6[中]综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度.
如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=6 m,∠DCE=30°,点E,C,A在同一条水平直线上.
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长.
(2)设塔AB的高度为h(单位:m).
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号);
②求塔AB的高度(tan 27°取0.5,√3取1.7,结果取整数).

(1) 在 Rt△DCE 中,∠DCE = 30°, CD = 6,
∴ DE = $\frac{1}{2}$CD = 3,即 DE 的长为 3 m.
(2)①在 Rt△DCE 中,cos∠DCE = $\frac{EC}{CD}$,
∴ EC = CD · cos∠DCE = 6×cos 30° = 3$\sqrt{3}$.
在 Rt△BCA 中,tan∠BCA = $\frac{AB}{CA}$, AB = h,
∠BCA = 45°,
∴ CA = $\frac{AB}{\tan 45°}$ = h,
∴ EA = CA + EC = h + 3$\sqrt{3}$,即 EA 的长为 (h + 3$\sqrt{3}$)m.
②如图,过点 D 作 DF⊥AB,垂足为 F.
根据题意,得∠AED = ∠FAE = ∠DFA = 90°,
∴ 四边形 DEAF 是矩形,
∴ DF = EA = (h + 3$\sqrt{3}$)m, FA = DE = 3 m,
∴ BF = AB - FA = (h - 3)m.
在 Rt△BDF 中,tan∠BDF = $\frac{BF}{DF}$,∠BDF = 27°,
∴ BF = DF · tan∠BDF,即 h - 3 = (h + 3$\sqrt{3}$) × tan 27°,
∴ h = $\frac{3+3\sqrt{3}×\tan 27°}{1-\tan 27°}$ = $\frac{3+3×1.7×0.5}{1-0.5}$≈11(m).
答:塔 AB 的高度约为 11 m.

【分析】
(1) 求DE的长度时，观察到△DCE是直角三角形，已知斜边CD长度和∠DCE=30°，利用含30°角的直角三角形的性质即可直接求解。
(2) ①求EA的长度，可拆分EA为EC+CA两部分：先在Rt△DCE中用余弦函数求出EC的长度；再在Rt△BCA中，根据45°角的正切值可得CA=AB=h，两段相加即可得到EA的表达式。
②求塔高h时，过D作DF⊥AB构造矩形DEAF和Rt△BDF，利用矩形性质得到DF、AF的长度，进而表示出BF，再根据Rt△BDF中27°角的正切定义列方程，代入数值求解即可。
【解析】
(1) 在Rt△DCE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，CD=6m，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$（m）。
(2) ①在Rt△DCE中，$\cos∠DCE=\frac{EC}{CD}$，
∴ $EC=CD·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$（m），
在Rt△BCA中，∠BAC=90°，∠BCA=45°，AB=h，
$\tan45°=\frac{AB}{CA}$，
∴ $CA=\frac{AB}{\tan45°}=h$（m），
∵ E、C、A在同一条水平直线上，
∴ $EA=EC+CA=(h+3\sqrt{3})$（m）。
②过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°，
∴ 四边形DEAF是矩形，
∴ $DF=EA=(h+3\sqrt{3})$m，$FA=DE=3$m，
∴ $BF=AB-FA=(h-3)$m，
在Rt△BDF中，$\tan∠BDF=\frac{BF}{DF}$，∠BDF=27°，
∴ $h-3=(h+3\sqrt{3})×\tan27°$，
代入$\tan27°≈0.5$，$\sqrt{3}≈1.7$得：
$h-3=0.5×(h+3×1.7)$
解得$h≈11$。
【答案】
(1) DE的长为3 m；
(2) ①EA的长为$\boldsymbol{(h + 3\sqrt{3})}$ m；
②塔AB的高度约为11 m。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
3. 矩形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数实际应用的典型题，结合了特殊直角三角形、矩形的性质，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数建立等量关系是解题的核心，考查了学生的建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

7[中]某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，$AB ⊥ BD$，$CE ⊥ AD$，$∠ BAD = 18°$，$C$在$BD$上，$BC = 0.5\ \mathrm{m}$，$AB = 10\ \mathrm{m}$.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为$CD$的长就是所限制的高度，而小亮认为应该将$CE$的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度.（结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sin 18° \approx 0.309$，$\sin 72° \approx 0.951$，$\tan 18° \approx 0.325$）

∵ CE⊥AE,
∴ 小亮说得对.
在 Rt△ABD 中,∠ABD = 90°,∠BAD = 18°,
BA = 10 m,tan∠BAD = $\frac{BD}{BA}$,
∴ BD = 10×tan 18°,
∴ CD = BD - BC = 10×tan 18° - 0.5 ≈ 10×0.325 - 0.5 = 2.75(m).
在 Rt△CDE 中,∠CDE = 90° - ∠BAD = 72°.
∵ CE⊥ED,
∴ sin∠CDE = $\frac{CE}{CD}$,
∴ CE = sin∠CDE × CD = sin 72° × 2.75 ≈ 2.6(m).
∴ 正确的限制高度约为 2.6 m.

