登录
10.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了
20
mL.答案
10.20
[解析]设这个反比例函数的表达式为 $p=\dfrac{k}{V}$，
∵$V=100$ 时,$p=60$，
∴$k=pV=100×60=6000,\therefore p=\dfrac{6000}{V}.$
当 $p=75$ 时,$V=\dfrac{6000}{75}=80$，
当 $p=100$ 时,$V=\dfrac{6000}{100}=60$，
∴$80-60=20(\mathrm{mL}),\therefore$ 气体体积压缩了 20 mL.
[解析]设这个反比例函数的表达式为 $p=\dfrac{k}{V}$，
∵$V=100$ 时,$p=60$，
∴$k=pV=100×60=6000,\therefore p=\dfrac{6000}{V}.$
当 $p=75$ 时,$V=\dfrac{6000}{75}=80$，
当 $p=100$ 时,$V=\dfrac{6000}{100}=60$，
∴$80-60=20(\mathrm{mL}),\therefore$ 气体体积压缩了 20 mL.
解析
【分析】
首先根据题目明确压强p和气体体积V成反比例关系，可设反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{V}(k≠0)$；接着从图象中读取已知的对应值：当$V=100\mathrm{mL}$时$p=60\mathrm{kPa}$，代入解析式求出常数k，得到完整的函数关系；最后分别将$p=75\mathrm{kPa}$、$p=100\mathrm{kPa}$代入解析式，求出对应的体积值，二者的差就是体积压缩的量。
【解析】
设p关于V的反比例函数表达式为 $p=\dfrac{k}{V}(k≠ 0)$，
由图象可知，当$V=100\mathrm{mL}$时，$p=60\mathrm{kPa}$，代入得：
$k=pV=100×60=6000$，因此函数解析式为$p=\dfrac{6000}{V}$。
当 $p=75\mathrm{kPa}$ 时，代入得$V=\dfrac{6000}{75}=80\mathrm{mL}$，
当 $p=100\mathrm{kPa}$ 时，代入得$V=\dfrac{6000}{100}=60\mathrm{mL}$，
因此气体体积压缩了$80-60=20\mathrm{mL}$。
【答案】
20
【知识点】
1.反比例函数的实际应用
2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是利用图象给出的对应值确定函数解析式，再代入已知量求解对应未知量，难度较低，侧重考察对反比例函数基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.75
首先根据题目明确压强p和气体体积V成反比例关系，可设反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{V}(k≠0)$；接着从图象中读取已知的对应值：当$V=100\mathrm{mL}$时$p=60\mathrm{kPa}$，代入解析式求出常数k，得到完整的函数关系；最后分别将$p=75\mathrm{kPa}$、$p=100\mathrm{kPa}$代入解析式，求出对应的体积值，二者的差就是体积压缩的量。
【解析】
设p关于V的反比例函数表达式为 $p=\dfrac{k}{V}(k≠ 0)$，
由图象可知，当$V=100\mathrm{mL}$时，$p=60\mathrm{kPa}$，代入得：
$k=pV=100×60=6000$，因此函数解析式为$p=\dfrac{6000}{V}$。
当 $p=75\mathrm{kPa}$ 时，代入得$V=\dfrac{6000}{75}=80\mathrm{mL}$，
当 $p=100\mathrm{kPa}$ 时，代入得$V=\dfrac{6000}{100}=60\mathrm{mL}$，
因此气体体积压缩了$80-60=20\mathrm{mL}$。
【答案】
20
【知识点】
1.反比例函数的实际应用
2.待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是利用图象给出的对应值确定函数解析式，再代入已知量求解对应未知量，难度较低，侧重考察对反比例函数基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.75
三、解答题
11.如图，某养鸡场一面利用长为11 m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为60 m²，设与墙垂直的边长为x m，与墙平行的边长为y m.
