1[2026河北邯郸期中,中]如图,点B在线段AC上,且$BC=2AB$,D,E分别是AB,BC的中点.下列结论:①$AB=\frac{1}{3}AC$;②B是AE的中点;③$EC=2BD$;④$DE=\frac{3}{2}AB$;⑤若$DE=5$,则图中所有线段之和为50.其中正确的结论有 ()


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

【解析】①因为 BC=2AB,AC=AB+BC,所以 AC=3AB,所以 $AB=\frac{1}{3}AC$,正确,符合题意. ②因为 E 是 BC 的中点,所以 BC=2BE. 又因为 BC=2AB,所以 BE=AB,所以 B 是 AE 的中点,正确,符合题意. ③因为 D,E 分别是 AB,BC 的中点,所以 EC=BE=AB=2BD,正确,符合题意. ④由上述结论,得 $DE=DB+BE=\frac{1}{2}AB+AB=\frac{3}{2}AB$,正确,符合题意. ⑤因为 $DE=\frac{3}{2}AB,DE=5$,所以 $AB=\frac{10}{3}$. 又因为 AC=3AB,所以 AC=10,所以题图中所有线段之和为 AD+AB+AE+AC+DB+DE+DC+BE+BC+EC=(AD+DC)+(AB+BC)+(AE+EC)+AC+(DE+DB+BE)=4AC+2DE=40+10=50,正确,符合题意. 综上所述,正确的结论有 5 个,故选 D.

2[2025山东潍坊期末,中]已知线段$AB=14\ \mathrm{cm}$，点C是直线AB上一点，$BC=2\ \mathrm{cm}$，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）

A.7 cm
B.9 cm
C.7 cm或5 cm
D.6 cm或8 cm

【解析】①当点 C 在线段 AB 上时,如图(1)所示.

因为 AB=14 cm,BC=2 cm,所以 AC=14-2=12( cm ). 因为 M 是 AC 的中点,N 是 BC 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm},CN=\frac{1}{2}BC=1\ \mathrm{cm}$,所以 MN=MC+CN=6+1=7( cm ).
②当点 C 在线段 AB 的延长线上时,如图(2)所示.

因为 AB=14 cm,BC=2 cm,所以 AC=14+2=16( cm ). 因为 M 是 AC 的中点,N 是 BC 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{cm},NC=\frac{1}{2}BC=1\ \mathrm{cm}$,所以 MN=MC-CN=8-1=7( cm ).
综上所述,线段 MN 的长度是 7 cm. 故选 A.

3[2026山东威海期末,中]如图,数轴上O,A两点间的距离为12,一动点P从点A出发,按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点$A_1$处,第2次从$A_1$点跳动到$A_1O$的中点$A_2$处,第3次从$A_2$点跳动到$A_2O$的中点$A_3$处,…,按照这样的规律继续跳动到点$A_4,A_5,A_6,…,A_n$(n是整数)处,点$A_{2025}$与$A_1A$的中点之间的距离是()


A.$12 - 3×\frac{1}{2^{2023}}$
B.$9 - 3×\frac{1}{2^{2023}}$
C.$12 - 3×\frac{1}{2^{2024}}$
D.$9 - 3×\frac{1}{2^{2024}}$

【解析】因为 O,A 两点间的距离为 12,且点 $A_1$ 为 OA 的中点,所以 $OA_1=AA_1=\frac{1}{2}×12=6$,同理可得 $OA_2=3,OA_3=\frac{3}{2},OA_4=\frac{3}{4},…$,所以 $OA_n=12×(\frac{1}{2})^n$. 当 n=2 025 时, $OA_{2025}=12×(\frac{1}{2})^{2025}$. 令 $A_1A$ 的中点为 M,则 $AM=\frac{1}{2}×6=3$,所以 OM=12-3=9,所以 $A_{2025}M=OM-OA_{2025}=9-12×(\frac{1}{2})^{2025}=9-3×\frac{1}{2^{2023}}$,即点 $A_{2025}$ 与 $A_1A$ 的中点之间的距离是 $9-3×\frac{1}{2^{2023}}$. 故选 B.

4[2026河南郑州调研,中]如图,线段AB被点C,D分成了2:3:4的三部分,且AB=75厘米,M,N分别为AC,BD的中点,则MN的长为厘米.

【解析】由题意得 $AC=75×\frac{2}{2+3+4}=\frac{50}{3}$(厘米), $CD=75×\frac{3}{2+3+4}=25$(厘米), $BD=75×\frac{4}{2+3+4}=\frac{100}{3}$(厘米). 因为 M,N 分别为 AC,BD 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{25}{3}$ 厘米, $DN=\frac{1}{2}BD=\frac{50}{3}$厘米,所以 MN=MC+CD+DN=50 厘米.

5 方程思想 [2025 山东菏泽期末,中]已知点 B在线段 AC 上,点 D 在线段 AB 上.
(1)如图(1),若 AB=6 cm,BC=4 cm,D 为线段 AC 的中点,求线段 DB 的长度;
(2)如图(2),若 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E 为线段AB 的中点,EC=8 cm,求线段 AC 的长度.

(1)因为 AB=6 cm,BC=4 cm,所以 AC=AB+BC=6+4=10( cm ). 又因为 D 为线段 AC 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5( cm )$,所以 DB=DC-BC=5-4=1( cm ).
(2)因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,所以设 BD=x cm,则 AB=4BD=4x cm,CD=3BD=3x cm,所以 BC=DC-DB=3x-x=2x( cm ),所以 AC=AB+BC=4x+2x=6x( cm ). 因为 E 为线段 AB 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x( cm )$,所以 EC=BE+BC=2x+2x=4x( cm ). 又因为 EC=8 cm,所以 4x=8,解得 x=2,所以 AC=6×2=12( cm ).

6 分类讨论思想 [2025 山东泰安期末,中]如图,已知线段$AB=4$,延长AB到点C,使得$AB=2BC$,反向延长AB到点D,使$AC=2AD$.
(1)求线段CD的长;
(2)若Q为AB的中点,P为线段CD上一点,且$BP=\frac{1}{2}BC$,请画出示意图并求出PQ的长.

(1)因为 AB=4,AB=2BC,所以 $BC=\frac{1}{2}AB=2$,所以 AC=AB+BC=4+2=6. 又因为 AC=2AD,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=3$,所以 CD=AD+AC=3+6=9. 故线段 CD 的长为 9.
(2)因为 Q 为 AB 的中点,所以 $BQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$. 因为 $BP=\frac{1}{2}BC,BC=\frac{1}{2}AB=2$,所以 $BP=\frac{1}{2}×2=1$. 由题意分以下 2 种情况:
①如图(1),当点 P 在点 B 左侧时,PQ=BQ-BP=2-1=1;

②如图(2),当点 P 在点 B 右侧时,PQ=BQ+BP=2+1=3.

综上,线段 PQ 的长为 1 或 3.