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1[2026安徽六安校级期末]如图，一个人从山脚下的点A出发，沿山坡小路AB走到山顶点B.已知坡角为$20°$，山高$BC=2$千米.用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（
A
）答案
1. A 【解析】在 $Rt△ABC$ 中,$∵ \sin20°=\frac{BC}{AB}$,$∴ AB=\frac{BC}{\sin20°}=2÷\sin20°$. 故选 A.
解析
【分析】
首先观察图形可确定△ABC是直角三角形，∠C=90°，坡角∠BAC=20°，已知直角边BC的长度，要求斜边AB的长度，应选用正弦函数的定义建立边的等量关系。先根据正弦函数定义写出sin20°与BC、AB的关系，再变形得到AB的表达式，最后对应科学计算器的按键顺序即可选出正确选项。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=20°$，$BC=2$千米。
根据锐角三角函数的定义：$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
代入已知条件得：$\sin20°=\frac{2}{AB}$，
变形可得$AB=\frac{2}{\sin20°}=2÷\sin20°$，
对应科学计算器的按键顺序为先按2，再按除号，接着按sin键，最后按20，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形应用，计算器使用
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是明确坡角的含义，准确选择匹配的锐角三角函数建立边长关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可确定△ABC是直角三角形，∠C=90°，坡角∠BAC=20°，已知直角边BC的长度，要求斜边AB的长度，应选用正弦函数的定义建立边的等量关系。先根据正弦函数定义写出sin20°与BC、AB的关系，再变形得到AB的表达式，最后对应科学计算器的按键顺序即可选出正确选项。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=20°$，$BC=2$千米。
根据锐角三角函数的定义：$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
代入已知条件得：$\sin20°=\frac{2}{AB}$，
变形可得$AB=\frac{2}{\sin20°}=2÷\sin20°$，
对应科学计算器的按键顺序为先按2，再按除号，接着按sin键，最后按20，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义，解直角三角形应用，计算器使用
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是明确坡角的含义，准确选择匹配的锐角三角函数建立边长关系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
2 如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$的三个顶点都在网格线的交点上,$D$为$AB$与网格线的交点,下列结论中不正确的是 (
A.$\tan A=\dfrac{1}{2}$
B.$∠ ACB=90°$
C.$CD≠\dfrac{1}{2}AB$
D.$\cos B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
(第2题图)
(第3题图)
C
)A.$\tan A=\dfrac{1}{2}$
B.$∠ ACB=90°$
C.$CD≠\dfrac{1}{2}AB$
D.$\cos B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
(第2题图)
(第3题图)
答案
2. C 【解析】由题意得,$AC^2=2^2+4^2=20$,$BC^2=1^2+2^2=5$,$AB^2=3^2+4^2=25$,$∴ AC^2+BC^2=AB^2$,$∴ △ABC$ 是直角三角形,$∠ACB=90°$,故 B 正确,不符合题意;$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$,故 A 正确,不符合题意;如图,取格点 E,F.$∵ DE//BF$,$∴ ∠AED=∠AFB$,$∠ADE = ∠ABF$,$∴ △AED ∽ △AFB$,$∴ \frac{ED}{BF}=\frac{AE}{AF}=\frac{1}{2}$. $∵ BF=3$,$∴ DE=\frac{3}{2}$,$∴ CD=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=\frac{1}{2}AB$,故 C 错误,符合题意;$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,故 D 正确,不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这道网格中的三角形结论判断问题，可按以下思路分析：①先利用勾股定理计算△ABC三边的平方，通过勾股定理逆定理判断△ABC是否为直角三角形，验证B选项；②结合直角三角形的边角关系，分别计算tanA、cosB的值，验证A、D选项；③要判断CD与AB的数量关系，可构造相似三角形求出CD的长度，和$\frac{1}{2}AB$对比，最终选出错误的选项。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC各边的平方：$AC^2=2^2+4^2=20$，$BC^2=1^2+2^2=5$，$AB^2=3^2+4^2=25$，可得$AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，根据勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，$∠ ACB=90°$，故B选项正确，不符合题意。
2. 验证A选项：在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，故A选项正确，不符合题意。
3. 验证C选项：取格点E、F，$\because DE// BF$，$\therefore ∠ AED=∠ AFB$，$∠ ADE=∠ ABF$，$\therefore △ AED ∽ △ AFB$，相似比$\frac{AE}{AF}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{ED}{BF}=\frac{1}{2}$，$\because BF=3$，$\therefore DE=\frac{3}{2}$，可得$CD=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，又$\because AB=\sqrt{25}=5$，$\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$，故C选项错误，符合题意。
4. 验证D选项：在$Rt△ ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，故D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质
【点评】
