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一、选择题(每题2分,共12分)
1 下列各式中与$\sqrt{a+b}$是同类二次根式的是(
A.$\frac{1}{a}\sqrt{(a+b)^2}$
B.$\frac{1}{3}\sqrt{3(a+b)}$
C.$\sqrt{\frac{a+b}{2}}$
D.$\sqrt{\frac{4}{a+b}}$
1 下列各式中与$\sqrt{a+b}$是同类二次根式的是(
D
)。A.$\frac{1}{a}\sqrt{(a+b)^2}$
B.$\frac{1}{3}\sqrt{3(a+b)}$
C.$\sqrt{\frac{a+b}{2}}$
D.$\sqrt{\frac{4}{a+b}}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个式子与$\sqrt{a+b}$是同类二次根式，首先要明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若被开方数相同，则为同类二次根式。解题时需先逐个化简四个选项的式子，再对比化简后的被开方数是否与$\sqrt{a+b}$的被开方数$a+b$一致即可。
【解析】
首先明确同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的，称为同类二次根式。我们逐个化简选项：
选项A：$\frac{1}{a}\sqrt{(a+b)^2}=\frac{1}{a}|a+b|$，化简后为有理式，不属于二次根式，直接排除；
选项B：$\frac{1}{3}\sqrt{3(a+b)}$已是最简二次根式，被开方数为$3(a+b)$，与$a+b$不同，排除；
选项C：$\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\frac{\sqrt{2(a+b)}}{2}$，化简后被开方数为$2(a+b)$，与$a+b$不同，排除；
选项D：$\sqrt{\frac{4}{a+b}}=\frac{2}{\sqrt{a+b}}=\frac{2\sqrt{a+b}}{a+b}$，化简后被开方数为$a+b$，与$\sqrt{a+b}$的被开方数相同，属于同类二次根式。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题核心是牢记同类二次根式的判断需先化简再对比被开方数，切勿直接观察原式根号内的式子就直接判定，避免落入题目的陷阱。
【难度系数】
0.75
要判断哪个式子与$\sqrt{a+b}$是同类二次根式，首先要明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若被开方数相同，则为同类二次根式。解题时需先逐个化简四个选项的式子，再对比化简后的被开方数是否与$\sqrt{a+b}$的被开方数$a+b$一致即可。
【解析】
首先明确同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的，称为同类二次根式。我们逐个化简选项：
选项A：$\frac{1}{a}\sqrt{(a+b)^2}=\frac{1}{a}|a+b|$，化简后为有理式，不属于二次根式，直接排除；
选项B：$\frac{1}{3}\sqrt{3(a+b)}$已是最简二次根式，被开方数为$3(a+b)$，与$a+b$不同，排除；
选项C：$\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\frac{\sqrt{2(a+b)}}{2}$，化简后被开方数为$2(a+b)$，与$a+b$不同，排除；
选项D：$\sqrt{\frac{4}{a+b}}=\frac{2}{\sqrt{a+b}}=\frac{2\sqrt{a+b}}{a+b}$，化简后被开方数为$a+b$，与$\sqrt{a+b}$的被开方数相同，属于同类二次根式。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题核心是牢记同类二次根式的判断需先化简再对比被开方数，切勿直接观察原式根号内的式子就直接判定，避免落入题目的陷阱。
【难度系数】
0.75
② 已知$x=1$是一元二次方程$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$的一个根，则$m$的值为（
A.1
D.0
C
）。A.1
D.0
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，可得到关于m的方程，求解得到m的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合条件的m值，即可得到正确结果。
【解析】
1. 代入根求m的可能值：
因为$x=1$是方程$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$\begin{aligned}(m-2)×1^2 +4×1 -m^2&=0\\m-2+4 -m^2&=0\\m^2 -m -2&=0\end{aligned}$
对上述方程因式分解得：$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
2. 结合一元二次方程定义筛选：
一元二次方程要求二次项系数不为0，即$m-2≠0$，得$m≠2$，因此排除$m=2$，最终$m=-1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，直接选取求解得到的m=2，解题时求出参数值后要注意验证是否符合方程的定义要求。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程，可得到关于m的方程，求解得到m的可能取值；再结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合条件的m值，即可得到正确结果。
【解析】
1. 代入根求m的可能值：
因为$x=1$是方程$(m-2)x^2 +4x -m^2=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$\begin{aligned}(m-2)×1^2 +4×1 -m^2&=0\\m-2+4 -m^2&=0\\m^2 -m -2&=0\end{aligned}$
