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24. (12分)如图,在平行四边形ABCD中,$AB=4\sqrt{2}$,$AD=7$,$∠ ABC =45°$,点E,F分别为边AD,BC上的动点(不与顶点重合),且$AE =CF$,连结EF,将四边形CFED沿着EF折叠得到四边形$C'FED'$。
(1)连结BD交EF于点O,连结$BD'$。
①求证:$OB=OD$。
②若$OF=BD'$,求DE的长。
(2)若点$C'$落在平行四边形ABCD的边上,请直接写出$CC'$的长。
(1)连结BD交EF于点O,连结$BD'$。
①求证:$OB=OD$。
②若$OF=BD'$,求DE的长。
(2)若点$C'$落在平行四边形ABCD的边上,请直接写出$CC'$的长。
答案
24.(1)①在$□ ABCD$中,$AD// BC$,$AD=BC$。因为$AE=CF$,所以$AD-AE=BC-CF$,即$DE=BF$。因为$AD// BC$所以$∠ EDO=∠ FBO$,$∠ DEO=∠ BFO$。所以$△ DEO≌△ BFO$。所以$OB=OD$。②如图1
,过点D作$DH⊥ BC$交BC的延长线于点H。因为$AB// CD$,所以$∠ DCH=∠ ABC=45°$。所以$CH=DH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2}=4$。在$\mathrm{Rt}△ BDH$中,$BD=\sqrt{4^2+(4+7)^2}=\sqrt{137}$。连结$DD'$交EF于点G。由折叠可知$DG=D'G$,$DD'⊥ EF$,又因为$BO=DO$,所以$OG$是$△ DBD'$的中位线。所以$OG=\dfrac{1}{2}BD'=\dfrac{1}{2}OF=\dfrac{1}{2}OE$。所以$DG$是$OE$的垂直平分线。所以$DE=DO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\sqrt{137}$。(2)如图2
,当点$C'$在BC边上时,过点D作$DH⊥ BC$交BC的延长线于点H,连结BD交EF于点O。由(1)得$OB=OD$,$BH=7+4=11$。由折叠得$∠ EFC=∠ EFC'=90°$,所以$EF// DH$。所以$BF=FH=\dfrac{11}{2}$。所以$C'F=CF=7-\dfrac{11}{2}=\dfrac{3}{2}$。所以$CC'=3$。如图3
,当点$C'$在AB边上时,连结AC交EF于点O,设$CC'$交EF于点M。同(1)理得$AO=OC$。由折叠得$CM=C'M$,$EF⊥ CC'$,所以$OM$是$△ ACC'$的中位线,$OM// AC'$。所以$CC'⊥ BC'$,即$∠ BC'C=90°$。因为$∠ ABC=45°$,所以$CC'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}BC=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$。如图4
,当点$C'$与点A重合时,过点A作$AN⊥ BC$于点N。因为$∠ ABC=45°$,所以$AN=BN=4$。所以$CN=3$。所以$CC'=\sqrt{AN^2+CN^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。综上所述,$CC'$的长为3或$\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$或5。解析
【分析】
1. 对于(1)①，要证OB=OD，先利用平行四边形ABCD中AD//BC且AD=BC，结合AE=CF推导出DE=BF；再由AD//BC得内错角相等，用ASA证明△DEO≌△BFO，从而得到OB=OD。
2. 对于(1)②，先构造直角三角形求BD长度：过D作DH⊥BC延长线，由∠ABC=45°得DH=CH=4，BH=11，用勾股定理算出BD=√137；再根据折叠性质，EF垂直平分DD'，结合(1)①的OB=OD，推出OG是△DBD'的中位线，结合OF=BD'的条件，推导出DE=DO=1/2 BD，得到DE的长。
3. 对于(2)，分三种情况讨论点C'的位置：在BC边、AB边、与A重合，分别利用平行、中位线、勾股定理计算CC'的长度。
【解析】
(1)① 在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC。
∵ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即DE=BF。
∵ AD//BC，
∴ ∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO。
在△DEO和△BFO中，
$\{\begin{array}{l}∠EDO=∠FBO \\DE=BF \\∠DEO=∠BFO\end{array} $
∴ △DEO≌△BFO（ASA），
∴ OB=OD。
② 过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H。
∵ AB//CD，
∴ ∠DCH=∠ABC=45°，
∴ CH=DH。
在Rt△DCH中，CD=AB=4√2，
∴ DH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2}=4$。
∵ BC=AD=7，
∴ BH=BC + CH=7 + 4=11。
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{DH^2 + BH^2}=\sqrt{4^2 + 11^2}=\sqrt{137}$。
连结DD'交EF于点G，由折叠得DG=D'G，DD'⊥EF。
∵ OB=OD，
∴ OG是△DBD'的中位线，
∴ OG=$\frac{1}{2}BD'$。
∵ OF=BD'，
