1[中]某地修建了一座半径为900 m的圆形纪念园.如图,纪念园中心A位于C村西南方向和B村南偏东$61°$方向上.C村在B村的正东方向且两村相距2.8 km.有关部门计划在B,C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿越纪念园?试通过计算加以说明.(参考数据:$\sin 61° \approx 0.87$, $\cos 61° \approx 0.48$, $\tan 61° \approx 1.80$, $\sqrt{2} \approx 1.41$)

解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意得：∠ACD=45°，∠BAD=61°，BC=2.8 km。
设AD = x km。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∴ CD = AD = x km。
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=61°，
∵ $\tan∠ BAD = \frac{BD}{AD}$，
∴ $BD = AD · \tan61° \approx 1.80x$ km。
∵ $BD + CD = BC$，
∴ $1.80x + x = 2.8$，
解得 $x = 1$，即 $AD = 1000\ \mathrm{m}$。
∵ 纪念园半径为900 m，$1000 ＞ 900$，
∴ 该公路不会穿越纪念园。

【分析】
要判断公路是否穿越纪念园，本质是判断直线BC与以A为圆心、半径900m的圆的位置关系，只需比较圆心A到BC的距离与半径的大小：若距离大于半径则不穿越，反之则穿越。首先过A作AD⊥BC于D，AD即为A到BC的距离。结合方向角定义可知∠ACD=45°、∠BAD=61°，BC长度已知，可设AD=x，分别在两个直角三角形中用锐角三角函数表示BD、CD的长度，再根据BD+CD=BC列方程求解x，最后换算单位与半径比较即可得到结论。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意得：∠ACD=45°，∠BAD=61°，BC=2.8 km。
设AD = x km。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∴ CD = AD = x km。
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=61°，
∵ $\tan∠ BAD = \frac{BD}{AD}$，
∴ $BD = AD · \tan61° \approx 1.80x$ km。
∵ $BD + CD = BC$，
∴ $1.80x + x = 2.8$，
解得 $x = 1$，即 $AD = 1000\ \mathrm{m}$。
∵ 纪念园半径为900 m，$1000 ＞ 900$，
∴ 该公路不会穿越纪念园。
【答案】
该公路不会穿越纪念园
【知识点】
直线与圆的位置关系；解直角三角形的应用；方向角识别
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为直线与圆位置关系的判定问题，通过作高构造直角三角形，利用锐角三角函数建立方程求解，计算时要注意统一单位。
【难度系数】
0.6

2[2025吉林松原质检,中]如图,某学校的小学部教学楼对面是初中部教学楼,某学生在小学部教学楼的窗口C处测得初中部教学楼顶部D的仰角为27°,初中部教学楼底部B的俯角为13°,AC⊥AB,BD⊥AB,A,B,C,D在同一平面内,量得小学部教学楼与初中部教学楼之间的距离AB=15米.求教学楼BD的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 13°≈0.22,cos 13°≈0.97,tan 13°≈0.23,sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)

2.【解】如图，过点C作CH⊥BD，垂足为点H.由题意，得∠DCH = 27°，∠HCB = 13°，AB = CH = 15米.在Rt△DHC中，
∵tan∠DCH = $\frac{DH}{CH}$，
∴DH = tan27°×15≈7.65（米）.在Rt△HCB中，
∵tan∠HCB = $\frac{HB}{CH}$，
∴BH = tan13°×15≈3.45（米），
∴BD = HD + HB = 7.65 + 3.45 = 11.1（米）.
答：教学楼BD的高度约为11.1米.

【分析】
本题属于仰角俯角类的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，过点C作CH⊥BD，可得CH=AB=15米，同时将BD拆分为DH和BH两段；接下来分别在两个直角三角形Rt△DCH、Rt△HCB中，利用已知角度的正切值，结合CH的长度求出DH和BH的长度；最后将两段长度相加即可得到BD的总高度。
【解析】
如图，过点C作CH⊥BD，垂足为点H。
由题意得：∠DCH = 27°，∠HCB = 13°，AB = CH = 15米。
在Rt△DHC中，
∵$\tan∠ DCH = \frac{DH}{CH}$，
∴$DH = \tan27°×15 \approx 0.51×15 = 7.65$（米）。
在Rt△HCB中，
∵$\tan∠ HCB = \frac{HB}{CH}$，
∴$BH = \tan13°×15 \approx 0.23×15 = 3.45$（米）。
∴$BD = HD + HB = 7.65 + 3.45 = 11.1$（米）。
【答案】
教学楼BD的高度约为11.1米。

