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14. 直线$y=kx-2k+3$恒过一定点，则该点的坐标是
$(2,3)$
；平面直角坐标系中有三点$A(-1,0),B(2,3),C(5,0)$，若直线$y=kx-2k+3$将三角形$ABC$分成左、右面积之比为$1:2$的两部分，则$k$的值是$3$
。答案
14. $(2,3)$;$3$ 【点拨】因为 $y=kx-2k+3=k(x-2)+3$,所以直线 $y=kx-2k+3$ 必经过定点 $(2,3)$,所以该点的坐标是 $(2,3)$. 因为直线 $y=kx-2k+3$ 过点 $B(2,3)$,且将三角形 $ABC$ 分成左、右面积之比为 $1:2$ 的两部分,所以易知直线 $y=kx-2k+3$ 过点 $(1,0)$,所以 $0=k-2k+3$,解得 $k=3.$
解析
【分析】
第一问求直线恒过的定点，解题思路是将直线解析式中含参数k的项合并，由于直线过定点与k的取值无关，因此令k的系数为0，即可求出定点的横坐标，再代入解析式得到纵坐标。第二问先确定定点就是点B，直线过B点将△ABC分成左右两部分，两部分均为以B为顶点、底边在AC上的三角形，二者同高，面积比等于底边长的比，由此求出直线与AC边的交点坐标，再代入直线解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求定点坐标：
将直线解析式变形：$y = kx - 2k + 3 = k(x - 2) + 3$，
因为直线过定点与k的取值无关，所以令$x-2=0$，得$x=2$，此时$y=3$，
因此直线恒过的定点坐标为$(2,3)$。
2. 求k的值：
由题可知点B坐标为$(2,3)$，即直线恒过△ABC的顶点B。
点A(-1,0)、C(5,0)均在x轴上，AC的长度为$5 - (-1) = 6$。
直线将△ABC分成左右面积比为1:2的两部分，两部分是同高（高为点B到x轴的距离3）的两个三角形，因此它们的底边长之比等于面积比1:2，
则左边三角形的底边长为$6 × \frac{1}{1+2} = 2$，即直线与AC边的交点距离A点2个单位，交点横坐标为$-1 + 2 = 1$，纵坐标为0，即交点为$(1,0)$。
将$(1,0)$代入直线解析式$y = kx - 2k + 3$得：
$0 = k × 1 - 2k + 3$，
解得：$k = 3$。
【答案】
$(2,3)$；$3$
【知识点】
一次函数定点问题，三角形面积计算，一次函数求值
【点评】
本题将一次函数性质与三角形面积结合考查，解题的突破口是先确定直线恒过三角形的顶点B，再利用同高三角形面积与底边的比例关系确定直线与x轴的交点，整体注重对转化思想的应用，有利于提升数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.6
第一问求直线恒过的定点，解题思路是将直线解析式中含参数k的项合并，由于直线过定点与k的取值无关，因此令k的系数为0，即可求出定点的横坐标，再代入解析式得到纵坐标。第二问先确定定点就是点B，直线过B点将△ABC分成左右两部分，两部分均为以B为顶点、底边在AC上的三角形，二者同高，面积比等于底边长的比，由此求出直线与AC边的交点坐标，再代入直线解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求定点坐标：
将直线解析式变形：$y = kx - 2k + 3 = k(x - 2) + 3$，
因为直线过定点与k的取值无关，所以令$x-2=0$，得$x=2$，此时$y=3$，
因此直线恒过的定点坐标为$(2,3)$。
2. 求k的值：
由题可知点B坐标为$(2,3)$，即直线恒过△ABC的顶点B。
点A(-1,0)、C(5,0)均在x轴上，AC的长度为$5 - (-1) = 6$。
直线将△ABC分成左右面积比为1:2的两部分，两部分是同高（高为点B到x轴的距离3）的两个三角形，因此它们的底边长之比等于面积比1:2，
则左边三角形的底边长为$6 × \frac{1}{1+2} = 2$，即直线与AC边的交点距离A点2个单位，交点横坐标为$-1 + 2 = 1$，纵坐标为0，即交点为$(1,0)$。
将$(1,0)$代入直线解析式$y = kx - 2k + 3$得：
$0 = k × 1 - 2k + 3$，
解得：$k = 3$。
【答案】
$(2,3)$；$3$
【知识点】
一次函数定点问题，三角形面积计算，一次函数求值
【点评】
本题将一次函数性质与三角形面积结合考查，解题的突破口是先确定直线恒过三角形的顶点B，再利用同高三角形面积与底边的比例关系确定直线与x轴的交点，整体注重对转化思想的应用，有利于提升数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.6