本题以网格为背景考查三角形的相关计算，属于基础常考题，解题时需要逐个验证选项，熟练运用相关几何性质进行推导即可完成解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道网格中的三角形结论判断问题，可按以下思路分析：①先利用勾股定理计算△ABC三边的平方，通过勾股定理逆定理判断△ABC是否为直角三角形，验证B选项；②结合直角三角形的边角关系，分别计算tanA、cosB的值，验证A、D选项；③要判断CD与AB的数量关系，可构造相似三角形求出CD的长度，和$\frac{1}{2}AB$对比，最终选出错误的选项。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算△ABC各边的平方：$AC^2=2^2+4^2=20$，$BC^2=1^2+2^2=5$，$AB^2=3^2+4^2=25$，可得$AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，根据勾股定理逆定理可知△ABC是直角三角形，$∠ ACB=90°$，故B选项正确，不符合题意。
2. 验证A选项：在$Rt△ ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，故A选项正确，不符合题意。
3. 验证C选项：取格点E、F，$\because DE// BF$，$\therefore ∠ AED=∠ AFB$，$∠ ADE=∠ ABF$，$\therefore △ AED ∽ △ AFB$，相似比$\frac{AE}{AF}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{ED}{BF}=\frac{1}{2}$，$\because BF=3$，$\therefore DE=\frac{3}{2}$，可得$CD=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，又$\because AB=\sqrt{25}=5$，$\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$，故C选项错误，符合题意。
4. 验证D选项：在$Rt△ ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，故D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质
【点评】
本题以网格为背景考查三角形的相关计算，属于基础常考题，解题时需要逐个验证选项，熟练运用相关几何性质进行推导即可完成解答。
【难度系数】
0.7
3[2026安徽滁州期末]如图为楼梯的示意图，$BC ⊥ AC$，$∠ BAC = α$，$AC = 5$米. 现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度为（
A.$(\dfrac{5}{\tan α} + 5)$米
B.$(5\tan α + 5)$米
C.$\dfrac{5}{\cos α}$米
D.$\dfrac{5}{\sini α}$米
B
）A.$(\dfrac{5}{\tan α} + 5)$米
B.$(5\tan α + 5)$米
C.$\dfrac{5}{\cos α}$米
D.$\dfrac{5}{\sin
答案
3. B 【解析】在 $Rt△ABC$ 中,$∠C=90°$,所以 $BC=AC · \tan∠BAC=5\tan α$ 米,所以地毯的长度为 $BC+AC=(5\tan α+5)$米,故选 B.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确地毯长度的构成：将每级台阶的竖直高度向下平移、水平宽度向左平移，可知所有竖直高度的和等于BC的长度，所有水平宽度的和等于AC的长度，因此地毯总长度为AC与BC的长度和。接下来在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长度，再与AC相加即可得到最终结果。
【解析】
解：根据平移的性质，地毯的长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和的总和，即地毯长度=BC+AC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α，AC=5米，
由正切的定义可得：$\tanα=\frac{BC}{AC}$，
因此$BC=AC·\tanα=5\tanα$（米），
所以地毯的总长度为$AC+BC=(5\tanα +5)$米。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活中铺楼梯地毯的实际场景命题，解题的关键是通过平移将地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，再结合锐角三角函数计算未知边长，是一道贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确地毯长度的构成：将每级台阶的竖直高度向下平移、水平宽度向左平移，可知所有竖直高度的和等于BC的长度，所有水平宽度的和等于AC的长度，因此地毯总长度为AC与BC的长度和。接下来在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长度，再与AC相加即可得到最终结果。
【解析】
解：根据平移的性质，地毯的长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和的总和，即地毯长度=BC+AC。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α，AC=5米，
由正切的定义可得：$\tanα=\frac{BC}{AC}$，
因此$BC=AC·\tanα=5\tanα$（米），
所以地毯的总长度为$AC+BC=(5\tanα +5)$米。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活中铺楼梯地毯的实际场景命题，解题的关键是通过平移将地毯长度转化为直角三角形两条直角边的长度和，再结合锐角三角函数计算未知边长，是一道贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
4[2025安徽无为期中]在锐角$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，若$\tan∠ BAD=\dfrac{1}{2}$，$\tan∠ CAD=\dfrac{1}{3}$，则$∠ BAC$的度数是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
4. B 【解析】如图所示, $∵ \tan∠BAD=\frac{1}{2}$,$\tan∠CAD=\frac{1}{3}$,$∴$ 设 $AD=x$,则 $BD=\frac{1}{2}x$,$CD=\frac{1}{3}x$. 在 $Rt△ABD$ 中,$AB=\sqrt{x^2+(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$,同理可得,$AC=\frac{\sqrt{10}}{3}x$. 过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线, 垂足为 $E$, 则 $\frac{1}{2}AB · CE=\frac{1}{2}BC · AD$,$∴ CE=\frac{\sqrt{5}}{3}x$. 在 $Rt△ACE$ 中,$\sin∠EAC=\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}x}{\frac{\sqrt{10}}{3}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$∴ ∠BAC=∠EAC=45°$. 故选 B.
