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1. 一次函数 $y=x+1$ 的图象不经过 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过哪个象限，可结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数$k$、$b$的关系分析，也可以通过找函数图象与坐标轴的两个交点，描点连线直观判断。首先先确定本题函数中$k$和$b$的取值，再根据$k$、$b$的符号对应图象经过的象限即可得出结论。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）：
1. 系数$k$决定直线的倾斜方向：当$k＞0$时，直线从左下向右上倾斜，必然经过第一、三象限；当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限。
本题中$y=x+1$的$k=1＞0$，因此图象经过第一、三象限。
2. 常数项$b$决定直线与$y$轴的交点位置：当$b＞0$时，直线与$y$轴交于正半轴；当$b＜0$时，直线与$y$轴交于负半轴。
本题中$b=1＞0$，因此直线与$y$轴交于正半轴$(0,1)$，结合$k$的特征，图象还会经过第二象限。
综上，$y=x+1$的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 一次函数的图象特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查一次函数图象和系数$k$、$b$的对应关系，既可以用性质直接快速推导，也可以通过描点连线的方法直观判断，是一次函数版块必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
要判断一次函数图象不经过哪个象限，可结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数$k$、$b$的关系分析，也可以通过找函数图象与坐标轴的两个交点，描点连线直观判断。首先先确定本题函数中$k$和$b$的取值，再根据$k$、$b$的符号对应图象经过的象限即可得出结论。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）：
1. 系数$k$决定直线的倾斜方向：当$k＞0$时，直线从左下向右上倾斜，必然经过第一、三象限；当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限。
本题中$y=x+1$的$k=1＞0$，因此图象经过第一、三象限。
2. 常数项$b$决定直线与$y$轴的交点位置：当$b＞0$时，直线与$y$轴交于正半轴；当$b＜0$时，直线与$y$轴交于负半轴。
本题中$b=1＞0$，因此直线与$y$轴交于正半轴$(0,1)$，结合$k$的特征，图象还会经过第二象限。
综上，$y=x+1$的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 一次函数的图象特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查一次函数图象和系数$k$、$b$的对应关系，既可以用性质直接快速推导，也可以通过描点连线的方法直观判断，是一次函数版块必须熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
2. 一次函数$y=kx+1(k≠0)$的图象可能是 （
）
）答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：$b$是直线与y轴交点的纵坐标（纵截距），能直接确定直线和y轴交点的位置；$k$决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜。本题先根据$b=1$确定直线与y轴交于正半轴，排除不符合的选项，再验证剩余选项是否符合性质即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+1$（$k≠0$）：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=1$，即函数图象与y轴交于点$(0,1)$，交点在y轴正半轴。
2. 排除错误选项：选项A、B的直线与y轴交于负半轴，不符合；选项D的直线过原点$(0,0)$，对应$b=0$，和题干$b=1$矛盾，排除。
3. 验证选项C：直线与y轴交于正半轴，且从左上向右下倾斜（对应$k＜0$），符合$k＜0$时$y=kx+1$的图象特征，正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象部分的基础题型，解题核心是牢记一次函数中$k$、$b$分别对应的图象特征，先通过$b$的取值快速排除错误选项，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：$b$是直线与y轴交点的纵坐标（纵截距），能直接确定直线和y轴交点的位置；$k$决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜。本题先根据$b=1$确定直线与y轴交于正半轴，排除不符合的选项，再验证剩余选项是否符合性质即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+1$（$k≠0$）：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=1$，即函数图象与y轴交于点$(0,1)$，交点在y轴正半轴。
2. 排除错误选项：选项A、B的直线与y轴交于负半轴，不符合；选项D的直线过原点$(0,0)$，对应$b=0$，和题干$b=1$矛盾，排除。
3. 验证选项C：直线与y轴交于正半轴，且从左上向右下倾斜（对应$k＜0$），符合$k＜0$时$y=kx+1$的图象特征，正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象部分的基础题型，解题核心是牢记一次函数中$k$、$b$分别对应的图象特征，先通过$b$的取值快速排除错误选项，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. [2026 北师大附属实验中学期中] 若式子$\sqrt{k-1}+(k-1)^0$有意义，则一次函数$y=(k-1)x+k$的图象可能是（