15. 已知$y_1=x+a$，$y_2=-2x+4a$，对于任意$x$，$m$取$y_1$与$y_2$中较小的值，若当$2a-2≤ x≤2a$时$m$有最大值$a-1$，则$a=$
$-0.5$或$5$
。答案
15. $-0.5$ 或 $5$ 【点拨】当 $y_1＞y_2$ 时,$x+a＞-2x+4a$,解得 $x＞a$,即 $x＞a$ 时,$m=-2x+4a$. 因为 $-2＜0$,所以 $m$ 随 $x$ 的增大而减小,所以当 $x=2a-2$ 时,$m$ 取最大值,即 $-2(2a-2)+4a=a-1$,解得 $a=5$;当 $y_1＜y_2$时,$x+a＜-2x+4a$,解得 $x＜a$,即 $x＜a$ 时,$m=x+a$.因为 $1＞0$,所以 $m$ 随 $x$ 的增大而增大,所以当 $x=2a$时,$m$ 取最大值,即 $2a+a=a-1$,解得 $a=-0.5$. 当$y_1=y_2$ 时,易知不符合题意,综上可知,$a=5$ 或 $-0.5.$
解析
【分析】
解题时首先要明确m是y₁、y₂中的较小值，因此需先找到两个函数值相等的分界点，判断不同x范围下m对应的函数表达式：先令y₁=y₂解得x=a，以此为界分情况讨论m对应的函数；再结合一次函数的增减性，在给定的x取值范围[2a-2,2a]内找到m的最大值对应的x值，代入等于a-1求解a，最后检验结果是否符合对应分类的前提条件即可。
【解析】
首先令$y_1=y_2$，即$x+a=-2x+4a$，解得$x=a$。
1. 当$x＞a$时，$y_1＞y_2$，此时$m=y_2=-2x+4a$：
因为$-2＜0$，所以$m$随$x$的增大而减小，要使该区间内$m$存在最大值，需给定的x范围满足$2a-2＞a$，即$a＞2$，此时最大值在区间左端点$x=2a-2$处取得。
代入得：$-2(2a-2)+4a=a-1$，化简得$4=a-1$，解得$a=5$，符合$a＞2$的条件，成立。
2. 当$x＜a$时，$y_1＜y_2$，此时$m=y_1=x+a$：
因为$1＞0$，所以$m$随$x$的增大而增大，要使该区间内$m$存在最大值，需给定的x范围满足$2a＜a$，即$a＜0$，此时最大值在区间右端点$x=2a$处取得。
代入得：$2a+a=a-1$，化简得$2a=-1$，解得$a=-0.5$，符合$a＜0$的条件，成立。
3. 当$x=a$时，$y_1=y_2$，此时$m=2a$，令$2a=a-1$得$a=-1$，此时$x=a=-1$不在给定范围$2a-2=-4\le x\le2a=-2$内，不符合题意，舍去。
综上可得$a$的取值。
【答案】
$-0.5$或$5$
【知识点】
一次函数的增减性，分类讨论，一次函数最值
【点评】
本题是一次函数性质的综合应用，核心是先确定两个函数的大小分界点，再结合函数增减性和自变量取值范围定位最值对应的x值，求解后需注意检验结果是否符合分类的前提条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
解题时首先要明确m是y₁、y₂中的较小值，因此需先找到两个函数值相等的分界点，判断不同x范围下m对应的函数表达式：先令y₁=y₂解得x=a，以此为界分情况讨论m对应的函数；再结合一次函数的增减性，在给定的x取值范围[2a-2,2a]内找到m的最大值对应的x值，代入等于a-1求解a，最后检验结果是否符合对应分类的前提条件即可。
【解析】
首先令$y_1=y_2$，即$x+a=-2x+4a$，解得$x=a$。
1. 当$x＞a$时，$y_1＞y_2$，此时$m=y_2=-2x+4a$：
因为$-2＜0$，所以$m$随$x$的增大而减小，要使该区间内$m$存在最大值，需给定的x范围满足$2a-2＞a$，即$a＞2$，此时最大值在区间左端点$x=2a-2$处取得。
代入得：$-2(2a-2)+4a=a-1$，化简得$4=a-1$，解得$a=5$，符合$a＞2$的条件，成立。
2. 当$x＜a$时，$y_1＜y_2$，此时$m=y_1=x+a$：
因为$1＞0$，所以$m$随$x$的增大而增大，要使该区间内$m$存在最大值，需给定的x范围满足$2a＜a$，即$a＜0$，此时最大值在区间右端点$x=2a$处取得。
代入得：$2a+a=a-1$，化简得$2a=-1$，解得$a=-0.5$，符合$a＜0$的条件，成立。
3. 当$x=a$时，$y_1=y_2$，此时$m=2a$，令$2a=a-1$得$a=-1$，此时$x=a=-1$不在给定范围$2a-2=-4\le x\le2a=-2$内，不符合题意，舍去。
综上可得$a$的取值。
【答案】
$-0.5$或$5$
【知识点】
一次函数的增减性，分类讨论，一次函数最值
【点评】
本题是一次函数性质的综合应用，核心是先确定两个函数的大小分界点，再结合函数增减性和自变量取值范围定位最值对应的x值，求解后需注意检验结果是否符合分类的前提条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
