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23 中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒。已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50 000元。
（1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？
（2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋·礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54 000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？
（1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？
（2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋·礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54 000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？
答案
（1）设A款礼盒销售了x盒，则B款礼盒销售了(350-x)盒。由题意得$100x+200(350-x)=50000$,解得x=200,350-x=350-200=150。所以A款礼盒销售了200盒，则B款礼盒销售了150盒。
（2）根据题意可得：A款礼盒销售额=$100×0.8×200×(1+50\%)=24000$(元)。设B款礼盒降价y元，则B款礼盒销售额=$(200-y)(150+y)$,所以$24000+(200-y)(150+y)=54000$,解得y=50或y=0。因为要减少库存,所以y=50,所以200-y=150,所以B款礼盒的促销价应定为150元。
（2）根据题意可得：A款礼盒销售额=$100×0.8×200×(1+50\%)=24000$(元)。设B款礼盒降价y元，则B款礼盒销售额=$(200-y)(150+y)$,所以$24000+(200-y)(150+y)=54000$,解得y=50或y=0。因为要减少库存,所以y=50,所以200-y=150,所以B款礼盒的促销价应定为150元。
解析
【分析】
（1）第一问是销售类一元一次方程应用问题，已知A、B两款礼盒的总销量和总销售额，我们可以设A款礼盒销量为x盒，那么B款礼盒销量就是总销量减去x，再根据“总销售额=A款销售额+B款销售额”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问先计算促销后A款礼盒的总销售额：先算出A款的促销单价（原价打八折）和促销销量（16日销量增加50%），两者相乘得到A款的总销售额。再设B款礼盒降价y元，可得B款促销单价为(200-y)元，促销销量为（16日B款销量+y）盒，再根据“17日总销售额=A款销售额+B款销售额”列方程求解，最后结合“减少库存”的要求，选择销量更高对应的降价方案，即可算出B款的促销价。
【解析】
（1）设9月16日A款礼盒销售了x盒，则B款礼盒销售了$(350-x)$盒。
由题意得：
$100x+200(350-x)=50000$
展开得：$100x+70000-200x=50000$
移项合并同类项得：$-100x=-20000$
解得：$x=200$
则B款礼盒销量为$350-200=150$（盒）。
（2）先计算9月17日A款礼盒的销售额：
A款促销单价：$100×0.8=80$（元/盒）
A款促销销量：$200×(1+50\%)=300$（盒）
A款总销售额：$80×300=24000$（元）
设B款礼盒降价y元，此时B款售价为$(200-y)$元/盒，销量为$(150+y)$盒，由总销售额为54000元得：
$24000+(200-y)(150+y)=54000$
整理得：$(200-y)(150+y)=30000$
展开化简得：$y^2-50y=0$
因式分解得：$y(y-50)=0$
解得：$y_1=0$，$y_2=50$
因超市要减少库存，需选择销量更高的方案，故取$y=50$，
则B款促销价为$200-50=150$（元）。
【答案】
（1）A款礼盒销量为200盒，B款礼盒销量为150盒；
（2）B款礼盒的促销价应定为150元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，销售问题
【点评】
本题结合节日促销的生活场景考查方程的实际应用，解题核心是找准单价、销量、销售额三者之间的等量关系列方程，第二问需要注意结合题干“减少库存”的限定条件对解进行合理取舍，避免忽略实际要求出错。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是销售类一元一次方程应用问题，已知A、B两款礼盒的总销量和总销售额，我们可以设A款礼盒销量为x盒，那么B款礼盒销量就是总销量减去x，再根据“总销售额=A款销售额+B款销售额”的等量关系列方程求解即可。
