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9 化简：$\sqrt{-\dfrac{1}{a}} =$
$-\frac{1}{a}\sqrt{-a}$
。答案
$-\frac{1}{a}\sqrt{-a}$
解析
【分析】
要化简该二次根式，首先需根据二次根式有意义的条件确定字母a的取值范围，这是避免符号错误的核心前提。得到a为负数后，再利用二次根式的性质将被开方数的分母转化为完全平方形式，结合$\sqrt{x^2}=|x|$的性质去根号，最终化简得到结果。
【解析】
1. 确定a的取值范围
要使$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{a}≥0$且$a≠0$，解得$a＜0$。
2. 化简二次根式
将被开方数的分子、分母同乘$a$，把分母化为平方形式：
$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=\sqrt{\dfrac{-1× a}{a× a}}=\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0,n＞0$）和$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}$
因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得：
$\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{1}{a}\sqrt{-a}$
【答案】
$-\dfrac{1}{a}\sqrt{-a}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题易错点为忽略a的正负性，直接将a从根号中提取导致符号错误，解题时需先根据二次根式定义确定字母取值范围，再结合二次根式的非负性化简，可有效避免符号偏差。
【难度系数】
0.6
要化简该二次根式，首先需根据二次根式有意义的条件确定字母a的取值范围，这是避免符号错误的核心前提。得到a为负数后，再利用二次根式的性质将被开方数的分母转化为完全平方形式，结合$\sqrt{x^2}=|x|$的性质去根号，最终化简得到结果。
【解析】
1. 确定a的取值范围
要使$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为0，即：
$-\dfrac{1}{a}≥0$且$a≠0$，解得$a＜0$。
2. 化简二次根式
将被开方数的分子、分母同乘$a$，把分母化为平方形式：
$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=\sqrt{\dfrac{-1× a}{a× a}}=\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0,n＞0$）和$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{\dfrac{-a}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}$
因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，代入得：
$\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{1}{a}\sqrt{-a}$
【答案】
$-\dfrac{1}{a}\sqrt{-a}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题易错点为忽略a的正负性，直接将a从根号中提取导致符号错误，解题时需先根据二次根式定义确定字母取值范围，再结合二次根式的非负性化简，可有效避免符号偏差。
【难度系数】
0.6
⑩ $0.\dot{3}\dot{1} = \_\_\_\_\_\_$。（填最简分数）
答案
$\frac{31}{99}$
解析
【分析】
本题要求将纯循环小数化为最简分数，可利用一元一次方程的方法推导求解：首先观察到循环节是“31”，共2位，我们先设该循环小数为x，将x扩大100倍（循环节有几位就乘10的几次方），使得扩大后的数的小数部分与原数的小数部分完全相同，再将两个式子相减即可消去无限循环的小数部分，得到关于x的一元一次方程，求解后验证是否为最简分数即可。
【解析】
解：设$ x = 0.\dot{3}\dot{1} = 0.313131··· $ ①
由于循环节有2位，将等式①两边同时乘100，可得：
$ 100x = 31.313131··· $ ②
用②式减去①式，消去无限循环的小数部分：
$ 100x - x = 31.3131··· - 0.3131··· $
化简得：$ 99x = 31 $
解得：$ x = \frac{31}{99} $
因为31和99的最大公因数是1，所以$\frac{31}{99}$是最简分数。
【答案】
$\frac{31}{99}$
【知识点】
纯循环小数化分数、一元一次方程的应用、最简分数判定
【点评】
本题属于基础计算类题目，通过方程法推导循环小数化分数的过程清晰易懂，熟练后也可直接用纯循环小数化分数的规律快速解题，核心是抓住循环节位数确定扩大的倍数，消去循环部分求解。
【难度系数】
0.8