解析
【分析】
要求∠BAC的度数，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和，已知两个角的正切值，我们可以先结合AD⊥BC的条件设参数表示出相关线段的长度：首先设AD的长度为x，利用正切的定义表示出BD、CD，再通过勾股定理求出AB、AC的长度；接下来要确定∠BAC的度数，可构造∠BAC所在的直角三角形，因此过C作CE⊥AB，利用三角形面积相等的等面积法求出CE的长度，最后在Rt△ACE中计算∠BAC的正弦值，结合特殊角的三角函数值即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，$\tan∠BAD=\dfrac{1}{2}$，$\tan∠CAD=\dfrac{1}{3}$，
∴设$AD=x$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$\tan∠BAD=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{1}{2}$，则$BD=\dfrac{1}{2}x$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{x^2+(\dfrac{1}{2}x)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x$；
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan∠CAD=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{3}$，则$CD=\dfrac{1}{3}x$，
同理可得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{x^2+(\dfrac{1}{3}x)^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}x$；
过点$C$作$CE⊥AB$，垂足为$E$，
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AB·CE=\dfrac{1}{2}BC·AD$，
其中$BC=BD+CD=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x=\dfrac{5}{6}x$，代入得：
$\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}}{2}x·CE=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{6}x·x$，
化简解得：$CE=\dfrac{\sqrt{5}}{3}x$；
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$\sin∠EAC=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}x}{\dfrac{\sqrt{10}}{3}x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
又
∵$△ABC$是锐角三角形，$∠BAC$为锐角，
∴$∠BAC=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题综合考查了锐角三角函数的应用、勾股定理以及等面积法的运用，解题的关键是合理设参数表示各边长度，通过构造直角三角形将所求角转化到直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求解，渗透了数形结合与转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求∠BAC的度数，∠BAC是∠BAD与∠CAD的和，已知两个角的正切值，我们可以先结合AD⊥BC的条件设参数表示出相关线段的长度：首先设AD的长度为x，利用正切的定义表示出BD、CD，再通过勾股定理求出AB、AC的长度；接下来要确定∠BAC的度数，可构造∠BAC所在的直角三角形，因此过C作CE⊥AB，利用三角形面积相等的等面积法求出CE的长度，最后在Rt△ACE中计算∠BAC的正弦值，结合特殊角的三角函数值即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，$\tan∠BAD=\dfrac{1}{2}$，$\tan∠CAD=\dfrac{1}{3}$，
∴设$AD=x$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$\tan∠BAD=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{1}{2}$，则$BD=\dfrac{1}{2}x$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{x^2+(\dfrac{1}{2}x)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x$；
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan∠CAD=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{3}$，则$CD=\dfrac{1}{3}x$，