D
）答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据二次根式、零指数幂有意义的条件列不等式求出参数k的取值范围，再根据k的取值范围判断一次函数的斜率（x的系数）和常数项的正负，最后结合一次函数图象与系数的关系确定符合条件的图象即可。
【解析】
要使式子$\sqrt{k-1}+(k-1)^0$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$k-1≥ 0$；
2. 零指数幂的底数不为0：$k-1≠ 0$。
联立解得$k＞1$。
对于一次函数$y=(k-1)x+k$：
$\because k＞1$，$\therefore k-1＞0$，即一次函数的斜率为正，图象从左下向右上倾斜，过第一、三象限；
同时$k＞1＞0$，即一次函数与y轴的交点在y轴正半轴，因此图象还经过第二象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、三象限，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；零指数幂的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将代数式有意义的条件和一次函数图象的判定结合考查，解题的核心是先准确求解参数范围，再结合一次函数斜率、截距的正负判断图象走向，需要熟练掌握各基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次根式、零指数幂有意义的条件列不等式求出参数k的取值范围，再根据k的取值范围判断一次函数的斜率（x的系数）和常数项的正负，最后结合一次函数图象与系数的关系确定符合条件的图象即可。
【解析】
要使式子$\sqrt{k-1}+(k-1)^0$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$k-1≥ 0$；
2. 零指数幂的底数不为0：$k-1≠ 0$。
联立解得$k＞1$。
对于一次函数$y=(k-1)x+k$：
$\because k＞1$，$\therefore k-1＞0$，即一次函数的斜率为正，图象从左下向右上倾斜，过第一、三象限；
同时$k＞1＞0$，即一次函数与y轴的交点在y轴正半轴，因此图象还经过第二象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、三象限，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；零指数幂的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是基础综合题，将代数式有意义的条件和一次函数图象的判定结合考查，解题的核心是先准确求解参数范围，再结合一次函数斜率、截距的正负判断图象走向，需要熟练掌握各基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
4.已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$，函数值$y$随自变量$x$值的增大而减小，且$kb＜0$，则函数$y=kx+b$的大致图象是（
A
）答案
A 【点拨】因为在一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 中，y 随x 的增大而减小，所以 $k＜0$. 所以一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过第二、四象限. 又因为 $kb＜0$, 所以 $b＞0$. 所以图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，所以一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过第一、二、四象限. 故选 A.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步根据一次函数的增减性判断k的符号，第二步结合kb＜0的条件推导b的符号，最后根据k、b的符号对应一次函数图象经过的象限，匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 由一次函数y随x的增大而减小，可得k＜0，因此函数图象从左到右下降，必经过第二、四象限，据此可排除图象上升的选项C、D；
2. 已知kb＜0，结合k＜0，可推出b＞0，即函数图象与y轴的交点在y轴正半轴（x轴上方），据此排除交点在y轴负半轴的选项B；
3. 综上，符合条件的图象是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象性质的基础应用题，只要熟练掌握一次函数增减性和k的对应关系、图象与y轴交点位置和b的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，第一步根据一次函数的增减性判断k的符号，第二步结合kb＜0的条件推导b的符号，最后根据k、b的符号对应一次函数图象经过的象限，匹配选项即可得到答案。
【解析】
1. 由一次函数y随x的增大而减小，可得k＜0，因此函数图象从左到右下降，必经过第二、四象限，据此可排除图象上升的选项C、D；
2. 已知kb＜0，结合k＜0，可推出b＞0，即函数图象与y轴的交点在y轴正半轴（x轴上方），据此排除交点在y轴负半轴的选项B；
3. 综上，符合条件的图象是选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象性质的基础应用题，只要熟练掌握一次函数增减性和k的对应关系、图象与y轴交点位置和b的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图是关于$x$的一次函数$y=(1-k)x+k$的图象，则$k$的取值范围是（
A.$k＞0$
B.$k＜1$
C.$0＜k＜1$
D.$k＞1$
C
）A.$k＞0$
B.$k＜1$
C.$0＜k＜1$
D.$k＞1$