16. 新考法铅锤法 如图，在平面直角坐标系中，直线AB:$y=kx+b$交$y$轴于点$A(0,3)$，交$x$轴于点$B(6,0)$，直线$x=2$交$AB$于点$D$.若点$P$的坐标为$(2,-4)$，连接$AP$，$BP$，则三角形$ABP$的面积是
$18$
.答案
16. 18 【点拨】把 $A(0,3),B(6,0)$ 的坐标分别代入 $y=kx+b$,得 $\begin{cases}b=3,①\\6k+b=0,②\end{cases}$ 将①代入②,得 $k=-\frac{1}{2}$,所以直线 $AB$ 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+3$. 因为点 $D$ 在直线$AB$ 上,且点 $D$ 的横坐标为 2,所以把 $x=2$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x+3$,得 $y=2$,所以 $D(2,2)$. 因为 $P(2,-4)$,$D(2,2)$,所以 $PD=2-(-4)=6$,所以 $S_{三角形ABP}=S_{三角形PDA}+S_{三角形PDB}=\frac{1}{2}×PD×(x_B-x_A)=\frac{1}{2}×6×6=18.$
解析
【分析】
要计算△ABP的面积，观察点P的横坐标为2，可先求出直线AB的解析式，找到直线x=2与AB的交点D；利用P、D在同一条竖直线上的特点，求出铅锤段PD的长度，再将△ABP拆分为△APD和△BPD，两个三角形同底PD，高的和为A、B两点的水平距离，代入三角形面积公式即可完成求解。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
将$A(0,3)$、$B(6,0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}b=3\\6k+b=0\end{cases}$
把$b=3$代入$6k+b=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$
2. 求交点D的坐标
点D在直线AB上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x+3$：
$y=-\frac{1}{2}×2+3=2$，即$D(2,2)$
3. 计算PD的长度
P、D横坐标相同，都在直线$x=2$上，因此PD的长度为两点纵坐标的差：
$PD=2-(-4)=6$
4. 计算△ABP的面积
△APD和△BPD共底PD，两个三角形对应PD边上的高之和等于A、B两点的水平距离$6-0=6$，因此：
$S_{△ ABP}=S_{△ APD}+S_{△ BPD}=\frac{1}{2}× PD×6=\frac{1}{2}×6×6=18$
【答案】
18
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题结合一次函数知识考查三角形面积的计算，核心是利用铅锤法（割补思想）将不规则三角形的面积转化为两个易计算的三角形面积之和，是一次函数与几何结合类题型的常用解题思路，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要计算△ABP的面积，观察点P的横坐标为2，可先求出直线AB的解析式，找到直线x=2与AB的交点D；利用P、D在同一条竖直线上的特点，求出铅锤段PD的长度，再将△ABP拆分为△APD和△BPD，两个三角形同底PD，高的和为A、B两点的水平距离，代入三角形面积公式即可完成求解。
【解析】
1. 求直线AB的解析式
将$A(0,3)$、$B(6,0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}b=3\\6k+b=0\end{cases}$
把$b=3$代入$6k+b=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$
2. 求交点D的坐标
点D在直线AB上，且横坐标为2，将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x+3$：
$y=-\frac{1}{2}×2+3=2$，即$D(2,2)$
3. 计算PD的长度
P、D横坐标相同，都在直线$x=2$上，因此PD的长度为两点纵坐标的差：
$PD=2-(-4)=6$
4. 计算△ABP的面积
△APD和△BPD共底PD，两个三角形对应PD边上的高之和等于A、B两点的水平距离$6-0=6$，因此：
$S_{△ ABP}=S_{△ APD}+S_{△ BPD}=\frac{1}{2}× PD×6=\frac{1}{2}×6×6=18$
【答案】
18
【知识点】