同理可得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{x^2+(\dfrac{1}{3}x)^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{3}x$；
过点$C$作$CE⊥AB$，垂足为$E$，
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AB·CE=\dfrac{1}{2}BC·AD$，
其中$BC=BD+CD=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x=\dfrac{5}{6}x$，代入得：
$\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}}{2}x·CE=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{6}x·x$，
化简解得：$CE=\dfrac{\sqrt{5}}{3}x$；
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$\sin∠EAC=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}x}{\dfrac{\sqrt{10}}{3}x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
又
∵$△ABC$是锐角三角形，$∠BAC$为锐角，
∴$∠BAC=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题综合考查了锐角三角函数的应用、勾股定理以及等面积法的运用，解题的关键是合理设参数表示各边长度，通过构造直角三角形将所求角转化到直角三角形中，结合特殊角的三角函数值求解，渗透了数形结合与转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
5 新考向 传统文化 [2026安徽淮北校级质检]在一次课题学习中,某学习小组受赵爽弦图的启发,将正方形改编成矩形,如图所示,两对全等的直角三角形($△ AHD ≌ △ CFB$, $△ ABE ≌ △ CDG$)和矩形EFGH拼成大矩形ABCD.连接CH,设$∠ CHG = α$, $∠ CDG = β$.若$BC = 2AB$, $\tanβ = \tan^2α$,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为（
A.$\dfrac{13}{34}$
B.$\dfrac{7}{17}$
C.$\dfrac{15}{34}$
D.$\dfrac{8}{17}$
B
）A.$\dfrac{13}{34}$
B.$\dfrac{7}{17}$
C.$\dfrac{15}{34}$
D.$\dfrac{8}{17}$
答案
5. B 【解析】$∵$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$BC=2AB$,$∴ AB=CD$,$AD=BC$,$∴ AD=2CD$. 设 $CG=x$, $HG=y$. $∵ △AHD ≌ △CFB$, $△ABE ≌ △CDG$, 且这四个三角形均为直角三角形,$∴ AE = CG = x$, $∠AHD = ∠DGC = 90°$,$∴ ∠DAH+∠ADH = ∠ADH+∠CDG = 90°$,$∴ ∠CDG=∠DAH$,$∴ △ADH ∽ △DCG$,$∴ \frac{DH}{CG}=\frac{AH}{DG}=\frac{AD}{CD}=2$,$∴ DH=2x$,$∴ DG=2x+y$,$∴ AH=4x+2y$,$∴ EH=3x+2y$. $∵ ∠CHG=α$,$∠CDG=β$,$\tanβ=\tan^2α$,$∴ \frac{x}{2x+y}=(\frac{x}{y})^2$,$∴ y^2-2xy-2x^2=0$,$∴ (y-2x)(y+x)=0$. $∵ y+x≠0$,$∴ y=2x$,$∴ DG=4x$,$EH=7x$,$∴ DC=\sqrt{DG^2+CG^2}=\sqrt{17}x$,$AD=2\sqrt{17}x$,$∴ \frac{S_{矩形EFGH}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{7x×2x}{\sqrt{17}x×2\sqrt{17}x}=\frac{7}{17}$,故选 B.
解析
【分析】
解题时首先利用矩形的性质得到边的倍分关系，结合已知全等直角三角形的角的互余关系推出相似三角形，通过相似比用所设未知数表示各相关线段的长度；再根据锐角三角函数的定义，结合题中$\tanβ=\tan^2α$的条件列方程，求解得到未知数之间的数量关系；最后分别计算两个矩形的面积，求出面积比即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，$BC=2AB$，
∴$AB=CD$，$AD=BC$，即$AD=2CD$。
设$CG=x$，$HG=y$。
∵$△ AHD ≌ △ CFB$，$△ ABE ≌ △ CDG$，且四个三角形均为直角三角形，
∴$AE = CG = x$，$∠ AHD = ∠ DGC = 90°$，
∴$∠ DAH+∠ ADH = ∠ ADH+∠ CDG = 90°$，
