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8[2025青海中考]数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架,产量少一半”的农谚流传至今,现代科学揭示了其秘密:当支架与地面形成$65°$夹角时,既能在早春聚热防冻害,又能在盛夏分散强光,就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】
用两根竹竿交叉,斜插入地面,交叉点在何处会使支架与地面形成$65°$夹角?
【模型建立】
环节一:数据收集
两根竹竿长度均为1.8米,插入地下的部分为0.3米,竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为$65°$.
环节二:数学抽象
如图:已知线段$AB$与$CD$交于点$O$,$AB$,$CD$与直线$l$分别交于点$E$,$F$,$AB=CD=1.8\ \mathrm{m}$,$BE=DF=0.3\ \mathrm{m}$,$∠ AEF=∠ CFE=65°$,$EF=0.6\ \mathrm{m}$,求$OE$的长度.(结果精确到0.1,参考数据:$\sin 65°\approx0.91$,$\cos 65°\approx0.42$,$\tan 65°\approx2.14$)
【模型求解】
【问题总结】
交叉点$O$距顶端$A$的长度即$OA$为
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架,产量少一半”的农谚流传至今,现代科学揭示了其秘密:当支架与地面形成$65°$夹角时,既能在早春聚热防冻害,又能在盛夏分散强光,就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】
用两根竹竿交叉,斜插入地面,交叉点在何处会使支架与地面形成$65°$夹角?
【模型建立】
环节一:数据收集
两根竹竿长度均为1.8米,插入地下的部分为0.3米,竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为$65°$.
环节二:数学抽象
如图:已知线段$AB$与$CD$交于点$O$,$AB$,$CD$与直线$l$分别交于点$E$,$F$,$AB=CD=1.8\ \mathrm{m}$,$BE=DF=0.3\ \mathrm{m}$,$∠ AEF=∠ CFE=65°$,$EF=0.6\ \mathrm{m}$,求$OE$的长度.(结果精确到0.1,参考数据:$\sin 65°\approx0.91$,$\cos 65°\approx0.42$,$\tan 65°\approx2.14$)
【模型求解】
【问题总结】
交叉点$O$距顶端$A$的长度即$OA$为
0.8
$\mathrm{m}$时,支架与地面形成$65°$夹角,这样更贴合作物的生长规律.答案
8. 【解】【模型建立】如图,过 $O$ 点作 $OH ⊥ EF$,垂足为 $H$.
$∵ ∠AEF = ∠CFE = 65°$,
$∴ OE = OF$. $∵ EF = 0.6\ \mathrm{m}$,
$∴ EH = \frac{1}{2}EF = 0.3\ \mathrm{m}$. $∵$ 在 $Rt△OEH$ 中, $∠OHE = 90°$, $∠OEF = 65°$,
$∴ OE = \frac{EH}{\cos∠OEF} = \frac{0.3}{\cos65°} ≈ \frac{0.3}{0.42} ≈ 0.7(\mathrm{m})$.
【问题总结】$∵ AB=1.8\ \mathrm{m}$,$BE=0.3\ \mathrm{m}$,$∴ OA=AB-OE-BE=1.8-0.7-0.3=0.8(\mathrm{m})$. 故答案为 0.8.