（2）第二问先计算促销后A款礼盒的总销售额：先算出A款的促销单价（原价打八折）和促销销量（16日销量增加50%），两者相乘得到A款的总销售额。再设B款礼盒降价y元，可得B款促销单价为(200-y)元，促销销量为（16日B款销量+y）盒，再根据“17日总销售额=A款销售额+B款销售额”列方程求解，最后结合“减少库存”的要求，选择销量更高对应的降价方案，即可算出B款的促销价。
【解析】
（1）设9月16日A款礼盒销售了x盒，则B款礼盒销售了$(350-x)$盒。
由题意得：
$100x+200(350-x)=50000$
展开得：$100x+70000-200x=50000$
移项合并同类项得：$-100x=-20000$
解得：$x=200$
则B款礼盒销量为$350-200=150$（盒）。
（2）先计算9月17日A款礼盒的销售额：
A款促销单价：$100×0.8=80$（元/盒）
A款促销销量：$200×(1+50\%)=300$（盒）
A款总销售额：$80×300=24000$（元）
设B款礼盒降价y元，此时B款售价为$(200-y)$元/盒，销量为$(150+y)$盒，由总销售额为54000元得：
$24000+(200-y)(150+y)=54000$
整理得：$(200-y)(150+y)=30000$
展开化简得：$y^2-50y=0$
因式分解得：$y(y-50)=0$
解得：$y_1=0$，$y_2=50$
因超市要减少库存，需选择销量更高的方案，故取$y=50$，
则B款促销价为$200-50=150$（元）。
【答案】
（1）A款礼盒销量为200盒，B款礼盒销量为150盒；
（2）B款礼盒的促销价应定为150元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元二次方程应用，销售问题
【点评】
本题结合节日促销的生活场景考查方程的实际应用，解题核心是找准单价、销量、销售额三者之间的等量关系列方程，第二问需要注意结合题干“减少库存”的限定条件对解进行合理取舍，避免忽略实际要求出错。
【难度系数】
0.7
24 关于$x$的一元二次方程$a(1-x^2)-2\sqrt{2}bx + c(1+x^2)=0$中，$a$、$b$、$c$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三条边，其中$c$为斜边。
(1) 证明：此方程有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个根是$x_1$、$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2=12$，求$a:b:c$。
(1) 证明：此方程有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个根是$x_1$、$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2=12$，求$a:b:c$。
答案
（1）关于x的一元二次方程$a(1-x^2)-2\sqrt{2}bx + c(1+x^2)=0$整理为一般形式为:$(c-a)x^2-2\sqrt{2}bx+a+c=0$,所以$\Delta=(-2\sqrt{2}b)^2-4(a+c)(c-a)=4(2b^2+a^2-c^2)$。因为a、b、c是Rt△ABC的三条边,c为斜边,所以$c^2=a^2+b^2$,所以$2b^2+a^2-c^2=b^2＞0$,所以$\Delta=4(2b^2+a^2-c^2)＞0$,所以此方程有两个不相等的实数根。
（2）因为方程的两个根是$x_1$、$x_2$,所以$x_1+x_2=\frac{2\sqrt{2}b}{c-a}$,$x_1x_2=\frac{a+c}{c-a}$。因为$x_1^2+x_2^2=12$,所以$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12$,即$\frac{8b^2}{(c-a)^2}-\frac{2a+2c}{c-a}=12$。因为$b^2=c^2-a^2$,所以$\frac{8(c^2-a^2)}{(c-a)^2}-\frac{2a+2c}{c-a}=12$,所以$\frac{8(c+a)}{c-a}-\frac{2a+2c}{c-a}=12$,所以$\frac{6(c+a)}{c-a}=12$,所以c+a=2c-2a,所以3a=c。由$b^2=c^2-a^2$,得$b^2=9a^2-a^2=8a^2$,所以$b=2\sqrt{2}a$。所以$a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$。
