三、解答题(第19—20题每题8分,第21—26题每题6分,共52分)
19 计算:
(1) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}$；
(2) $(\sqrt{3}+1)^2 + 2×(\sqrt{3}+1)^{-1} + 3×\sqrt{\frac{1}{3}}$。

(1) $-3\sqrt{3}$
(2) $4\sqrt{3}+3$

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 对于两个分母含二次根式的分式相加，先对每个分式进行分母有理化，即给分子分母同乘分母的共轭二次根式，去掉分母中的根号，再合并同类二次根式即可得到结果；
(2) 分别计算完全平方、负整数指数幂、最简二次根式化简三部分，再将所得结果合并，其中负整数指数幂先转化为分式，再进行分母有理化计算。
【解析】
(1) 先对两个分式分别分母有理化：
第一个分式：$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{6-2\sqrt{3}}{2}=3-\sqrt{3}$
第二个分式：$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3-4}=-(3+2\sqrt{3})=-3-2\sqrt{3}$
相加得：$3-\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}=-3\sqrt{3}$
(2) 分别计算每一项：
① 完全平方：$(\sqrt{3}+1)^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×1+1^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$
② 负整数指数幂：$2×(\sqrt{3}+1)^{-1}=2×\frac{1}{\sqrt{3}+1}=2×\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=2×\frac{\sqrt{3}-1}{2}=\sqrt{3}-1$
③ 二次根式化简：$3×\sqrt{\frac{1}{3}}=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
合并结果：$4+2\sqrt{3}+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=3+4\sqrt{3}=4\sqrt{3}+3$
【答案】
(1) $\boxed{-3\sqrt{3}}$
(2) $\boxed{4\sqrt{3}+3}$
【知识点】
二次根式混合运算、分母有理化、负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查运算规则的掌握程度，运算时要注意分母有理化后的符号处理，以及同类二次根式合并时不要漏项，熟练掌握相关公式和规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7

20 解方程：
(1) $(x - 2)^2 = 6 - 3x$；
(2) $3x^2 + 7x - 1 = 0$。

(1) $x_1=2$，$x_2=-1$
(2) $x=\frac{-7\pm\sqrt{61}}{6}$

【分析】
(1) 观察方程特征，右边的$6-3x$可提取公因式$-3$变形为$-3(x-2)$，因此可先移项，再提取公因式$(x-2)$，将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式进而求解，既可以避免直接展开导致计算繁琐，也能防止两边直接约去$(x-2)$出现漏根的问题。
(2) 该方程是一元二次方程的一般形式，无法直接因式分解，因此选择公式法求解：先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$(x - 2)^2 + 3(x - 2) = 0$
提取公因式$(x-2)$得：$(x - 2)(x - 2 + 3) = 0$
整理得：$(x - 2)(x + 1) = 0$
$\therefore x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-1$
(2) 由题可知$a=3$，$b=7$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4×3×(-1) = 49 + 12 = 61 ＞ 0$
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-7\pm\sqrt{61}}{2×3}=\frac{-7\pm\sqrt{61}}{6}$
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-1$
(2) $x=\frac{-7\pm\sqrt{61}}{6}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，解题时可先观察方程结构选择更简便的方法，第一题注意不要直接约去含未知数的因式避免漏根，第二题使用公式法时要准确代入系数，判别式计算要细心。
【难度系数】
0.8

21 如图，在$△ ABC$的边AC上作一点P，使点P到$△ ABC$内心的距离等于线段PC的长度。（不要求写作法，保留作图痕迹）

提示:作∠A、∠B的平分线交于点I,点I是△ABC的内心,再作IC的垂直平分线,交AC于点P,点P即为所求。(画图略)

【分析】
要作出满足条件的点P，可分两步推导作图思路：①首先确定△ABC的内心：三角形的内心是三个内角平分线的交点，因此先作出任意两个内角的角平分线，交点即为内心I；②接下来找AC上到I和C距离相等的点：根据垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此作线段IC的垂直平分线，它与AC的交点就是同时满足在AC上、且PI=PC的点P。
【解析】
1. 分别作∠BAC和∠ABC的角平分线，两条角平分线交于点I，点I即为△ABC的内心；
2. 连接IC，作线段IC的垂直平分线，该垂直平分线与边AC的交点即为所求作的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
作∠A、∠B的平分线交于点I（即△ABC的内心），再作IC的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求（作图略）。
【知识点】
三角形内心的定义；角平分线作图；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于尺规作图综合应用类题目，需要结合三角形内心的概念和垂直平分线的性质推导作图步骤，考查对基础几何概念、性质的掌握程度以及尺规作图的实践能力。
【难度系数】
0.6