【分析】
首先明确限高的实际意义：限高是坡道入口最高点到坡道坡面的垂直距离，因此垂直于坡道AD的CE才是限制高度，小亮的说法正确。解题思路如下：第一步，在Rt△ABD中，已知AB的长度和∠BAD的度数，利用正切三角函数求出BD的长度；第二步，用BD减去BC的长度得到CD的长度；第三步，先推导∠CDE的度数，再在Rt△CDE中利用正弦三角函数求出CE的长度，即为所求的限制高度。
【解析】
因为限制高度是坡道上方到坡面的垂直距离，CE⊥AD（坡面），所以小亮说得对。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ BAD=18°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
根据正切的定义：$\tan∠ BAD=\frac{BD}{AB}$，
因此$BD=AB·\tan18°=10×\tan18°$，
则$CD=BD-BC=10\tan18°-0.5$，代入$\tan18°\approx0.325$，得$CD\approx10×0.325-0.5=2.75\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ CED=90°$，
因为$∠ CDE+∠ BAD=90°$，所以$∠ CDE=90°-18°=72°$，
根据正弦的定义：$\sin∠ CDE=\frac{CE}{CD}$，得$CE=CD·\sin72°$，
代入$\sin72°\approx0.951$、$CD\approx2.75\ \mathrm{m}$，得$CE\approx2.75×0.951\approx2.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
小亮说得对，正确的限制高度约为$\boxed{2.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形应用；锐角三角函数计算
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的实际应用，解题核心是正确理解“限高”的几何含义，找到对应直角三角形后选择合适的三角函数计算，同时要注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.6

8[中]如图(1),太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时,吸收太阳能的效果最佳.如图(2),某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直).已知支架$CF=100\ \mathrm{cm}$,$CD=20\ \mathrm{cm}$,$FE ⊥ AD$于$E$,若$θ=37°$,求$EF$的长.(参考数据:$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$,$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$,$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$)

如图,延长 ED 交 BC 的延长线于点 H,延长 MN,则 ∠H = 90° - 37° = 53°,
∴ ∠H - ∠1 = 37°. 在 Rt△CDH 中, HC = $\frac{CD}{\tan 37°}$,
∴ HF = HC + CF = $\frac{CD}{\tan 37°}$ + CF,
∴ 在 Rt△EFH 中, EF = $( \frac{CD}{\tan 37°} + CF ) · \sin 37° \approx ( \frac{20}{\frac{3}{4}} + 100 ) × \frac{3}{5} = 76(\mathrm{cm})$.
答:EF 的长约为 76 cm.

【分析】
要解决这个实际问题，需先将其转化为解直角三角形的数学问题。已知太阳光线与地面夹角为37°，且太阳光线与EF垂直，要求EF的长度，需构造包含EF的直角三角形。我们可通过延长ED交BC的延长线于点H，得到Rt△CDH和Rt△EFH两个直角三角形，先利用角度关系求出△CDH中HC的长度，进一步得到HF的长度，最后在Rt△EFH中利用锐角三角函数求出EF的长。
【解析】
解：延长ED交BC的延长线于点H，
由题意可得∠H=90°-37°=53°，进一步推导得∠DCH=37°。
在Rt△CDH中，$\tan37°=\frac{CD}{HC}$，
∴ $HC=\frac{CD}{\tan37°}$，
∴ $HF=HC+CF=\frac{CD}{\tan37°}+CF$。
在Rt△EFH中，$\sin37°=\frac{EF}{HF}$，
∴ $EF=HF·\sin37°=(\frac{CD}{\tan37°}+CF)·\sin37°$。
代入$CD=20\ \mathrm{cm}$，$CF=100\ \mathrm{cm}$，$\sin37°\approx\frac{3}{5}$，$\tan37°\approx\frac{3}{4}$得：
$EF\approx(\frac{20}{\frac{3}{4}}+100)×\frac{3}{5}=76(\mathrm{cm})$。
【答案】
EF的长约为76 cm
【知识点】
锐角三角函数应用，直角三角形边角关系，辅助线构造
【点评】
本题结合生活场景考查锐角三角函数的实际应用，解题核心是通过合理构造直角三角形，将实际问题中的角度、长度对应到直角三角形的边角关系中，代入对应三角函数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.6