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1[中]国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程,解决了农村供电“最后1公里”问题,电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为(参考数据:sin52°≈0.79,tan52°≈1.28) (
A.28米
B.29.6米
C.36.6米
D.57.6米
(第1题图) (第2题图)
B
)A.28米
B.29.6米
C.36.6米
D.57.6米
(第1题图) (第2题图)
答案
【解析】如图,延长 AB 交 ED 延长线于 G,过 C 作 $C F ⊥ D E$ 交 ED 延长线于 F, $\therefore G F=B C=5$. $\because$ 山坡 CD 的坡度为 $1: 0.75, \therefore$ 设 $D F=3 k$, 则 $C F=4 k, \therefore$ 由勾股定理得 $C D=5 k=35, \therefore k=7, \therefore D F=21, B G=C F=28$,
$\therefore E G=G F+D F+D E=5+21+19=45$.
$\because ∠ A E D=52°, \therefore A G=E G × \tan 52° \approx 45 × 1.28=57.6, \therefore A B=A G-B G=29.6$ 米. 故选 B.
解析
【分析】
本题为解直角三角形的实际应用题，解题时先通过作辅助线构造矩形和直角三角形整合已知条件：第一步延长AB交ED的延长线于点G，过点C作CF⊥DE于点F，得到矩形BCFG，可得GF=BC、BG=CF的等量关系；第二步根据山坡CD的坡度，结合勾股定理求出CF、DF的长度；第三步计算出Rt△AGE的水平边EG的长度，利用正切函数求出AG的长度；最后用AG减去BG即可得到铁塔AB的高度。
【解析】
如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作$CF ⊥ DE$交ED的延长线于F，
则四边形BCFG为矩形，因此$GF=BC=5$米，$BG=CF$。
$\because$ 山坡CD的坡度为$1:0.75=\frac{4}{3}$，即$\frac{CF}{DF}=\frac{4}{3}$，
$\therefore$ 设$DF=3k$，$CF=4k$，
在$Rt△ CDF$中，由勾股定理得$CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=5k$，
已知$CD=35$米，$\therefore 5k=35$，解得$k=7$，
$\therefore DF=3×7=21$米，$BG=CF=4×7=28$米，
$\therefore EG=GF+DF+DE=5+21+19=45$米。
在$Rt△ AGE$中，$∠ AGE=90°$，$∠ AED=52°$，
$\therefore \tan52°=\frac{AG}{EG}$，即$AG=EG × \tan52° \approx 45 × 1.28=57.6$米，
$\therefore AB=AG-BG=57.6-28=29.6$米。
故选B。
【答案】B
【知识点】
坡度坡角应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际命题，考查解直角三角形的应用，解题关键是通过辅助线构造直角三角形与矩形，将坡度、角度等条件转化为直角三角形的边长关系求解，能有效考查学生的数形结合能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题为解直角三角形的实际应用题，解题时先通过作辅助线构造矩形和直角三角形整合已知条件：第一步延长AB交ED的延长线于点G，过点C作CF⊥DE于点F，得到矩形BCFG，可得GF=BC、BG=CF的等量关系；第二步根据山坡CD的坡度，结合勾股定理求出CF、DF的长度；第三步计算出Rt△AGE的水平边EG的长度，利用正切函数求出AG的长度；最后用AG减去BG即可得到铁塔AB的高度。
【解析】
如图，延长AB交ED的延长线于G，过C作$CF ⊥ DE$交ED的延长线于F，
则四边形BCFG为矩形，因此$GF=BC=5$米，$BG=CF$。
$\because$ 山坡CD的坡度为$1:0.75=\frac{4}{3}$，即$\frac{CF}{DF}=\frac{4}{3}$，
$\therefore$ 设$DF=3k$，$CF=4k$，
在$Rt△ CDF$中，由勾股定理得$CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=5k$，
已知$CD=35$米，$\therefore 5k=35$，解得$k=7$，
$\therefore DF=3×7=21$米，$BG=CF=4×7=28$米，
$\therefore EG=GF+DF+DE=5+21+19=45$米。
在$Rt△ AGE$中，$∠ AGE=90°$，$∠ AED=52°$，
$\therefore \tan52°=\frac{AG}{EG}$，即$AG=EG × \tan52° \approx 45 × 1.28=57.6$米，
