与B相同，即$C(a,-b)$，且$∠ C=90°$。
可得直角边长度：$BC=a-(-a)=2a$，$AC=b-(-b)=2b$，
则$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × BC × AC=\frac{1}{2} × 2a × 2b=2ab$，
将$ab=2$代入得$S=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，通过设点坐标的方法能把抽象的图形问题转化为代数计算，解题的核心是熟练掌握反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于定值k，结合对称性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先设出反比例函数上点A的坐标，结合反比例函数解析式可得点A横、纵坐标的乘积等于k=2；再根据A、B关于原点对称，得到点B的坐标；结合AC、BC和坐标轴的平行关系推出点C的坐标，进而求出直角三角形ABC两条直角边的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为$(-a,-b)$。
∵AC平行于y轴，BC平行于x轴，
∴点C的横坐标与A相同，纵坐标与B相同，即$C(a,-b)$，且$∠ C=90°$。
可得直角边长度：$BC=a-(-a)=2a$，$AC=b-(-b)=2b$，
则$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2} × BC × AC=\frac{1}{2} × 2a × 2b=2ab$，
将$ab=2$代入得$S=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；关于原点对称的点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，通过设点坐标的方法能把抽象的图形问题转化为代数计算，解题的核心是熟练掌握反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于定值k，结合对称性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