（2）因为方程的两个根是$x_1$、$x_2$,所以$x_1+x_2=\frac{2\sqrt{2}b}{c-a}$,$x_1x_2=\frac{a+c}{c-a}$。因为$x_1^2+x_2^2=12$,所以$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12$,即$\frac{8b^2}{(c-a)^2}-\frac{2a+2c}{c-a}=12$。因为$b^2=c^2-a^2$,所以$\frac{8(c^2-a^2)}{(c-a)^2}-\frac{2a+2c}{c-a}=12$,所以$\frac{8(c+a)}{c-a}-\frac{2a+2c}{c-a}=12$,所以$\frac{6(c+a)}{c-a}=12$,所以c+a=2c-2a,所以3a=c。由$b^2=c^2-a^2$,得$b^2=9a^2-a^2=8a^2$,所以$b=2\sqrt{2}a$。所以$a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，首先需将原方程整理为一般形式，再计算根的判别式$\Delta$，结合直角三角形勾股定理判断$\Delta$的符号，若$\Delta＞0$即可得证；
(2) 已知两根平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再根据根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入等量关系后结合勾股定理化简，最终求出三边的比值。
【解析】
(1) 将原方程整理为一元二次方程一般形式：
去括号得$a - ax^2 - 2\sqrt{2}bx + c + cx^2 = 0$，
合并同类项得$(c-a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a+c) = 0$，
计算根的判别式：
$\Delta = (-2\sqrt{2}b)^2 - 4(c-a)(a+c) = 8b^2 - 4(c^2 - a^2) = 4(2b^2 + a^2 - c^2)$，
∵$a、b、c$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边，$c$为斜边，根据勾股定理得$c^2=a^2+b^2$，
代入得$2b^2 + a^2 - c^2 = 2b^2 + a^2 - (a^2 + b^2) = b^2$，
∵三角形边长$b＞0$，
∴$b^2＞0$，即$\Delta=4b^2＞0$，
∴此方程有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1、x_2$满足：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c-a}$，$x_1x_2 = \frac{a+c}{c-a}$，
∵$x_1^2 + x_2^2 = 12$，由完全平方公式变形得$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12$，
代入得$(\frac{2\sqrt{2}b}{c-a})^2 - 2×\frac{a+c}{c-a} = 12$，
化简得$\frac{8b^2}{(c-a)^2} - \frac{2(a+c)}{c-a} = 12$，
由勾股定理得$b^2 = c^2 - a^2 = (c+a)(c-a)$，代入上式得：
$\frac{8(c+a)(c-a)}{(c-a)^2} - \frac{2(a+c)}{c-a} = 12$，
约分得$\frac{8(c+a)}{c-a} - \frac{2(c+a)}{c-a} = 12$，
合并得$\frac{6(c+a)}{c-a} = 12$，
化简得$c+a=2(c-a)$，整理得$c=3a$，
将$c=3a$代入$b^2=c^2-a^2$得$b^2=9a^2-a^2=8a^2$，
∵$b＞0$，
∴$b=2\sqrt{2}a$，
∴$a:b:c=a:2\sqrt{2}a:3a=1:2\sqrt{2}:3$。
【答案】
(1) 此方程有两个不相等的实数根，证明如上；
(2) $a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程与直角三角形性质的综合题，既考查了一元二次方程根的判定、根与系数关系的应用，也结合了勾股定理进行代数化简，解题时要注意公式的灵活变形，通过约分可简化运算过程。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，首先需将原方程整理为一般形式，再计算根的判别式$\Delta$，结合直角三角形勾股定理判断$\Delta$的符号，若$\Delta＞0$即可得证；
(2) 已知两根平方和，可利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再根据根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，代入等量关系后结合勾股定理化简，最终求出三边的比值。