∴ OG=$\frac{1}{2}OF$，即DG是OE的垂直平分线，
∴ DE=DO。
∵ DO=$\frac{1}{2}BD$，
∴ DE=$\frac{1}{2}\sqrt{137}$。
(2) 分三种情况：
① 当点C'在BC边上时，过D作DH⊥BC延长线于H，由(1)得OB=OD，EF//DH，故BF=FH=$\frac{11}{2}$，CF=7 - $\frac{11}{2}$=$\frac{3}{2}$，由折叠得C'F=CF=$\frac{3}{2}$，
∴ CC'=2CF=3。
② 当点C'在AB边上时，连结AC交EF于O，同(1)得AO=OC，由折叠得EF⊥CC'，OM是△ACC'的中位线，故CC'⊥BC'，∠BC'C=90°，
∵ ∠ABC=45°，
∴ CC'=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。
③ 当点C'与点A重合时，过A作AN⊥BC于N，∠ABC=45°，AN=BN=4，CN=3，
∴ CC'=$\sqrt{AN^2 + CN^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
综上，CC'的长为3或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或5。
【答案】
DE的长为$\frac{\sqrt{137}}{2}$；$CC'$的长为3或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或5。
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与折叠的综合题，涉及全等三角形、中位线、勾股定理等知识点，需分情况讨论点的位置，对几何分析能力要求较高，属于中等偏难题。
【难度系数】
0.5
1. 对于(1)①，要证OB=OD，先利用平行四边形ABCD中AD//BC且AD=BC，结合AE=CF推导出DE=BF；再由AD//BC得内错角相等，用ASA证明△DEO≌△BFO，从而得到OB=OD。
2. 对于(1)②，先构造直角三角形求BD长度：过D作DH⊥BC延长线，由∠ABC=45°得DH=CH=4，BH=11，用勾股定理算出BD=√137；再根据折叠性质，EF垂直平分DD'，结合(1)①的OB=OD，推出OG是△DBD'的中位线，结合OF=BD'的条件，推导出DE=DO=1/2 BD，得到DE的长。
3. 对于(2)，分三种情况讨论点C'的位置：在BC边、AB边、与A重合，分别利用平行、中位线、勾股定理计算CC'的长度。
【解析】
(1)① 在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC。
∵ AE=CF，
∴ AD - AE = BC - CF，即DE=BF。
∵ AD//BC，
∴ ∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠BFO。
在△DEO和△BFO中，
$\{\begin{array}{l}∠EDO=∠FBO \\DE=BF \\∠DEO=∠BFO\end{array} $
∴ △DEO≌△BFO（ASA），
∴ OB=OD。
② 过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H。
∵ AB//CD，
∴ ∠DCH=∠ABC=45°，
∴ CH=DH。
在Rt△DCH中，CD=AB=4√2，
∴ DH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}×4\sqrt{2}=4$。
∵ BC=AD=7，
∴ BH=BC + CH=7 + 4=11。
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{DH^2 + BH^2}=\sqrt{4^2 + 11^2}=\sqrt{137}$。
连结DD'交EF于点G，由折叠得DG=D'G，DD'⊥EF。
∵ OB=OD，
∴ OG是△DBD'的中位线，
∴ OG=$\frac{1}{2}BD'$。
∵ OF=BD'，
∴ OG=$\frac{1}{2}OF$，即DG是OE的垂直平分线，
∴ DE=DO。
∵ DO=$\frac{1}{2}BD$，
∴ DE=$\frac{1}{2}\sqrt{137}$。
(2) 分三种情况：
① 当点C'在BC边上时，过D作DH⊥BC延长线于H，由(1)得OB=OD，EF//DH，故BF=FH=$\frac{11}{2}$，CF=7 - $\frac{11}{2}$=$\frac{3}{2}$，由折叠得C'F=CF=$\frac{3}{2}$，
∴ CC'=2CF=3。
② 当点C'在AB边上时，连结AC交EF于O，同(1)得AO=OC，由折叠得EF⊥CC'，OM是△ACC'的中位线，故CC'⊥BC'，∠BC'C=90°，
∵ ∠ABC=45°，
∴ CC'=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{7\sqrt{2}}{2}$。
③ 当点C'与点A重合时，过A作AN⊥BC于N，∠ABC=45°，AN=BN=4，CN=3，
∴ CC'=$\sqrt{AN^2 + CN^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
综上，CC'的长为3或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或5。
【答案】
DE的长为$\frac{\sqrt{137}}{2}$；$CC'$的长为3或$\frac{7\sqrt{2}}{2}$或5。
【知识点】
平行四边形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与折叠的综合题，涉及全等三角形、中位线、勾股定理等知识点，需分情况讨论点的位置，对几何分析能力要求较高，属于中等偏难题。
【难度系数】
0.5