(1)直接写出y与x的函数表达式为
(2)现有两种方案：x=5或x=6，试选择合理的设计方案，并求此时栅栏总长.
11.如图，某养鸡场一面利用长为11 m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为60 m²，设与墙垂直的边长为x m，与墙平行的边长为y m.
(1)直接写出y与x的函数表达式为
$y=\dfrac{60}{x}$
；(2)现有两种方案：x=5或x=6，试选择合理的设计方案，并求此时栅栏总长.
答案
11.(1)$y=\dfrac{60}{x}$
[解析]依题意,得 $xy=60$，
∴$y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{60}{x}.$
(2)当 $x=5$ 时,$y=\dfrac{60}{5}=12$.
∵$12＞11,\therefore$ 不符合题意,舍去；
当 $x=6$ 时,$y=\dfrac{60}{6}=10$.
∵$10＜11,\therefore$ 符合题意.
此时 $2x+y=2×6+10=22$.
故应选择 $x=6$ 的设计方案,此时栅栏总长为 22 m.
[解析]依题意,得 $xy=60$，
∴$y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{60}{x}.$
(2)当 $x=5$ 时,$y=\dfrac{60}{5}=12$.
∵$12＞11,\therefore$ 不符合题意,舍去；
当 $x=6$ 时,$y=\dfrac{60}{6}=10$.
∵$10＜11,\therefore$ 符合题意.
此时 $2x+y=2×6+10=22$.
故应选择 $x=6$ 的设计方案,此时栅栏总长为 22 m.
解析
【分析】
(1) 根据矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知矩形面积为60㎡，垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m，可得等式xy=60，将等式变形即可得到y与x的函数表达式。
(2) 本题的隐含限制条件是平行于墙的边长y不能超过墙的长度11m，因此分别将两个x的取值代入函数表达式求出对应的y值，判断y是否≤11，舍去不符合要求的方案；再根据栅栏总长为2个垂直墙的边长加1个平行墙的边长，代入合理方案的x、y值计算总长即可。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=60$，
变形得$y$与$x$的函数表达式为：$y=\dfrac{60}{x}$。
(2) 当$x=5$时，代入$y=\dfrac{60}{x}$得：$y=\dfrac{60}{5}=12$，
$\because12＞11$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去；
当$x=6$时，代入$y=\dfrac{60}{x}$得：$y=\dfrac{60}{6}=10$，
$\because10＜11$，符合墙长限制，方案合理；
此时栅栏总长为：$2x+y=2×6+10=22\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{60}{x}$
(2)选择$x=6$的设计方案，此时栅栏总长为22 m
【知识点】
反比例函数应用，矩形面积计算，实际问题取值验证
【点评】
本题结合生活中的围栏建设场景考查反比例函数的基础应用，解题的关键是注意实际问题中的隐含限制条件，避免忽略墙长要求直接计算导致出错。
【难度系数】
0.7
(1) 根据矩形面积等于相邻两边长的乘积，已知矩形面积为60㎡，垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为y m，可得等式xy=60，将等式变形即可得到y与x的函数表达式。
(2) 本题的隐含限制条件是平行于墙的边长y不能超过墙的长度11m，因此分别将两个x的取值代入函数表达式求出对应的y值，判断y是否≤11，舍去不符合要求的方案；再根据栅栏总长为2个垂直墙的边长加1个平行墙的边长，代入合理方案的x、y值计算总长即可。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=60$，
变形得$y$与$x$的函数表达式为：$y=\dfrac{60}{x}$。
(2) 当$x=5$时，代入$y=\dfrac{60}{x}$得：$y=\dfrac{60}{5}=12$，
$\because12＞11$，超过墙的最大长度，不符合实际，舍去；
当$x=6$时，代入$y=\dfrac{60}{x}$得：$y=\dfrac{60}{6}=10$，
$\because10＜11$，符合墙长限制，方案合理；
此时栅栏总长为：$2x+y=2×6+10=22\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{60}{x}$
(2)选择$x=6$的设计方案，此时栅栏总长为22 m
【知识点】
反比例函数应用，矩形面积计算，实际问题取值验证
【点评】
本题结合生活中的围栏建设场景考查反比例函数的基础应用，解题的关键是注意实际问题中的隐含限制条件，避免忽略墙长要求直接计算导致出错。
【难度系数】
0.7
12.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道.木板对地面的压强$p$(Pa)是木板面积$S$(m²)的反比例函数，其图象如图所示.
