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1[2025云南中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$.若$AB=13$,$BC=5$,则$\sin A=$ (
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{13}$
D.$\frac{5}{13}$
(第1题图)
(第2题图)
D
)A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{13}$
D.$\frac{5}{13}$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. D 【解析】在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB = 13,BC=5,则 $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$,故选 D.
解析
【分析】
本题要求直角三角形中∠A的正弦值，解题思路如下：第一步回忆锐角三角函数中正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；第二步确定∠A的对边和斜边：在Rt△ABC中∠C为直角，∠A的对边是BC，斜边是AB；第三步观察已知条件，题目已经直接给出BC和AB的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义，锐角的正弦为该角对边与斜边的比值，
$∠ A$的对边是$BC$，斜边是$AB$，
已知$BC=5$，$AB=13$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数中正弦定义的理解与应用，解题的关键是准确找到对应锐角的对边和斜边，是锐角三角函数章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.9
本题要求直角三角形中∠A的正弦值，解题思路如下：第一步回忆锐角三角函数中正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值；第二步确定∠A的对边和斜边：在Rt△ABC中∠C为直角，∠A的对边是BC，斜边是AB；第三步观察已知条件，题目已经直接给出BC和AB的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义，锐角的正弦为该角对边与斜边的比值，
$∠ A$的对边是$BC$，斜边是$AB$，
已知$BC=5$，$AB=13$，
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角三角函数中正弦定义的理解与应用，解题的关键是准确找到对应锐角的对边和斜边，是锐角三角函数章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.9
2[2025山东济南中考]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D,E都在网格的格点上,则下列结论正确的是
(
A.$∠DAC＞∠EBA$
B.$∠DAC＜∠EBA$
C.$∠DAC=∠EBA$
D.$∠DAC+∠EBA=60°$
(
C
)A.$∠DAC＞∠EBA$
B.$∠DAC＜∠EBA$
C.$∠DAC=∠EBA$
D.$∠DAC+∠EBA=60°$
答案
2. C 【解析】如图所示，
过点 D 作 $DF ⊥ AB$ 于 F,过点 E 作 $EH ⊥ AB$ 于 H, $\therefore ∠ DFA = ∠ BHE = 90°. ∵ $ 正方形网格中小正方形的边长为 1 个单位长度，$\therefore AF=6,DF=4,BH=3,EH=2$. 在 $Rt△ADF$ 中,$\tan∠DAC=\frac{DF}{AF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$, 在 $Rt△BHE$ 中,$\tan∠EBA=\frac{EH}{BH}=\frac{2}{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\therefore \tan∠DAC = \tan∠EBA$. 又 $∵ ∠DAC$ 和 $∠EBA$ 都是锐角，$\therefore ∠DAC = ∠EBA ≠ 30°$, $\therefore ∠DAC+∠EBA ≠ 60°$,故选 C.