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数$y=mx+n$（$m≠0$）的图象性质：1. 斜率$m$决定直线升降：$m＞0$时直线从左到右上升，$m＜0$时直线从左到右下降；2. 截距$n$决定直线与$y$轴的交点位置：$n＞0$时交点在$y$轴正半轴，$n＜0$时交点在$y$轴负半轴。观察本题图象可知直线上升、与$y$轴交于正半轴，据此分别列关于$k$的不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到$k$的取值范围。
【解析】
$\because$ 一次函数$y=(1-k)x+k$的图象从左到右上升
$\therefore$ 一次项系数大于0，即 $1-k＞0$，解得 $k＜1$
又$\because$ 直线与$y$轴交于正半轴
$\therefore$ 常数项大于0，即 $k＞0$
结合两个不等式的解集，可得$k$的取值范围是$0＜k＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查一次函数系数与图象特征的对应关系，解题的关键是结合图象特征准确提取系数的符号限制，再通过解不等式得到参数范围，解题时注意不要遗漏任意一个图象对应的系数条件。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆一次函数$y=mx+n$（$m≠0$）的图象性质：1. 斜率$m$决定直线升降：$m＞0$时直线从左到右上升，$m＜0$时直线从左到右下降；2. 截距$n$决定直线与$y$轴的交点位置：$n＞0$时交点在$y$轴正半轴，$n＜0$时交点在$y$轴负半轴。观察本题图象可知直线上升、与$y$轴交于正半轴，据此分别列关于$k$的不等式，求解后取两个解集的公共部分，即可得到$k$的取值范围。
【解析】
$\because$ 一次函数$y=(1-k)x+k$的图象从左到右上升
$\therefore$ 一次项系数大于0，即 $1-k＞0$，解得 $k＜1$
又$\because$ 直线与$y$轴交于正半轴
$\therefore$ 常数项大于0，即 $k＞0$
结合两个不等式的解集，可得$k$的取值范围是$0＜k＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查一次函数系数与图象特征的对应关系，解题的关键是结合图象特征准确提取系数的符号限制，再通过解不等式得到参数范围，解题时注意不要遗漏任意一个图象对应的系数条件。
【难度系数】
0.7
6. 已知在平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b(a,b$为非零实数)的图象不经过第一象限，则一次函数$y=bx-a$的图象大致是（
C
）答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆一次函数图象与系数的关系：一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）中，$k$的符号决定图象的倾斜方向（$k＞0$图象上升，$k＜0$图象下降），$c$的符号决定图象与$y$轴的交点位置（$c＞0$交$y$轴正半轴，$c＜0$交$y$轴负半轴）。第一步先根据已知一次函数不经过第一象限的条件，推导$a$、$b$的符号；第二步再根据$a$、$b$的符号，判断目标一次函数$y=bx-a$的斜率和截距的符号，进而匹配对应的图象。
【解析】
解：
∵一次函数$y=ax+b$（$a$、$b$为非零实数）的图象不经过第一象限，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，
由此可得：$a＜0$（图象从左上向右下倾斜），$b＜0$（图象与$y$轴交于负半轴）。
对于一次函数$y=bx-a$：
① 斜率为$b$，$b＜0$，因此图象从左上向右下倾斜，排除斜率为正的A、B选项；
② 常数项为$-a$，
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，即图象与$y$轴交于正半轴，排除与$y$轴交于负半轴的D选项。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，有理数符号判断
【点评】
本题是一次函数部分的典型考题，核心考查一次函数的系数和图象特征的对应关系，解题时要注意先根据已知条件确定参数的符号，避免符号判断错误导致选错，熟练掌握$k$、$b$对图象的影响是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需回忆一次函数图象与系数的关系：一次函数$y=kx+c$（$k≠0$）中，$k$的符号决定图象的倾斜方向（$k＞0$图象上升，$k＜0$图象下降），$c$的符号决定图象与$y$轴的交点位置（$c＞0$交$y$轴正半轴，$c＜0$交$y$轴负半轴）。第一步先根据已知一次函数不经过第一象限的条件，推导$a$、$b$的符号；第二步再根据$a$、$b$的符号，判断目标一次函数$y=bx-a$的斜率和截距的符号，进而匹配对应的图象。
【解析】
解：
∵一次函数$y=ax+b$（$a$、$b$为非零实数）的图象不经过第一象限，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，
由此可得：$a＜0$（图象从左上向右下倾斜），$b＜0$（图象与$y$轴交于负半轴）。
对于一次函数$y=bx-a$：
① 斜率为$b$，$b＜0$，因此图象从左上向右下倾斜，排除斜率为正的A、B选项；
② 常数项为$-a$，
∵$a＜0$，
∴$-a＞0$，即图象与$y$轴交于正半轴，排除与$y$轴交于负半轴的D选项。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，有理数符号判断
【点评】
本题是一次函数部分的典型考题，核心考查一次函数的系数和图象特征的对应关系，解题时要注意先根据已知条件确定参数的符号，避免符号判断错误导致选错，熟练掌握$k$、$b$对图象的影响是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. ★★ 初高衔接 定义:已知两条直线的表达式为$y=k_1x+b_1,y=k_2x+b_2$,若两直线平行,则$k_1=k_2$;若两直线垂直,则$k_1 · k_2=-1$.