【解析】
(1) 将原方程整理为一元二次方程一般形式：
去括号得$a - ax^2 - 2\sqrt{2}bx + c + cx^2 = 0$，
合并同类项得$(c-a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a+c) = 0$，
计算根的判别式：
$\Delta = (-2\sqrt{2}b)^2 - 4(c-a)(a+c) = 8b^2 - 4(c^2 - a^2) = 4(2b^2 + a^2 - c^2)$，
∵$a、b、c$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边，$c$为斜边，根据勾股定理得$c^2=a^2+b^2$，
代入得$2b^2 + a^2 - c^2 = 2b^2 + a^2 - (a^2 + b^2) = b^2$，
∵三角形边长$b＞0$，
∴$b^2＞0$，即$\Delta=4b^2＞0$，
∴此方程有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系，方程两根$x_1、x_2$满足：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c-a}$，$x_1x_2 = \frac{a+c}{c-a}$，
∵$x_1^2 + x_2^2 = 12$，由完全平方公式变形得$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12$，
代入得$(\frac{2\sqrt{2}b}{c-a})^2 - 2×\frac{a+c}{c-a} = 12$，
化简得$\frac{8b^2}{(c-a)^2} - \frac{2(a+c)}{c-a} = 12$，
由勾股定理得$b^2 = c^2 - a^2 = (c+a)(c-a)$，代入上式得：
$\frac{8(c+a)(c-a)}{(c-a)^2} - \frac{2(a+c)}{c-a} = 12$，
约分得$\frac{8(c+a)}{c-a} - \frac{2(c+a)}{c-a} = 12$，
合并得$\frac{6(c+a)}{c-a} = 12$，
化简得$c+a=2(c-a)$，整理得$c=3a$，
将$c=3a$代入$b^2=c^2-a^2$得$b^2=9a^2-a^2=8a^2$，
∵$b＞0$，
∴$b=2\sqrt{2}a$，
∴$a:b:c=a:2\sqrt{2}a:3a=1:2\sqrt{2}:3$。
【答案】
(1) 此方程有两个不相等的实数根，证明如上；
(2) $a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程与直角三角形性质的综合题，既考查了一元二次方程根的判定、根与系数关系的应用，也结合了勾股定理进行代数化简，解题时要注意公式的灵活变形，通过约分可简化运算过程。
【难度系数】
0.6
25 如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D是边AC上一点,连接DB。过点C作直线BD的垂线,垂足为点E。
(1) 如图①,若AF ⊥ BD于点F,求证: CE=BF;
(2) 如图②,在线段EC上截取EG=EB,连接AG交BD于点H,求证:CG=2EH。
(1) 如图①,若AF ⊥ BD于点F,求证: CE=BF;
(2) 如图②,在线段EC上截取EG=EB,连接AG交BD于点H,求证:CG=2EH。
答案
（1）证明:因为AF⊥BD,CE⊥BE,所以∠AFB=∠CEB=∠ABC=90°,所以∠ABF+∠BAF=90°,∠ABF+∠CBE=90°,所以∠BAF=∠CBE。在△ABF和△BCE中,因为$\begin{cases}∠AFB=∠CEB,\\∠BAF=∠CBE,\\AB=BC,\end{cases}$所以△ABF≌△BCE(AAS),所以CE=BF。
（2）证明:如图,过点A作AF⊥BD,交BD的延长线于点F。
由(1)可知,△ABF≌△BCE,所以AF=BE,BF=EC。因为EG=EB,所以EG=AF,CG=EF。又因为∠AFH=∠GEH=90°,∠AHF=∠GHE,所以△AFH≌△GEH(AAS),所以FH=HE=$\frac{1}{2}$FE,所以CG=EF=2EH。
解析
【分析】
(1) 要证CE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知AB=BC，结合AF⊥BD、CE⊥BD、∠ABC=90°的条件，先利用同角的余角相等得到∠BAF=∠CBE，再结合两组直角相等的条件，用AAS判定△ABF≌△BCE，即可得到对应边相等。
(2) 借鉴第(1)问的解题思路，先过点A作AF⊥BD交BD延长线于F，利用(1)的全等结论得AF=BE、BF=EC，结合EG=EB的条件可推得AF=EG、CG=EF；再通过AAS证明△AFH≌△GEH，得到EH是EF的一半，即可证得CG=2EH。