【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 仰角俯角问题
3. 锐角三角函数
【点评】
本题是锐角三角函数在实际测量问题中的典型题型，核心是通过作辅助线将不规则图形转化为直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形的数学问题，选择对应三角函数计算边长即可求解。
【难度系数】
0.7

3[中]某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B,C,D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB=52°，∠ADB=60°，CD=20 m，求AB的高度.（结果精确到1 m.参考数据：$\sin 52° \approx 0.79$，$\cos 52° \approx 0.62$，$\tan 52° \approx 1.28$，$\sqrt{3} \approx 1.73$）

设AB=x m. 在Rt△ABC中,
∵ tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$,
∴ tan 52°=$\frac{x}{BC}$,
∴ BC=$\frac{x}{\tan 52°}$.
在Rt△ABD中,
∵ tan∠ADB=$\frac{AB}{BD}$,
∴ tan 60°=$\frac{x}{BD}$,
∴ BD=$\frac{x}{\sqrt{3}}$.
∵ CD=CB-DB,
∴ $\frac{x}{\tan 52°} - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20$,解得 x≈98,
∴ AB 的高度约为 98 m.

【分析】
本题属于双直角三角形共公共直角边的锐角三角函数应用题型，解题思路如下：首先观察图形可知AB是两个直角三角形的公共直角边，我们可以将未知量AB设为x，再分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用正切函数的定义，将BC、BD的长度用含x的式子表示，最后根据CD=BC-BD=20m的等量关系列方程，求解即可得到AB的高度。
【解析】
设AB的高度为x m。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵ $\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
∴ $\tan 52°=\frac{x}{BC}$，
∴ $BC=\frac{x}{\tan 52°}$。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∵ $\tan∠ ADB=\frac{AB}{BD}$，
∴ $\tan 60°=\frac{x}{BD}$，
∴ $BD=\frac{x}{\tan 60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
已知CD=20m，且CD=BC-BD，代入得：
$\frac{x}{\tan 52°} - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20$，
将$\tan 52°\approx1.28$，$\sqrt{3}\approx1.73$代入计算，解得$x\approx98$。
【答案】
AB的高度约为98 m。
【知识点】
解直角三角形应用、正切函数、方程思想
【点评】
本题是锐角三角函数实际应用的典型基础题型，核心是利用公共直角边搭建两个直角三角形的关联，通过边的长度关系建立方程求解，掌握正切函数的定义和方程思想即可顺利解题。
【难度系数】
0.6

4[中]某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示.在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°,向小山前进80米到达点E处,测得塔顶A的仰角为60°,小山的高度BC为.

设 BC 为 x 米,则 AC = (20 + x) 米. 由题意知 ∠DBC = ∠AEC = 60°, DE = 80 米. 在 Rt△DBC 中,tan 60° = $\frac{DC}{BC}$ = $\frac{DC}{x}$,则 DC = $\sqrt{3}x$ 米,
∴ CE = ($\sqrt{3}x - 80$) 米.
在Rt△ACE 中,tan 60° = $\frac{AC}{CE}$ = $\frac{20+x}{\sqrt{3}x - 80}$ = $\sqrt{3}$,解得 x = 10 + 40$\sqrt{3}$. 故答案为 (10 + 40$\sqrt{3}$) 米.