$\therefore AB=AG-BG=57.6-28=29.6$米。
故选B。
【答案】B
【知识点】
坡度坡角应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际命题，考查解直角三角形的应用，解题关键是通过辅助线构造直角三角形与矩形，将坡度、角度等条件转化为直角三角形的边长关系求解，能有效考查学生的数形结合能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
2 新考向跨学科综合 [2026 安徽六安期中,中]如图,一束光线从点$A(m,5)$出发,经过$y$轴上的点$B(0,1)$反射后经过点$C(p,q)$,入射光线与$y$轴正方向的夹角为$α$,且$\tan α=\dfrac{1}{2}$,则$p+\dfrac{1}{2}q$的值是
$\dfrac{1}{2}$
.答案
【解析】如图,过点 A 作 $A D ⊥ y$ 轴于点 D, 则 $A D=m$, $D O=5$. $\because B(0,1), \therefore O B=1$,
$\therefore D B=4$. $\because \tan α=\frac{A D}{D B}=\frac{1}{2}$,
$\therefore A D=m=2, \therefore$ 点 A 的坐标为 $(2,5), \therefore$ 点 A 关于直线 $y=1$ 对称的点的坐标为 $(2,-3)$,
$\therefore$ 点 $(2,-3),(0,1)$ 在直线 BC 上. 设直线 BC 的表达式为 $y=k x+b(k ≠ 0), \therefore\{\begin{array}{l}2 k+b=-3, \\ b=1,\end{array} $
$\therefore\{\begin{array}{l}k=-2, \\ b=1,\end{array} \therefore $ 直线 BC 的表达式为 $y=-2 x+1$.
$\because$ 点 $C(p, q)$ 在直线 BC 上, $\therefore-2 p+1=q$,
$\therefore 2 p+q=1, \therefore p+\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$. 故答案为 $\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需先求出点A的横坐标m：过点A作y轴的垂线构造直角三角形，结合已知的$\tanα$的值，利用锐角三角函数的定义即可算出m。接下来需要得到反射光线BC的解析式：根据光的反射规律，可通过找A点对应的对称点，结合已知点B的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式。最后将点$C(p,q)$代入解析式，对式子变形就能得到$p+\frac{1}{2}q$的值。
【解析】
过点A作 $AD ⊥ y$ 轴于点D，则 $AD=m$，$DO=5$。
$\because B(0,1), \therefore OB=1$，$\therefore DB=5-1=4$。
$\because \tanα=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{m}{4}=\frac{1}{2}$，解得$m=2$，$\therefore$ 点A的坐标为 $(2,5)$。
根据光的反射规律，点A关于直线$y=1$对称的点$(2,-3)$在直线BC的反向延长线上，即点$(2,-3)$、$(0,1)$都在直线BC上。
设直线BC的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}2k+b=-3 \\ b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\ b=1\end{cases}$，$\therefore$ 直线BC的表达式为 $y=-2x+1$。
$\because$ 点 $C(p,q)$ 在直线BC上，$\therefore q=-2p+1$，整理得$2p+q=1$，两边同时除以2得 $p+\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是跨学科综合题，融合了物理光的反射知识与数学的三角函数、一次函数相关知识，解题时需要先利用三角函数确定点的坐标，再结合反射性质求出直线解析式，最后通过代数式变形得到结果，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需先求出点A的横坐标m：过点A作y轴的垂线构造直角三角形，结合已知的$\tanα$的值，利用锐角三角函数的定义即可算出m。接下来需要得到反射光线BC的解析式：根据光的反射规律，可通过找A点对应的对称点，结合已知点B的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式。最后将点$C(p,q)$代入解析式，对式子变形就能得到$p+\frac{1}{2}q$的值。
【解析】
过点A作 $AD ⊥ y$ 轴于点D，则 $AD=m$，$DO=5$。
$\because B(0,1), \therefore OB=1$，$\therefore DB=5-1=4$。
