26 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$D$是边$AC$上一点，过$D$作$DE ⊥ AB$，垂足为点$E$。
（1）如图①，点$E$是$AB$的中点，$CD=DE$，如果$AB=6$，求$BC$的长；
（2）如图②，已知$CD=BC$，连接$CE$，求证：$EC$平分$∠ BED$；
（3）在（2）的条件下，如图③，延长$DE$至点$F$，连接$CF$交线段$AB$于点$G$，当$∠ A=∠ F$，且点$G$是$CF$中点时，求$\frac{AE}{EG}$的值。

26 (1) 连接$BD$,因为$DE ⊥ AB$,$AE = BE = \dfrac{1}{2}AB = 3$,所以$∠DEB = ∠C = 90°$。在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△BDC$中,因为$\begin{cases} BD = BD, \\ DE = DC, \end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△BDE ≌ \mathrm{Rt}△BDC$,所以$BE = BC = 3$。
(2) 如图①,过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$,$CG ⊥ DE$,交$ED$的延长线于点$G$。因为$CG ⊥ DE$,$CF ⊥ AB$,所以$∠G = ∠CFB = 90°$。因为$DE ⊥ AB$,所以$∠AED = ∠ACB = 90°$,所以$∠A + ∠B = 90°$,$∠A + ∠ADE = 90°$,所以$∠ADE = ∠B$。又因为$∠ADE = ∠CDG$,所以$∠CDG = ∠B$。在$△ DGC$和$△ BFC$中,因为$\begin{cases} ∠G = ∠BFC, \\ ∠CDG = ∠B, \\ CD = CB, \end{cases}$所以$△ DGC ≌ △ BFC (\mathrm{AAS})$,所以$CG = CF$。因为$CG ⊥ EG$,$CF ⊥ EB$,所以$EC$平分$∠BED$。
(3) 如图②,过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$,$CM ⊥ DE$,交$ED$的延长线于点$M$。因为$DE ⊥ AB$,$CH ⊥ AB$,所以$CH // DE$,即$CH // DF$,所以$∠F = ∠GCH$。因为点$G$是$CF$中点,所以$CG = GF$。在$△ EGF$和$△ HGC$中,因为$\begin{cases} ∠F = ∠GCH, \\ GF = GC, \\ ∠EGF = ∠HGC, \end{cases}$所以$△ EGF ≌ △ HGC (\mathrm{ASA})$,所以$EG = GH = \dfrac{1}{2}EH$,$EF = CH$。由(2)可知,$EC$平分$∠BED$,又因为$∠BED = 90°$,所以$∠CEH = \dfrac{1}{2}∠BED = 45°$,所以$△ ECH$为等腰直角三角形,所以$CH = EH$,所以$EF = EH = 2EG$。因为$∠DEC = ∠CEG$,$∠AED = ∠FEG$,所以$∠AED + ∠DEC = ∠FEG + ∠CEG$,即$∠AEC = ∠FEC$。在$△ AEC$和$△ FEC$中,因为$\begin{cases} ∠A = ∠F, \\ ∠AEC = ∠FEC, \\ EC = EC, \end{cases}$所以$△ AEC ≌ △ FEC (\mathrm{AAS})$,所以$AE = EF$,所以$AE = 2EG$,所以$\dfrac{AE}{EG} = 2$。

【分析】
本题分为三个小问，解题思路层层递进：
(1) 要求BC的长，已知AB长度，E是AB中点，首先可得到BE=$\frac{1}{2}$AB。观察到DE⊥AB、∠C是直角，且CD=DE，公共边BD，可连接BD构造直角三角形全等，证明BC=BE即可得到结果。
(2) 要证EC平分∠BED，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠BED两边的距离相等，因此过C分别作DE、AB的垂线，证明两条垂线段相等即可，通过证明两条垂线所在的三角形全等即可推导。
(3) 要求AE与EG的比值，首先利用G是CF中点、平行线的性质构造全等三角形，得到EG和EH的数量关系；结合(2)的角平分线结论可得△ECH是等腰直角三角形，得到EH和CH的关系；再证明△AEC和△FEC全等，得到AE=EF，进而推出AE和EG的比值。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ DE ⊥ AB，E是AB中点，AB=6，
∴ ∠DEB = ∠C = 90°，AE = BE = $\dfrac{1}{2}$AB = 3。
在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△BDC$中：
$\begin{cases} BD = BD \\ DE = DC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BDE ≌ \mathrm{Rt}△BDC$（HL），
∴ BE = BC = 3。
(2) 过点C作$CF ⊥ AB$于点F，$CG ⊥ DE$，交ED的延长线于点G，
∵ CG ⊥ DE，CF ⊥ AB，
∴ ∠G = ∠CFB = 90°。
∵ DE ⊥ AB，∠ACB=90°，