对上述方程因式分解得：$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
2. 结合一元二次方程定义筛选：
一元二次方程要求二次项系数不为0，即$m-2≠0$，得$m≠2$，因此排除$m=2$，最终$m=-1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，直接选取求解得到的m=2，解题时求出参数值后要注意验证是否符合方程的定义要求。
【难度系数】
0.7
3 已知实数$x$满足$(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) - 12 = 0$，则代数式$x^2 - x + 1$的值是（
A.7
B.-1
C.7或-1
D.-5或3
A
）。A.7
B.-1
C.7或-1
D.-5或3
答案
A
解析
【分析】
首先观察原方程的结构，发现方程中多次出现整体$x^2 - x$，因此可以用换元法将四次高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解；求出换元后的值后，因为x是实数，需要结合一元二次方程根的判别式，判断$x^2 - x$的取值是否对应实根，舍去不符合条件的值，最后代入计算$x^2 - x +1$即可。
【解析】
解：设$y = x^2 - x$，则原方程可转化为：
$y^2 -4y -12 = 0$
对左边因式分解得：$(y -6)(y +2)=0$
解得：$y_1=6$，$y_2=-2$
接下来判断$y$的取值合理性：
若$y = x^2 -x$有实根，则关于x的一元二次方程$x^2 -x -y =0$的判别式$\Delta≥0$
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 -4×1×(-y)=1 +4y≥0$，即$y≥-\frac{1}{4}$
因为$y_2=-2＜-\frac{1}{4}$，此时方程无实根，不符合题意，舍去；
所以$x^2 -x =6$，则$x^2 -x +1=6+1=7$。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程
【点评】
本题是换元法解方程的典型题型，解题核心是通过换元实现高次方程降次，易错点是求出换元后的参数值后，忽略原方程有实根的限制条件，直接选C，解题时要注意验证取值的合理性。
【难度系数】
0.6
首先观察原方程的结构，发现方程中多次出现整体$x^2 - x$，因此可以用换元法将四次高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解；求出换元后的值后，因为x是实数，需要结合一元二次方程根的判别式，判断$x^2 - x$的取值是否对应实根，舍去不符合条件的值，最后代入计算$x^2 - x +1$即可。
【解析】
解：设$y = x^2 - x$，则原方程可转化为：
$y^2 -4y -12 = 0$
对左边因式分解得：$(y -6)(y +2)=0$
解得：$y_1=6$，$y_2=-2$
接下来判断$y$的取值合理性：
若$y = x^2 -x$有实根，则关于x的一元二次方程$x^2 -x -y =0$的判别式$\Delta≥0$
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 -4×1×(-y)=1 +4y≥0$，即$y≥-\frac{1}{4}$
因为$y_2=-2＜-\frac{1}{4}$，此时方程无实根，不符合题意，舍去；
所以$x^2 -x =6$，则$x^2 -x +1=6+1=7$。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程
【点评】
本题是换元法解方程的典型题型，解题核心是通过换元实现高次方程降次，易错点是求出换元后的参数值后，忽略原方程有实根的限制条件，直接选C，解题时要注意验证取值的合理性。
【难度系数】
0.6
4 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$。以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交线段$AB$于点$D$,以点$A$为圆心,$AD$长为半径画弧,交线段$AC$于点$E$,则下列线段的长度一定是方程$x^2 + 2ax - b^2 = 0$的一个根的是(
A.线段$BC$的长
B.线段$AD$的长
C.线段$EC$的长
D.线段$AC$的长
B
)。A.线段$BC$的长
B.线段$AD$的长
C.线段$EC$的长
D.线段$AC$的长
答案
B
解析
【分析】
解题思路：首先利用直角三角形的勾股定理求出斜边AB的长度，再结合同圆半径相等的性质，得到BD=BC=a，进而表示出线段AD的长度；接下来求解给定的一元二次方程，取其正根（线段长度为正），和各选项线段长度对比，即可找到对应根的线段。
【解析】
1. 求AB的长度：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
2. 表示AD的长度：由题意，以点B为圆心、BC长为半径画弧交AB于D，因此同圆半径相等，$BD=BC=a$，则：
$AD=AB-BD=\sqrt{a^2+b^2}-a$
3. 求解一元二次方程$x^2+2ax-b^2=0$：
用求根公式计算，其中二次项系数为1，一次项系数为2a，常数项为$-b^2$，判别式$\Delta=(2a)^2-4×1×(-b^2)=4a^2+4b^2$，因此：
$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2×1}=-a\pm\sqrt{a^2+b^2}$
因为线段长度为正数，舍去负根，得方程正根为$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$，与AD的长度相等。