$\because \tanα=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{m}{4}=\frac{1}{2}$，解得$m=2$，$\therefore$ 点A的坐标为 $(2,5)$。
根据光的反射规律，点A关于直线$y=1$对称的点$(2,-3)$在直线BC的反向延长线上，即点$(2,-3)$、$(0,1)$都在直线BC上。
设直线BC的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}2k+b=-3 \\ b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\ b=1\end{cases}$，$\therefore$ 直线BC的表达式为 $y=-2x+1$。
$\because$ 点 $C(p,q)$ 在直线BC上，$\therefore q=-2p+1$，整理得$2p+q=1$，两边同时除以2得 $p+\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是跨学科综合题，融合了物理光的反射知识与数学的三角函数、一次函数相关知识，解题时需要先利用三角函数确定点的坐标，再结合反射性质求出直线解析式，最后通过代数式变形得到结果，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3[2025安徽芜湖校级质检,中]日照间距系数反映了房屋日照情况.如图(1),当前后楼房都朝向正南时,日照间距系数为$\frac{L}{H-H_1}$,其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,$H_1$为北侧楼房底层窗台至地面高度.如图(2),山坡EF朝北,EF长为15 m,坡度$i=1:0.75$,山坡顶部平地EM上有一高为23.9 m的楼房AB,底部A到E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平长度FH;
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使日照间距系数不低于1.25,则底部C距F处至少多远?
刷素养 走向重高
(1)求山坡EF的水平长度FH;
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使日照间距系数不低于1.25,则底部C距F处至少多远?
刷素养 走向重高
答案
【解】(1) 在 Rt $△ E F H$ 中, $∠ H=90°$,
$\tan ∠ E F H=i=1: 0.75=\frac{4}{3}=\frac{E H}{F H}, \therefore$ 设 $E H=4 x \mathrm{~m}$, 则 $F H=3 x \mathrm{~m}, \therefore E F=\sqrt{E H^2+F H^2}=5 x \mathrm{~m}$.
$\because E F=15 \mathrm{~m}, \therefore 5 x=15, \therefore x=3, \therefore F H=9 \mathrm{~m}$,
即山坡 EF 的水平长度 FH 为 9 m.
(2) $\because L=C F+F H+E A=C F+9+4=(C F+13) \mathrm{m}, H=A B+E H=23.9+4 × 3=35.9(\mathrm{~m})$,
$H_1=P C=0.9 \mathrm{~m}, \therefore$ 日照间距系数为 $\frac{L}{H-H_1}=\frac{C F+13}{35.9-0.9}=\frac{C F+13}{35}$.
$\because$ 日照间距系数不低于 $1.25, \therefore \frac{C F+13}{35} ≥ 1.25, \therefore C F ≥ 30.75 \mathrm{~m}$.
故底部 C 距 F 处至少 30.75 m.
$\tan ∠ E F H=i=1: 0.75=\frac{4}{3}=\frac{E H}{F H}, \therefore$ 设 $E H=4 x \mathrm{~m}$, 则 $F H=3 x \mathrm{~m}, \therefore E F=\sqrt{E H^2+F H^2}=5 x \mathrm{~m}$.
$\because E F=15 \mathrm{~m}, \therefore 5 x=15, \therefore x=3, \therefore F H=9 \mathrm{~m}$,
即山坡 EF 的水平长度 FH 为 9 m.
(2) $\because L=C F+F H+E A=C F+9+4=(C F+13) \mathrm{m}, H=A B+E H=23.9+4 × 3=35.9(\mathrm{~m})$,
$H_1=P C=0.9 \mathrm{~m}, \therefore$ 日照间距系数为 $\frac{L}{H-H_1}=\frac{C F+13}{35.9-0.9}=\frac{C F+13}{35}$.
$\because$ 日照间距系数不低于 $1.25, \therefore \frac{C F+13}{35} ≥ 1.25, \therefore C F ≥ 30.75 \mathrm{~m}$.
故底部 C 距 F 处至少 30.75 m.