解析
【分析】
要比较两个锐角$∠ DAC$和$∠ EBA$的大小，可通过计算两个角的正切值判断：锐角的正切值随角度增大而增大，若正切值相等，则两个锐角相等。首先分别过D、E向AB所在直线作垂线，构造包含这两个角的直角三角形，再数网格得到直角三角形两条直角边的长度，计算正切值后比较即可，同时可根据正切值判断角度是否为$30°$，排除错误选项。
【解析】
如图所示，
过点D作$DF ⊥ AB$于F，过点E作$EH ⊥ AB$于H，因此$∠ DFA = ∠ BHE = 90°$。
已知网格中小正方形边长为1个单位长度，数格可得：$AF=6$，$DF=4$，$BH=3$，$EH=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，根据正切的定义，$\tan∠ DAC=\frac{DF}{AF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ DAC≠30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BHE$中，根据正切的定义，$\tan∠ EBA=\frac{EH}{BH}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ EBA≠30°$。
由此可得$\tan∠ DAC = \tan∠ EBA$，又因为$∠ DAC$和$∠ EBA$都是锐角，所以$∠ DAC = ∠ EBA$，且$∠ DAC+∠ EBA≠60°$。
综上，故选C。
【答案】C
【知识点】
正切的定义，锐角正切的性质，网格角度计算
【点评】
本题以网格为背景考查角度的大小比较，解题核心是构造直角三角形，利用锐角三角函数值判断角度关系，要求学生能准确读取网格中的线段长度，熟练掌握锐角三角函数的相关性质。
【难度系数】
0.7
要比较两个锐角$∠ DAC$和$∠ EBA$的大小，可通过计算两个角的正切值判断：锐角的正切值随角度增大而增大，若正切值相等，则两个锐角相等。首先分别过D、E向AB所在直线作垂线，构造包含这两个角的直角三角形，再数网格得到直角三角形两条直角边的长度，计算正切值后比较即可，同时可根据正切值判断角度是否为$30°$，排除错误选项。
【解析】
如图所示，
过点D作$DF ⊥ AB$于F，过点E作$EH ⊥ AB$于H，因此$∠ DFA = ∠ BHE = 90°$。
已知网格中小正方形边长为1个单位长度，数格可得：$AF=6$，$DF=4$，$BH=3$，$EH=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，根据正切的定义，$\tan∠ DAC=\frac{DF}{AF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ DAC≠30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BHE$中，根据正切的定义，$\tan∠ EBA=\frac{EH}{BH}=\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ EBA≠30°$。
由此可得$\tan∠ DAC = \tan∠ EBA$，又因为$∠ DAC$和$∠ EBA$都是锐角，所以$∠ DAC = ∠ EBA$，且$∠ DAC+∠ EBA≠60°$。
综上，故选C。
【答案】C
【知识点】
正切的定义，锐角正切的性质，网格角度计算
【点评】
本题以网格为背景考查角度的大小比较，解题核心是构造直角三角形，利用锐角三角函数值判断角度关系，要求学生能准确读取网格中的线段长度，熟练掌握锐角三角函数的相关性质。
【难度系数】
0.7
3[2025 四川攀枝花中考]如图,已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a, b, c.
(1)根据锐角三角函数的定义,证明:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$;
(2)若 $\sin A = \frac{1}{3}$, 求 $\cos A$ 的值.
(1)根据锐角三角函数的定义,证明:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$;
(2)若 $\sin A = \frac{1}{3}$, 求 $\cos A$ 的值.
答案
3. (1)【证明】在 $Rt△ABC$ 中, $∠C=90°,∴ a^2 + b^2 = c^2$,$\sin A = \frac{a}{c}$,$\cos A = \frac{b}{c}$,$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$.
(2)【解】$∵ \sin^2 A + \cos^2 A = 1$,$∴ \frac{1}{9} + \cos^2 A = 1$,
$\therefore \cos^2 A = \frac{8}{9}$,$\therefore \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$或 $\cos A = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$(舍去),即 $\cos A$ 的值为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
(2)【解】$∵ \sin^2 A + \cos^2 A = 1$,$∴ \frac{1}{9} + \cos^2 A = 1$,
$\therefore \cos^2 A = \frac{8}{9}$,$\therefore \cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$或 $\cos A = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$(舍去),即 $\cos A$ 的值为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，首先结合锐角三角函数的定义，分别写出$\sin A$和$\cos A$的表达式，再利用直角三角形的勾股定理，将两者的平方和化简即可得证。
(2)已知$\sin A$的值，可直接利用第(1)问推导得出的同角三角函数的平方关系，代入数值求解$\cos^2 A$，再结合$∠ A$是锐角，三角函数值为正，舍去负根即可得到$\cos A$的值。
【解析】
(1)证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得$a^2 + b^2 = c^2$。
根据锐角三角函数的定义：$\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$。
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，得$\frac{c^2}{c^2} = 1$，即$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，得证。