(1)已知两直线$l_1$和$l_2$的表达式分别为$y=mx+1$和$y=(2m-1)x+3$,若$l_1 // l_2$,则实数$m=$
(2)已知两直线$l_1$和$l_2$的表达式分别为$y=mx-2$和$y=-mx+5$,当$l_1 ⊥ l_2$时,两直线和$y$轴所围成的图形的面积为
(1)已知两直线$l_1$和$l_2$的表达式分别为$y=mx+1$和$y=(2m-1)x+3$,若$l_1 // l_2$,则实数$m=$
1
.(2)已知两直线$l_1$和$l_2$的表达式分别为$y=mx-2$和$y=-mx+5$,当$l_1 ⊥ l_2$时,两直线和$y$轴所围成的图形的面积为
$\frac{49}{4}$
.答案
(1)1
(2)$\frac{49}{4}$ 【点拨】因为 $l_1 ⊥ l_2$,所以 $m · (-m)=-1$,解得 $m=\pm1$. 当 $m=-1$ 时,两直线的表达式分别为 $y=x+5$ 和 $y=-x-2$.
由 $\begin{cases} y=x+5,\\ y=-x-2 \end{cases}$ 知点 C 的横坐标为 $-\frac{7}{2}$. 直线 $y=x+5$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,5)$,直线 $y=-x-2$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,-2)$. $\therefore S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}|x_c| · AB=\frac{1}{2} × \left| -\frac{7}{2} \right| × (5+2)=\frac{49}{4}$; 当 $m=1$ 时,两直线的表达式分别为 $y=-x+5$ 和 $y=x-2$,同理可得 $S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{49}{4}$. 综上,两直线和 y 轴所围成的图形的面积为 $\frac{49}{4}$.解析
【分析】
(1) 题目给出新规则：两直线平行时，它们的一次项系数相等。要判断$l_1// l_2$，只需让两个直线解析式的一次项系数相等，列一元一次方程求解$m$即可，本题中两直线的常数项不同，不会出现重合的情况，无需额外验证。
(2) 首先根据题目给出的两直线垂直时一次项系数乘积为-1的规则，列方程求出$m$的取值；再分别求出两条直线与y轴的交点坐标，联立两直线解析式求出两直线的交点坐标；两直线和y轴围成的图形是三角形，三角形的底为y轴上两个交点的距离，高为两直线交点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可，两种$m$的取值计算得到的面积相同，最终取该结果即可。
【解析】
(1) 根据两直线平行的规则，两直线平行时一次项系数相等，
直线$l_1:y=mx+1$的一次项系数为$m$，直线$l_2:y=(2m-1)x+3$的一次项系数为$2m-1$，
列方程得：$m=2m-1$，
解得：$m=1$，此时两直线常数项分别为1和3，不相等，不会重合，符合平行条件。
(2) 根据两直线垂直的规则，两直线垂直时一次项系数的乘积为-1，
直线$l_1:y=mx-2$的一次项系数为$m$，直线$l_2:y=-mx+5$的一次项系数为$-m$，
列方程得：$m·(-m)=-1$，
整理得：$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
①当$m=-1$时，两直线解析式分别为$y=x+5$和$y=-x-2$：
求两直线与y轴的交点：y轴上点的横坐标为0，
将$x=0$代入$y=x+5$，得$y=5$，即交点A坐标为$(0,5)$；
将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，即交点B坐标为$(0,-2)$；
则AB的长度为$|5 - (-2)|=7$，即三角形的底长为7。
联立两直线解析式求交点C的坐标：
$\begin{cases} y=x+5 \\ y=-x-2 \end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，得：$x+5=-x-2$，
移项整理得：$2x=-7$，解得$x=-\frac{7}{2}$，
交点C的横坐标的绝对值就是三角形AB边上的高，即高为$\left| -\frac{7}{2} \right|=\frac{7}{2}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S=\frac{1}{2}×7×\frac{7}{2}=\frac{49}{4}$。
②当$m=1$时，两直线解析式分别为$y=x-2$和$y=-x+5$，
同理可得，两直线与y轴交点仍为$(0,-2)$和$(0,5)$，底长为7，联立方程解得交点横坐标为$\frac{7}{2}$，高为$\frac{7}{2}$，计算得面积同样为$\frac{49}{4}$。
综上，两直线和y轴围成的图形面积为$\frac{49}{4}$。
