7[2026山东威海质检,中]如图,线段AB的长为24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点,设点P的运动时间为x秒.
(1)当x=5时,求BM的长.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM−PB是定值吗?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
(3)当P在射线AB上运动时,N为BP的中点,求MN的长.

(1)当 x=5 时,AP=2×5=10. 因为 M 为 AP 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AP=5$,所以 BM=AB-AM=19,所以 BM 的长为 19.
(2)当 P 在线段 AB 上运动时,2BM-PB 是定值.
由题意知, $AM=\frac{1}{2}AP,BM=AB-AM$,所以 2BM-PB=2(AB-AM)-(AB-AP)=2AB-AP-AB+AP=AB=24,所以 2BM-PB 是定值,定值为 24.
(3)当 P 在线段 AB 上运动时,如图(1).

由题意知, $PN=\frac{1}{2}BP,MP=\frac{1}{2}AP$,所以 $MN=MP+NP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=12$.
当 P 在线段 AB 的延长线上运动时,如图(2).

由题意知, $PN=\frac{1}{2}BP,MP=\frac{1}{2}AP$,所以 $MN=MP-NP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=12$. 综上所述,MN 的长为 12.

8[较难]如图,点 P 是线段 AB 上一点,AB =24 cm,点 C,D 分别从点 P,B 同时出发以1 cm/s,3 cm/s 的速度沿直线 AB 向左运动(点 C 在线段 AP 上,点 D 在线段 BP 上),运动的时间为 t s.
(1)当 t=1 时,若 PD=3AC,请求出 AP 的长;
(2)若点 C,D 运动到任一时刻,总有 PD=3AC,请求出 AP 的长;
(3)在(2)的条件下,若点 Q 是直线 AB 上一点,且 AQ-BQ=PQ,请求出 PQ 的长.

刷素养 走向重高

(1)由题意可知,BD=3×1=3( cm ),PC=1 cm,则 BD=3PC.
因为 PD=3AC,所以 AB-AC-PC-BD=24-AC-PC-3PC=3AC,所以 4AC+4PC=24 cm,所以 AC+PC=6 cm,所以 AP=AC+CP=6 cm.
(2)根据点 C,D 的运动速度可知,BD=3PC. 因为 PD=3AC,所以 AB-AP-BD=3(AP-CP),所以 24-AP-3PC=3AP-3PC,所以 AP=6 cm.
(3)存在以下两种情况:
①如图(1),当点 Q 在线段 AB 上时,因为 AQ-BQ=PQ,所以 AQ=PQ+BQ. 因为 AQ=AP+PQ,所以 AP=BQ=6 cm,所以 PQ=AB-AP-BQ=24-6-6=12( cm ).

②如图(2),当点 Q 在线段 AB 的延长线上时,因为 AQ-BQ=PQ,所以 AQ=PQ+BQ. 因为 AQ=AP+PQ,所以 AP=BQ=6 cm,所以 PQ=AQ-AP=AB+BQ-AP=AB=24 cm.

综上所述,PQ 的长为 12 cm 或 24 cm.

9 思想方法 数形结合[难]已知A,B两点在数轴上表示的数分别为a和b,M,N均为数轴上的点,且OA＜OB.
(1)若A,B的位置如图(1)所示,试化简:$|a|-|b|+|a+b|+|a-b|$;

(2)如图(2),若$|a|+|b|=8.9$,$MN=3$,求图(2)中以A,N,O,M,B这5个点为端点的所有线段(无重复)长度的和;

(3)如图(3),M为AB的中点,N为OA的中点,且$MN=2AB-15$,$a=-3$,若点P为数轴上一点,且$PA=\frac{2}{3}AB$,试求点P所对应的数.

(1)由题可知 a＜0,b＞0.
因为 OA＜OB,所以 |a|＜|b|,所以 a+b＞0,a-b＜0,所以 |a|-|b|+|a+b|+|a-b|=-a-b+a+b+b-a= b-a.
(2)因为 |a|+|b|=8.9,所以 AB=8.9.
又因为 MN=3,
所以 AN+AO+AM+AB+NO+NM+NB+OM+OB+MB=(AN+NB)+(AO+OB)+(AM+MB)+AB+(NO+OM)+NM=AB+AB+AB+AB+NM+NM=4AB+2NM=4×8.9+2×3=41.6.
(3)因为 a=-3,
所以 OA=3.
因为 M 为 AB 的中点,N 为 OA 的中点,
所以 $AM=\frac{1}{2}AB,AN=\frac{1}{2}OA$,
所以 $MN=AM-AN=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}AB-\frac{3}{2}$.
又因为 MN=2AB-15,
所以 $2AB-15=\frac{1}{2}AB-\frac{3}{2}$,
解得 AB=9,
所以 $PA=\frac{2}{3}AB=6$.
当点 P 在点 A 的左边时,点 P 在原点的左边,OP=9,故点 P 所对应的数为-9;
当点 P 在点 A 的右边时,点 P 在原点的右边,OP=3,故点 P 所对应的数为 3.
综上,点 P 所对应的数为-9 或 3.