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1. [2026 合肥模拟] 如图,在$△ ABC$中,CD平分$∠ ACB$,CD交边AB于点E,在边AE上取点F,连接DF,使$∠ 1=∠ D$.
(1)求证:$DF// BC$.
(2)当$∠ A=40°,∠ DFE=36°$时,求$∠ 2$的度数.
(1)求证:$DF// BC$.
(2)当$∠ A=40°,∠ DFE=36°$时,求$∠ 2$的度数.
答案
(1)【证明】
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠1.
又
∵∠1=∠D,
∴∠DCB=∠D.
∴DF//BC.
(2)【解】
∵DF//BC,∠DFE=36°,
∴∠B=∠DFE=36°.
∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=36°,
∴∠ACB=180°−40°−36°=104°.
∴∠1=∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=52°.
∴∠2=180°−40°−52°=88°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠DCB=∠1.
又
∵∠1=∠D,
∴∠DCB=∠D.
∴DF//BC.
(2)【解】
∵DF//BC,∠DFE=36°,
∴∠B=∠DFE=36°.
∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=36°,
∴∠ACB=180°−40°−36°=104°.
∴∠1=∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=52°.
∴∠2=180°−40°−52°=88°.
解析
【分析】
(1) 要证明DF//BC，可通过证明内错角相等推导，结合已知CD平分∠ACB可得到∠1=∠DCB，再结合∠1=∠D的条件，即可推出∠DCB=∠D，这两个角是DF和BC被CD所截形成的内错角，满足平行线判定条件。
(2) 要求∠2的度数，观察∠2位于△AEC中，已知∠A=40°，只需求出∠1的度数即可用三角形内角和计算。首先利用第一问得到的DF//BC，可得∠B=∠DFE，再在△ABC中用内角和定理求出∠ACB的度数，结合角平分线的定义得到∠1的度数，最后在△AEC中计算∠2即可。
【解析】
(1) 证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1。
又
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵DF//BC，∠DFE=36°，
∴∠B=∠DFE=36°（两直线平行，同位角相等）。
∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°，三角形内角和为180°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−40°−36°=104°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×104°=52°。
在△AEC中，∠2=180°−∠A−∠1=180°−40°−52°=88°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{88°}$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的几何倒角基础题，解题的关键是理清角与角之间的等量关系，结合平行线、角平分线、三角形内角和的相关性质逐步推导，能帮助学生熟练掌握基础几何倒角的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明DF//BC，可通过证明内错角相等推导，结合已知CD平分∠ACB可得到∠1=∠DCB，再结合∠1=∠D的条件，即可推出∠DCB=∠D，这两个角是DF和BC被CD所截形成的内错角，满足平行线判定条件。
(2) 要求∠2的度数，观察∠2位于△AEC中，已知∠A=40°，只需求出∠1的度数即可用三角形内角和计算。首先利用第一问得到的DF//BC，可得∠B=∠DFE，再在△ABC中用内角和定理求出∠ACB的度数，结合角平分线的定义得到∠1的度数，最后在△AEC中计算∠2即可。
【解析】
(1) 证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1。
又
∵∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵DF//BC，∠DFE=36°，
∴∠B=∠DFE=36°（两直线平行，同位角相等）。
∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°，三角形内角和为180°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−40°−36°=104°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×104°=52°。