本题要求将纯循环小数化为最简分数，可利用一元一次方程的方法推导求解：首先观察到循环节是“31”，共2位，我们先设该循环小数为x，将x扩大100倍（循环节有几位就乘10的几次方），使得扩大后的数的小数部分与原数的小数部分完全相同，再将两个式子相减即可消去无限循环的小数部分，得到关于x的一元一次方程，求解后验证是否为最简分数即可。
【解析】
解：设$ x = 0.\dot{3}\dot{1} = 0.313131··· $ ①
由于循环节有2位，将等式①两边同时乘100，可得：
$ 100x = 31.313131··· $ ②
用②式减去①式，消去无限循环的小数部分：
$ 100x - x = 31.3131··· - 0.3131··· $
化简得：$ 99x = 31 $
解得：$ x = \frac{31}{99} $
因为31和99的最大公因数是1，所以$\frac{31}{99}$是最简分数。
【答案】
$\frac{31}{99}$
【知识点】
纯循环小数化分数、一元一次方程的应用、最简分数判定
【点评】
本题属于基础计算类题目，通过方程法推导循环小数化分数的过程清晰易懂，熟练后也可直接用纯循环小数化分数的规律快速解题，核心是抓住循环节位数确定扩大的倍数，消去循环部分求解。
【难度系数】
0.8
11 若关于x的一元二次方程$mx^2 + (2m - 1)x + m - \frac{1}{2} = 0$有实数根，则m的取值范围是
$m ≤ \frac{1}{2}$且$m ≠ 0$
。答案
$m ≤ \frac{1}{2}$且$m ≠ 0$
解析
【分析】
解题时首先抓住题干两个关键条件：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即m≠0；②方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。接下来先明确一元二次方程中a、b、c对应的系数，代入判别式公式计算，再解关于m的不等式，最后合并两个约束条件就能得到m的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的前提，这是本题的易错点。
【解析】
∵ 方程$mx^2 + (2m - 1)x + m - \frac{1}{2} = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a = m$，$b = 2m - 1$，$c = m - \frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta = (2m - 1)^2 - 4 × m × (m - \frac{1}{2})$
$= 4m^2 - 4m + 1 - (4m^2 - 2m)$
$= -2m + 1$
令$\Delta ≥ 0$，即$-2m + 1 ≥ 0$
移项得：$-2m ≥ -1$
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得：$m ≤ \frac{1}{2}$
结合$m ≠ 0$的前提，最终得到m的取值范围。
【答案】
$m ≤ \frac{1}{2}$且$m ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础常考题型，核心易错点是容易忽略“一元二次方程”对二次项系数不为0的限制，仅通过判别式得到$m ≤ \frac{1}{2}$的错误结论，做题时要先关注方程的类型限定，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住题干两个关键条件：①方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，即m≠0；②方程有实数根，因此根的判别式Δ≥0。接下来先明确一元二次方程中a、b、c对应的系数，代入判别式公式计算，再解关于m的不等式，最后合并两个约束条件就能得到m的取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的前提，这是本题的易错点。
【解析】
∵ 方程$mx^2 + (2m - 1)x + m - \frac{1}{2} = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a = m$，$b = 2m - 1$，$c = m - \frac{1}{2}$，代入得：
$\Delta = (2m - 1)^2 - 4 × m × (m - \frac{1}{2})$
$= 4m^2 - 4m + 1 - (4m^2 - 2m)$
$= -2m + 1$
令$\Delta ≥ 0$，即$-2m + 1 ≥ 0$
移项得：$-2m ≥ -1$
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得：$m ≤ \frac{1}{2}$
结合$m ≠ 0$的前提，最终得到m的取值范围。
【答案】
$m ≤ \frac{1}{2}$且$m ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础常考题型，核心易错点是容易忽略“一元二次方程”对二次项系数不为0的限制，仅通过判别式得到$m ≤ \frac{1}{2}$的错误结论，做题时要先关注方程的类型限定，再结合根的情况列式求解。
【难度系数】
0.7
12 用配方法解一元二次方程$x^2 -8x -4=0$时，可将原方程配方成$(x -n)^2 = m$，则$m +n$的值是
24
。答案
24