(2)解：由(1)得$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，将$\sin A = \frac{1}{3}$代入得：
$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1$，即$\frac{1}{9} + \cos^2 A = 1$
移项得$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
∵$∠ A$是$Rt△ ABC$的锐角，
∴$\cos A ＞ 0$，
∴$\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$（负根$\cos A = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$舍去）。
【答案】
(1) 已证$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
(2) $\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数关系
【点评】
本题属于基础题，既考查了锐角三角函数和勾股定理的基础应用，也推导了同角三角函数的重要平方关系，解题时注意锐角的三角函数值均为正数，求解时要正确舍去不符合题意的负根。
【难度系数】
0.8
(1)要证明$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，首先结合锐角三角函数的定义，分别写出$\sin A$和$\cos A$的表达式，再利用直角三角形的勾股定理，将两者的平方和化简即可得证。
(2)已知$\sin A$的值，可直接利用第(1)问推导得出的同角三角函数的平方关系，代入数值求解$\cos^2 A$，再结合$∠ A$是锐角，三角函数值为正，舍去负根即可得到$\cos A$的值。
【解析】
(1)证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得$a^2 + b^2 = c^2$。
根据锐角三角函数的定义：$\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$。
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$
将$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，得$\frac{c^2}{c^2} = 1$，即$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，得证。
(2)解：由(1)得$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$，将$\sin A = \frac{1}{3}$代入得：
$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 A = 1$，即$\frac{1}{9} + \cos^2 A = 1$
移项得$\cos^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
∵$∠ A$是$Rt△ ABC$的锐角，
∴$\cos A ＞ 0$，
∴$\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$（负根$\cos A = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$舍去）。
【答案】
(1) 已证$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
(2) $\cos A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，同角三角函数关系
【点评】
本题属于基础题，既考查了锐角三角函数和勾股定理的基础应用，也推导了同角三角函数的重要平方关系，解题时注意锐角的三角函数值均为正数，求解时要正确舍去不符合题意的负根。
【难度系数】
0.8
4[2025四川自贡中考]如图,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若∠A=90°,tan B=$\frac{1}{2}$,A(-4,3),则点G坐标为 (
A.(11,-4)
B.(10,-3)
C.(12,-3)
D.(9,-4)
（第4题图）
（第5题图）
B
)A.(11,-4)
B.(10,-3)
C.(12,-3)
D.(9,-4)
（第4题图）
（第5题图）
答案
4. B 【解析】过点 A 作 $AH ⊥ y$ 轴,作 $BK ⊥ AH$ 交 HA 的延长线于点 K,则 $∠AHO = ∠BKA = 90°=∠BAO$,$∴ ∠BAK = ∠AOH = 90° - ∠HAO$,$∴ △AHO ∽ △BKA$,$∴ \frac{AH}{BK}=\frac{OH}{AK}=\frac{OA}{AB}$. $∵ ∠BAO = 90°$,$\tan∠ABO = \frac{1}{2}$,$A(-4,3)$,$∴ OH = 3$,$AH = 4$,$\frac{OA}{AB} = \frac{1}{2}$, 位得到点 G,$∴ G(10,-3)$. 故选 B.
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中图形平移、相似三角形、三角函数的综合题，解题思路如下：① 首先回忆平移的性质：平移前后对应点的横、纵坐标变化量完全相同，只需求出平移向量，就能算出任意对应点的坐标；② 已知Rt△ABO中∠A=90°，tanB=$\frac{1}{2}$，结合A点坐标，可通过作垂直辅助线构造互余角，证明两个直角三角形相似，得到边的比例关系；③ 再结合E、F在坐标轴上的条件，求出平移的横、纵坐标变化量，最终计算出原点O平移后对应点G的坐标。
【解析】
过点A作$AH ⊥ y$轴于H，作$BK ⊥ AH$交HA的延长线于点K，
则 $∠AHO = ∠BKA = 90°=∠BAO$，
∵$∠BAK + ∠HAO = 90°$，$∠AOH + ∠HAO = 90°$，
$∴ ∠BAK = ∠AOH$，
$∴ △AHO ∽ △BKA$，
$∴ \frac{AH}{BK}=\frac{OH}{AK}=\frac{OA}{AB}$。
$∵ ∠BAO = 90°$，$\tan∠ABO = \frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，$A(-4,3)$，
$∴ OH = 3$，$AH = 4$，
可得$BK=2AH=8$，$AK=2OH=6$，即点B坐标为$(-10,-5)$。
∵△ABO平移得到△EFG，B对应F，F在y轴上，A对应E，E在x轴上，
∴平移规律为：横坐标加$0-(-10)=10$，纵坐标加$0-3=-3$，即向右平移10个单位，向下平移3个单位。
原点O(0,0)按该规律平移后得到点G，
$∴ G(0+10,0-3)=(10,-3)$。
故选 B.