(1)请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围.
(2)当木板面积为0.2 m²时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，那么木板的面积至少要多大？
(1)请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围.
(2)当木板面积为0.2 m²时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，那么木板的面积至少要多大？
答案
12.(1)$p=\dfrac{600}{S}(S＞0).$
(2)当 $S=0.2$ 时,$p=\dfrac{600}{0.2}=3\ 000$，
故当木板面积为 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时,压强是 3 000 Pa.
(3)由题意知,$\dfrac{600}{S}≤6\ 000$，
∴$S≥0.1$,即木板面积至少要有 $0.1\ \mathrm{m}^2$.
(2)当 $S=0.2$ 时,$p=\dfrac{600}{0.2}=3\ 000$，
故当木板面积为 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时,压强是 3 000 Pa.
(3)由题意知,$\dfrac{600}{S}≤6\ 000$，
∴$S≥0.1$,即木板面积至少要有 $0.1\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用类题目，解题思路如下：
(1) 题目明确压强$p$是木板面积$S$的反比例函数，先设反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{S}(k≠0)$，再将图象上已知点$A(1.5,400)$代入解析式求出常数$k$，即可得到函数表达式；结合实际意义，木板面积为正数，因此自变量$S$的取值范围是$S＞0$。
(2) 求指定面积对应的压强时，只需将$S=0.2$代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到压强值。
(3) 要求压强不超过6000Pa，即$p≤6000$，将函数解析式代入不等式，结合$S＞0$解不等式，即可得到木板面积的最小值。
【解析】
(1) 设$p$与$S$的函数表达式为$p=\frac{k}{S}(k≠0)$，
将点$A(1.5,400)$代入得：$400=\frac{k}{1.5}$，
解得$k=1.5×400=600$，
因此函数表达式为$p=\frac{600}{S}$，自变量取值范围为$S＞0$。
(2) 当$S=0.2\ \mathrm{m}^2$时，代入$p=\frac{600}{S}$得：
$p=\frac{600}{0.2}=3000\ (\mathrm{Pa})$。
(3) 由题意得$p≤6000$，代入解析式得$\frac{600}{S}≤6000$，
因为$S＞0$，两边同时乘$S$不等号方向不变，得$600≤6000S$，
解得$S≥0.1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$p=\dfrac{600}{S}(S＞0)$
(2)当木板面积为 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时，压强是 3 000 Pa
(3)木板面积至少要有 $0.1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法、解不等式
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的相关知识，需要熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时能结合实际要求列不等式求解，注重考查数学知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用类题目，解题思路如下：
(1) 题目明确压强$p$是木板面积$S$的反比例函数，先设反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{S}(k≠0)$，再将图象上已知点$A(1.5,400)$代入解析式求出常数$k$，即可得到函数表达式；结合实际意义，木板面积为正数，因此自变量$S$的取值范围是$S＞0$。
(2) 求指定面积对应的压强时，只需将$S=0.2$代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到压强值。
(3) 要求压强不超过6000Pa，即$p≤6000$，将函数解析式代入不等式，结合$S＞0$解不等式，即可得到木板面积的最小值。
【解析】
(1) 设$p$与$S$的函数表达式为$p=\frac{k}{S}(k≠0)$，
将点$A(1.5,400)$代入得：$400=\frac{k}{1.5}$，
解得$k=1.5×400=600$，
因此函数表达式为$p=\frac{600}{S}$，自变量取值范围为$S＞0$。
(2) 当$S=0.2\ \mathrm{m}^2$时，代入$p=\frac{600}{S}$得：
$p=\frac{600}{0.2}=3000\ (\mathrm{Pa})$。
(3) 由题意得$p≤6000$，代入解析式得$\frac{600}{S}≤6000$，
因为$S＞0$，两边同时乘$S$不等号方向不变，得$600≤6000S$，
解得$S≥0.1\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$p=\dfrac{600}{S}(S＞0)$
(2)当木板面积为 $0.2\ \mathrm{m}^2$ 时，压强是 3 000 Pa
(3)木板面积至少要有 $0.1\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法、解不等式
【点评】
本题结合生活实际场景考查反比例函数的相关知识，需要熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时能结合实际要求列不等式求解，注重考查数学知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
13.实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25 kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)成正比例；1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例.根据图中提供的信息，解答下列问题；
(1)写出一般情况下，成人喝0.25 kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围.