解析
【分析】
要解决本题，首先根据已知的两个等角判断△OEF为等腰三角形，得到OE=OF；接着过O作OH垂直EF，利用等腰三角形三线合一的性质求出EH的长度；再在构造出的直角三角形OEH中，借助65°角的余弦值计算OE的长度；最后用竹竿AB的总长度减去BE和OE的长度，即可求出OA的长度。
【解析】
过点$O$作$OH ⊥ EF$，垂足为$H$。
$\because ∠ AEF = ∠ CFE = 65°$，
$\therefore OE = OF$，$△ OEF$为等腰三角形。
$\because OH ⊥ EF$，$EF=0.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore EH = \frac{1}{2}EF = 0.3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，$∠ OHE=90°$，$∠ OEH=65°$，
由余弦的定义可得$\cos∠ OEH = \frac{EH}{OE}$，
$\therefore OE = \frac{EH}{\cos65°} \approx \frac{0.3}{0.42} \approx 0.7\ \mathrm{m}$。
已知$AB=1.8\ \mathrm{m}$，$BE=0.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA = AB - BE - OE = 1.8 - 0.3 - 0.7 = 0.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
0.8
【知识点】
等腰三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题结合农业生产实际设置问题，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，结合等腰三角形性质和三角函数公式求解，贴近生活，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先根据已知的两个等角判断△OEF为等腰三角形，得到OE=OF；接着过O作OH垂直EF，利用等腰三角形三线合一的性质求出EH的长度；再在构造出的直角三角形OEH中，借助65°角的余弦值计算OE的长度；最后用竹竿AB的总长度减去BE和OE的长度，即可求出OA的长度。
【解析】
过点$O$作$OH ⊥ EF$，垂足为$H$。
$\because ∠ AEF = ∠ CFE = 65°$，
$\therefore OE = OF$，$△ OEF$为等腰三角形。
$\because OH ⊥ EF$，$EF=0.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore EH = \frac{1}{2}EF = 0.3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，$∠ OHE=90°$，$∠ OEH=65°$，
由余弦的定义可得$\cos∠ OEH = \frac{EH}{OE}$，
$\therefore OE = \frac{EH}{\cos65°} \approx \frac{0.3}{0.42} \approx 0.7\ \mathrm{m}$。
已知$AB=1.8\ \mathrm{m}$，$BE=0.3\ \mathrm{m}$，
$\therefore OA = AB - BE - OE = 1.8 - 0.3 - 0.7 = 0.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
0.8
【知识点】
等腰三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题结合农业生产实际设置问题，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，结合等腰三角形性质和三角函数公式求解，贴近生活，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
9[2025安徽中考]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.
工作人员在点A处测得点C的俯角为$23.8°$,测得点D的仰角为$36.9°$.已知$AB=13.20\ \mathrm{m}$,求$AD$的长(精确到$0.1\ \mathrm{m}$).
参考数据:$\sin 23.8° \approx 0.40$, $\cos 23.8° \approx 0.91$, $\tan 23.8° \approx 0.44$, $\sin 36.9° \approx 0.60$, $\cos 36.9° \approx 0.80$, $\tan 36.9° \approx 0.75$.
工作人员在点A处测得点C的俯角为$23.8°$,测得点D的仰角为$36.9°$.已知$AB=13.20\ \mathrm{m}$,求$AD$的长(精确到$0.1\ \mathrm{m}$).
参考数据:$\sin 23.8° \approx 0.40$, $\cos 23.8° \approx 0.91$, $\tan 23.8° \approx 0.44$, $\sin 36.9° \approx 0.60$, $\cos 36.9° \approx 0.80$, $\tan 36.9° \approx 0.75$.
答案
9. 【解】过点 $A$ 作 $AE ⊥ CD$,垂足为点 $E$.
由题意可知,四边形 $ABCE$ 为矩形,$∴ CE = AB = 13.20$.
在 $Rt△ACE$ 中,$\tan∠CAE = \frac{CE}{AE}$,
$∴ AE = \frac{13.20}{\tan23.8°} ≈ \frac{13.20}{0.44} = 30$.
在 $Rt△ADE$ 中,$\cos∠DAE = \frac{AE}{AD}$,
$∴ AD = \frac{30}{\cos36.9°} ≈ \frac{30}{0.80} = 37.5$,
$∴ AD$ 的长约为 $37.5\ \mathrm{m}$.
由题意可知,四边形 $ABCE$ 为矩形,$∴ CE = AB = 13.20$.
在 $Rt△ACE$ 中,$\tan∠CAE = \frac{CE}{AE}$,
$∴ AE = \frac{13.20}{\tan23.8°} ≈ \frac{13.20}{0.44} = 30$.