因此线段AD的长是该方程的一个根。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，一元二次方程求解，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与代数的基础综合题，将直角三角形性质、圆的半径性质和一元二次方程求解结合考察，解题的核心是准确表示出相关线段的长度，再通过求方程的正根匹配对应线段，难度不大，侧重对基础知识综合运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用直角三角形的勾股定理求出斜边AB的长度，再结合同圆半径相等的性质，得到BD=BC=a，进而表示出线段AD的长度；接下来求解给定的一元二次方程，取其正根（线段长度为正），和各选项线段长度对比，即可找到对应根的线段。
【解析】
1. 求AB的长度：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
2. 表示AD的长度：由题意，以点B为圆心、BC长为半径画弧交AB于D，因此同圆半径相等，$BD=BC=a$，则：
$AD=AB-BD=\sqrt{a^2+b^2}-a$
3. 求解一元二次方程$x^2+2ax-b^2=0$：
用求根公式计算，其中二次项系数为1，一次项系数为2a，常数项为$-b^2$，判别式$\Delta=(2a)^2-4×1×(-b^2)=4a^2+4b^2$，因此：
$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2×1}=-a\pm\sqrt{a^2+b^2}$
因为线段长度为正数，舍去负根，得方程正根为$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$，与AD的长度相等。
因此线段AD的长是该方程的一个根。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，一元二次方程求解，圆的基本性质
【点评】
本题是几何与代数的基础综合题，将直角三角形性质、圆的半径性质和一元二次方程求解结合考察，解题的核心是准确表示出相关线段的长度，再通过求方程的正根匹配对应线段，难度不大，侧重对基础知识综合运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
5 将甲、乙、丙三个大小不同的正方形按如图所示放置，顶点E、F处分别两两相接，顶点A、B、M、C、D在同一条直线上。若正方形甲的边长为2，正方形丙的边长为3，则正方形乙的面积为(
A.$\sqrt{13}$
B.5
C.13
D.25
第4题图 第5题图 第6题图
C
)。A.$\sqrt{13}$
B.5
C.13
D.25
第4题图 第5题图 第6题图
答案
C
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，首先正方形乙的邻边EM、MF相等且夹角为90°，结合直线AD上的两个直角∠EBM、∠MCF，可推导出△EBM和△MCF全等，全等后两个三角形的直角边分别对应正方形甲、丙的边长，最后利用勾股定理求出EM的平方，也就是正方形乙的面积。
【解析】
∵ 甲、乙、丙都是正方形
∴ ∠EBM=∠MCF=90°，EM=MF，∠EMF=90°
∴ ∠BEM + ∠EMB = 90°，∠EMB + ∠FMC = 180°-∠EMF=90°
∴ ∠BEM=∠CMF
在△EBM和△MCF中：
$\{\begin{array}{l}∠EBM=∠MCF \\∠BEM=∠CMF \\EM=MF\end{array} $
∴ △EBM≌△MCF（AAS）
由正方形甲边长为2得EB=2，正方形丙边长为3得CF=3
∴ BM=CF=3
在Rt△EBM中，由勾股定理得：
$EM^2=EB^2+BM^2=2^2+3^2=4+9=13$
正方形乙的面积等于边长的平方，即$S_乙=EM^2=13$
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是通过角的互余关系推出等角，进而证明三角形全等，得到直角三角形的边长，再利用“正方形面积等于边长平方”的性质，结合勾股定理直接求面积，无需计算边长，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先从正方形的性质入手，首先正方形乙的邻边EM、MF相等且夹角为90°，结合直线AD上的两个直角∠EBM、∠MCF，可推导出△EBM和△MCF全等，全等后两个三角形的直角边分别对应正方形甲、丙的边长，最后利用勾股定理求出EM的平方，也就是正方形乙的面积。
【解析】
∵ 甲、乙、丙都是正方形
∴ ∠EBM=∠MCF=90°，EM=MF，∠EMF=90°
∴ ∠BEM + ∠EMB = 90°，∠EMB + ∠FMC = 180°-∠EMF=90°
∴ ∠BEM=∠CMF
在△EBM和△MCF中：
$\{\begin{array}{l}∠EBM=∠MCF \\∠BEM=∠CMF \\EM=MF\end{array} $
∴ △EBM≌△MCF（AAS）
由正方形甲边长为2得EB=2，正方形丙边长为3得CF=3
∴ BM=CF=3
在Rt△EBM中，由勾股定理得：
$EM^2=EB^2+BM^2=2^2+3^2=4+9=13$
正方形乙的面积等于边长的平方，即$S_乙=EM^2=13$
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是通过角的互余关系推出等角，进而证明三角形全等，得到直角三角形的边长，再利用“正方形面积等于边长平方”的性质，结合勾股定理直接求面积，无需计算边长，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
6 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF。若AB=2，则CF的长是（
A.$\sqrt{3} -1$
B.$\frac{\sqrt{3} -1}{2}$
C.$\sqrt{5} -1$
D.$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$
C
）。A.$\sqrt{3} -1$
B.$\frac{\sqrt{3} -1}{2}$
C.$\sqrt{5} -1$
D.$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形性质入手，先得到正方形各边长及直角条件，再结合E是BC中点求出EC的长度，接着在直角三角形DCE中利用勾股定理求出DE的长度，根据圆的半径相等可知EF=DE，最后用EF减去EC即可得到CF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴BC=DC=AB=2，∠BCD=90°，