∴ ∠AED = ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠A + ∠ADE = 90°，
∴ ∠ADE = ∠B。
又
∵ ∠ADE = ∠CDG，
∴ ∠CDG = ∠B。
在$△ DGC$和$△ BFC$中：
$\begin{cases} ∠G = ∠BFC \\ ∠CDG = ∠B \\ CD = CB \end{cases}$
∴ $△ DGC ≌ △ BFC (\mathrm{AAS})$，
∴ CG = CF。
∵ CG ⊥ EG，CF ⊥ EB，
∴ EC平分$∠BED$。
(3) 过点C作$CH ⊥ AB$于点H，$CM ⊥ DE$，交ED的延长线于点M，
∵ DE ⊥ AB，CH ⊥ AB，
∴ CH // DE，即CH // DF，
∴ ∠F = ∠GCH。
∵ 点G是CF中点，
∴ CG = GF。
在$△ EGF$和$△ HGC$中：
$\begin{cases} ∠F = ∠GCH \\ GF = GC \\ ∠EGF = ∠HGC \end{cases}$
∴ $△ EGF ≌ △ HGC (\mathrm{ASA})$，
∴ EG = GH = $\dfrac{1}{2}$EH，EF = CH。
由(2)可知，EC平分$∠BED$，又
∵ ∠BED = 90°，
∴ ∠CEH = $\dfrac{1}{2}$∠BED = 45°，
∴ △ ECH为等腰直角三角形，
∴ CH = EH，
∴ EF = EH = 2EG。
∵ ∠DEC = ∠CEG，∠AED = ∠FEG，
∴ ∠AED + ∠DEC = ∠FEG + ∠CEG，即∠AEC = ∠FEC。
在$△ AEC$和$△ FEC$中：
$\begin{cases} ∠A = ∠F \\ ∠AEC = ∠FEC \\ EC = EC \end{cases}$
∴ $△ AEC ≌ △ FEC (\mathrm{AAS})$，
∴ AE = EF，
∴ AE = 2EG，
∴ $\dfrac{AE}{EG} = 2$。
【答案】
(1) 连接$BD$,因为$DE ⊥ AB$,$AE = BE = \dfrac{1}{2}AB = 3$,所以$∠DEB = ∠C = 90°$。在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△BDC$中,因为$\begin{cases} BD = BD, \\ DE = DC, \end{cases}$所以$\mathrm{Rt}△BDE ≌ \mathrm{Rt}△BDC$,所以$BE = BC = 3$。
(2) 如图①,过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$,$CG ⊥ DE$,交$ED$的延长线于点$G$。因为$CG ⊥ DE$,$CF ⊥ AB$,所以$∠G = ∠CFB = 90°$。因为$DE ⊥ AB$,所以$∠AED = ∠ACB = 90°$,所以$∠A + ∠B = 90°$,$∠A + ∠ADE = 90°$,所以$∠ADE = ∠B$。又因为$∠ADE = ∠CDG$,所以$∠CDG = ∠B$。在$△ DGC$和$△ BFC$中,因为$\begin{cases} ∠G = ∠BFC, \\ ∠CDG = ∠B, \\ CD = CB, \end{cases}$所以$△ DGC ≌ △ BFC (\mathrm{AAS})$,所以$CG = CF$。因为$CG ⊥ EG$,$CF ⊥ EB$,所以$EC$平分$∠BED$。
(3) 如图②,过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$,$CM ⊥ DE$,交$ED$的延长线于点$M$。因为$DE ⊥ AB$,$CH ⊥ AB$,所以$CH // DE$,即$CH // DF$,所以$∠F = ∠GCH$。因为点$G$是$CF$中点,所以$CG = GF$。在$△ EGF$和$△ HGC$中,因为$\begin{cases} ∠F = ∠GCH, \\ GF = GC, \\ ∠EGF = ∠HGC, \end{cases}$所以$△ EGF ≌ △ HGC (\mathrm{ASA})$,所以$EG = GH = \dfrac{1}{2}EH$,$EF = CH$。由(2)可知,$EC$平分$∠BED$,又因为$∠BED = 90°$,所以$∠CEH = \dfrac{1}{2}∠BED = 45°$,所以$△ ECH$为等腰直角三角形,所以$CH = EH$,所以$EF = EH = 2EG$。因为$∠DEC = ∠CEG$,$∠AED = ∠FEG$,所以$∠AED + ∠DEC = ∠FEG + ∠CEG$,即$∠AEC = ∠FEC$。在$△ AEC$和$△ FEC$中,因为$\begin{cases} ∠A = ∠F, \\ ∠AEC = ∠FEC, \\ EC = EC, \end{cases}$所以$△ AEC ≌ △ FEC (\mathrm{AAS})$,所以$AE = EF$,所以$AE = 2EG$,所以$\dfrac{AE}{EG} = 2$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，三个小问难度逐层递进，既考察了全等三角形的基础应用，也涉及角平分线判定、等腰直角三角形性质等核心知识点，解题过程中需要合理构造辅助线，同时要注意前后小问的结论关联，能够较好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6