【解析】
（1）证明：因为AF⊥BD，CE⊥BE，所以∠AFB=∠CEB=∠ABC=90°，所以∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBE=90°，所以∠BAF=∠CBE。
在△ABF和△BCE中，$\begin{cases}∠AFB=∠CEB,\\∠BAF=∠CBE,\\AB=BC,\end{cases}$
所以△ABF≌△BCE（AAS），所以CE=BF。
（2）证明：如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F。
由(1)可知，△ABF≌△BCE，所以AF=BE，BF=EC。
因为EG=EB，所以EG=AF，CG=EC-EG=BF-BE=EF。
又因为∠AFH=∠GEH=90°，∠AHF=∠GHE，
所以△AFH≌△GEH（AAS），所以FH=HE=$\frac{1}{2}$FE，
所以CG=EF=2EH。
【答案】
（1）证明:因为AF⊥BD,CE⊥BE,所以∠AFB=∠CEB=∠ABC=90°,所以∠ABF+∠BAF=90°,∠ABF+∠CBE=90°,所以∠BAF=∠CBE。在△ABF和△BCE中,因为$\begin{cases}∠AFB=∠CEB,\\∠BAF=∠CBE,\\AB=BC,\end{cases}$所以△ABF≌△BCE(AAS),所以CE=BF。
（2）证明:如图,过点A作AF⊥BD,交BD的延长线于点F。
由(1)可知,△ABF≌△BCE,所以AF=BE,BF=EC。因为EG=EB,所以EG=AF,CG=EF。又因为∠AFH=∠GEH=90°,∠AHF=∠GHE,所以△AFH≌△GEH(AAS),所以FH=HE=$\frac{1}{2}$FE,所以CG=EF=2EH。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是几何证明综合题，第(1)问为基础全等证明，通过角的互余关系推导等角是解题关键；第(2)问需要迁移第(1)问的辅助线构造方法和全等结论，体现了类比的数学思想，对逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证CE=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知AB=BC，结合AF⊥BD、CE⊥BD、∠ABC=90°的条件，先利用同角的余角相等得到∠BAF=∠CBE，再结合两组直角相等的条件，用AAS判定△ABF≌△BCE，即可得到对应边相等。
(2) 借鉴第(1)问的解题思路，先过点A作AF⊥BD交BD延长线于F，利用(1)的全等结论得AF=BE、BF=EC，结合EG=EB的条件可推得AF=EG、CG=EF；再通过AAS证明△AFH≌△GEH，得到EH是EF的一半，即可证得CG=2EH。
【解析】
（1）证明：因为AF⊥BD，CE⊥BE，所以∠AFB=∠CEB=∠ABC=90°，所以∠ABF+∠BAF=90°，∠ABF+∠CBE=90°，所以∠BAF=∠CBE。
在△ABF和△BCE中，$\begin{cases}∠AFB=∠CEB,\\∠BAF=∠CBE,\\AB=BC,\end{cases}$
所以△ABF≌△BCE（AAS），所以CE=BF。
（2）证明：如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F。
由(1)可知，△ABF≌△BCE，所以AF=BE，BF=EC。
因为EG=EB，所以EG=AF，CG=EC-EG=BF-BE=EF。
又因为∠AFH=∠GEH=90°，∠AHF=∠GHE，
所以△AFH≌△GEH（AAS），所以FH=HE=$\frac{1}{2}$FE，
所以CG=EF=2EH。
【答案】
（1）证明:因为AF⊥BD,CE⊥BE,所以∠AFB=∠CEB=∠ABC=90°,所以∠ABF+∠BAF=90°,∠ABF+∠CBE=90°,所以∠BAF=∠CBE。在△ABF和△BCE中,因为$\begin{cases}∠AFB=∠CEB,\\∠BAF=∠CBE,\\AB=BC,\end{cases}$所以△ABF≌△BCE(AAS),所以CE=BF。
（2）证明:如图,过点A作AF⊥BD,交BD的延长线于点F。
由(1)可知,△ABF≌△BCE,所以AF=BE,BF=EC。因为EG=EB,所以EG=AF,CG=EF。又因为∠AFH=∠GEH=90°,∠AHF=∠GHE,所以△AFH≌△GEH(AAS),所以FH=HE=$\frac{1}{2}$FE,所以CG=EF=2EH。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是几何证明综合题，第(1)问为基础全等证明，通过角的互余关系推导等角是解题关键；第(2)问需要迁移第(1)问的辅助线构造方法和全等结论，体现了类比的数学思想，对逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