【分析】
本题属于仰角类解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：1. 明确待求量为小山高度BC，设BC为x米，可直接表示出塔顶到地面的高度AC=(x+20)米；2. 先在Rt△DBC中，结合∠D=30°的条件，利用正切函数定义求出DC的长度表达式；3. 根据DE=80米，推导得到CE的长度表达式；4. 再在Rt△ACE中，结合∠AEC=60°的正切值列关于x的方程，解方程即可得到BC的高度。
【解析】
设BC为x米，则AC = (20 + x) 米，由题意得∠C=90°，∠D=30°，∠AEC=60°，DE=80米。
在Rt△DBC中，∠DBC=90°-30°=60°，$\tan∠ DBC=\frac{DC}{BC}$，即$\tan60°=\frac{DC}{x}$，解得$DC=\sqrt{3}x$米，
因此$CE=DC-DE=(\sqrt{3}x-80)$米。
在Rt△ACE中，$\tan∠ AEC=\frac{AC}{CE}$，代入已知条件得：
$\frac{20+x}{\sqrt{3}x-80}=\sqrt{3}$
去分母得$20+x=\sqrt{3}(\sqrt{3}x-80)$，
整理得$2x=20+80\sqrt{3}$，
解得$x=10+40\sqrt{3}$。
【答案】
$(10 + 40\sqrt{3})$米
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 锐角三角函数
3. 仰角的概念
【点评】
本题是锐角三角函数实际应用的典型题型，通过构造直角三角形，利用三角函数建立线段的数量关系，结合线段和差列方程求解，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，解题核心是找到两个直角三角形之间关联的线段。
【难度系数】
0.6

5[2026安徽安庆质检,中]《哪吒》系列电影是传统文化的传承与创新,也加大了文化的输出与交流,更让我国影视业的综合实力迈向一个更高台阶.根据相关协会公布的准则,为了保证观影效果,观众视线与银幕水平线之间的仰角不宜超过$35°$.如图,某电影院的观众席成阶梯状,每一级台阶的水平宽度都为1 m,垂直高度都为0.3 m.已知在点C和点D两个位置看银幕顶端A的仰角分别$35°$和$30°$,请根据已有数据计算银幕AB的高度.(结果保留整数.参考数据:$\sin 35° \approx 0.57$, $\cos 35° \approx 0.82$, $\tan 35° \approx 0.70$, $\sqrt{3} \approx 1.73$, $\sqrt{2} \approx 1.41)$

如图,过点 C 作 CG⊥AB 于点 G,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H. 设 CG = x m,则 DH = (x + 1)m.
∵ ∠ACG = 35°,
∴ AG = CG · tan 35° ≈ 0.7x m.
∵ ∠ADH = 30°,
∴ AH = DH · tan∠ADH = (x + 1) · tan 30° = $\frac{\sqrt{3}(x+1)}{3}$ m. 由题意得 AG = AH + 0.3,即 0.7x = $\frac{\sqrt{3}(x+1)}{3}$ + 0.3,解得 x ≈ 7.1,
∴ AB = AG + BG = 0.7×7.1 + 0.6 ≈ 6(m).
答:银幕 AB 的高度约为 6 m.

【分析】
这是一道利用锐角三角函数解决实际仰角问题的题目，解题思路如下：首先通过作垂线构造包含已知仰角的直角三角形，将台阶的长宽、仰角等数据转化为直角三角形的边角关系；接着设C到AB的水平距离为未知数，用正切函数分别表示两个直角三角形中AB上对应的竖直边长；再根据两级台阶的高度差找到两个竖直边长的等量关系列方程，求解未知数后代入计算即可得到AB的高度。
【解析】
过点 C 作 CG⊥AB 于点 G，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H。
设 CG = x m，由每级台阶水平宽度为1 m，可得 DH = (x + 1)m。
∵ 在Rt△ACG中，∠ACG = 35°，
∴ AG = CG · tan35° ≈ 0.7x m。
∵ 在Rt△ADH中，∠ADH = 30°，
∴ AH = DH · tan30° = $\frac{\sqrt{3}(x+1)}{3}$ m。
由D点比C点高0.3 m，可得AG = AH + 0.3，即：
$0.7x = \frac{\sqrt{3}(x+1)}{3} + 0.3$，
代入$\sqrt{3}\approx1.73$解得$x\approx7.1$。
又
∵ C点距离水平地面的高度为0.3 m，BG等于C点到地面高度加上台阶底部到B点的高度差为0.6 m，
∴ AB = AG + BG ≈ 0.7×7.1 + 0.6 ≈ 6(m)。
【答案】
银幕AB的高度约为6 m。
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，一元一次方程应用
【点评】
本题结合影院观影的实际场景命题，贴近生活，考查仰角场景下锐角三角函数的应用，解题核心是正确构造直角三角形，找准不同直角三角形边长的等量关系，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6