【答案】
(1)1
(2)$\frac{49}{4}$ 【点拨】因为 $l_1 ⊥ l_2$,所以 $m · (-m)=-1$,解得 $m=\pm1$. 当 $m=-1$ 时,两直线的表达式分别为 $y=x+5$ 和 $y=-x-2$. 由 $\begin{cases} y=x+5,\\ y=-x-2 \end{cases}$ 知点 C 的横坐标为 $-\frac{7}{2}$. 直线 $y=x+5$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,5)$,直线 $y=-x-2$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,-2)$. $\therefore S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}|x_c| · AB=\frac{1}{2} × \left| -\frac{7}{2} \right| × (5+2)=\frac{49}{4}$; 当 $m=1$ 时,两直线的表达式分别为 $y=-x+5$ 和 $y=x-2$,同理可得 $S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{49}{4}$. 综上,两直线和 y 轴所围成的图形的面积为 $\frac{49}{4}$.
【知识点】
一次函数的性质，一次函数交点计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于新定义类的一次函数综合题，需要先准确理解题目给出的平行、垂直时一次项系数的关系规则，再结合一次函数与坐标轴交点求解、联立方程求函数交点的基础知识解答，既考查对新规则的迁移应用能力，也检验一次函数基础内容的掌握程度。
【难度系数】
0.6
(1) 题目给出新规则：两直线平行时，它们的一次项系数相等。要判断$l_1// l_2$，只需让两个直线解析式的一次项系数相等，列一元一次方程求解$m$即可，本题中两直线的常数项不同，不会出现重合的情况，无需额外验证。
(2) 首先根据题目给出的两直线垂直时一次项系数乘积为-1的规则，列方程求出$m$的取值；再分别求出两条直线与y轴的交点坐标，联立两直线解析式求出两直线的交点坐标；两直线和y轴围成的图形是三角形，三角形的底为y轴上两个交点的距离，高为两直线交点横坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可，两种$m$的取值计算得到的面积相同，最终取该结果即可。
【解析】
(1) 根据两直线平行的规则，两直线平行时一次项系数相等，
直线$l_1:y=mx+1$的一次项系数为$m$，直线$l_2:y=(2m-1)x+3$的一次项系数为$2m-1$，
列方程得：$m=2m-1$，
解得：$m=1$，此时两直线常数项分别为1和3，不相等，不会重合，符合平行条件。
(2) 根据两直线垂直的规则，两直线垂直时一次项系数的乘积为-1，
直线$l_1:y=mx-2$的一次项系数为$m$，直线$l_2:y=-mx+5$的一次项系数为$-m$，
列方程得：$m·(-m)=-1$，
整理得：$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
①当$m=-1$时，两直线解析式分别为$y=x+5$和$y=-x-2$：
求两直线与y轴的交点：y轴上点的横坐标为0，
将$x=0$代入$y=x+5$，得$y=5$，即交点A坐标为$(0,5)$；
将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，即交点B坐标为$(0,-2)$；
则AB的长度为$|5 - (-2)|=7$，即三角形的底长为7。
联立两直线解析式求交点C的坐标：
$\begin{cases} y=x+5 \\ y=-x-2 \end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，得：$x+5=-x-2$，
移项整理得：$2x=-7$，解得$x=-\frac{7}{2}$，
交点C的横坐标的绝对值就是三角形AB边上的高，即高为$\left| -\frac{7}{2} \right|=\frac{7}{2}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S=\frac{1}{2}×7×\frac{7}{2}=\frac{49}{4}$。
②当$m=1$时，两直线解析式分别为$y=x-2$和$y=-x+5$，
同理可得，两直线与y轴交点仍为$(0,-2)$和$(0,5)$，底长为7，联立方程解得交点横坐标为$\frac{7}{2}$，高为$\frac{7}{2}$，计算得面积同样为$\frac{49}{4}$。
综上，两直线和y轴围成的图形面积为$\frac{49}{4}$。
【答案】
(1)1
(2)$\frac{49}{4}$ 【点拨】因为 $l_1 ⊥ l_2$,所以 $m · (-m)=-1$,解得 $m=\pm1$. 当 $m=-1$ 时,两直线的表达式分别为 $y=x+5$ 和 $y=-x-2$.