解析
【分析】
(1) 求山坡EF的水平长度FH时，已知坡面EF长和坡度i，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，因此可在Rt△EFH中，根据坡度设出铅直高度EH和水平宽度FH的表达式，再结合勾股定理表示出EF的长度，代入EF的已知数值即可求解。
(2) 解决第二问首先要准确理解日照间距系数的定义，理清公式中$L、H、H_1$分别对应的实际长度：L是两楼的水平距离，即CF、FH、EA的和；H是南侧建筑物的总高度，即AB与EH的和；$H_1$是北侧楼房窗台P到地面C的高度。将各量用含CF的式子代入日照间距系数公式，结合“不低于1.25”列不等式求解，即可得到CF的最小值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ EFH$中，$∠ H=90°$，
$\tan∠ EFH=i=1:0.75=\frac{4}{3}=\frac{EH}{FH}$，设$EH=4x\ \mathrm{m}$，则$FH=3x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x\ \mathrm{m}$。
$\because EF=15\ \mathrm{m}$，$\therefore 5x=15$，解得$x=3$，
$\therefore FH=3x=9\ \mathrm{m}$，即山坡EF的水平长度FH为9 m。
(2) 由题意得：
楼间水平距离$L=CF+FH+EA=CF+9+4=(CF+13)\ \mathrm{m}$，
南侧总高度$H=AB+EH=23.9+4×3=35.9\ \mathrm{m}$，
北侧窗台高度$H_1=PC=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore$日照间距系数为$\frac{L}{H-H_1}=\frac{CF+13}{35.9-0.9}=\frac{CF+13}{35}$。
$\because$日照间距系数不低于1.25，$\therefore \frac{CF+13}{35}≥1.25$，
解得$CF≥30.75\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 山坡EF的水平长度FH为$\boxed{9\ \mathrm{m}}$；
(2) 底部C距F处至少$\boxed{30.75\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，一元一次不等式的应用，勾股定理
【点评】
本题结合生活中的日照间距、坡度等实际场景命题，将实际问题转化为数学模型求解，既考查了直角三角形相关性质的应用，也考查了利用不等式解决实际最值问题的能力，解题的关键是准确理解坡度、日照间距系数的含义，找准各量的对应关系。
【难度系数】
0.65
(1) 求山坡EF的水平长度FH时，已知坡面EF长和坡度i，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，因此可在Rt△EFH中，根据坡度设出铅直高度EH和水平宽度FH的表达式，再结合勾股定理表示出EF的长度，代入EF的已知数值即可求解。
(2) 解决第二问首先要准确理解日照间距系数的定义，理清公式中$L、H、H_1$分别对应的实际长度：L是两楼的水平距离，即CF、FH、EA的和；H是南侧建筑物的总高度，即AB与EH的和；$H_1$是北侧楼房窗台P到地面C的高度。将各量用含CF的式子代入日照间距系数公式，结合“不低于1.25”列不等式求解，即可得到CF的最小值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ EFH$中，$∠ H=90°$，
$\tan∠ EFH=i=1:0.75=\frac{4}{3}=\frac{EH}{FH}$，设$EH=4x\ \mathrm{m}$，则$FH=3x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得$EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{(4x)^2+(3x)^2}=5x\ \mathrm{m}$。
$\because EF=15\ \mathrm{m}$，$\therefore 5x=15$，解得$x=3$，
$\therefore FH=3x=9\ \mathrm{m}$，即山坡EF的水平长度FH为9 m。
(2) 由题意得：
楼间水平距离$L=CF+FH+EA=CF+9+4=(CF+13)\ \mathrm{m}$，
南侧总高度$H=AB+EH=23.9+4×3=35.9\ \mathrm{m}$，
北侧窗台高度$H_1=PC=0.9\ \mathrm{m}$，
$\therefore$日照间距系数为$\frac{L}{H-H_1}=\frac{CF+13}{35.9-0.9}=\frac{CF+13}{35}$。
$\because$日照间距系数不低于1.25，$\therefore \frac{CF+13}{35}≥1.25$，
解得$CF≥30.75\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 山坡EF的水平长度FH为$\boxed{9\ \mathrm{m}}$；
(2) 底部C距F处至少$\boxed{30.75\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，一元一次不等式的应用，勾股定理
【点评】
本题结合生活中的日照间距、坡度等实际场景命题，将实际问题转化为数学模型求解，既考查了直角三角形相关性质的应用，也考查了利用不等式解决实际最值问题的能力，解题的关键是准确理解坡度、日照间距系数的含义，找准各量的对应关系。
【难度系数】
0.65
4 核心素养 数据观念 [难]如图,斜坡AB的坡角∠BAC=13°,计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点A,过其另一端D安装支架DE,DE所在的直线垂直于水平线AC,垂足为点F,E为DF与AB的交点.已知AD=100 cm,前排光伏板的坡角∠DAC=28°.