22 如图①，在$△ ABC$中，$BC=3$，$AC=4$，$AB=5$，直线$MD$是$AB$的垂直平分线，分别交$AB$、$AC$于$M$、$D$两点。
（1）求线段$DC$的长度；
（2）如图②，连接$CM$，作$∠ ACB$的平分线交$DM$于点$N$，求证：$CM=MN$。

（1）连接BD。因为BC=3,AC=4,AB=5,所以$AB^2=BC^2+AC^2$,从而△ABC是直角三角形,即∠ACB=90°。因为MD垂直平分AB,所以AD=BD。设DC=x,则BD=AD=4-x。在Rt△BDC中,因为$BD^2=DC^2+BC^2$,所以$(4-x)^2=x^2+3^2$,解得$x=\frac{7}{8}$,所以$DC=\frac{7}{8}$。
（2）作CE⊥AB于E。因为DM⊥AB,所以DM//CE,从而∠ECN=∠DNC。因为∠ACB=90°,CE⊥AB,所以∠BCE+∠ACE=90°,∠A+∠ACE=90°,所以∠BCE=∠A。又因为∠ACB=90°,CM是AB边上的中线,所以$AM=MC=\frac{1}{2}AB$,所以∠A=∠ACM=∠BCE。因为CN平分∠ACB,所以∠ACN=∠BCN,即∠ACM+∠MCN=∠BCE+∠ECN,所以∠MCN=∠ECN,所以∠DNC=∠MCN,所以CM=MN。

【分析】
（1）首先根据△ABC的三边长，利用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，得到∠ACB=90°；再结合线段垂直平分线的性质得到AD=BD，设DC的长度为x，用含x的式子表示BD的长度，最后在Rt△BDC中利用勾股定理列方程求解即可。
（2）要证CM=MN，只需证明∠MCN=∠MNC即可。首先作CE⊥AB，可得DM//CE，推出∠ECN=∠DNC；再根据直角三角形斜边中线的性质得AM=CM，推出∠A=∠ACM，结合同角的余角相等得到∠A=∠BCE，进而推出∠ACM=∠BCE；最后结合CN是∠ACB的平分线，通过角的和差关系推导得到∠MCN=∠DNC，即可证得结论。
【解析】
（1）解：连接BD，
∵$BC=3$，$AC=4$，$AB=5$，
∴$AB^2=25$，$BC^2+AC^2=9+16=25$，即$AB^2=BC^2+AC^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
∵直线$MD$是$AB$的垂直平分线，
∴$AD=BD$，
设$DC=x$，则$BD=AD=AC-DC=4-x$，
在$Rt△ BDC$中，由勾股定理得$BD^2=DC^2+BC^2$，
代入得$(4-x)^2=x^2+3^2$，
展开整理得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$，
∴$DC=\frac{7}{8}$。
（2）证明：过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
∵$MD⊥ AB$，$CE⊥ AB$，
∴$DM// CE$，
∴$∠ ECN=∠ DNC$。
∵$∠ ACB=90°$，$CE⊥ AB$，
∴$∠ BCE+∠ ACE=90°$，$∠ A+∠ ACE=90°$，
∴$∠ BCE=∠ A$（同角的余角相等）。
∵$∠ ACB=90°$，$M$是$AB$中点，$CM$是$Rt△ ABC$斜边$AB$的中线，
∴$AM=MC=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠ A=∠ ACM$，
∴$∠ ACM=∠ BCE$。
∵$CN$平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACN=∠ BCN$，
即$∠ ACM+∠ MCN=∠ BCE+∠ ECN$，
又
∵$∠ ACM=∠ BCE$，
∴$∠ MCN=∠ ECN$，
又
∵$∠ ECN=∠ DNC$，
∴$∠ MCN=∠ DNC$，
∴$CM=MN$。
【答案】
（1）$\boxed{\frac{7}{8}}$；
（2）证明成立，$CM=MN$。
【知识点】
勾股定理及逆定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形综合题，结合了直角三角形性质、线段垂直平分线性质、角平分线性质等多个知识点，第一问考查方程思想在几何计算中的应用，第二问考查角的等量代换能力，是几何部分的典型常考题型。
【难度系数】
0.6