∴$∠ CDG=∠ DAH$，
∴$△ ADH ∽ △ DCG$，
∴$\frac{DH}{CG}=\frac{AH}{DG}=\frac{AD}{CD}=2$，
∴$DH=2x$，$DG=DH+HG=2x+y$，
∴$AH=2DG=2(2x+y)=4x+2y$，
∴$EH=AH-AE=4x+2y-x=3x+2y$。
∵$∠ CHG=α$，$∠ CDG=β$，$\tanβ=\tan^2α$，
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$\tanβ=\frac{CG}{DG}=\frac{x}{2x+y}$；在$\mathrm{Rt}△ CHG$中，$\tanα=\frac{CG}{HG}=\frac{x}{y}$，
∴$\frac{x}{2x+y}=(\frac{x}{y})^2$，
∵$x≠0$，两边同时除以$x$得$\frac{1}{2x+y}=\frac{x}{y^2}$，
交叉相乘整理得$y^2-xy-2x^2=0$，因式分解得$(y-2x)(y+x)=0$，
∵$y+x≠0$，
∴$y=2x$，
∴$DG=2x+2x=4x$，$EH=3x+2×2x=7x$，
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$DC=\sqrt{DG^2+CG^2}=\sqrt{(4x)^2+x^2}=\sqrt{17}x$，
∴$AD=2DC=2\sqrt{17}x$，
∴$S_{矩形EFGH}=EH· HG=7x·2x=14x^2$，$S_{矩形ABCD}=AD· DC=2\sqrt{17}x·\sqrt{17}x=34x^2$，
∴$\frac{S_{矩形EFGH}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{14x^2}{34x^2}=\frac{7}{17}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题以赵爽弦图的改编图形为背景，综合考查了几何图形性质与代数计算的结合，解题关键是合理设未知数，通过几何关系建立方程求解，能有效考查数形结合能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用矩形的性质得到边的倍分关系，结合已知全等直角三角形的角的互余关系推出相似三角形，通过相似比用所设未知数表示各相关线段的长度；再根据锐角三角函数的定义，结合题中$\tanβ=\tan^2α$的条件列方程，求解得到未知数之间的数量关系；最后分别计算两个矩形的面积，求出面积比即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，$BC=2AB$，
∴$AB=CD$，$AD=BC$，即$AD=2CD$。
设$CG=x$，$HG=y$。
∵$△ AHD ≌ △ CFB$，$△ ABE ≌ △ CDG$，且四个三角形均为直角三角形，
∴$AE = CG = x$，$∠ AHD = ∠ DGC = 90°$，
∴$∠ DAH+∠ ADH = ∠ ADH+∠ CDG = 90°$，
∴$∠ CDG=∠ DAH$，
∴$△ ADH ∽ △ DCG$，
∴$\frac{DH}{CG}=\frac{AH}{DG}=\frac{AD}{CD}=2$，
∴$DH=2x$，$DG=DH+HG=2x+y$，
∴$AH=2DG=2(2x+y)=4x+2y$，
∴$EH=AH-AE=4x+2y-x=3x+2y$。
∵$∠ CHG=α$，$∠ CDG=β$，$\tanβ=\tan^2α$，
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$\tanβ=\frac{CG}{DG}=\frac{x}{2x+y}$；在$\mathrm{Rt}△ CHG$中，$\tanα=\frac{CG}{HG}=\frac{x}{y}$，
∴$\frac{x}{2x+y}=(\frac{x}{y})^2$，
∵$x≠0$，两边同时除以$x$得$\frac{1}{2x+y}=\frac{x}{y^2}$，
交叉相乘整理得$y^2-xy-2x^2=0$，因式分解得$(y-2x)(y+x)=0$，
∵$y+x≠0$，
∴$y=2x$，
∴$DG=2x+2x=4x$，$EH=3x+2×2x=7x$，
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$DC=\sqrt{DG^2+CG^2}=\sqrt{(4x)^2+x^2}=\sqrt{17}x$，
∴$AD=2DC=2\sqrt{17}x$，
∴$S_{矩形EFGH}=EH· HG=7x·2x=14x^2$，$S_{矩形ABCD}=AD· DC=2\sqrt{17}x·\sqrt{17}x=34x^2$，
∴$\frac{S_{矩形EFGH}}{S_{矩形ABCD}}=\frac{14x^2}{34x^2}=\frac{7}{17}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题以赵爽弦图的改编图形为背景，综合考查了几何图形性质与代数计算的结合，解题关键是合理设未知数，通过几何关系建立方程求解，能有效考查数形结合能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6[2025安徽合肥质检]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$\sin∠ ACB=\dfrac{1}{4}$,$ED$垂直平分$AC$,交$BC$于点$D$,交$AC$于点$F$,连接$AE$,$CE$,若$AE=DE$,则$\dfrac{AE}{AB}$的值为 (