(1)求AE的长(结果取整数);
(2)冬至日正午,经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°,后排光伏板的前端H在AB上.此时,若使后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响,则EH最小为多少(结果取整数)?
(参考数据:$\sqrt{2}≈1.41,\sqrt{3}≈1.73,\sqrt{6}≈2.45$)
(1)求AE的长(结果取整数);
(2)冬至日正午,经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°,后排光伏板的前端H在AB上.此时,若使后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响,则EH最小为多少(结果取整数)?
(参考数据:$\sqrt{2}≈1.41,\sqrt{3}≈1.73,\sqrt{6}≈2.45$)
答案
【解】(1) 在 Rt $△ A D F$ 中, $\cos ∠ D A F=\frac{A F}{A D}$,
$\therefore A F=A D · \cos ∠ D A F=100 × \cos 28° \approx 100 × 0.88=88(\mathrm{~cm})$. 在 Rt $△ A E F$ 中, $\cos ∠ E A F=\frac{A F}{A E}$,
$\therefore A E=\frac{A F}{\cos ∠ E A F}=\frac{88}{\cos 13°} \approx \frac{88}{0.97} \approx 91(\mathrm{~cm})$.
(2)设 DG 交 AB 于 M,过点 A 作 $A N ⊥ D G$ 于 N,如图所示.
在 Rt $△ A D F$ 中, $D F=A D · \sin ∠ D A C=100 × \sin 28° \approx 100 × 0.47=47(\mathrm{~cm})$.
在 Rt $△ D F G$ 中, $\tan ∠ D G A=\frac{D F}{F G}, \therefore \tan 32°=\frac{47}{F G}, \therefore F G=\frac{47}{\tan 32°} \approx \frac{47}{0.62} \approx 75.8(\mathrm{~cm})$,
$\therefore A G=A F+F G=88+75.8=163.8(\mathrm{~cm})$.
在 Rt $△ A G N$ 中, $A N=A G · \sin ∠ D G A=163.8 × \sin 32° \approx 163.8 × 0.53 \approx 86.8(\mathrm{~cm})$.
$\because ∠ A M N=∠ M A G+∠ D G A=13°+32°=45°$,
$\therefore △ A M N$ 为等腰直角三角形, $\therefore A M=\sqrt{2} A N \approx 1.41 × 86.8 \approx 122.4(\mathrm{~cm}), \therefore E M=A M-A E=122.4-91=31.4(\mathrm{~cm})$.
$\because$ 当 M,H 重合时,EH 最小, $\therefore E H$ 最小约为 32 cm.