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理成完全平方的形式，再和题目给出的$(x-n)^2=m$对应求出$m$、$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x -4=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边，得：$x^2 -8x = 4$
2. 配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，在等号两边同时加16：
$x^2 -8x +16 = 4 +16$
3. 等号左侧写成完全平方形式：$(x-4)^2=20$
将该式与$(x-n)^2=m$对应，可得$n=4$，$m=20$
因此$m+n=20+4=24$
【答案】
24
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，核心是掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，计算难度低，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理成完全平方的形式，再和题目给出的$(x-n)^2=m$对应求出$m$、$n$的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -8x -4=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右边，得：$x^2 -8x = 4$
2. 配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，在等号两边同时加16：
$x^2 -8x +16 = 4 +16$
3. 等号左侧写成完全平方形式：$(x-4)^2=20$
将该式与$(x-n)^2=m$对应，可得$n=4$，$m=20$
因此$m+n=20+4=24$
【答案】
24
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，核心是掌握二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤，计算难度低，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13 已知$x_1$、$x_2$为一元二次方程$x^2 - \sqrt{2}x - 2025 = 0$的两个实数根，则$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$的值为
$-\frac{4052}{2025}$
。答案
$-\frac{4052}{2025}$
解析
【分析】
要求$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$的值，若直接求解方程的两个根再代入计算会非常繁琐，因此优先考虑将所求代数式变形，结合一元二次方程根与系数的关系求解。首先将分式通分，可得$\dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$，再利用完全平方公式将分子变形为$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，此时只需根据方程求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则根与系数满足：
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$
已知方程为$x^2 - \sqrt{2}x - 2025 = 0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-2025$，因此：
$x_1 + x_2 = \sqrt{2}$，$x_1x_2 = -2025$
对所求代数式变形：
$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1 + x_2 = \sqrt{2}$，$x_1x_2 = -2025$代入上式：
分子：$(\sqrt{2})^2 - 2×(-2025) = 2 + 4050 = 4052$
分母：$-2025$
因此原式$=\dfrac{4052}{-2025} = -\dfrac{4052}{2025}$
【答案】
$-\dfrac{4052}{2025}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系 2. 分式化简 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题的核心是利用根与系数的关系简化计算，避免了直接求解一元二次方程根的繁琐运算，解题的关键是熟练掌握代数式的变形技巧，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要求$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$的值，若直接求解方程的两个根再代入计算会非常繁琐，因此优先考虑将所求代数式变形，结合一元二次方程根与系数的关系求解。首先将分式通分，可得$\dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$，再利用完全平方公式将分子变形为$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，此时只需根据方程求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，代入变形后的式子即可算出结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程有两个实数根$x_1$、$x_2$，则根与系数满足：