A.$\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
B.$\sqrt{15}$
C.$2$
D.$4$
(第6题图)
(第7题图)
D
)A.$\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
B.$\sqrt{15}$
C.$2$
D.$4$
(第6题图)
(第7题图)
答案
6. D 【解析】如图,连接 $AD$. $∵ ED$ 垂直平分 $AC$,$∴ ∠AFE=90°$,$AF=CF$. $∵ ∠BAC=90°$,$∴ DF//AB$,$∴ CD=BD$,$∴ AD=\frac{1}{2}BC$,$∴ AD = BD$,$∴ ∠B=∠BAD$. $∵ DF//AB$,$∴ ∠ADE=∠BAD$. $∵ AE = DE$,$∴ ∠EAD = ∠ADE$,$∴ ∠B = ∠BAD = ∠EAD = ∠EDA$,$∴ △EAD ∽ △DAB$,$∴ \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$. $∵ ∠BAC=90°$,$∴ \sin∠ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{2AD}=\frac{1}{4}$,$∴ AD=2AB$,$∴ AE=2AD=4AB$,$∴ \frac{AE}{AB}=4$. 故选 D.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①ED垂直平分AC，可推出DF⊥AC、F是AC中点，结合∠BAC=90°，可得DF是△ABC的中位线，进而得到D是BC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得到AD=BD，推出角相等；②结合AE=DE的等边对等角性质，可得到两组角对应相等，证明△EAD和△DAB相似，得到线段比例关系；③最后利用sin∠ACB的已知值，推导AB和AD的数量关系，代入比例式即可求出AE与AB的比值。
【解析】
解：如图，连接$AD$.
$∵ ED$垂直平分$AC$，$∴ ∠AFE=90°$，$AF=CF$.
$∵ ∠BAC=90°$，$∴ DF// AB$，$∴ D$是$BC$的中点，即$CD=BD$.
在$Rt△ABC$中，$AD$是斜边$BC$的中线，$∴ AD=\frac{1}{2}BC=BD$，$∴ ∠B=∠BAD$.
$∵ DF// AB$，$∴ ∠ADE=∠BAD$.
$∵ AE = DE$，$∴ ∠EAD = ∠ADE$，
$∴ ∠B = ∠BAD = ∠EAD = ∠EDA$，$∴ △EAD ∽ △DAB$，
$∴ \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$.
$∵ ∠BAC=90°$，$∴ \sin∠ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{2AD}=\frac{1}{4}$，解得$AD=2AB$.
将$AD=2AB$代入$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，得$\frac{AE}{2AB}=\frac{2AB}{AB}=2$，$∴ AE=4AB$，
$∴ \frac{AE}{AB}=4$.
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了多个几何核心知识点，解题的关键是正确作出辅助线$AD$，通过角的等量关系证明三角形相似，再结合三角函数的比例关系推导线段比值，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①ED垂直平分AC，可推出DF⊥AC、F是AC中点，结合∠BAC=90°，可得DF是△ABC的中位线，进而得到D是BC中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得到AD=BD，推出角相等；②结合AE=DE的等边对等角性质，可得到两组角对应相等，证明△EAD和△DAB相似，得到线段比例关系；③最后利用sin∠ACB的已知值，推导AB和AD的数量关系，代入比例式即可求出AE与AB的比值。
【解析】
解：如图，连接$AD$.
$∵ ED$垂直平分$AC$，$∴ ∠AFE=90°$，$AF=CF$.
$∵ ∠BAC=90°$，$∴ DF// AB$，$∴ D$是$BC$的中点，即$CD=BD$.
在$Rt△ABC$中，$AD$是斜边$BC$的中线，$∴ AD=\frac{1}{2}BC=BD$，$∴ ∠B=∠BAD$.
$∵ DF// AB$，$∴ ∠ADE=∠BAD$.
$∵ AE = DE$，$∴ ∠EAD = ∠ADE$，
$∴ ∠B = ∠BAD = ∠EAD = ∠EDA$，$∴ △EAD ∽ △DAB$，
$∴ \frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$.
$∵ ∠BAC=90°$，$∴ \sin∠ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{2AD}=\frac{1}{4}$，解得$AD=2AB$.