在△AEC中，∠2=180°−∠A−∠1=180°−40°−52°=88°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{88°}$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的几何倒角基础题，解题的关键是理清角与角之间的等量关系，结合平行线、角平分线、三角形内角和的相关性质逐步推导，能帮助学生熟练掌握基础几何倒角的方法。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ CEF$中,$∠E=80°,∠F=50°,AB// CF$,$AD// CE$,连接$BC$,$CD$,则$∠A$的度数是 (
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$80°$
B
)A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$80°$
答案
B
解析
【分析】
要求∠A的度数，首先观察已知条件：有两组平行线和△CEF的两个内角，首先可利用三角形内角和定理先算出△CEF中∠ECF的度数；再考虑通过平行线的性质建立∠A和∠ECF的联系，我们可以连接AC作为辅助线，根据“两直线平行，内错角相等”，将∠A拆分为两个角的和，这两个角分别和∠ACF、∠ACE相等，求和后即可得到∠A和∠ECF相等，进而求出∠A的度数。
【解析】
1. 计算△CEF中∠ECF的度数：
根据三角形内角和为180°，在△CEF中：
$∠ ECF = 180° - ∠ E - ∠ F = 180° - 80° - 50° = 50°$
2. 连接AC，推导角度关系：
$\because AB// CF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ BAC = ∠ ACF$
$\because AD// CE$，同理可得$∠ DAC = ∠ ACE$
3. 计算∠A的度数：
$∠ A = ∠ BAC + ∠ DAC = ∠ ACF + ∠ ACE = ∠ ECF = 50°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质、角的和差计算
【点评】
本题是基础的几何倒角类题目，解题的核心是通过辅助线构造内错角，结合平行线性质将未知角与已知三角形内角建立关联，解题思路较为常规，熟练掌握平行线性质和三角形内角和即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求∠A的度数，首先观察已知条件：有两组平行线和△CEF的两个内角，首先可利用三角形内角和定理先算出△CEF中∠ECF的度数；再考虑通过平行线的性质建立∠A和∠ECF的联系，我们可以连接AC作为辅助线，根据“两直线平行，内错角相等”，将∠A拆分为两个角的和，这两个角分别和∠ACF、∠ACE相等，求和后即可得到∠A和∠ECF相等，进而求出∠A的度数。
【解析】
1. 计算△CEF中∠ECF的度数：
根据三角形内角和为180°，在△CEF中：
$∠ ECF = 180° - ∠ E - ∠ F = 180° - 80° - 50° = 50°$
2. 连接AC，推导角度关系：
$\because AB// CF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ BAC = ∠ ACF$
$\because AD// CE$，同理可得$∠ DAC = ∠ ACE$
3. 计算∠A的度数：
$∠ A = ∠ BAC + ∠ DAC = ∠ ACF + ∠ ACE = ∠ ECF = 50°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质、角的和差计算
【点评】
本题是基础的几何倒角类题目，解题的核心是通过辅助线构造内错角，结合平行线性质将未知角与已知三角形内角建立关联，解题思路较为常规，熟练掌握平行线性质和三角形内角和即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. 【探究】如图①，求证：$∠ BOC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$.
【应用】(1)如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，$∠ A = 28°$，$∠ D = 12°$，$∠ ABC = 64°$，$∠ BCD = 46°$，求椅面和椅背的夹角$∠ AED$的度数；
(2)如图③，$∠ ABC = 100°$，$∠ DEF = 130°$，求$∠ A + ∠ C + ∠ D + ∠ F$的度数.
模型3 “A”字型
【模型展示】
【应用】(1)如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，$∠ A = 28°$，$∠ D = 12°$，$∠ ABC = 64°$，$∠ BCD = 46°$，求椅面和椅背的夹角$∠ AED$的度数；
(2)如图③，$∠ ABC = 100°$，$∠ DEF = 130°$，求$∠ A + ∠ C + ∠ D + ∠ F$的度数.
模型3 “A”字型
【模型展示】
答案
【探究】【证明】连接AO并延长至M，如图①所示.
∵∠BOM是△ABO的外角，
∴∠BOM = ∠BAO + ∠B ①.
∵∠COM是△AOC的外角，
∴∠COM = ∠CAO + ∠C ②.
①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
【应用】【解】(1)
∵∠ABC=64°,∠BCD=46°,
∴∠2=180°−∠ABC−∠BCD=180°−64°−46°=70°,
∴∠1=∠2=70°.由【探究】可知∠AED=∠A+∠D+∠1=28°+12°+70°=110°.