在 $Rt△ADE$ 中,$\cos∠DAE = \frac{AE}{AD}$,
$∴ AD = \frac{30}{\cos36.9°} ≈ \frac{30}{0.80} = 37.5$,
$∴ AD$ 的长约为 $37.5\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
遇到仰角俯角的实际应用问题，首先要通过作辅助线构造直角三角形，把已知条件转化到直角三角形中求解。第一步：过点A作AE⊥CD，可得四边形ABCE是矩形，从而得到CE=AB=13.20m，同时AE为两楼的水平距离；第二步：在Rt△ACE中，已知俯角∠CAE=23.8°和对边CE的长度，利用正切三角函数可求出水平距离AE的长；第三步：在Rt△ADE中，已知仰角∠DAE=36.9°和邻边AE的长，利用余弦三角函数即可求出斜边AD的长度。
【解析】
过点 $A$ 作 $AE ⊥ CD$，垂足为点 $E$。
由题意可知，$AB⊥BC$，$CD⊥BC$，$AE⊥CD$，因此四边形 $ABCE$ 为矩形，$\therefore CE = AB = 13.20\ \mathrm{m}$。
在 $Rt△ACE$ 中，$∠ CAE = 23.8°$，根据正切的定义：$\tan∠CAE = \frac{CE}{AE}$，
$\therefore AE = \frac{CE}{\tan23.8°} ≈ \frac{13.20}{0.44} = 30\ \mathrm{m}$。
在 $Rt△ADE$ 中，$∠ DAE = 36.9°$，根据余弦的定义：$\cos∠DAE = \frac{AE}{AD}$，
$\therefore AD = \frac{AE}{\cos36.9°} ≈ \frac{30}{0.80} = 37.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
$AD$ 的长约为 $37.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将实际问题转化为直角三角形中的边角计算问题，结合矩形性质和锐角三角函数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
遇到仰角俯角的实际应用问题，首先要通过作辅助线构造直角三角形，把已知条件转化到直角三角形中求解。第一步：过点A作AE⊥CD，可得四边形ABCE是矩形，从而得到CE=AB=13.20m，同时AE为两楼的水平距离；第二步：在Rt△ACE中，已知俯角∠CAE=23.8°和对边CE的长度，利用正切三角函数可求出水平距离AE的长；第三步：在Rt△ADE中，已知仰角∠DAE=36.9°和邻边AE的长，利用余弦三角函数即可求出斜边AD的长度。
【解析】
过点 $A$ 作 $AE ⊥ CD$，垂足为点 $E$。
由题意可知，$AB⊥BC$，$CD⊥BC$，$AE⊥CD$，因此四边形 $ABCE$ 为矩形，$\therefore CE = AB = 13.20\ \mathrm{m}$。
在 $Rt△ACE$ 中，$∠ CAE = 23.8°$，根据正切的定义：$\tan∠CAE = \frac{CE}{AE}$，
$\therefore AE = \frac{CE}{\tan23.8°} ≈ \frac{13.20}{0.44} = 30\ \mathrm{m}$。
在 $Rt△ADE$ 中，$∠ DAE = 36.9°$，根据余弦的定义：$\cos∠DAE = \frac{AE}{AD}$，
$\therefore AD = \frac{AE}{\cos36.9°} ≈ \frac{30}{0.80} = 37.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
$AD$ 的长约为 $37.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将实际问题转化为直角三角形中的边角计算问题，结合矩形性质和锐角三角函数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10[2025重庆中考]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上.
（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$，$\sqrt{7} \approx 2.65$）
(1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？
（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{5} \approx 2.24$，$\sqrt{7} \approx 2.65$）
(1)求BD的长度(结果保留小数点后一位)；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)？
答案
10. 【解】(1)如图所示,过点 A 作 $AE ⊥ CD$ 于 E,过点 B 作 $BF ⊥ CD$ 于 F,
$∴ ∠AED=∠BFC=90°$.
由题意得,$∠DAE=30°$,
$∴$ 在 $Rt△ADE$ 中,$AE=AD · \cos∠DAE=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$(千米),
$DE=AD · \sin∠DAE=20×\frac{1}{2}=10$(千米).
$∵$ 甲无人机位于 A 的正东方向 10 千米的 B 处,D 位于 C 的正西方向上,
$∴ AB//CD$,
$∴ AE ⊥ AB$,$BF ⊥ AB$,
$∴$ 四边形 $AEFB$ 是矩形,
$∴ EF=AB=10$ 千米,$BF=AE=10\sqrt{3}$ 千米,
$∴ DF=DE+EF=20$ 千米,
$∴ BD = \sqrt{DF^2+BF^2} = \sqrt{20^2+(10\sqrt{3})^2} = 10\sqrt{7} ≈ 26.5$(千米).
答:$BD$ 的长度约为 26.5 千米.