一次函数解析式求解；一次函数点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题结合一次函数知识考查三角形面积的计算，核心是利用铅锤法（割补思想）将不规则三角形的面积转化为两个易计算的三角形面积之和，是一次函数与几何结合类题型的常用解题思路，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
17. 如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+2$ 与x轴、y轴分别交于点A,C,P是该直线在第一象限内的部分上的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且 $S_{三角形ABC}=6$。
(1)求点B,P的坐标；
(2)过点B作直线BQ//AP，交y轴于点Q，求点Q的坐标。
(1)求点B,P的坐标；
(2)过点B作直线BQ//AP，交y轴于点Q，求点Q的坐标。
答案
17. 【解】(1)当 $y=0$ 时,$\frac{1}{2}x+2=0$,解得 $x=-4$;
当 $x=0$ 时,$y=2$,所以 $A(-4,0),C(0,2).$
由题意设点 $P$ 的坐标为 $(a,\frac{1}{2}a+2)(a＞0).$
因为 $PB⊥x$ 轴,所以 $B(a,0)$. 所以 $AB=a+4.$
因为 $S_{三角形ABC}=6$,所以 $\frac{1}{2}×(a+4)×2=6$,
解得 $a=2$. 所以 $B(2,0),P(2,3).$
(2)因为 $BQ// AP$,
所以设直线 $BQ$ 对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+b.$
因为 $B(2,0)$,所以 $0=\frac{1}{2}×2+b$,解得 $b=-1.$
所以直线 $BQ$ 对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x-1.$
令 $x=0$,则 $y=-1$,所以点 $Q$ 的坐标为 $(0,-1).$
解析
【分析】
(1) 先求解直线与x轴、y轴的交点A、C的坐标：令直线解析式中y=0可得A点横坐标，令x=0可得C点纵坐标。$△ ABC$的底边AB在x轴上，高为C点的纵坐标长度，结合已知的三角形面积可求出AB的长度，再结合A点坐标得到B点横坐标；由于PB垂直x轴，P点横坐标和B相同，代入直线解析式即可求出P点纵坐标。
(2) 两直线平行时，一次函数解析式的k值相等，因此可设直线BQ的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b$，代入B点坐标求出b的值，再令解析式中x=0，即可得到y轴交点Q的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$：
当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
当$x=0$时，$y=2$，故$C(0,2)$。
设点P的坐标为$(a,\frac{1}{2}a+2)(a＞0)$，因$PB⊥x$轴，B为垂足，故$B(a,0)$。
$AB=a - (-4)=a+4$，$△ ABC$的高为OC的长度即2，由$S_{△ ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}×(a+4)×2=6$，解得$a=2$。
将$x=2$代入直线解析式得$y=\frac{1}{2}×2 +2=3$，故$B(2,0)$，$P(2,3)$。
(2) 因$BQ// AP$，直线AP的k值为$\frac{1}{2}$，设直线BQ的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b$。
将$B(2,0)$代入解析式：$0=\frac{1}{2}×2 + b$，解得$b=-1$，故直线BQ的解析式为$y=\frac{1}{2}x -1$。
Q是直线BQ与y轴交点，令$x=0$，得$y=-1$，故$Q(0,-1)$。
【答案】
(1) $B(2,0)$，$P(2,3)$；
(2) $Q(0,-1)$。
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数面积计算，平行直线解析式特征
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数与坐标轴交点求解、结合几何面积条件计算点坐标、平行直线的解析式性质，解题时结合坐标系几何特征可简化计算，熟练掌握一次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 先求解直线与x轴、y轴的交点A、C的坐标：令直线解析式中y=0可得A点横坐标，令x=0可得C点纵坐标。$△ ABC$的底边AB在x轴上，高为C点的纵坐标长度，结合已知的三角形面积可求出AB的长度，再结合A点坐标得到B点横坐标；由于PB垂直x轴，P点横坐标和B相同，代入直线解析式即可求出P点纵坐标。