(2)连接AD，如图②所示.由【探究】可知∠DEF=∠F+∠FAD+∠EDA ，∠ABC=∠BAD+∠ADC+∠C，
∴∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,
∴∠FAB+∠C+∠EDC+∠F=230°.
解析
【分析】
探究部分：要证明凹四边形（飞镖模型）的顶角等于其余三个内角的和，可利用三角形外角的性质，通过作辅助线连接AO并延长，将∠BOC拆分为两个三角形的外角，分别表示出两个外角与对应内角的关系，相加合并即可得到结论。
应用(1)：先根据平角的性质计算出∠2的度数，再利用对顶角相等得到∠1的度数，最后直接套用探究得到的飞镖模型结论，代入角度值计算∠AED即可。
应用(2)：通过连接AD构造两个飞镖模型，分别将已知的∠ABC、∠DEF与∠A、∠C、∠D、∠F相关联，将两个模型的角度关系相加，即可得到所求四个角的和。
【解析】
探究证明：
连接AO并延长至M，如图①所示。
∵∠BOM是△ABO的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠BOM = ∠BAO + ∠B ①。
∵∠COM是△AOC的外角，同理可得：
∴∠COM = ∠CAO + ∠C ②。
将①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，
即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C，得证。
应用(1)求解：
已知∠ABC=64°,∠BCD=46°，在点B所在的直线上，三个角之和为平角180°，
∴∠2=180°−∠ABC−∠BCD=180°−64°−46°=70°，
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2=70°。
由探究得到的飞镖模型结论可知：∠AED=∠A+∠D+∠1，
代入∠A=28°，∠D=12°，得∠AED=28°+12°+70°=110°。
应用(2)求解：
连接AD，如图②所示。由探究的飞镖模型结论可得：
∠DEF=∠F+∠FAD+∠EDA，∠ABC=∠BAD+∠ADC+∠C，
将两式相加得：∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC，
代入∠DEF=130°，∠ABC=100°，得：
∠FAB+∠C+∠EDC+∠F=130°+100°=230°。
【答案】
【探究】证明见解析，
【应用】(1) $\boldsymbol{110°}$；(2) $\boldsymbol{230°}$
【知识点】
三角形外角性质、对顶角相等、飞镖模型倒角
【点评】
本题从基础几何模型的证明出发，逐步过渡到模型的实际应用，核心考查三角形外角性质的运用与辅助线构造能力，能够有效锻炼学生的几何逻辑推理和模型迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
探究部分：要证明凹四边形（飞镖模型）的顶角等于其余三个内角的和，可利用三角形外角的性质，通过作辅助线连接AO并延长，将∠BOC拆分为两个三角形的外角，分别表示出两个外角与对应内角的关系，相加合并即可得到结论。
应用(1)：先根据平角的性质计算出∠2的度数，再利用对顶角相等得到∠1的度数，最后直接套用探究得到的飞镖模型结论，代入角度值计算∠AED即可。
应用(2)：通过连接AD构造两个飞镖模型，分别将已知的∠ABC、∠DEF与∠A、∠C、∠D、∠F相关联，将两个模型的角度关系相加，即可得到所求四个角的和。
【解析】
探究证明：
连接AO并延长至M，如图①所示。
∵∠BOM是△ABO的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠BOM = ∠BAO + ∠B ①。
∵∠COM是△AOC的外角，同理可得：
∴∠COM = ∠CAO + ∠C ②。
将①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，
即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C，得证。
应用(1)求解：
已知∠ABC=64°,∠BCD=46°，在点B所在的直线上，三个角之和为平角180°，
∴∠2=180°−∠ABC−∠BCD=180°−64°−46°=70°，
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2=70°。
由探究得到的飞镖模型结论可知：∠AED=∠A+∠D+∠1，
代入∠A=28°，∠D=12°，得∠AED=28°+12°+70°=110°。
应用(2)求解：
连接AD，如图②所示。由探究的飞镖模型结论可得：
∠DEF=∠F+∠FAD+∠EDA，∠ABC=∠BAD+∠ADC+∠C，
将两式相加得：∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC，
代入∠DEF=130°，∠ABC=100°，得：
∠FAB+∠C+∠EDC+∠F=130°+100°=230°。
【答案】
【探究】证明见解析，
【应用】(1) $\boldsymbol{110°}$；(2) $\boldsymbol{230°}$
【知识点】
三角形外角性质、对顶角相等、飞镖模型倒角
【点评】
本题从基础几何模型的证明出发，逐步过渡到模型的实际应用，核心考查三角形外角性质的运用与辅助线构造能力，能够有效锻炼学生的几何逻辑推理和模型迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
如图所示，
①$∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ C$；
②$∠ 3+∠ 4=180°+∠ A$。
①$∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ C$；
②$∠ 3+∠ 4=180°+∠ A$。
答案
证明：
① 在△AED中，由三角形内角和定理得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$，
即 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ B + ∠ C + ∠ A = 180°$，
即 $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A$。