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20:00在家喝完0.25 kg低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？请说明理由.
(1)写出一般情况下，成人喝0.25 kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围.
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20:00在家喝完0.25 kg低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？请说明理由.
答案
13.(1)由题意,得当 $0≤ x＜1.5$ 时,设函数关系式为 $y=kx$，
则 $150=1.5k$,解得 $k=100$.
故 $y=100x(0≤ x＜1.5).$
当 $x≥1.5$ 时,设函数关系式为 $y=\dfrac{a}{x}$，
则 $a=150×1.5=225$,解得 $a=225$.
故 $y=\dfrac{225}{x}(x≥1.5)$，
综上所述,$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为
$y=\begin{cases}100x(0≤ x＜1.5),\\\dfrac{225}{x}(x≥1.5).\end{cases}$
(2)第二天早上 7:00 不能驾车去上班.理由如下：
∵晚上 8:00 到第二天早上 7:00 有 11 个小时，
∴$x=11$ 时,$y=\dfrac{225}{11}＞20$.
故第二天早上 7:00 不能驾车去上班.
则 $150=1.5k$,解得 $k=100$.
故 $y=100x(0≤ x＜1.5).$
当 $x≥1.5$ 时,设函数关系式为 $y=\dfrac{a}{x}$，
则 $a=150×1.5=225$,解得 $a=225$.
故 $y=\dfrac{225}{x}(x≥1.5)$，
综上所述,$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为
$y=\begin{cases}100x(0≤ x＜1.5),\\\dfrac{225}{x}(x≥1.5).\end{cases}$
(2)第二天早上 7:00 不能驾车去上班.理由如下：
∵晚上 8:00 到第二天早上 7:00 有 11 个小时，
∴$x=11$ 时,$y=\dfrac{225}{11}＞20$.
故第二天早上 7:00 不能驾车去上班.