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形
【点评】
本题是坐标系与几何结合的典型题型，将平移规律、相似三角形、三角函数的知识点融合考查，解题的核心是准确构造辅助线证明三角形相似，找到平移的坐标变化规律，锻炼学生的几何作图能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是平面直角坐标系中图形平移、相似三角形、三角函数的综合题，解题思路如下：① 首先回忆平移的性质：平移前后对应点的横、纵坐标变化量完全相同，只需求出平移向量，就能算出任意对应点的坐标；② 已知Rt△ABO中∠A=90°，tanB=$\frac{1}{2}$，结合A点坐标，可通过作垂直辅助线构造互余角，证明两个直角三角形相似，得到边的比例关系；③ 再结合E、F在坐标轴上的条件，求出平移的横、纵坐标变化量，最终计算出原点O平移后对应点G的坐标。
【解析】
过点A作$AH ⊥ y$轴于H，作$BK ⊥ AH$交HA的延长线于点K，
则 $∠AHO = ∠BKA = 90°=∠BAO$，
∵$∠BAK + ∠HAO = 90°$，$∠AOH + ∠HAO = 90°$，
$∴ ∠BAK = ∠AOH$，
$∴ △AHO ∽ △BKA$，
$∴ \frac{AH}{BK}=\frac{OH}{AK}=\frac{OA}{AB}$。
$∵ ∠BAO = 90°$，$\tan∠ABO = \frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，$A(-4,3)$，
$∴ OH = 3$，$AH = 4$，
可得$BK=2AH=8$，$AK=2OH=6$，即点B坐标为$(-10,-5)$。
∵△ABO平移得到△EFG，B对应F，F在y轴上，A对应E，E在x轴上，
∴平移规律为：横坐标加$0-(-10)=10$，纵坐标加$0-3=-3$，即向右平移10个单位，向下平移3个单位。
原点O(0,0)按该规律平移后得到点G，
$∴ G(0+10,0-3)=(10,-3)$。
故选 B.