(2)如图所示,设甲无人机飞到 $M$,乙无人机飞到 $N$ 时,两无人机相距 20 千米,连接 $MN$,过点 $M$ 作 $MT ⊥ CD$ 于 $T$,$∴ MN=20$ 千米.
由题意得,$∠BCF=90°-30°=60°$,
$∴$ 在 $Rt△FBC$ 中,$BC = \frac{BF}{\sin∠BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20$(千米),
$CF = \frac{BF}{\tan∠BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$(千米),
$∴ CD=DF+CF=30$ 千米.
由题意可设 $BM=x$ 千米,则 $DN=2x$ 千米,$CM=(20-x)$千米.
在 $Rt△CMT$ 中,$CT=CM · \cos∠MCT = (20-x)×\frac{1}{2} = (10-\frac{1}{2}x)$千米,
$MT=CM · \sin∠MCT = (20-x)×\frac{\sqrt{3}}{2} = (10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)$千米,
$∴ TN = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10-\frac{1}{2}x) = (20-\frac{3}{2}x)$千米.
在 $Rt△MNT$ 中,由勾股定理得 $MN^2 = MT^2 + NT^2$,
$∴ 20^2 = (10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (20-\frac{3}{2}x)^2$,
$∴ x=15-5\sqrt{5}$ 或 $x=15+5\sqrt{5}$(舍去),
$∴ BM=15-5\sqrt{5} ≈ 3.8$(千米).
答:甲无人机飞离 B 处约 3.8 千米时,两无人机可以开始相互接收到信号.
解析
【分析】
(1) 求BD长度需将其放入直角三角形中计算，结合方位角条件，可过点A、B分别作CD的垂线，先利用直角三角形边角关系求出DE、AE的长度，再由AB//CD判定所得四边形为矩形，得到EF、BF的长度，进而求出DF的长度，最后用勾股定理计算BD即可。
(2) 先在Rt△BFC中求出BC、CF的长度，得到CD总长；设甲飞离B处x千米，根据速度关系得到乙飞行的距离，过M作CD的垂线构造直角三角形，用含x的式子表示出MT、NT的长度，结合两机距离为20千米的条件，利用勾股定理列方程求解，再舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 过点A作 $AE ⊥ CD$ 于 E，过点 B 作 $BF ⊥ CD$ 于 F，
$∴ ∠AED=∠BFC=90°$.
由题意得，$∠DAE=30°$，
在 $Rt△ADE$ 中，$AE=AD · \cos∠DAE=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$（千米），
$DE=AD · \sin∠DAE=20×\frac{1}{2}=10$（千米）.
$∵$ 甲无人机位于 A 的正东方向 10 千米的 B 处，D 位于 C 的正西方向上，
$∴ AB//CD$，
$∴ AE ⊥ AB$，$BF ⊥ AB$，
$∴$ 四边形 $AEFB$ 是矩形，
$∴ EF=AB=10$ 千米，$BF=AE=10\sqrt{3}$ 千米，
$∴ DF=DE+EF=20$ 千米，
$∴ BD = \sqrt{DF^2+BF^2} = \sqrt{20^2+(10\sqrt{3})^2} = 10\sqrt{7} ≈ 26.5$（千米）.
(2) 设甲无人机飞到 $M$，乙无人机飞到 $N$ 时，两无人机相距 20 千米，连接 $MN$，过点 $M$ 作 $MT ⊥ CD$ 于 $T$，$∴ MN=20$ 千米.
由题意得，$∠BCF=90°-30°=60°$，
在 $Rt△FBC$ 中，$BC = \frac{BF}{\sin∠BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20$（千米），
$CF = \frac{BF}{\tan∠BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$（千米），
$∴ CD=DF+CF=30$ 千米.
设 $BM=x$ 千米，由乙速度是甲的2倍，得 $DN=2x$ 千米，$CM=(20-x)$千米.
在 $Rt△CMT$ 中，$CT=CM · \cos∠MCT = (20-x)×\frac{1}{2} = (10-\frac{1}{2}x)$千米，
$MT=CM · \sin∠MCT = (20-x)×\frac{\sqrt{3}}{2} = (10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)$千米，
$∴ TN = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10-\frac{1}{2}x) = (20-\frac{3}{2}x)$千米.