解析
【分析】
(1)本题为分段函数求解问题，根据题意y与x的函数关系分为两段：①当$0≤x＜1.5$时，y与x成正比例关系，我们可以设正比例函数解析式为$y=kx$，结合图像已知的点$(1.5,150)$，代入即可求出k的值，得到该段函数式；②当$x≥1.5$时，y与x成反比例关系，设反比例函数解析式为$y=\frac{a}{x}$，同样代入点$(1.5,150)$求出a的值，得到该段函数式，最后综合两段写出完整的分段函数即可。
(2)要判断第二天早上7:00能否驾车，首先计算晚上20:00到第二天早上7:00的间隔时长得到x的值，判断x所属的区间，代入对应函数式求出y的值，再和酒驾判定标准20毫克/百毫升比较，若$y≥20$则不能驾车，反之则可以。
【解析】
(1)分情况求解：
①当$0≤x＜1.5$时，设函数关系式为$y=kx(k≠0)$，
将$(1.5,150)$代入得$150=1.5k$，解得$k=100$，
即该段函数为$y=100x(0≤x＜1.5)$。
②当$x≥1.5$时，设函数关系式为$y=\frac{a}{x}(a≠0)$，
将$(1.5,150)$代入得$150=\frac{a}{1.5}$，解得$a=150×1.5=225$，
即该段函数为$y=\frac{225}{x}(x≥1.5)$。
综上，y与x的函数关系式为
$y=\begin{cases}100x&(0≤x＜1.5)\\\dfrac{225}{x}&(x≥1.5)\end{cases}$
(2)第二天早上7:00不能驾车去上班，理由如下：
晚上20:00到第二天早上7:00的间隔时长为$24-20+7=11$小时，即$x=11$。
因为$11＞1.5$，将$x=11$代入$y=\frac{225}{x}$得$y=\frac{225}{11}$，
由于$\frac{225}{11}＞20$，此时血液酒精含量高于酒驾判定标准，因此不能驾车去上班。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}100x&(0≤x＜1.5)\\\dfrac{225}{x}&(x≥1.5)\end{cases}$
(2)第二天早上7:00不能驾车去上班。
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合酒驾判定的生活场景，考查分段函数的解析式求解与实际应用，解题时需注意不同自变量区间对应不同的函数式，代入求值时要选择对应区间的解析式，同时需要结合时间计算常识求出间隔时长，是贴近生活的基础函数应用题。
【难度系数】
0.7
(1)本题为分段函数求解问题，根据题意y与x的函数关系分为两段：①当$0≤x＜1.5$时，y与x成正比例关系，我们可以设正比例函数解析式为$y=kx$，结合图像已知的点$(1.5,150)$，代入即可求出k的值，得到该段函数式；②当$x≥1.5$时，y与x成反比例关系，设反比例函数解析式为$y=\frac{a}{x}$，同样代入点$(1.5,150)$求出a的值，得到该段函数式，最后综合两段写出完整的分段函数即可。
(2)要判断第二天早上7:00能否驾车，首先计算晚上20:00到第二天早上7:00的间隔时长得到x的值，判断x所属的区间，代入对应函数式求出y的值，再和酒驾判定标准20毫克/百毫升比较，若$y≥20$则不能驾车，反之则可以。
【解析】
(1)分情况求解：
①当$0≤x＜1.5$时，设函数关系式为$y=kx(k≠0)$，
将$(1.5,150)$代入得$150=1.5k$，解得$k=100$，
即该段函数为$y=100x(0≤x＜1.5)$。
②当$x≥1.5$时，设函数关系式为$y=\frac{a}{x}(a≠0)$，
将$(1.5,150)$代入得$150=\frac{a}{1.5}$，解得$a=150×1.5=225$，
即该段函数为$y=\frac{225}{x}(x≥1.5)$。
综上，y与x的函数关系式为
$y=\begin{cases}100x&(0≤x＜1.5)\\\dfrac{225}{x}&(x≥1.5)\end{cases}$
(2)第二天早上7:00不能驾车去上班，理由如下：
晚上20:00到第二天早上7:00的间隔时长为$24-20+7=11$小时，即$x=11$。
因为$11＞1.5$，将$x=11$代入$y=\frac{225}{x}$得$y=\frac{225}{11}$，
由于$\frac{225}{11}＞20$，此时血液酒精含量高于酒驾判定标准，因此不能驾车去上班。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}100x&(0≤x＜1.5)\\\dfrac{225}{x}&(x≥1.5)\end{cases}$
(2)第二天早上7:00不能驾车去上班。
【知识点】
正比例函数应用，反比例函数应用，分段函数求解
【点评】
本题结合酒驾判定的生活场景，考查分段函数的解析式求解与实际应用，解题时需注意不同自变量区间对应不同的函数式，代入求值时要选择对应区间的解析式，同时需要结合时间计算常识求出间隔时长，是贴近生活的基础函数应用题。
【难度系数】
0.7