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$
已知方程为$x^2 - \sqrt{2}x - 2025 = 0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-2025$，因此：
$x_1 + x_2 = \sqrt{2}$，$x_1x_2 = -2025$
对所求代数式变形：
$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1 + x_2 = \sqrt{2}$，$x_1x_2 = -2025$代入上式：
分子：$(\sqrt{2})^2 - 2×(-2025) = 2 + 4050 = 4052$
分母：$-2025$
因此原式$=\dfrac{4052}{-2025} = -\dfrac{4052}{2025}$
【答案】
$-\dfrac{4052}{2025}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系 2. 分式化简 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题的核心是利用根与系数的关系简化计算，避免了直接求解一元二次方程根的繁琐运算，解题的关键是熟练掌握代数式的变形技巧，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
14 某药品原价每盒25元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率为
20%
。答案
20%
解析
【分析】
遇到连续两次降价求平均百分率的问题，可采用一元二次方程的下降率模型求解。首先设平均每次降价的百分率为未知数$x$；其次明确降价计算逻辑：第一次降价后价格为原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此两次降价后的价格为原价×$(1-x)^2$；最后结合题目给出的现价列方程，解方程后根据实际意义舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设该药品平均每次降价的百分率为$x$。
根据两次降价后售价为16元的条件，可列方程：
$25(1-x)^2 = 16$
方程两边同时除以25，得：
$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
开平方得：
$1-x = \pm\frac{4}{5}$
分情况求解：
当$1-x=\frac{4}{5}$时，解得$x=\frac{1}{5}=20\%$；
当$1-x=-\frac{4}{5}$时，解得$x=\frac{9}{5}=180\%$，降价百分率不可能超过100%，不符合实际，舍去。
综上，该药品平均每次降价的百分率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；下降率问题
【点评】
本题是典型的百分率类应用题，解题核心是掌握连续升降价的计算公式，求解方程后需结合实际情况对根进行检验，排除不符合常识的解。
【难度系数】
0.8
遇到连续两次降价求平均百分率的问题，可采用一元二次方程的下降率模型求解。首先设平均每次降价的百分率为未知数$x$；其次明确降价计算逻辑：第一次降价后价格为原价×(1-降价百分率)，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价，因此两次降价后的价格为原价×$(1-x)^2$；最后结合题目给出的现价列方程，解方程后根据实际意义舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设该药品平均每次降价的百分率为$x$。
根据两次降价后售价为16元的条件，可列方程：
$25(1-x)^2 = 16$
方程两边同时除以25，得：
$(1-x)^2 = \frac{16}{25}$
开平方得：
$1-x = \pm\frac{4}{5}$
分情况求解：
当$1-x=\frac{4}{5}$时，解得$x=\frac{1}{5}=20\%$；
当$1-x=-\frac{4}{5}$时，解得$x=\frac{9}{5}=180\%$，降价百分率不可能超过100%，不符合实际，舍去。
综上，该药品平均每次降价的百分率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用；下降率问题
【点评】
本题是典型的百分率类应用题，解题核心是掌握连续升降价的计算公式，求解方程后需结合实际情况对根进行检验，排除不符合常识的解。
【难度系数】
0.8
15 如图，某市近郊有一块长为60 m、宽为50 m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地。若塑胶场地总占地面积为2430 m²，则通道的宽为
2
m。答案
2
解析
【分析】