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形
【点评】
本题是坐标系与几何结合的典型题型，将平移规律、相似三角形、三角函数的知识点融合考查，解题的核心是准确构造辅助线证明三角形相似，找到平移的坐标变化规律，锻炼学生的几何作图能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025四川广元中考]四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO=2DO，已知AB=4，AD=2，$\tan ∠ ACD = \frac{\sqrt{3}}{5}$，则AC的长为
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
。答案
5. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ 【解析】如图,过 D 作 $DE ⊥ AC$ 于 E,过 B 作 $BF ⊥ AC$ 于 F,$∴ ∠OED=∠OFB=90°$. $∵ ∠DOE=∠BOC$,$∴ △ODE ∽ △OBF$,$∴ \frac{BO}{DO}=\frac{OF}{OE}=\frac{BF}{DE}=2$. 设 $OE=x$,则 $OF=2x$,$EF=3x$. $∵ AB=4$,$AD=2$,$∴ \frac{AB}{AD}=2$,$∴ \frac{AB}{AD}=2$. $∵ ∠AED=∠AFB=90°$,$∴ Rt△AED ∽ Rt△AFB$,$∴ \frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AD}=2$,$∴ AF=2AE$,即 $AE=EF=3x$,$∴ AO=AE+OE=4x$. $∵ O$ 是 $AC$ 的中点,$∴ CO = AO = 4x$,$∴ CE = CO + OE = 5x$. $∵ \tan∠ACD = \frac{\sqrt{3}}{5}$,$∴ \frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$,$∴ DE=\sqrt{3}x$, 在 $Rt△ADE$ 中,$AD=2$,由勾股定理得 $AE^2+DE^2=AD^2$,即 $(3x)^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 2^2$, 解得 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$∴ AC=2AO=8x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$,故答案为 $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：存在线段比例BO=2DO、O是AC中点、三角函数值及AB、AD的边长，目标是求AC长度。首先考虑构造直角三角形来利用三角函数和勾股定理，因此过D、B分别作AC的垂线DE、BF；再利用对顶角相等、直角相等证明△ODE∽△OBF，得到对应边比例为2；接着发现AB与AD的长度比也为2，可证明Rt△AED∽Rt△AFB，得到AE和AF的比例关系，将AC相关线段用含x的代数式表示；之后结合tan∠ACD的值得出DE的表达式，最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解x，即可算出AC的长度。
【解析】
如图，过D作$DE ⊥ AC$于E，过B作$BF ⊥ AC$于F，$\therefore ∠OED=∠OFB=90°$。
$\because ∠DOE=∠BOF$，$\therefore △ODE ∽ △OBF$，$\therefore \frac{BO}{DO}=\frac{OF}{OE}=\frac{BF}{DE}=2$。
设$OE=x$，则$OF=2x$，$EF=OE+OF=3x$。
$\because AB=4$，$AD=2$，$\therefore \frac{AB}{AD}=2$。
$\because ∠AED=∠AFB=90°$，$\therefore Rt△AED ∽ Rt△AFB$，$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AD}=2$，即$AF=2AE$，由此可得$AE=EF=3x$。
$\therefore AO=AE+OE=3x+x=4x$。
$\because O$是$AC$的中点，$\therefore CO = AO = 4x$，$\therefore CE = CO + OE = 4x+x=5x$。
$\because \tan∠ACD = \frac{\sqrt{3}}{5}$，$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，代入CE=5x得$DE=\sqrt{3}x$。
在$Rt△ADE$中，$AD=2$，由勾股定理得$AE^2+DE^2=AD^2$，即 $(3x)^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 2^2$，
化简得$12x^2=4$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（线段长度为正，舍去负根）。
$\therefore AC=2AO=2×4x=8x=8×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是通过作垂直辅助线构造相似三角形和直角三角形，将已知的线段比例、三角函数值、边长关系相结合，通过设未知数列方程求解，是初中几何的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时先梳理已知条件：存在线段比例BO=2DO、O是AC中点、三角函数值及AB、AD的边长，目标是求AC长度。首先考虑构造直角三角形来利用三角函数和勾股定理，因此过D、B分别作AC的垂线DE、BF；再利用对顶角相等、直角相等证明△ODE∽△OBF，得到对应边比例为2；接着发现AB与AD的长度比也为2，可证明Rt△AED∽Rt△AFB，得到AE和AF的比例关系，将AC相关线段用含x的代数式表示；之后结合tan∠ACD的值得出DE的表达式，最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解x，即可算出AC的长度。
【解析】
如图，过D作$DE ⊥ AC$于E，过B作$BF ⊥ AC$于F，$\therefore ∠OED=∠OFB=90°$。
$\because ∠DOE=∠BOF$，$\therefore △ODE ∽ △OBF$，$\therefore \frac{BO}{DO}=\frac{OF}{OE}=\frac{BF}{DE}=2$。
设$OE=x$，则$OF=2x$，$EF=OE+OF=3x$。
$\because AB=4$，$AD=2$，$\therefore \frac{AB}{AD}=2$。
$\because ∠AED=∠AFB=90°$，$\therefore Rt△AED ∽ Rt△AFB$，$\therefore \frac{AF}{AE}=\frac{AB}{AD}=2$，即$AF=2AE$，由此可得$AE=EF=3x$。
$\therefore AO=AE+OE=3x+x=4x$。
$\because O$是$AC$的中点，$\therefore CO = AO = 4x$，$\therefore CE = CO + OE = 4x+x=5x$。
$\because \tan∠ACD = \frac{\sqrt{3}}{5}$，$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，代入CE=5x得$DE=\sqrt{3}x$。
在$Rt△ADE$中，$AD=2$，由勾股定理得$AE^2+DE^2=AD^2$，即 $(3x)^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 2^2$，
化简得$12x^2=4$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（线段长度为正，舍去负根）。
$\therefore AC=2AO=2×4x=8x=8×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是通过作垂直辅助线构造相似三角形和直角三角形，将已知的线段比例、三角函数值、边长关系相结合，通过设未知数列方程求解，是初中几何的常考题型。
【难度系数】
0.6
6 [2025 四川乐山中考] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=45°, ∠ ACB=60°, AC=2$.