由 $\begin{cases} y=x+5,\\ y=-x-2 \end{cases}$ 知点 C 的横坐标为 $-\frac{7}{2}$. 直线 $y=x+5$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,5)$,直线 $y=-x-2$ 与 y 轴的交点坐标为 $(0,-2)$. $\therefore S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}|x_c| · AB=\frac{1}{2} × \left| -\frac{7}{2} \right| × (5+2)=\frac{49}{4}$; 当 $m=1$ 时,两直线的表达式分别为 $y=-x+5$ 和 $y=x-2$,同理可得 $S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{49}{4}$. 综上,两直线和 y 轴所围成的图形的面积为 $\frac{49}{4}$.【知识点】
一次函数的性质，一次函数交点计算，三角形面积计算
【点评】
本题属于新定义类的一次函数综合题，需要先准确理解题目给出的平行、垂直时一次项系数的关系规则，再结合一次函数与坐标轴交点求解、联立方程求函数交点的基础知识解答，既考查对新规则的迁移应用能力，也检验一次函数基础内容的掌握程度。
【难度系数】
0.6
8. [2026榆林模拟] 在同一直角坐标系中，一次函数$y=kx+k$与正比例函数$y=kx$的图象可能是（
A
）答案
A 【点拨】正比例函数 $y=kx$ 与一次函数 $y=kx+k$ 的一次项系数都是 $k$,则两直线互相平行,故 D 选项错误;若正比例函数图象经过第二、四象限,此时 $k＜0$,则一次函数 $y=kx+k$ 的图象应该经过第二、三、四象限,故 A 选项正确,C 选项错误;若正比例函数图象经过第一、三象限,则 $k＞0$,此时一次函数 $y=kx+k$ 的图象应该经过第一、二、三象限,故 B 选项错误. 故选 A.
解析
【分析】
解题时先观察两个函数的系数特征：正比例函数$y=kx$和一次函数$y=kx+k$的一次项系数都是$k$，可知两条直线平行，先排除不平行的选项。再分两种情况讨论$k$的正负：①若$k＞0$，正比例函数过一、三象限，一次函数的常数项$k＞0$，因此一次函数过一、二、三象限；②若$k＜0$，正比例函数过二、四象限，一次函数的常数项$k＜0$，因此一次函数过二、三、四象限，结合选项逐一排除即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断两直线位置关系：正比例函数$y=kx$与一次函数$y=kx+k$的一次项系数均为$k$，因此两条直线互相平行，D选项中两直线相交，排除D。
2. 分情况讨论$k$的符号：
① 当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限；一次函数$y=kx+k$的一次项系数$k＞0$、常数项$k＞0$，图象应经过第一、二、三象限，B选项中一次函数与y轴交于负半轴，不符合要求，排除B。
② 当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限；一次函数$y=kx+k$的一次项系数$k＜0$、常数项$k＜0$，图象应经过第二、三、四象限，C选项中一次函数与y轴交于正半轴，不符合要求，排除C；A选项符合该情况，正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质、一次函数图象性质、一次函数参数意义
【点评】
本题是一次函数图象类的基础典型题，核心考察一次函数、正比例函数的图象与系数的对应关系，解题时先利用一次项系数相同判断两直线平行，再分类讨论参数正负即可快速求解，能有效检验对一次函数图象相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时先观察两个函数的系数特征：正比例函数$y=kx$和一次函数$y=kx+k$的一次项系数都是$k$，可知两条直线平行，先排除不平行的选项。再分两种情况讨论$k$的正负：①若$k＞0$，正比例函数过一、三象限，一次函数的常数项$k＞0$，因此一次函数过一、二、三象限；②若$k＜0$，正比例函数过二、四象限，一次函数的常数项$k＜0$，因此一次函数过二、三、四象限，结合选项逐一排除即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断两直线位置关系：正比例函数$y=kx$与一次函数$y=kx+k$的一次项系数均为$k$，因此两条直线互相平行，D选项中两直线相交，排除D。
2. 分情况讨论$k$的符号：
① 当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的图象经过第一、三象限；一次函数$y=kx+k$的一次项系数$k＞0$、常数项$k＞0$，图象应经过第一、二、三象限，B选项中一次函数与y轴交于负半轴，不符合要求，排除B。
② 当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限；一次函数$y=kx+k$的一次项系数$k＜0$、常数项$k＜0$，图象应经过第二、三、四象限，C选项中一次函数与y轴交于正半轴，不符合要求，排除C；A选项符合该情况，正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质、一次函数图象性质、一次函数参数意义
