登录
10.[2026·池州期中]将点$P(2m-3,m-2)$向下平移2个单位长度得到点$P'$，且点$P'$在$x$轴上，那么点$P$的坐标是
(5,2)
。答案
10.(5,2)
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆点在坐标系中上下平移的坐标变化规律：上下平移时，横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则，即向下平移n个单位，纵坐标减n；第二步，明确x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0；第三步，先根据平移规律写出平移后点$P'$的坐标，再结合$P'$在x轴上的条件列方程求出m的值，最后将m代入点P的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
1. 求平移后点$P'$的坐标：
点$P(2m-3,m-2)$向下平移2个单位长度，横坐标不变，纵坐标减2，因此$P'$的坐标为$(2m-3, m-2 - 2)$，即$(2m-3, m-4)$。
2. 根据$P'$在x轴上列方程求m：
因为x轴上的点纵坐标为0，所以$m-4=0$，解得$m=4$。
3. 求点P的坐标：
将$m=4$代入$P(2m-3,m-2)$，得横坐标：$2×4 -3=5$，纵坐标：$4-2=2$，因此点P的坐标为$(5,2)$。
【答案】
(5,2)
【知识点】
点的平移坐标规律、x轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点平移的坐标变化规则与坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握这两个基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，回忆点在坐标系中上下平移的坐标变化规律：上下平移时，横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则，即向下平移n个单位，纵坐标减n；第二步，明确x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0；第三步，先根据平移规律写出平移后点$P'$的坐标，再结合$P'$在x轴上的条件列方程求出m的值，最后将m代入点P的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
1. 求平移后点$P'$的坐标：
点$P(2m-3,m-2)$向下平移2个单位长度，横坐标不变，纵坐标减2，因此$P'$的坐标为$(2m-3, m-2 - 2)$，即$(2m-3, m-4)$。
2. 根据$P'$在x轴上列方程求m：
因为x轴上的点纵坐标为0，所以$m-4=0$，解得$m=4$。
3. 求点P的坐标：
将$m=4$代入$P(2m-3,m-2)$，得横坐标：$2×4 -3=5$，纵坐标：$4-2=2$，因此点P的坐标为$(5,2)$。
【答案】
(5,2)
【知识点】
点的平移坐标规律、x轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点平移的坐标变化规则与坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握这两个基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.在平面直角坐标系中，将点$M(a,-2a)$先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到点$N$.当点$N$在第三象限时，$a$的取值范围为
$-\dfrac{1}{2}＜a＜2$
.答案
11.$-\dfrac{1}{2}＜a＜2$
解析
【分析】
解题时首先根据平面直角坐标系中点的平移规律（横坐标左减右加，纵坐标上加下减），求出平移后点N的坐标；再结合第三象限内点的横、纵坐标均小于0的特征，列出关于a的一元一次不等式组，最后求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
根据点的平移规则，点$M(a,-2a)$先向左平移2个单位长度，横坐标变为$a-2$，再向下平移1个单位长度，纵坐标变为$-2a -1$，因此点$N$的坐标为$(a-2, -2a -1)$。
$\because$ 点$N$在第三象限，第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0，
$\therefore$ 可列不等式组：
$\begin{cases}a - 2 ＜ 0 \quad ① \\-2a - 1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$a ＜ 2$；
解不等式②：移项得$-2a ＜ 1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a ＞ -\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$ 不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ 2$，即$a$的取值范围是$-\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ 2$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}＜a＜2$
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 象限点坐标特征
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础综合题，核心是掌握点平移的坐标变化规律和各象限点的坐标特征，解题时需要注意解含负系数的不等式时，不等号方向要发生改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据平面直角坐标系中点的平移规律（横坐标左减右加，纵坐标上加下减），求出平移后点N的坐标；再结合第三象限内点的横、纵坐标均小于0的特征，列出关于a的一元一次不等式组，最后求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