解析
【分析】
(1) 求AE的长时，观察图形可得AF是Rt△ADF和Rt△AEF的公共直角边，因此先在Rt△ADF中利用余弦函数求出AF的长度，再代入Rt△AEF中，利用余弦函数即可求得AE的长度。
(2) 后排光伏板采光不受影响的临界情况为太阳光线DG刚好经过H点，即H与DG、AB的交点M重合，此时EH最小，等于EM的长度。先在Rt△ADF中用正弦函数求DF，再在Rt△DFG中用正切函数求FG，进而得到AG的长度；过A作AN⊥DG，利用三角形外角性质可得∠AMN=45°，即△AMN为等腰直角三角形，先求AN再求AM，最后用AM减去AE即可得到EH的最小值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$\cos∠ DAF=\frac{AF}{AD}$，
$\therefore AF=AD·\cos∠ DAF=100×\cos28°\approx100×0.88=88(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\cos∠ EAF=\frac{AF}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{AF}{\cos∠ EAF}=\frac{88}{\cos13°}\approx\frac{88}{0.97}\approx91(\mathrm{cm})$。
(2)设DG交AB于M，过点A作$AN⊥ DG$于N，如图所示。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$DF=AD·\sin∠ DAC=100×\sin28°\approx100×0.47=47(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ DFG$中，$\tan∠ DGA=\frac{DF}{FG}$，$\therefore\tan32°=\frac{47}{FG}$，$\therefore FG=\frac{47}{\tan32°}\approx\frac{47}{0.62}\approx75.8(\mathrm{cm})$，
$\therefore AG=AF+FG=88+75.8=163.8(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AGN$中，$AN=AG·\sin∠ DGA=163.8×\sin32°\approx163.8×0.53\approx86.8(\mathrm{cm})$。
$\because∠ AMN=∠ MAG+∠ DGA=13°+32°=45°$，
$\therefore△ AMN$为等腰直角三角形，$\therefore AM=\sqrt{2}AN\approx1.41×86.8\approx122.4(\mathrm{cm})$，$\therefore EM=AM-AE=122.4-91=31.4(\mathrm{cm})$。
$\because$当M、H重合时，EH最小，$\therefore EH$最小约为32cm。
【答案】
(1) $AE$的长约为$91\mathrm{cm}$；
(2) $EH$最小约为$32\mathrm{cm}$。
【知识点】
锐角三角函数的应用、解直角三角形、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合光伏安装的实际场景，考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，准确提取直角三角形的边角关系，同时要正确分析采光不受影响的临界情况，对数学建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求AE的长时，观察图形可得AF是Rt△ADF和Rt△AEF的公共直角边，因此先在Rt△ADF中利用余弦函数求出AF的长度，再代入Rt△AEF中，利用余弦函数即可求得AE的长度。
(2) 后排光伏板采光不受影响的临界情况为太阳光线DG刚好经过H点，即H与DG、AB的交点M重合，此时EH最小，等于EM的长度。先在Rt△ADF中用正弦函数求DF，再在Rt△DFG中用正切函数求FG，进而得到AG的长度；过A作AN⊥DG，利用三角形外角性质可得∠AMN=45°，即△AMN为等腰直角三角形，先求AN再求AM，最后用AM减去AE即可得到EH的最小值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$\cos∠ DAF=\frac{AF}{AD}$，
$\therefore AF=AD·\cos∠ DAF=100×\cos28°\approx100×0.88=88(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\cos∠ EAF=\frac{AF}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{AF}{\cos∠ EAF}=\frac{88}{\cos13°}\approx\frac{88}{0.97}\approx91(\mathrm{cm})$。
(2)设DG交AB于M，过点A作$AN⊥ DG$于N，如图所示。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$DF=AD·\sin∠ DAC=100×\sin28°\approx100×0.47=47(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ DFG$中，$\tan∠ DGA=\frac{DF}{FG}$，$\therefore\tan32°=\frac{47}{FG}$，$\therefore FG=\frac{47}{\tan32°}\approx\frac{47}{0.62}\approx75.8(\mathrm{cm})$，
$\therefore AG=AF+FG=88+75.8=163.8(\mathrm{cm})$。
在$\mathrm{Rt}△ AGN$中，$AN=AG·\sin∠ DGA=163.8×\sin32°\approx163.8×0.53\approx86.8(\mathrm{cm})$。
$\because∠ AMN=∠ MAG+∠ DGA=13°+32°=45°$，
$\therefore△ AMN$为等腰直角三角形，$\therefore AM=\sqrt{2}AN\approx1.41×86.8\approx122.4(\mathrm{cm})$，$\therefore EM=AM-AE=122.4-91=31.4(\mathrm{cm})$。
$\because$当M、H重合时，EH最小，$\therefore EH$最小约为32cm。
【答案】
(1) $AE$的长约为$91\mathrm{cm}$；
(2) $EH$最小约为$32\mathrm{cm}$。
【知识点】
锐角三角函数的应用、解直角三角形、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合光伏安装的实际场景，考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，准确提取直角三角形的边角关系，同时要正确分析采光不受影响的临界情况，对数学建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