这是一元二次方程在面积问题中的实际应用题，解题思路如下：首先设通道宽度为x m，观察图形可知竖直方向共有3条通道、水平方向共有3条通道，先推导空白塑胶区域的水平长度a的表达式，再分别表示出三块空白区域的面积之和，结合塑胶总占地面积为2430 m²列方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设通道的宽为$x\ \mathrm{m}$。
由图可得，空白区域的水平长度$a=\frac{60-3x}{2}$，
塑胶总占地面积 = 左侧大空白面积 + 右侧两个小空白面积之和，据此列方程：
$a·(50-2x) + a·(50-3x) = 2430$
将$a=\frac{60-3x}{2}$代入上式：
$\frac{60-3x}{2}×[(50-2x)+(50-3x)] = 2430$
整理得：
$\frac{60-3x}{2}×(100-5x) = 2430$
两边同乘2：
$(60-3x)(100-5x) = 4860$
左边提取公因式化简：
$15(20-x)^2 = 4860$
两边同除以15：
$(20-x)^2 = 324$
开平方得$20-x=\pm18$，解得$x_1=2$，$x_2=38$。
当$x=38$时，$3x=114＞60$，不符合实际，舍去。
因此通道的宽为2 m。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
解题的关键是结合图形梳理各部分边长的数量关系，列方程求解后要注意舍去不符合实际情境的根，这类题型是方程实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.65
这是一元二次方程在面积问题中的实际应用题，解题思路如下：首先设通道宽度为x m，观察图形可知竖直方向共有3条通道、水平方向共有3条通道，先推导空白塑胶区域的水平长度a的表达式，再分别表示出三块空白区域的面积之和，结合塑胶总占地面积为2430 m²列方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
设通道的宽为$x\ \mathrm{m}$。
由图可得，空白区域的水平长度$a=\frac{60-3x}{2}$，
塑胶总占地面积 = 左侧大空白面积 + 右侧两个小空白面积之和，据此列方程：
$a·(50-2x) + a·(50-3x) = 2430$
将$a=\frac{60-3x}{2}$代入上式：
$\frac{60-3x}{2}×[(50-2x)+(50-3x)] = 2430$
整理得：
$\frac{60-3x}{2}×(100-5x) = 2430$
两边同乘2：
$(60-3x)(100-5x) = 4860$
左边提取公因式化简：
$15(20-x)^2 = 4860$
两边同除以15：
$(20-x)^2 = 324$
开平方得$20-x=\pm18$，解得$x_1=2$，$x_2=38$。
当$x=38$时，$3x=114＞60$，不符合实际，舍去。
因此通道的宽为2 m。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
解题的关键是结合图形梳理各部分边长的数量关系，列方程求解后要注意舍去不符合实际情境的根，这类题型是方程实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.65
16 如图,在$△ ABC$中,$BC=9\ \mathrm{cm}$,$AC=12\ \mathrm{cm}$,$∠ C=90°$,现有两个动点$P$和$Q$同时从点$A$出发,分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置,其中点$P$的速度为$3\ \mathrm{cm/s}$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。在$△ DEF$中,$DE=4\ \mathrm{cm}$,$DF=5\ \mathrm{cm}$,$∠ D=∠ A$。在两点运动过程中的某一时刻,恰好有$△ APQ ≌ △ DEF$(顶点$A$、$P$分别与顶点$D$、$E$对应),则点$Q$的运动速度为
$\frac{15}{4}$或$\frac{93}{32}$
$\mathrm{cm/s}$。答案
$\frac{15}{4}$或$\frac{93}{32}$
[提示:设点Q的运动速度为x cm/s,分情况讨论如下:①当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4 cm,AQ=DF=5 cm,所以$\frac{4}{3}=\frac{5}{x}$,解得$x=\frac{15}{4}$;
②当点P在AB上,点Q在AC上,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4 cm,AQ=DF=5 cm,点P走过的路程为9+12+15-4=32(cm),点Q走过的路程为9+12+15-5=31(cm),所以$\frac{32}{3}=\frac{31}{x}$,解得$x=\frac{93}{32}$。]
[提示:设点Q的运动速度为x cm/s,分情况讨论如下:①当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4 cm,AQ=DF=5 cm,所以$\frac{4}{3}=\frac{5}{x}$,解得$x=\frac{15}{4}$;