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B + ∠ C$。
② 由邻补角的定义可知：
$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，$∠ 2 + ∠ 4 = 180°$，
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$。
将$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$代入上式：
$180° - ∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$，
整理得 $∠ 3 + ∠ 4 = 180° + ∠ A$。
① 在△AED中，由三角形内角和定理得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$，
即 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ B + ∠ C + ∠ A = 180°$，
即 $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A$。
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B + ∠ C$。
② 由邻补角的定义可知：
$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，$∠ 2 + ∠ 4 = 180°$，
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$。
将$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$代入上式：
$180° - ∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$，
整理得 $∠ 3 + ∠ 4 = 180° + ∠ A$。
解析
【分析】要证明题干中的两个角度等量关系，可结合三角形内角和定理与邻补角性质推导：①观察可知∠1、∠2在△AED中，∠B、∠C在△ABC中，两个三角形有公共角∠A，分别用三角形内角和表示出∠1+∠2和∠B+∠C，即可证明二者相等；②先根据邻补角定义得到∠1与∠3、∠2与∠4的和均为180°，两式相加后将①中得到的∠1+∠2的表达式代入，整理即可得出∠3+∠4与∠A的关系。
【解析】
① 在$△ AED$中，由三角形内角和定理得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$，
即 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ B + ∠ C + ∠ A = 180°$，
即 $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A$。
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B + ∠ C$。
② 由邻补角的定义可知：
$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，$∠ 2 + ∠ 4 = 180°$，
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$。
将$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$代入上式：
$180° - ∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$，
整理得 $∠ 3 + ∠ 4 = 180° + ∠ A$。
【答案】
①$\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ C}$；②$\boldsymbol{∠ 3+∠ 4=180°+∠ A}$，两个结论均成立。
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；等量代换
【点评】
本题属于三角形倒角的基础应用类题目，解题核心是找到角度所在的三角形或互补关系，结合基础性质通过等量代换推导结论，掌握这类基础倒角模型能为后续解决复杂的三角形角度计算、证明问题打下基础。
【难度系数】
0.8
【解析】
① 在$△ AED$中，由三角形内角和定理得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ A = 180°$，
即 $∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ B + ∠ C + ∠ A = 180°$，
即 $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A$。
因此 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B + ∠ C$。
② 由邻补角的定义可知：
$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，$∠ 2 + ∠ 4 = 180°$，
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$。
将$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - ∠ A$代入上式：
$180° - ∠ A + ∠ 3 + ∠ 4 = 360°$，
整理得 $∠ 3 + ∠ 4 = 180° + ∠ A$。
【答案】
①$\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=∠ B+∠ C}$；②$\boldsymbol{∠ 3+∠ 4=180°+∠ A}$，两个结论均成立。
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；等量代换
【点评】
本题属于三角形倒角的基础应用类题目，解题核心是找到角度所在的三角形或互补关系，结合基础性质通过等量代换推导结论，掌握这类基础倒角模型能为后续解决复杂的三角形角度计算、证明问题打下基础。
【难度系数】
0.8