【点评】
本题是一次函数图象类的基础典型题，核心考察一次函数、正比例函数的图象与系数的对应关系，解题时先利用一次项系数相同判断两直线平行，再分类讨论参数正负即可快速求解，能有效检验对一次函数图象相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
9. 新考法假设辨析法 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$的图象可能是（
D
）答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数$y=kx+b$的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$直线上升，$k＜0$直线下降），$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$b＞0$交于正半轴，$b＜0$交于负半轴）。首先可以联立两个一次函数的解析式求出交点横坐标，先排除交点横坐标不符合的选项，再结合参数$a$的符号分析两条直线的倾斜方向、截距特征，匹配符合的选项即可。
【解析】
两个函数均为一次函数，因此$a≠0$。
1. 求两直线交点横坐标：
联立$\begin{cases}y=ax+a^2\\y=a^2x+a\end{cases}$，得$ax+a^2=a^2x+a$，整理得$(a-a^2)x=a-a^2$。
若$a=1$，两个函数解析式均为$y=x+1$，图象重合，不符合选项，因此$a≠1$，$a-a^2≠0$，两边同除以$(a-a^2)$得$x=1$，即两直线交点横坐标为1，排除交点横坐标小于1的A、B选项。
2. 分析直线的特征：
对于$y=ax+a^2$，常数项$a^2＞0$，因此该直线与$y$轴交于正半轴，斜率为$a$；
对于$y=a^2x+a$，斜率$a^2＞0$，因此该直线是上升的，常数项为$a$。
若$a＞0$，两条直线斜率均为正，均为上升直线，选项C、D均为一条上升一条下降，不符合要求，因此$a＜0$：
$a＜0$时，$y=ax+a^2$斜率为负，是下降直线，且与$y$轴交于正半轴；$y=a^2x+a$常数项$a＜0$，与$y$轴交于负半轴，且为上升直线，交点横坐标为1，仅D选项符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数交点问题
【点评】
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题时先通过联立解析式确定交点横坐标可快速排除错误选项，再结合参数正负分析直线的倾斜方向和截距位置，就能高效得到正确答案，解题过程中要注意两个函数的参数$a$是相同的这一核心条件。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆一次函数$y=kx+b$的图象性质：$k$的符号决定直线的倾斜方向（$k＞0$直线上升，$k＜0$直线下降），$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$b＞0$交于正半轴，$b＜0$交于负半轴）。首先可以联立两个一次函数的解析式求出交点横坐标，先排除交点横坐标不符合的选项，再结合参数$a$的符号分析两条直线的倾斜方向、截距特征，匹配符合的选项即可。
【解析】
两个函数均为一次函数，因此$a≠0$。
1. 求两直线交点横坐标：
联立$\begin{cases}y=ax+a^2\\y=a^2x+a\end{cases}$，得$ax+a^2=a^2x+a$，整理得$(a-a^2)x=a-a^2$。
若$a=1$，两个函数解析式均为$y=x+1$，图象重合，不符合选项，因此$a≠1$，$a-a^2≠0$，两边同除以$(a-a^2)$得$x=1$，即两直线交点横坐标为1，排除交点横坐标小于1的A、B选项。
2. 分析直线的特征：
对于$y=ax+a^2$，常数项$a^2＞0$，因此该直线与$y$轴交于正半轴，斜率为$a$；
对于$y=a^2x+a$，斜率$a^2＞0$，因此该直线是上升的，常数项为$a$。
若$a＞0$，两条直线斜率均为正，均为上升直线，选项C、D均为一条上升一条下降，不符合要求，因此$a＜0$：
$a＜0$时，$y=ax+a^2$斜率为负，是下降直线，且与$y$轴交于正半轴；$y=a^2x+a$常数项$a＜0$，与$y$轴交于负半轴，且为上升直线，交点横坐标为1，仅D选项符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数交点问题
【点评】
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题时先通过联立解析式确定交点横坐标可快速排除错误选项，再结合参数正负分析直线的倾斜方向和截距位置，就能高效得到正确答案，解题过程中要注意两个函数的参数$a$是相同的这一核心条件。
【难度系数】
0.7
10. 在平面直角坐标系中，直线$y=kx+b$经过第一、三、四象限，且与$x$轴、$y$轴的交点到原点的距离分别为3和2.