(2) 两直线平行时，一次函数解析式的k值相等，因此可设直线BQ的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b$，代入B点坐标求出b的值，再令解析式中x=0，即可得到y轴交点Q的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$：
当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，故$A(-4,0)$；
当$x=0$时，$y=2$，故$C(0,2)$。
设点P的坐标为$(a,\frac{1}{2}a+2)(a＞0)$，因$PB⊥x$轴，B为垂足，故$B(a,0)$。
$AB=a - (-4)=a+4$，$△ ABC$的高为OC的长度即2，由$S_{△ ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}×(a+4)×2=6$，解得$a=2$。
将$x=2$代入直线解析式得$y=\frac{1}{2}×2 +2=3$，故$B(2,0)$，$P(2,3)$。
(2) 因$BQ// AP$，直线AP的k值为$\frac{1}{2}$，设直线BQ的解析式为$y=\frac{1}{2}x + b$。
将$B(2,0)$代入解析式：$0=\frac{1}{2}×2 + b$，解得$b=-1$，故直线BQ的解析式为$y=\frac{1}{2}x -1$。
Q是直线BQ与y轴交点，令$x=0$，得$y=-1$，故$Q(0,-1)$。
【答案】
(1) $B(2,0)$，$P(2,3)$；
(2) $Q(0,-1)$。
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数面积计算，平行直线解析式特征
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数与坐标轴交点求解、结合几何面积条件计算点坐标、平行直线的解析式性质，解题时结合坐标系几何特征可简化计算，熟练掌握一次函数基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
18. 新题型新定义题 在平面直角坐标系中,若点$P$的坐标为$(x,y)$,则定义:$d(x,y)=|x|+|y|$为点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”.
(1)已知$P(-2,3)$,则点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”$d(-2,3)=$
(2)若点$P(x,y)$满足$2x+y=0$,且点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”$d(x,y)=6$,求出点$P$的坐标;
(3)若点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”$d(x,y)=3$,试在坐标系内(
)画出所有满足条件的点$P$构成的图形,并求出该图形所围成封闭区域的面积.
(1)已知$P(-2,3)$,则点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”$d(-2,3)=$
$5$
;(2)若点$P(x,y)$满足$2x+y=0$,且点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”$d(x,y)=6$,求出点$P$的坐标;
(3)若点$P$到坐标原点$O$的“折线距离”$d(x,y)=3$,试在坐标系内(
)画出所有满足条件的点$P$构成的图形,并求出该图形所围成封闭区域的面积.答案
18. 【解】(1)5
(2)根据题意,得 $|x|+|y|=6$. 因为 $2x+y=0$,
所以 $y=-2x$,所以 $|x|+|-2x|=6.$
所以 $3|x|=6$,解得 $x=2$ 或 $x=-2.$
当 $x=2$ 时,$y=-2x=-4$;
当 $x=-2$ 时,$y=-2x=4$,
所以点 $P$ 的坐标为 $(2,-4)$ 或 $(-2,4).$
(3)如图,所有满足条件的点 $P$ 构成的图形为正方形 $ABCD$,该图形所围成封闭区域的面积为 $2×\frac{1}{2}×6×3=18.$
解析
【分析】
（1）第一问直接考查对新定义的理解，只需将点的横、纵坐标代入“折线距离”公式$d(x,y)=|x|+|y|$计算即可。
（2）第二问需结合已知条件和新定义列方程：先根据“折线距离”为6得到$|x|+|y|=6$，再结合$2x+y=0$将$y$用含$x$的式子代换，转化为绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，需分别计算对应的点坐标。