将$AD=2AB$代入$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，得$\frac{AE}{2AB}=\frac{2AB}{AB}=2$，$∴ AE=4AB$，
$∴ \frac{AE}{AB}=4$.
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了多个几何核心知识点，解题的关键是正确作出辅助线$AD$，通过角的等量关系证明三角形相似，再结合三角函数的比例关系推导线段比值，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$BC=2\sqrt{2}$，$P$为$BC$上的动点，则$3AP+BP$的最小值是（
A.$4\sqrt{2}$
B.$5$
C.$3\sqrt{3}$
D.$5\sqrt{2}$
A
）A.$4\sqrt{2}$
B.$5$
C.$3\sqrt{3}$
D.$5\sqrt{2}$
答案
7. A 【解析】如图,延长 $AC$ 到 $H$,使得 $CH=AC$,连接 $BH$,过点 $P$ 作 $PJ ⊥ BH$ 于 $J$,过点 $A$ 作 $AK ⊥ BH$ 于 $K$.
$∵ ∠ACB=90°$,$BC=2\sqrt{2}$,$AC=1$,$∴ AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1^2}=3$. $∵ BC ⊥ AH$,$AC=CH$,$∴ BA=BH=3$,$∴ \sin∠CBH=\frac{CH}{BH}=\frac{1}{3}$,$∴ \sin∠PBJ=\frac{PJ}{PB}=\frac{1}{3}$,$∴ PJ=\frac{1}{3}PB$. $∵ S_{△ABH}=\frac{1}{2}AH · BC=\frac{1}{2}BH · AK$,$∴ AK=\frac{BC · AH}{BH}=\frac{2\sqrt{2}×2}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$. $∵ 3AP+PB=3(AP+\frac{1}{3}BP)=3(AP+PJ)$,$AP+PJ≥AK$,$∴ 3AP+PB≥4\sqrt{2}$,$∴ 3AP+PB$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$,故选 A.
解析
【分析】
本题是带系数的线段和最小值问题，属于胡不归模型应用类题目，解题思路如下：①先对所求式子变形，将$3AP+BP$转化为$3(AP+\frac{1}{3}BP)$，只需求出$AP+\frac{1}{3}BP$的最小值再乘3即可；②构造角度使得该角的正弦值为$\frac{1}{3}$，即可将$\frac{1}{3}BP$转化为某条垂线段的长度，把折线段和转化为点到直线的距离问题；③根据垂线段最短的性质，过点A作对应直线的垂线，垂线段长度就是$AP+\frac{1}{3}BP$的最小值，代入计算即可得到最终结果。
【解析】
解：如图，延长 $AC$ 到 $H$，使得 $CH=AC$，连接 $BH$，过点 $P$ 作 $PJ ⊥ BH$ 于 $J$，过点 $A$ 作 $AK ⊥ BH$ 于 $K$.
$\because ∠ACB=90°$，$BC=2\sqrt{2}$，$AC=1$，
$\therefore$ 由勾股定理得 $AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1^2}=3$.
$\because BC ⊥ AH$，$AC=CH$，
$\therefore BC$ 垂直平分 $AH$，
$\therefore BA=BH=3$，
$\therefore \sin∠CBH=\frac{CH}{BH}=\frac{1}{3}$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△PBJ$中，$\sin∠PBJ=\frac{PJ}{PB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore PJ=\frac{1}{3}PB$.
$\because S_{△ABH}=\frac{1}{2}AH · BC=\frac{1}{2}BH · AK$，
代入$AH=AC+CH=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$BH=3$，
$\therefore AK=\frac{BC · AH}{BH}=\frac{2\sqrt{2}×2}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
$\because 3AP+PB=3(AP+\frac{1}{3}BP)=3(AP+PJ)$，
根据垂线段最短可知，$AP+PJ≥AK$，
$\therefore 3AP+PB≥3×\frac{4\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$，
$\therefore 3AP+PB$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$，故选 A.