根据点的平移规则，点$M(a,-2a)$先向左平移2个单位长度，横坐标变为$a-2$，再向下平移1个单位长度，纵坐标变为$-2a -1$，因此点$N$的坐标为$(a-2, -2a -1)$。
$\because$ 点$N$在第三象限，第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0，
$\therefore$ 可列不等式组：
$\begin{cases}a - 2 ＜ 0 \quad ① \\-2a - 1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$a ＜ 2$；
解不等式②：移项得$-2a ＜ 1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$a ＞ -\dfrac{1}{2}$。
$\therefore$ 不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ 2$，即$a$的取值范围是$-\dfrac{1}{2} ＜ a ＜ 2$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}＜a＜2$
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 象限点坐标特征
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础综合题，核心是掌握点平移的坐标变化规律和各象限点的坐标特征，解题时需要注意解含负系数的不等式时，不等号方向要发生改变，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
12.[2026·合肥瑶海区期末改编]如图，已知点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，若将线段AB平移至$A_1B_1$处，点$A_1$，$B_1$的坐标分别为$(2,a)$，$(b,3)$，则$a+b$的值为
2
。答案
12.2
解析
【分析】
要解决这道题，需利用线段平移的核心性质：线段平移时，其上所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。我们先通过已知对应点的坐标求出平移的横、纵坐标变化量，再依据该变化量求出a和b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
首先计算横坐标的平移变化量：
点A原坐标为(1,0)，平移后A₁的横坐标为2，因此横坐标变化量为$2-1=1$，说明线段向右平移了1个单位长度。
再计算纵坐标的平移变化量：
点B原坐标为(0,2)，平移后B₁的纵坐标为3，因此纵坐标变化量为$3-2=1$，说明线段向上平移了1个单位长度。
根据平移规律求解a、b：
点A平移后的纵坐标$a=0+1=1$；
点B平移后的横坐标$b=0+1=1$。
因此$a+b=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
点的平移坐标规律、平移的性质
【点评】
本题考查坐标系中图形平移的坐标变化规律，解题核心是明确平移过程中所有对应点的横、纵坐标变化量分别相等，熟记“左减右加，下减上加”的坐标变化口诀即可快速求解，是平移章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用线段平移的核心性质：线段平移时，其上所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。我们先通过已知对应点的坐标求出平移的横、纵坐标变化量，再依据该变化量求出a和b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
首先计算横坐标的平移变化量：
点A原坐标为(1,0)，平移后A₁的横坐标为2，因此横坐标变化量为$2-1=1$，说明线段向右平移了1个单位长度。
再计算纵坐标的平移变化量：
点B原坐标为(0,2)，平移后B₁的纵坐标为3，因此纵坐标变化量为$3-2=1$，说明线段向上平移了1个单位长度。
根据平移规律求解a、b：
点A平移后的纵坐标$a=0+1=1$；
点B平移后的横坐标$b=0+1=1$。
因此$a+b=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
点的平移坐标规律、平移的性质
【点评】
本题考查坐标系中图形平移的坐标变化规律，解题核心是明确平移过程中所有对应点的横、纵坐标变化量分别相等，熟记“左减右加，下减上加”的坐标变化口诀即可快速求解，是平移章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
13.如图,三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为$A(-2,2),B(2,0),C(3,3),P(a,b)$是三角形 ABC 的边 AC 上的一点,把三角形 ABC 平移后得到三角形 DEF(点 A,B,C 的对应点分别为点 D,E,F),点 P 的对应点为点$P'(a-2,b-4)$.
(1)说说由三角形 ABC 到三角形 DEF 是怎样平移的;
(2)写出 D,E,F 三点的坐标,并画出三角形 DEF;
(3)求三角形 DEF 的面积.
(1)说说由三角形 ABC 到三角形 DEF 是怎样平移的;
(2)写出 D,E,F 三点的坐标,并画出三角形 DEF;
(3)求三角形 DEF 的面积.
答案
13.解:(1)先向左平移 2 个单位长度,再向下平移 4 个单位长度(答案不唯一).
(2)$D(-4,-2),E(0,-4),F(1,-1)$.
如图,三角形 DEF 即为所求.
(3)$S_{\mathrm{三角形}DEF}=5×3-\dfrac{1}{2}×5×1-\dfrac{1}{2}×4×2-\dfrac{1}{2}×1×3=7$.