（3）第三问首先根据$d(x,y)=3$得到$|x|+|y|=3$，分四种情况去掉绝对值符号得到四个一次函数，画出对应线段得到封闭图形为正方形，再利用三角形面积公式计算封闭区域面积即可。
【解析】
（1）根据“折线距离”的定义，将$x=-2,y=3$代入得：
$d(-2,3)=|-2|+|3|=2+3=5$
（2）由题意可知点$P$的“折线距离”$d(x,y)=|x|+|y|=6$，
又因为$2x+y=0$，所以$y=-2x$，
将$y=-2x$代入$|x|+|y|=6$得：$|x|+|-2x|=6$，
化简得$3|x|=6$，即$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$。
当$x=2$时，$y=-2×2=-4$；
当$x=-2$时，$y=-2×(-2)=4$。
所以点$P$的坐标为$(2,-4)$或$(-2,4)$。
（3）由$d(x,y)=3$得$|x|+|y|=3$，分情况去绝对值：
①当$x≥0,y≥0$时，$x+y=3$；②当$x≥0,y≤0$时，$x-y=3$；
③当$x≤0,y≥0$时，$-x+y=3$；④当$x≤0,y≤0$时，$-x-y=3$。
画出四个函数的图象，得到封闭图形为正方形$ABCD$，其与坐标轴的交点为$(3,0),(0,3),(-3,0),(0,-3)$。
计算面积：该正方形可看作上下两个底为6、高为3的三角形组成，
面积$S=2×\frac{1}{2}×6×3=18$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{5}$；
(2)点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,-4)}$或$\boldsymbol{(-2,4)}$；
(3)所有满足条件的点$P$构成的图形如图：，该封闭区域的面积为$\boldsymbol{18}$。
【知识点】
新定义运算，绝对值方程求解，一次函数图象应用
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合绝对值化简、一次函数图象和几何面积计算进行考查，解题时需注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）第一问直接考查对新定义的理解，只需将点的横、纵坐标代入“折线距离”公式$d(x,y)=|x|+|y|$计算即可。
（2）第二问需结合已知条件和新定义列方程：先根据“折线距离”为6得到$|x|+|y|=6$，再结合$2x+y=0$将$y$用含$x$的式子代换，转化为绝对值方程求解，注意绝对值方程有两个解，需分别计算对应的点坐标。
（3）第三问首先根据$d(x,y)=3$得到$|x|+|y|=3$，分四种情况去掉绝对值符号得到四个一次函数，画出对应线段得到封闭图形为正方形，再利用三角形面积公式计算封闭区域面积即可。
【解析】
（1）根据“折线距离”的定义，将$x=-2,y=3$代入得：
$d(-2,3)=|-2|+|3|=2+3=5$
（2）由题意可知点$P$的“折线距离”$d(x,y)=|x|+|y|=6$，
又因为$2x+y=0$，所以$y=-2x$，
将$y=-2x$代入$|x|+|y|=6$得：$|x|+|-2x|=6$，
化简得$3|x|=6$，即$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$。
当$x=2$时，$y=-2×2=-4$；
当$x=-2$时，$y=-2×(-2)=4$。
所以点$P$的坐标为$(2,-4)$或$(-2,4)$。
（3）由$d(x,y)=3$得$|x|+|y|=3$，分情况去绝对值：
①当$x≥0,y≥0$时，$x+y=3$；②当$x≥0,y≤0$时，$x-y=3$；
③当$x≤0,y≥0$时，$-x+y=3$；④当$x≤0,y≤0$时，$-x-y=3$。
画出四个函数的图象，得到封闭图形为正方形$ABCD$，其与坐标轴的交点为$(3,0),(0,3),(-3,0),(0,-3)$。
计算面积：该正方形可看作上下两个底为6、高为3的三角形组成，
面积$S=2×\frac{1}{2}×6×3=18$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{5}$；
(2)点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,-4)}$或$\boldsymbol{(-2,4)}$；
(3)所有满足条件的点$P$构成的图形如图：
，该封闭区域的面积为$\boldsymbol{18}$。【知识点】
新定义运算，绝对值方程求解，一次函数图象应用
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合绝对值化简、一次函数图象和几何面积计算进行考查，解题时需注意分类讨论思想的应用，避免漏解。
【难度系数】
0.65