【答案】A
【知识点】
勾股定理，三角函数定义，垂线段最短
【点评】
本题是典型的带系数线段和最值问题，解题的关键是通过构造辅助线，利用三角函数将带系数的线段转化为等长的垂线段，结合垂线段最短的性质求解，对几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是带系数的线段和最小值问题，属于胡不归模型应用类题目，解题思路如下：①先对所求式子变形，将$3AP+BP$转化为$3(AP+\frac{1}{3}BP)$，只需求出$AP+\frac{1}{3}BP$的最小值再乘3即可；②构造角度使得该角的正弦值为$\frac{1}{3}$，即可将$\frac{1}{3}BP$转化为某条垂线段的长度，把折线段和转化为点到直线的距离问题；③根据垂线段最短的性质，过点A作对应直线的垂线，垂线段长度就是$AP+\frac{1}{3}BP$的最小值，代入计算即可得到最终结果。
【解析】
解：如图，延长 $AC$ 到 $H$，使得 $CH=AC$，连接 $BH$，过点 $P$ 作 $PJ ⊥ BH$ 于 $J$，过点 $A$ 作 $AK ⊥ BH$ 于 $K$.
$\because ∠ACB=90°$，$BC=2\sqrt{2}$，$AC=1$，
$\therefore$ 由勾股定理得 $AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+1^2}=3$.
$\because BC ⊥ AH$，$AC=CH$，
$\therefore BC$ 垂直平分 $AH$，
$\therefore BA=BH=3$，
$\therefore \sin∠CBH=\frac{CH}{BH}=\frac{1}{3}$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△PBJ$中，$\sin∠PBJ=\frac{PJ}{PB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore PJ=\frac{1}{3}PB$.
$\because S_{△ABH}=\frac{1}{2}AH · BC=\frac{1}{2}BH · AK$，
代入$AH=AC+CH=2$，$BC=2\sqrt{2}$，$BH=3$，
$\therefore AK=\frac{BC · AH}{BH}=\frac{2\sqrt{2}×2}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
$\because 3AP+PB=3(AP+\frac{1}{3}BP)=3(AP+PJ)$，
根据垂线段最短可知，$AP+PJ≥AK$，
$\therefore 3AP+PB≥3×\frac{4\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$，
$\therefore 3AP+PB$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$，故选 A.
【答案】A
【知识点】
勾股定理，三角函数定义，垂线段最短
【点评】
本题是典型的带系数线段和最值问题，解题的关键是通过构造辅助线，利用三角函数将带系数的线段转化为等长的垂线段，结合垂线段最短的性质求解，对几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8 比较大小:$\sin 48°$
8 比较大小:$\sin 48°$
＞
$\cos 48°$(填“＞”“＜”或“=”).答案
8. ＞ 【解析】$\sin48°=\cos(90°-48°)=\cos42°$. $∵ 42°＜48°$,$∴ \cos42°＞\cos48°$,$∴ \sin48°＞\cos48°$,故答案为＞.
解析
【分析】
要比较不同名的锐角三角函数值的大小，首先可以利用锐角三角函数的互余关系，将正弦转化为余弦，使两个要比较的三角函数变为同名函数；再结合锐角余弦函数的增减性：在0°~90°范围内，余弦值随角度的增大而减小，即可判断大小。
【解析】
根据锐角三角函数的互余关系可得：$\sin48°=\cos(90°-48°)=\cos42°$。
∵ 在0°~90°范围内，余弦值随角度的增大而减小，且$42°＜48°$，
∴ $\cos42°＞\cos48°$，
即$\sin48°＞\cos48°$。
【答案】
＞
【知识点】
锐角三角函数互余关系、锐角三角函数的增减性
【点评】
本题是锐角三角函数性质的基础应用，解题核心是通过互余转换统一三角函数名称，再结合增减性比较大小，掌握锐角三角函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
要比较不同名的锐角三角函数值的大小，首先可以利用锐角三角函数的互余关系，将正弦转化为余弦，使两个要比较的三角函数变为同名函数；再结合锐角余弦函数的增减性：在0°~90°范围内，余弦值随角度的增大而减小，即可判断大小。
【解析】
根据锐角三角函数的互余关系可得：$\sin48°=\cos(90°-48°)=\cos42°$。
∵ 在0°~90°范围内，余弦值随角度的增大而减小，且$42°＜48°$，
∴ $\cos42°＞\cos48°$，
即$\sin48°＞\cos48°$。
【答案】
＞
【知识点】
锐角三角函数互余关系、锐角三角函数的增减性
【点评】
本题是锐角三角函数性质的基础应用，解题核心是通过互余转换统一三角函数名称，再结合增减性比较大小，掌握锐角三角函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.85