②当点P在AB上,点Q在AC上,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4 cm,AQ=DF=5 cm,点P走过的路程为9+12+15-4=32(cm),点Q走过的路程为9+12+15-5=31(cm),所以$\frac{32}{3}=\frac{31}{x}$,解得$x=\frac{93}{32}$。]
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的AB边长，得到三角形的周长。根据全等三角形对应边相等的性质，结合顶点对应关系（A对应D、P对应E），可得AP=DE=4cm，AQ=DF=5cm。接下来分两种运动阶段讨论：第一种是运动前期，点P在AC上、点Q在AB上，直接根据路程、速度、时间的关系计算Q的速度；第二种是运动后期，两点即将走完一圈回到起点时，点P在AB上、点Q在AC上，结合总周长计算两点的运动路程，再求Q的速度，排除其他不可能的运动阶段即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{cm}$，
△ABC的周长为$9+12+15=36\ \mathrm{cm}$。
设点Q的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$，
∵△APQ≌△DEF，顶点A、P分别与D、E对应，
∴对应边相等：$AP=DE=4\ \mathrm{cm}$，$AQ=DF=5\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 运动前期，点P在AC上，点Q在AB上：
点P的运动时间$t=\frac{AP}{v_P}=\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$，
两点运动时间相同，对Q有$x· t=5$，代入$t=\frac{4}{3}$得：
$x=\frac{5}{\frac{4}{3}}=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$；
② 运动后期，两点即将走完一圈：
此时AP仍为4cm，说明P走的总路程为周长减4，即$36-4=32\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=\frac{32}{3}\ \mathrm{s}$，
此时AQ为5cm，说明Q走的总路程为周长减5，即$36-5=31\ \mathrm{cm}$，
两点运动时间相同，对Q有$x· t=31$，代入$t=\frac{32}{3}$得：
$x=\frac{31}{\frac{32}{3}}=\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$。
当点P运动到BC上时，AP长度大于AC=12cm，不可能等于4cm，故无其他情况。
【答案】
$\frac{15}{4}$或$\frac{93}{32}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题将动点问题与全等三角形的性质结合考查，解题的关键是根据对应边相等确定AP和AQ的长度，再结合运动方向和运动阶段分类讨论，注意排除不符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
首先利用勾股定理求出Rt△ABC的AB边长，得到三角形的周长。根据全等三角形对应边相等的性质，结合顶点对应关系（A对应D、P对应E），可得AP=DE=4cm，AQ=DF=5cm。接下来分两种运动阶段讨论：第一种是运动前期，点P在AC上、点Q在AB上，直接根据路程、速度、时间的关系计算Q的速度；第二种是运动后期，两点即将走完一圈回到起点时，点P在AB上、点Q在AC上，结合总周长计算两点的运动路程，再求Q的速度，排除其他不可能的运动阶段即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{cm}$，
△ABC的周长为$9+12+15=36\ \mathrm{cm}$。
设点Q的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$，
∵△APQ≌△DEF，顶点A、P分别与D、E对应，
∴对应边相等：$AP=DE=4\ \mathrm{cm}$，$AQ=DF=5\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
① 运动前期，点P在AC上，点Q在AB上：
点P的运动时间$t=\frac{AP}{v_P}=\frac{4}{3}\ \mathrm{s}$，
两点运动时间相同，对Q有$x· t=5$，代入$t=\frac{4}{3}$得：
$x=\frac{5}{\frac{4}{3}}=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm/s}$；
② 运动后期，两点即将走完一圈：
此时AP仍为4cm，说明P走的总路程为周长减4，即$36-4=32\ \mathrm{cm}$，
运动时间$t=\frac{32}{3}\ \mathrm{s}$，
此时AQ为5cm，说明Q走的总路程为周长减5，即$36-5=31\ \mathrm{cm}$，
两点运动时间相同，对Q有$x· t=31$，代入$t=\frac{32}{3}$得：
$x=\frac{31}{\frac{32}{3}}=\frac{93}{32}\ \mathrm{cm/s}$。