解析
【分析】
(1) 平移规律可通过对应点的坐标变化判断：横坐标的变化对应左右平移（数值减小为向左平移，增大为向右平移），纵坐标的变化对应上下平移（数值减小为向下平移，增大为向上平移）。对比点P和对应点P'的坐标，即可得到平移方式。
(2) 平移后所有对应点的坐标变化规律一致，将A、B、C三点的坐标按平移规则计算，就能得到D、E、F的坐标，再描点、顺次连接即可画出三角形DEF。
(3) 平移不改变图形的面积，因此三角形DEF的面积等于三角形ABC的面积。计算坐标系中三角形面积可采用割补法：将三角形放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 由点$P(a,b)$的对应点为$P'(a-2,b-4)$可知，平移过程中所有点的横坐标减2、纵坐标减4，因此平移方式为：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度（或先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度）。
(2) 根据平移规律“横坐标减2，纵坐标减4”计算对应点坐标：
点$A(-2,2)$平移后，$D(-2-2,2-4)$，即$D(-4,-2)$；
点$B(2,0)$平移后，$E(2-2,0-4)$，即$E(0,-4)$；
点$C(3,3)$平移后，$F(3-2,3-4)$，即$F(1,-1)$。
在坐标系中描出D、E、F三点，顺次连接三点得到三角形DEF，如图：
(3) 平移不改变图形的面积，因此$S_{\mathrm{三角形}DEF}=S_{\mathrm{三角形}ABC}$。
用割补法计算：将三角形ABC放入长为5、宽为3的矩形中，矩形面积为$5×3=15$，再减去周围3个直角三角形的面积：
$S_{\mathrm{三角形}DEF}=15-\dfrac{1}{2}×5×1-\dfrac{1}{2}×4×2-\dfrac{1}{2}×1×3=15-2.5-4-1.5=7$。
【答案】
(1) 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度（答案不唯一）。
(2) $D(-4,-2),E(0,-4),F(1,-1)$；如图，三角形DEF即为所求。
(3) 7
【知识点】
平移的性质，坐标与平移变换，割补法求面积
【点评】
本题核心考查坐标系中图形平移的规律和面积计算，解题关键是掌握平移前后坐标的变化规则，以及割补法求解坐标系中三角形面积的方法，是平移章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 平移规律可通过对应点的坐标变化判断：横坐标的变化对应左右平移（数值减小为向左平移，增大为向右平移），纵坐标的变化对应上下平移（数值减小为向下平移，增大为向上平移）。对比点P和对应点P'的坐标，即可得到平移方式。
(2) 平移后所有对应点的坐标变化规律一致，将A、B、C三点的坐标按平移规则计算，就能得到D、E、F的坐标，再描点、顺次连接即可画出三角形DEF。
(3) 平移不改变图形的面积，因此三角形DEF的面积等于三角形ABC的面积。计算坐标系中三角形面积可采用割补法：将三角形放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 由点$P(a,b)$的对应点为$P'(a-2,b-4)$可知，平移过程中所有点的横坐标减2、纵坐标减4，因此平移方式为：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度（或先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度）。
(2) 根据平移规律“横坐标减2，纵坐标减4”计算对应点坐标：
点$A(-2,2)$平移后，$D(-2-2,2-4)$，即$D(-4,-2)$；
点$B(2,0)$平移后，$E(2-2,0-4)$，即$E(0,-4)$；
点$C(3,3)$平移后，$F(3-2,3-4)$，即$F(1,-1)$。
在坐标系中描出D、E、F三点，顺次连接三点得到三角形DEF，如图：
(3) 平移不改变图形的面积，因此$S_{\mathrm{三角形}DEF}=S_{\mathrm{三角形}ABC}$。
用割补法计算：将三角形ABC放入长为5、宽为3的矩形中，矩形面积为$5×3=15$，再减去周围3个直角三角形的面积：
$S_{\mathrm{三角形}DEF}=15-\dfrac{1}{2}×5×1-\dfrac{1}{2}×4×2-\dfrac{1}{2}×1×3=15-2.5-4-1.5=7$。
【答案】
(1) 先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度（答案不唯一）。
(2) $D(-4,-2),E(0,-4),F(1,-1)$；如图，三角形DEF即为所求。
(3) 7
【知识点】
平移的性质，坐标与平移变换，割补法求面积
【点评】
本题核心考查坐标系中图形平移的规律和面积计算，解题关键是掌握平移前后坐标的变化规则，以及割补法求解坐标系中三角形面积的方法，是平移章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
14.[新定义问题]在平面直角坐标系中,对于点 P,给出如下定义:
点 P 的“甲变换”:将点 P 先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度;
点 P 的“乙变换”:将点 P 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度.