(1)求 $AB$ 的长;
(2)求点 $C$ 到线段 $AB$ 的距离.
(1)求 $AB$ 的长;
(2)求点 $C$ 到线段 $AB$ 的距离.
答案
6. 【解】(1)如图,过点 A 作 $AJ ⊥ BC$ 于点 J. 在 $Rt△ACJ$ 中,$AC=2$,$∠ACJ=60°$,$∴ AJ=AC · \sin60°=\sqrt{3}$,$CJ=AC · \cos60°=1$. 在 $Rt△ABJ$ 中,$∠B=45°$, $∴ AJ = BJ = \sqrt{3}$, $∴ AB = \sqrt{2}AJ=\sqrt{6}$.
(2)如图,过点 C 作 $CK ⊥ AB$ 于点 K. 由(1)可知 $BC=BJ+CJ=1+\sqrt{3}$. $∵ \frac{1}{2}AB · CK=\frac{1}{2}BC · AJ$,$∴ CK=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$,$∴$ 点 C 到线段 $AB$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求解AB边长时，已知斜三角形的两个内角和一条边，可通过作高将其转化为两个直角三角形求解：过点A作AJ⊥BC，先在含60°角的Rt△ACJ中利用锐角三角函数求出AJ的长度，再在含45°角的Rt△ABJ中利用等腰直角三角形的边角关系求出AB的长。
(2) 求点C到AB的距离，即求过C向AB作的垂线段CK的长度，可利用等积法：同一三角形面积固定，分别以BC、AB为底计算△ABC的面积，列等式即可求出CK的长度。
【解析】
(1) 如图，过点A作$AJ ⊥ BC$于点J。
在$Rt△ACJ$中，$AC=2$，$∠ACJ=60°$，
$∴ AJ=AC · \sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$CJ=AC · \cos60°=2×\frac{1}{2}=1$。
在$Rt△ABJ$中，$∠B=45°$，
$∴ AJ = BJ = \sqrt{3}$，
$∴ AB = \sqrt{AJ^2+BJ^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
(2) 如图，过点C作$CK ⊥ AB$于点K，CK即为点C到线段AB的距离。
由(1)可知 $BC=BJ+CJ=1+\sqrt{3}$。
$∵ S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB · CK=\frac{1}{2}BC · AJ$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×\sqrt{6}·CK=\frac{1}{2}×(1+\sqrt{3})×\sqrt{3}$，
化简得：$\sqrt{6}·CK=\sqrt{3}+3$，
$∴ CK=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{(3+\sqrt{3})×\sqrt{6}}{6}=\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $AB=\sqrt{6}$；
(2) 点C到线段AB的距离为$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。
【知识点】
解直角三角形，三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是解斜三角形的典型题型，核心解题思路是通过作辅助线构造直角三角形，将未知量转化到直角三角形中利用三角函数、勾股定理求解，第二问用到的等积法是求点到直线距离的常用技巧，可简化计算过程，应熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求解AB边长时，已知斜三角形的两个内角和一条边，可通过作高将其转化为两个直角三角形求解：过点A作AJ⊥BC，先在含60°角的Rt△ACJ中利用锐角三角函数求出AJ的长度，再在含45°角的Rt△ABJ中利用等腰直角三角形的边角关系求出AB的长。
(2) 求点C到AB的距离，即求过C向AB作的垂线段CK的长度，可利用等积法：同一三角形面积固定，分别以BC、AB为底计算△ABC的面积，列等式即可求出CK的长度。
【解析】
(1) 如图，过点A作$AJ ⊥ BC$于点J。
在$Rt△ACJ$中，$AC=2$，$∠ACJ=60°$，
$∴ AJ=AC · \sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$CJ=AC · \cos60°=2×\frac{1}{2}=1$。
在$Rt△ABJ$中，$∠B=45°$，
$∴ AJ = BJ = \sqrt{3}$，
$∴ AB = \sqrt{AJ^2+BJ^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