在 $Rt△MNT$ 中，由勾股定理得 $MN^2 = MT^2 + NT^2$，
$∴ 20^2 = (10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (20-\frac{3}{2}x)^2$，
解得 $x=15-5\sqrt{5}$ 或 $x=15+5\sqrt{5}$（超过BC长度，舍去），
$∴ BM=15-5\sqrt{5} ≈ 3.8$（千米）.
【答案】
(1) $BD$ 的长度约为 $\boldsymbol{26.5}$ 千米；
(2) 甲无人机飞离 $B$ 处约 $\boldsymbol{3.8}$ 千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 勾股定理
3. 矩形的判定与性质
【点评】
本题以实际应用为背景，结合方位角考查了解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，求解方程后要注意结合实际意义取舍根。
【难度系数】
0.6
(1) 求BD长度需将其放入直角三角形中计算，结合方位角条件，可过点A、B分别作CD的垂线，先利用直角三角形边角关系求出DE、AE的长度，再由AB//CD判定所得四边形为矩形，得到EF、BF的长度，进而求出DF的长度，最后用勾股定理计算BD即可。
(2) 先在Rt△BFC中求出BC、CF的长度，得到CD总长；设甲飞离B处x千米，根据速度关系得到乙飞行的距离，过M作CD的垂线构造直角三角形，用含x的式子表示出MT、NT的长度，结合两机距离为20千米的条件，利用勾股定理列方程求解，再舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 过点A作 $AE ⊥ CD$ 于 E，过点 B 作 $BF ⊥ CD$ 于 F，
$∴ ∠AED=∠BFC=90°$.
由题意得，$∠DAE=30°$，
在 $Rt△ADE$ 中，$AE=AD · \cos∠DAE=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$（千米），
$DE=AD · \sin∠DAE=20×\frac{1}{2}=10$（千米）.
$∵$ 甲无人机位于 A 的正东方向 10 千米的 B 处，D 位于 C 的正西方向上，
$∴ AB//CD$，
$∴ AE ⊥ AB$，$BF ⊥ AB$，
$∴$ 四边形 $AEFB$ 是矩形，
$∴ EF=AB=10$ 千米，$BF=AE=10\sqrt{3}$ 千米，
$∴ DF=DE+EF=20$ 千米，
$∴ BD = \sqrt{DF^2+BF^2} = \sqrt{20^2+(10\sqrt{3})^2} = 10\sqrt{7} ≈ 26.5$（千米）.
(2) 设甲无人机飞到 $M$，乙无人机飞到 $N$ 时，两无人机相距 20 千米，连接 $MN$，过点 $M$ 作 $MT ⊥ CD$ 于 $T$，$∴ MN=20$ 千米.
由题意得，$∠BCF=90°-30°=60°$，
在 $Rt△FBC$ 中，$BC = \frac{BF}{\sin∠BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 20$（千米），
$CF = \frac{BF}{\tan∠BCF} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$（千米），
$∴ CD=DF+CF=30$ 千米.
设 $BM=x$ 千米，由乙速度是甲的2倍，得 $DN=2x$ 千米，$CM=(20-x)$千米.
在 $Rt△CMT$ 中，$CT=CM · \cos∠MCT = (20-x)×\frac{1}{2} = (10-\frac{1}{2}x)$千米，
$MT=CM · \sin∠MCT = (20-x)×\frac{\sqrt{3}}{2} = (10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)$千米，
$∴ TN = CD - DN - CT = 30 - 2x - (10-\frac{1}{2}x) = (20-\frac{3}{2}x)$千米.
在 $Rt△MNT$ 中，由勾股定理得 $MN^2 = MT^2 + NT^2$，
$∴ 20^2 = (10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2 + (20-\frac{3}{2}x)^2$，
解得 $x=15-5\sqrt{5}$ 或 $x=15+5\sqrt{5}$（超过BC长度，舍去），
$∴ BM=15-5\sqrt{5} ≈ 3.8$（千米）.
【答案】
(1) $BD$ 的长度约为 $\boldsymbol{26.5}$ 千米；
(2) 甲无人机飞离 $B$ 处约 $\boldsymbol{3.8}$ 千米时，两无人机可以开始相互接收到信号。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 勾股定理
3. 矩形的判定与性质
【点评】
本题以实际应用为背景，结合方位角考查了解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，求解方程后要注意结合实际意义取舍根。
【难度系数】
0.6
