1.如图，已知点$A(2,0),B(0,1),C(0,4)$，则三角形$ABC$的面积为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.C

【分析】
要计算三角形ABC的面积，首先观察三个点的坐标特征：点B和C都在y轴上，可将BC作为三角形的底，先求出BC的长度；再找BC边上对应的高，即点A到y轴的距离，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵点B(0,1)、C(0,4)均在y轴上，
∴BC的长度为$|4-1|=3$，
又
∵点A的坐标为$(2,0)$，
∴点A到y轴的距离为2，即BC边上的高为2，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标含义；三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的求解，解题关键是结合点的坐标特征选择合适的边作为底，简化高的计算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85

2.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(4,3)，C(1,-1)，则三角形ABC的面积为.

2.10

【分析】
解题时先观察点A、B的坐标特征：二者纵坐标相同，说明线段AB平行于x轴，可先求出AB的长度作为三角形的底；再结合AB的位置，求出点C到AB的垂直距离作为三角形的高，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A坐标为$(-1,3)$，点B坐标为$(4,3)$，两点纵坐标相等
∴$AB// x$轴，$AB$的长度为：$4-(-1)=5$
AB所在直线的函数表达式为$y=3$，点C坐标为$(1,-1)$
∴点C到AB的垂直距离（即AB边上的高）为：$\vert3 - (-1)\vert=4$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×4=10$
【答案】
10
【知识点】
坐标求线段长度、三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积计算的基础题型，解题的关键是利用坐标特征找到平行于坐标轴的边，快速确定底和高，简化计算过程。
【难度系数】
0.8

3.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCO是格点四边形（顶点为网格线的交点）.求四边形ABCO的面积.

3.解:$S_{四边形ABCO}=4×6-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4=14.$

【分析】
网格中不规则四边形的面积计算通常采用割补法，本题适合用补形法：首先构造包含四边形ABCO的最小矩形，利用网格边长为1的特点可直接算出矩形面积；再观察矩形内、四边形外的部分，可分割为4个直角三角形，分别找到每个直角三角形的两条直角边长度，计算出这4个三角形的面积和；最后用矩形面积减去4个三角形的面积和，即可得到四边形ABCO的面积。
【解析】
采用补形法计算四边形面积：
首先构造包含四边形ABCO的矩形，该矩形长为6、宽为4，面积为$4×6=24$。
矩形内、四边形外的4个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×4=2$、$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×1×4=2$。
因此四边形ABCO的面积为：
$S_{四边形ABCO}=4×6-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×4=14$
【答案】
14
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、平面直角坐标系应用
【点评】
本题是网格中图形面积计算的典型题型，解题关键是灵活运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和差，计算时要注意准确识别各规则图形的边长，避免出错。
【难度系数】
0.7

4.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,建立适当的平面直角坐标系后,三角形ABC的顶点A,C的坐标分别为$(-4,5)$,$(-1,3)$.
(1)请在图中画出符合题意的平面直角坐标系;
(2)求三角形ABC的面积.

4.解:(1)如图所示.
(2)三角形ABC的面积是 $3×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3=4.$

【分析】
(1) 建立平面直角坐标系的关键是确定原点位置：已知点A坐标为(-4,5)，即点A在原点左侧4个单位、上方5个单位处，因此将点A向右平移4个单位，再向下平移5个单位即可得到原点O，过原点分别作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，就能得到符合要求的坐标系。
(2) 网格中不规则三角形的面积适合用割补法求解：先找到能包围△ABC的最小矩形，计算矩形的面积，再减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 根据点A(-4,5)的坐标，将点A向右平移4个单位、向下平移5个单位得到坐标原点O，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示。
(2) 首先确定包围△ABC的最小矩形的长为3、宽为4，矩形面积为 $3×4=12$；
矩形内△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×4=4$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$；
因此△ABC的面积为 $12 - 4 - 1 - 3 = 4$。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 三角形ABC的面积是4。
【知识点】
平面直角坐标系建立，割补法求面积，点的坐标
【点评】
本题考查平面直角坐标系的构建与网格中不规则图形面积的计算，掌握坐标的含义、熟练运用割补法求解网格图形面积是解题的核心，这类题目是平面直角坐标系相关知识点的基础考查题型。
【难度系数】
0.7

5.[一题多解]如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO的顶点坐标分别是$A(4,0),B(3,4),C(0,2),O(0,0)$,求四边形ABCO的面积.

5.解:解法一:如图①,连接OB.
$S_{四边形ABCO}=S_{三角形OAB}+S_{三角形OBC}=\frac{1}{2}×4×4+\frac{1}{2}×2×3=11.$
解法二:如图②,过点B作$BD⊥x$轴于点D.
$S_{四边形ABCO}=S_{梯形CBDO}+S_{三角形ABD}=\frac{1}{2}×(2+4)×3+\frac{1}{2}×1×4=11.$

【分析】
本题是求平面直角坐标系中不规则四边形的面积，核心思路是用割补法将不规则图形转化为已学的规则图形（三角形、梯形），再结合点的坐标求出规则图形对应的底、高，代入面积公式计算即可。常见两种分割思路：一是连接OB，将四边形分为△OBC和△OAB两个三角形；二是过B作x轴的垂线，将四边形分为梯形OCDB和△ABD，两种方法都能快速求出面积。
【解析】
解法一：如图①，连接OB。
已知A(4,0)，可得OA的长度为4，点B的纵坐标为4，即△OAB中OA边上的高为4，因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×4×4=8$；
已知C(0,2)，可得OC的长度为2，点B的横坐标为3，即△OBC中OC边上的高为3，因此$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×2×3=3$；
将两个三角形面积相加得到四边形面积：$S_{四边形ABCO}=8+3=11$。
解法二：如图②，过点B作$BD⊥x$轴于点D，可得D点坐标为(3,0)。
OC=2，BD=4，OD=3，根据梯形面积公式可得$S_{梯形CBDO}=\frac{1}{2}×(2+4)×3=9$；
AD=OA-OD=4-3=1，BD=4，根据三角形面积公式可得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×1×4=2$；
将两部分面积相加得到四边形面积：$S_{四边形ABCO}=9+2=11$。
【答案】
解法一:如图①,连接OB.
$S_{四边形ABCO}=S_{三角形OAB}+S_{三角形OBC}=\frac{1}{2}×4×4+\frac{1}{2}×2×3=11.$
解法二:如图②,过点B作$BD⊥x$轴于点D.
$S_{四边形ABCO}=S_{梯形CBDO}+S_{三角形ABD}=\frac{1}{2}×(2+4)×3+\frac{1}{2}×1×4=11.$
【知识点】
割补法求面积，坐标与线段长，图形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，解题关键是灵活运用割补法将不规则图形转化为易计算面积的规则图形，结合平面直角坐标系中点的坐标得到对应线段的长度，考查数形结合的思想，方法多样，可根据图形特点选择简便的分割方式。
【难度系数】
0.7