(2) 如图，过点C作$CK ⊥ AB$于点K，CK即为点C到线段AB的距离。
由(1)可知 $BC=BJ+CJ=1+\sqrt{3}$。
$∵ S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB · CK=\frac{1}{2}BC · AJ$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×\sqrt{6}·CK=\frac{1}{2}×(1+\sqrt{3})×\sqrt{3}$，
化简得：$\sqrt{6}·CK=\sqrt{3}+3$，
$∴ CK=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{(3+\sqrt{3})×\sqrt{6}}{6}=\frac{3\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $AB=\sqrt{6}$；
(2) 点C到线段AB的距离为$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。
【知识点】
解直角三角形，三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是解斜三角形的典型题型，核心解题思路是通过作辅助线构造直角三角形，将未知量转化到直角三角形中利用三角函数、勾股定理求解，第二问用到的等积法是求点到直线距离的常用技巧，可简化计算过程，应熟练掌握。
【难度系数】
0.7
7 [2025 黑龙江绥化中考]如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高$BC=15\ \mathrm{m}$,则迎水坡面AB的长度是
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
.答案
7. $15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$ 【解析】$∵$ 迎水坡 $AB$ 的斜面坡度 $i=1:\sqrt{2}$,$∴ BC:AC=1:\sqrt{2}$. $∵ BC=15\ \mathrm{m}$,$∴ AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,$∴$ 由勾股定理得 $AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{15^2+(15\sqrt{2})^2} = 15\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$, 故答案为 $15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们先根据已知的坡度和铅直高度BC的长度，求出水平宽度AC的长度；再结合△ABC是直角三角形的特点，利用勾股定理即可计算出坡面AB的长度。
【解析】
∵ 迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$，即铅直高度BC与水平宽度AC的比为$1:\sqrt{2}$，
∴ $BC:AC=1:\sqrt{2}$，
已知$BC=15\ \mathrm{m}$，代入比例可得$15:AC=1:\sqrt{2}$，解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{15^2+(15\sqrt{2})^2}=\sqrt{225+450}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于坡度相关的基础计算题，解题核心是准确理解坡度的含义，再结合直角三角形勾股定理计算坡面长度，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。我们先根据已知的坡度和铅直高度BC的长度，求出水平宽度AC的长度；再结合△ABC是直角三角形的特点，利用勾股定理即可计算出坡面AB的长度。
【解析】
∵ 迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$，即铅直高度BC与水平宽度AC的比为$1:\sqrt{2}$，
∴ $BC:AC=1:\sqrt{2}$，
已知$BC=15\ \mathrm{m}$，代入比例可得$15:AC=1:\sqrt{2}$，解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{15^2+(15\sqrt{2})^2}=\sqrt{225+450}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于坡度相关的基础计算题，解题核心是准确理解坡度的含义，再结合直角三角形勾股定理计算坡面长度，解题逻辑清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