(1)若对点 A(2,1)进行 1 次“甲变换”,则得到的点的坐标为
(2)若对点 C(m,3)进行 1 次“甲变换”,再进行 2 次“乙变换”后,得到的点 D 恰好落在 y 轴上,求 m 的值及点 D 的坐标.
(3)若对点 P(-10,1)进行“甲变换”和“乙变换”共计 10 次后,得到的点 Q 恰好落在 x 轴上,请直接写出点 Q 的坐标.
点 P 的“甲变换”:将点 P 先向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度;
点 P 的“乙变换”:将点 P 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度.
(1)若对点 A(2,1)进行 1 次“甲变换”,则得到的点的坐标为
(1,3)
;若对点 B 进行 1 次“乙变换”后得到点(2,1),则点 B 的坐标为(0,2)
.(2)若对点 C(m,3)进行 1 次“甲变换”,再进行 2 次“乙变换”后,得到的点 D 恰好落在 y 轴上,求 m 的值及点 D 的坐标.
(3)若对点 P(-10,1)进行“甲变换”和“乙变换”共计 10 次后,得到的点 Q 恰好落在 x 轴上,请直接写出点 Q 的坐标.
答案
14.解:(1)(1,3) (0,2)
(2)由题意知点$ C(m,3)$经过 3 次变换后得到的点 D 的坐标为$(m-1+2+2,3+2-1-1)$,即$(m+3,3)$.
因为点 D 恰好在 y 轴上,所以$m+3=0$,解得$m=-3$.
所以点 D 的坐标为$(0,3)$.
(3)点 Q 的坐标为$(1,0)$.
【解析】设对点$ P(-10,1)$进行$ x $次“甲变换”,则进行了$(10-x)$次“乙变换”.由题意,得
$-10-x+2(10-x)=10-3x$,$1+2x-(10-x)=3x-9$,
即点 Q 的坐标为$(10-3x,3x-9)$.因为点 Q 恰好落在 x 轴上,所以$3x-9=0$,解得$x=3$.所以点 Q 的坐标为$(1,0)$.
(2)由题意知点$ C(m,3)$经过 3 次变换后得到的点 D 的坐标为$(m-1+2+2,3+2-1-1)$,即$(m+3,3)$.
因为点 D 恰好在 y 轴上,所以$m+3=0$,解得$m=-3$.
所以点 D 的坐标为$(0,3)$.
(3)点 Q 的坐标为$(1,0)$.
【解析】设对点$ P(-10,1)$进行$ x $次“甲变换”,则进行了$(10-x)$次“乙变换”.由题意,得
$-10-x+2(10-x)=10-3x$,$1+2x-(10-x)=3x-9$,
即点 Q 的坐标为$(10-3x,3x-9)$.因为点 Q 恰好落在 x 轴上,所以$3x-9=0$,解得$x=3$.所以点 Q 的坐标为$(1,0)$.