当点P运动到BC上时，AP长度大于AC=12cm，不可能等于4cm，故无其他情况。
【答案】
$\frac{15}{4}$或$\frac{93}{32}$
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质，动点分类讨论
【点评】
本题将动点问题与全等三角形的性质结合考查，解题的关键是根据对应边相等确定AP和AQ的长度，再结合运动方向和运动阶段分类讨论，注意排除不符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
17 把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。若AB=3cm，BC=9cm，则重叠部分△DEF的面积为
$\frac{15}{2}$
cm²。答案
$\frac{15}{2}$
[提示:由翻折的性质,可得BF=FD,∠BFE=∠DFE。设BF=FD=x,则FC=BC-BF=9-x,因为CF²+CD²=FD²,所以$(9-x)^2+3^2=x^2$,解得x=5,所以DF=5。
因为AD//BC,所以∠DEF=∠EFB,又因为∠EFB=∠EFD,所以∠EFD=∠DEF,所以DE=DF=5,所以$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· DC=\frac{15}{2}$。]
[提示:由翻折的性质,可得BF=FD,∠BFE=∠DFE。设BF=FD=x,则FC=BC-BF=9-x,因为CF²+CD²=FD²,所以$(9-x)^2+3^2=x^2$,解得x=5,所以DF=5。
因为AD//BC,所以∠DEF=∠EFB,又因为∠EFB=∠EFD,所以∠EFD=∠DEF,所以DE=DF=5,所以$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· DC=\frac{15}{2}$。]
解析
【分析】
这是一道长方形折叠的几何计算题，解题思路如下：首先折叠问题优先考虑折叠的性质，可得对应边BF=FD、对应角∠BFE=∠DFE；要求重叠部分△DEF的面积，已知长方形的宽AB=CD=3cm，可作为△DEF的高，因此只需算出底DE的长度即可。接着利用AD//BC的平行线性质，可得∠DEF=∠BFE，结合折叠得到的等角，可推出∠DEF=∠DFE，即DE=DF，因此只需计算DF的长度。最后在Rt△DCF中，设DF为x，用含x的式子表示FC，结合勾股定理列方程求解x，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知：BF=FD，∠BFE=∠DFE。
设BF=FD=x cm，则FC=BC-BF=(9-x)cm，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=90°，CD=AB=3cm，AD//BC，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF² + CD² = FD²，
代入得：$(9-x)^2 + 3^2 = x^2$，
展开计算：$81 - 18x + x^2 +9 = x^2$，
化简得：$90 = 18x$，解得$x=5$，即DF=5cm。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
又
∵∠EFB=∠EFD，
∴∠EFD=∠DEF，
∴DE=DF=5cm。
△DEF的面积为：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} × DE × CD = \frac{1}{2} ×5 ×3 = \frac{15}{2} \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；平行线的性质
【点评】
本题是折叠类几何计算的常考题型，解题的核心是利用折叠的性质得到边和角的等量关系，结合勾股定理列方程求解未知边长，同时通过角的等量关系推导等腰三角形，简化边长计算过程，对几何综合运用能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
这是一道长方形折叠的几何计算题，解题思路如下：首先折叠问题优先考虑折叠的性质，可得对应边BF=FD、对应角∠BFE=∠DFE；要求重叠部分△DEF的面积，已知长方形的宽AB=CD=3cm，可作为△DEF的高，因此只需算出底DE的长度即可。接着利用AD//BC的平行线性质，可得∠DEF=∠BFE，结合折叠得到的等角，可推出∠DEF=∠DFE，即DE=DF，因此只需计算DF的长度。最后在Rt△DCF中，设DF为x，用含x的式子表示FC，结合勾股定理列方程求解x，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知：BF=FD，∠BFE=∠DFE。
设BF=FD=x cm，则FC=BC-BF=(9-x)cm，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠C=90°，CD=AB=3cm，AD//BC，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF² + CD² = FD²，
代入得：$(9-x)^2 + 3^2 = x^2$，
展开计算：$81 - 18x + x^2 +9 = x^2$，
化简得：$90 = 18x$，解得$x=5$，即DF=5cm。