(1)直线$y=bx+k$不经过的象限是第
(2)该直线$y=bx+k$与两坐标轴围成的三角形面积为
(1)直线$y=bx+k$不经过的象限是第
三
象限；(2)该直线$y=bx+k$与两坐标轴围成的三角形面积为
$\frac{1}{9}$
.答案
(1)三
(2)$\frac{1}{9}$
(2)$\frac{1}{9}$
解析
【分析】
解题时先根据一次函数图象经过的象限确定k、b的符号，再结合直线与坐标轴交点到原点的距离求出k、b的具体值；将k、b代入y=bx+k后，先根据一次项系数和常数项的符号判断直线经过的象限，解决第(1)问，再求出该直线与两坐标轴的交点，利用三角形面积公式计算面积，解决第(2)问。
【解析】
∵直线$y=kx+b$经过第一、三、四象限，
∴$k＞0$，$b＜0$。
∵直线与x轴、y轴的交点到原点的距离分别为3和2，结合图象象限可得：直线与x轴交于$(3,0)$，与y轴交于$(0,-2)$，
∴$b=-2$，
将$(3,0)$代入$y=kx-2$得：$0=3k-2$，解得$k=\frac{2}{3}$。
(1) 将$b=-2$，$k=\frac{2}{3}$代入$y=bx+k$，得解析式为$y=-2x+\frac{2}{3}$，
∵一次项系数$-2＜0$，常数项$\frac{2}{3}＞0$，
∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
(2) 求直线$y=-2x+\frac{2}{3}$与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=\frac{2}{3}$，即与y轴交点为$(0,\frac{2}{3})$；
当$y=0$时，$-2x+\frac{2}{3}=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，即与x轴交点为$(\frac{1}{3},0)$。
∴围成的三角形面积$S=\frac{1}{2}×|\frac{1}{3}|×|\frac{2}{3}|=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$。
【答案】
(1)三
(2)$\frac{1}{9}$
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查一次函数图象性质的应用，解题关键是结合图象象限准确判断k、b的符号并求出具体值，只要掌握一次函数和系数的对应关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据一次函数图象经过的象限确定k、b的符号，再结合直线与坐标轴交点到原点的距离求出k、b的具体值；将k、b代入y=bx+k后，先根据一次项系数和常数项的符号判断直线经过的象限，解决第(1)问，再求出该直线与两坐标轴的交点，利用三角形面积公式计算面积，解决第(2)问。
【解析】
∵直线$y=kx+b$经过第一、三、四象限，
∴$k＞0$，$b＜0$。
∵直线与x轴、y轴的交点到原点的距离分别为3和2，结合图象象限可得：直线与x轴交于$(3,0)$，与y轴交于$(0,-2)$，
∴$b=-2$，
将$(3,0)$代入$y=kx-2$得：$0=3k-2$，解得$k=\frac{2}{3}$。
(1) 将$b=-2$，$k=\frac{2}{3}$代入$y=bx+k$，得解析式为$y=-2x+\frac{2}{3}$，
∵一次项系数$-2＜0$，常数项$\frac{2}{3}＞0$，
∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
(2) 求直线$y=-2x+\frac{2}{3}$与坐标轴的交点：
当$x=0$时，$y=\frac{2}{3}$，即与y轴交点为$(0,\frac{2}{3})$；
当$y=0$时，$-2x+\frac{2}{3}=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，即与x轴交点为$(\frac{1}{3},0)$。
∴围成的三角形面积$S=\frac{1}{2}×|\frac{1}{3}|×|\frac{2}{3}|=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$。
【答案】
(1)三
(2)$\frac{1}{9}$
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查一次函数图象性质的应用，解题关键是结合图象象限准确判断k、b的符号并求出具体值，只要掌握一次函数和系数的对应关系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