解析
【分析】
本题是结合新定义的坐标系平移问题，解题核心是掌握平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。
(1) 第一小问为正向平移，直接按照“甲变换”的规则计算即可；第二小问为逆向平移，已知乙变换后的结果，反向操作（先向上平移1个单位，再向左平移2个单位）即可得到原点点B的坐标。
(2) 先根据“1次甲变换+2次乙变换”的规则，推导得到D点的坐标表达式；再结合y轴上点的横坐标为0的特征，列方程求解m，代入即可得到D点坐标。
(3) 设甲变换的次数为x，则乙变换次数为(10-x)，分别用含x的式子表示出Q点的横、纵坐标；再结合x轴上点的纵坐标为0的特征，列方程求出x的值，代入即可得到Q点坐标。
【解析】
(1) 对A(2,1)进行1次“甲变换”：横坐标左移1个单位得$2-1=1$，纵坐标上移2个单位得$1+2=3$，所得点坐标为$(1,3)$。
设点B坐标为$(a,b)$，对B进行1次“乙变换”后坐标为$(a+2,b-1)$，已知变换结果为$(2,1)$，因此$a+2=2$，$b-1=1$，解得$a=0$，$b=2$，即点B坐标为$(0,2)$。
(2) 对$C(m,3)$进行1次“甲变换”、2次“乙变换”后：
横坐标变化为：$m-1+2×2=m+3$
纵坐标变化为：$3+2-1×2=3$
即点D坐标为$(m+3,3)$。
因为点D在y轴上，y轴上点的横坐标为0，因此$m+3=0$，解得$m=-3$，代入得点D坐标为$(0,3)$。
(3) 设进行了$x$次“甲变换”，则进行了$(10-x)$次“乙变换”：
最终横坐标为：$-10 -x +2(10-x)=10-3x$
最终纵坐标为：$1+2x -(10-x)=3x-9$
即点Q坐标为$(10-3x,3x-9)$。
因为Q在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，因此$3x-9=0$，解得$x=3$。
代入横坐标得$10-3×3=1$，即Q点坐标为$(1,0)$。
【答案】
(1) $(1,3)$；$(0,2)$
(2) $m=-3$，$D(0,3)$
(3) $(1,0)$
【知识点】
点的平移规律；坐标轴上点的特征；新定义运算
【点评】
本题以新定义变换为载体，考查坐标系中点的平移规律的应用，既涉及正向计算平移后的坐标，也涉及逆向推导原坐标，同时结合方程思想求解未知参数，解题时要注意平移次数对应的坐标变化，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
本题是结合新定义的坐标系平移问题，解题核心是掌握平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。
(1) 第一小问为正向平移，直接按照“甲变换”的规则计算即可；第二小问为逆向平移，已知乙变换后的结果，反向操作（先向上平移1个单位，再向左平移2个单位）即可得到原点点B的坐标。
(2) 先根据“1次甲变换+2次乙变换”的规则，推导得到D点的坐标表达式；再结合y轴上点的横坐标为0的特征，列方程求解m，代入即可得到D点坐标。
(3) 设甲变换的次数为x，则乙变换次数为(10-x)，分别用含x的式子表示出Q点的横、纵坐标；再结合x轴上点的纵坐标为0的特征，列方程求出x的值，代入即可得到Q点坐标。
【解析】
(1) 对A(2,1)进行1次“甲变换”：横坐标左移1个单位得$2-1=1$，纵坐标上移2个单位得$1+2=3$，所得点坐标为$(1,3)$。
设点B坐标为$(a,b)$，对B进行1次“乙变换”后坐标为$(a+2,b-1)$，已知变换结果为$(2,1)$，因此$a+2=2$，$b-1=1$，解得$a=0$，$b=2$，即点B坐标为$(0,2)$。
(2) 对$C(m,3)$进行1次“甲变换”、2次“乙变换”后：
横坐标变化为：$m-1+2×2=m+3$
纵坐标变化为：$3+2-1×2=3$
即点D坐标为$(m+3,3)$。
因为点D在y轴上，y轴上点的横坐标为0，因此$m+3=0$，解得$m=-3$，代入得点D坐标为$(0,3)$。
(3) 设进行了$x$次“甲变换”，则进行了$(10-x)$次“乙变换”：
最终横坐标为：$-10 -x +2(10-x)=10-3x$
最终纵坐标为：$1+2x -(10-x)=3x-9$
即点Q坐标为$(10-3x,3x-9)$。
因为Q在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，因此$3x-9=0$，解得$x=3$。
代入横坐标得$10-3×3=1$，即Q点坐标为$(1,0)$。
【答案】
(1) $(1,3)$；$(0,2)$
(2) $m=-3$，$D(0,3)$
(3) $(1,0)$
【知识点】
点的平移规律；坐标轴上点的特征；新定义运算
【点评】
本题以新定义变换为载体，考查坐标系中点的平移规律的应用，既涉及正向计算平移后的坐标，也涉及逆向推导原坐标，同时结合方程思想求解未知参数，解题时要注意平移次数对应的坐标变化，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