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
又
∵∠EFB=∠EFD，
∴∠EFD=∠DEF，
∴DE=DF=5cm。
△DEF的面积为：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2} × DE × CD = \frac{1}{2} ×5 ×3 = \frac{15}{2} \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；平行线的性质
【点评】
本题是折叠类几何计算的常考题型，解题的核心是利用折叠的性质得到边和角的等量关系，结合勾股定理列方程求解未知边长，同时通过角的等量关系推导等腰三角形，简化边长计算过程，对几何综合运用能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
18 如图,在边长为3的正方形ABCD内取一点E,连接AE、BE、CE,若BE=AB,AE=2,则△BCE的面积为
$\frac{7}{2}$
。答案
$\frac{7}{2}$
[提示:如图,过点A作AG⊥BE于点G,过点E作EF⊥BC于点F。
因为EF⊥BC,AB⊥BC,所以AB//EF,所以∠ABG=∠BEF。又因为AB=BE,∠AGB=∠EFB=90°,所以△AGB≌△BFE,所以EF=BG。设BG=x,在Rt△AGB中,$AG^2=AB^2-BG^2=9-x^2$。在Rt△AGE中,$AG^2=AE^2-EG^2=4-(3-x)^2$。所以$9-x^2=4-(3-x)^2$,解得$x=\frac{7}{3}$,即$BG=EF=\frac{7}{3}$。所以$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}· BC· EF=\frac{1}{2}×3×\frac{7}{3}=\frac{7}{2}$。]
解析
【分析】
要求△BCE的面积，已知正方形边长BC=3，因此只需先求出BC边上的高EF即可。首先结合AB=BE=3，可知△ABE是等腰三角形，过A作AG⊥BE，可在两个直角三角形△AGB和△AGE中用勾股定理表示公共边AG的平方，列方程求出BG的长度；再通过证明△AGB≌△BFE，得到EF=BG，即可求出高EF，进而计算三角形面积。
【解析】
解：过点A作AG⊥BE于点G，过点E作EF⊥BC于点F。
∵ EF⊥BC，AB⊥BC，
∴ AB//EF，
∴ ∠ABG=∠BEF。
又
∵ AB=BE=3，∠AGB=∠EFB=90°，
∴ △AGB≌△BFE（AAS），
∴ EF=BG。
设BG=x，
∵ BE=3，
∴ EG=BE-BG=3-x。
在Rt△AGB中，由勾股定理得：$AG^2=AB^2-BG^2=3^2 -x^2=9 -x^2$。
在Rt△AGE中，由勾股定理得：$AG^2=AE^2-EG^2=2^2 - (3-x)^2=4 - (3-x)^2$。
∴ $9 -x^2 =4 - (3-x)^2$，
展开化简得：$9 -x^2 =4 -9 +6x -x^2$，
消去$-x^2$后解得：$x=\frac{7}{3}$，即$EF=BG=\frac{7}{3}$。
∴ $S_{△ BCE}=\frac{1}{2} · BC · EF=\frac{1}{2} × 3 × \frac{7}{3}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何综合题，核心思路是通过构造辅助线将所求三角形的高转化为可求解的线段，结合全等三角形的性质和勾股定理列方程求解，能很好地考察几何辅助线构造能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求△BCE的面积，已知正方形边长BC=3，因此只需先求出BC边上的高EF即可。首先结合AB=BE=3，可知△ABE是等腰三角形，过A作AG⊥BE，可在两个直角三角形△AGB和△AGE中用勾股定理表示公共边AG的平方，列方程求出BG的长度；再通过证明△AGB≌△BFE，得到EF=BG，即可求出高EF，进而计算三角形面积。
【解析】
解：过点A作AG⊥BE于点G，过点E作EF⊥BC于点F。
∵ EF⊥BC，AB⊥BC，
∴ AB//EF，
∴ ∠ABG=∠BEF。
又
∵ AB=BE=3，∠AGB=∠EFB=90°，
∴ △AGB≌△BFE（AAS），
∴ EF=BG。
设BG=x，
∵ BE=3，
∴ EG=BE-BG=3-x。
在Rt△AGB中，由勾股定理得：$AG^2=AB^2-BG^2=3^2 -x^2=9 -x^2$。
在Rt△AGE中，由勾股定理得：$AG^2=AE^2-EG^2=2^2 - (3-x)^2=4 - (3-x)^2$。
∴ $9 -x^2 =4 - (3-x)^2$，
展开化简得：$9 -x^2 =4 -9 +6x -x^2$，
消去$-x^2$后解得：$x=\frac{7}{3}$，即$EF=BG=\frac{7}{3}$。
∴ $S_{△ BCE}=\frac{1}{2} · BC · EF=\frac{1}{2} × 3 × \frac{7}{3}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何综合题，核心思路是通过构造辅助线将所求三角形的高转化为可求解的线段，结合全等三角形的性质和勾股定理列方程求解，能很好地考察几何辅助线构造能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