∵E是BC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE=$\sqrt{DC^2 + EC^2}$=$\sqrt{2^2 + 1^2}$=$\sqrt{5}$，
∵以E为圆心，DE长为半径作圆交BC延长线于F，
∴EF=DE=$\sqrt{5}$，
∴CF=EF - EC=$\sqrt{5}$ - 1。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将正方形、直角三角形、圆的知识点结合考查，解题的核心是找到线段间的数量关系，利用勾股定理求出圆的半径，再作差得到所求线段长度。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的正方形性质入手，先得到正方形各边长及直角条件，再结合E是BC中点求出EC的长度，接着在直角三角形DCE中利用勾股定理求出DE的长度，根据圆的半径相等可知EF=DE，最后用EF减去EC即可得到CF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴BC=DC=AB=2，∠BCD=90°，
∵E是BC的中点，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE=$\sqrt{DC^2 + EC^2}$=$\sqrt{2^2 + 1^2}$=$\sqrt{5}$，
∵以E为圆心，DE长为半径作圆交BC延长线于F，
∴EF=DE=$\sqrt{5}$，
∴CF=EF - EC=$\sqrt{5}$ - 1。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将正方形、直角三角形、圆的知识点结合考查，解题的核心是找到线段间的数量关系，利用勾股定理求出圆的半径，再作差得到所求线段长度。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每题3分，共36分)
7 6 的平方根是
7 6 的平方根是
$\pm\sqrt{6}$
。答案
$\pm\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。解题时先明确正数有两个互为相反数的平方根，我们只需要找到平方后等于6的数即可，要注意和算术平方根（仅指非负的那一个）区分，不要漏写负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm\sqrt{6})^2=6$，符合平方根的定义，所以6的平方根是$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
$\pm\sqrt{6}$
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，误写成只有正的算术平方根，牢记平方根的定义和性质即可正确作答。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。解题时先明确正数有两个互为相反数的平方根，我们只需要找到平方后等于6的数即可，要注意和算术平方根（仅指非负的那一个）区分，不要漏写负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根。
因为$(\pm\sqrt{6})^2=6$，符合平方根的定义，所以6的平方根是$\pm\sqrt{6}$。
【答案】
$\pm\sqrt{6}$
【知识点】
平方根的定义、平方根的性质
【点评】
本题是基础概念题，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，误写成只有正的算术平方根，牢记平方根的定义和性质即可正确作答。
【难度系数】
0.8
8 若$\frac{\sqrt{x + 7}}{x - 3}$有意义，则$x$的取值范围为
$x ≥ -7$且$x ≠ 3$
。答案
$x ≥ -7$且$x ≠ 3$
解析
【分析】
要确定使代数式有意义的x的取值范围，需分别分析代数式各部分的限制条件：①代数式含二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数；②代数式是分式形式，根据分式的定义，分母不能为0。分别列出对应的不等式求解后，取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x + 7}}{x - 3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x + 7 ≥ 0$，解得$x ≥ -7$；
2. 分式的分母不为0：$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$。
综合两个条件可得x的取值范围。
【答案】
$x ≥ -7$且$x ≠ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时需注意不要遗漏分母不为0的限制条件，最终取值范围要同时满足所有限制要求。
【难度系数】
0.8
要确定使代数式有意义的x的取值范围，需分别分析代数式各部分的限制条件：①代数式含二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数；②代数式是分式形式，根据分式的定义，分母不能为0。分别列出对应的不等式求解后，取两个解集的公共部分，就是x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x + 7}}{x - 3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x + 7 ≥ 0$，解得$x ≥ -7$；
2. 分式的分母不为0：$x - 3 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$。
综合两个条件可得x的取值范围。
【答案】
$x ≥ -7$且$x ≠ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时需注意不要遗漏分母不为0的限制条件，最终取值范围要同时满足所有限制要求。
【难度系数】
0.8
