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1 下列语句中，正确的是(
A.有理数分为正有理数和负有理数
B.无理数分正无理数、零、负无理数
C.无限小数不能化成分数
D.无限不循环小数是无理数
D
)。A.有理数分为正有理数和负有理数
B.无理数分正无理数、零、负无理数
C.无限小数不能化成分数
D.无限不循环小数是无理数
答案
D
解析
【分析】
解决这道题需要先回忆有理数、无理数的定义及分类标准，再逐一核对每个选项的表述是否符合概念要求，排查错误选项后选出正确答案。首先要明确核心概念：有理数包括整数和分数，也可分为正有理数、0、负有理数；无理数是无限不循环小数，仅分为正无理数和负无理数；无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，可化成分数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：有理数除了正有理数和负有理数外，还包含0，该分类遗漏了0，表述错误。
B选项：0是有理数，不属于无理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，表述错误。
C选项：无限小数中的无限循环小数是有理数，可以化成分数，只有无限不循环小数不能化成分数，表述错误。
D选项：根据无理数的定义，无限不循环小数就是无理数，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数的分类、无理数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，易错点是分类时遗漏0、混淆无限循环小数和无限不循环小数的属性，只要准确牢记相关定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要先回忆有理数、无理数的定义及分类标准，再逐一核对每个选项的表述是否符合概念要求，排查错误选项后选出正确答案。首先要明确核心概念：有理数包括整数和分数，也可分为正有理数、0、负有理数；无理数是无限不循环小数，仅分为正无理数和负无理数；无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，可化成分数。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：有理数除了正有理数和负有理数外，还包含0，该分类遗漏了0，表述错误。
B选项：0是有理数，不属于无理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，表述错误。
C选项：无限小数中的无限循环小数是有理数，可以化成分数，只有无限不循环小数不能化成分数，表述错误。
D选项：根据无理数的定义，无限不循环小数就是无理数，表述正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数的分类、无理数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，易错点是分类时遗漏0、混淆无限循环小数和无限不循环小数的属性，只要准确牢记相关定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2 下列说法中，正确的是(
① $\sqrt{16}$的算术平方根是4；
② 平方根等于它本身的数只有0；
③ 带根号的数是无理数；
④ 有限小数一定是有理数。
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
D
)。① $\sqrt{16}$的算术平方根是4；
② 平方根等于它本身的数只有0；
③ 带根号的数是无理数；
④ 有限小数一定是有理数。
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案
D
解析
【分析】
这道题考查实数相关的基础概念，解题时需先回忆算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，逐一判断4个说法的正误，再选出全部正确的组合选项。判断时要注意避开常见的概念误区，比如不要直接把$\sqrt{16}$当成最终值求算术平方根，也不要仅凭是否带根号判断无理数。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 先计算$\sqrt{16}=4$，4的算术平方根是2，不是4，故①错误；
② 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，故②正确；
③ 带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，故③错误；
④ 有理数包括整数和分数，有限小数都可以转化为分数形式，因此有限小数一定是有理数，故④正确。
综上，正确的是②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的性质；有理数与无理数的判别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略先化简$\sqrt{16}$再求算术平方根，以及误认为带根号的数都是无理数，只要准确掌握相关概念的本质，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
这道题考查实数相关的基础概念，解题时需先回忆算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，逐一判断4个说法的正误，再选出全部正确的组合选项。判断时要注意避开常见的概念误区，比如不要直接把$\sqrt{16}$当成最终值求算术平方根，也不要仅凭是否带根号判断无理数。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 先计算$\sqrt{16}=4$，4的算术平方根是2，不是4，故①错误；
② 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，故②正确；
③ 带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，故③错误；
④ 有理数包括整数和分数，有限小数都可以转化为分数形式，因此有限小数一定是有理数，故④正确。
综上，正确的是②④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的性质；有理数与无理数的判别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略先化简$\sqrt{16}$再求算术平方根，以及误认为带根号的数都是无理数，只要准确掌握相关概念的本质，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
3 有下列说法:①任何无理数都是无限不循环小数;②有理数都是有限小数;③在1和3之间的无理数有且只有$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{7}$这4个;④近似数1.50所表示的准确数$x$的取值范围是$1.495 ≤ x ＜ 1.505$;⑤$\frac{π}{3}$是分数。其中正确的是(
A.②③
B.①④
C.④⑤
D.①③
B
)。A.②③
B.①④
C.④⑤
D.①③
答案
B
解析
【分析】
解题时需先明确无理数、有理数、近似数的相关基础概念，再逐个判断题中5个说法的正误，最后匹配正确选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①根据无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，该说法正确；
②有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，并非都是有限小数，如$\frac{1}{3}$是有理数，属于无限循环小数，该说法错误；
③任意两个实数之间都有无数个无理数，1和3之间的无理数有无数个，不止题干给出的4个，该说法错误；
④近似数1.50精确到百分位，根据四舍五入规则，准确数$x$的取值范围为$1.495 ≤ x ＜ 1.505$，该说法正确；
⑤分数属于有理数范畴，$π$是无理数，因此$\frac{π}{3}$是无理数，不是分数，该说法错误。
综上，正确的说法是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的概念；有理数的概念；近似数的精确度
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念辨析，易错点在于容易混淆有理数与无理数的范畴，忽略两个数之间的无理数有无数个，以及近似数取值范围的边界判断，熟练掌握基础概念即可准确解题。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确无理数、有理数、近似数的相关基础概念，再逐个判断题中5个说法的正误，最后匹配正确选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①根据无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，该说法正确；
②有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，并非都是有限小数，如$\frac{1}{3}$是有理数，属于无限循环小数，该说法错误；
③任意两个实数之间都有无数个无理数，1和3之间的无理数有无数个，不止题干给出的4个，该说法错误；
④近似数1.50精确到百分位，根据四舍五入规则，准确数$x$的取值范围为$1.495 ≤ x ＜ 1.505$，该说法正确；
⑤分数属于有理数范畴，$π$是无理数，因此$\frac{π}{3}$是无理数，不是分数，该说法错误。
综上，正确的说法是①④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的概念；有理数的概念；近似数的精确度
【点评】
本题重点考查实数相关的基础概念辨析，易错点在于容易混淆有理数与无理数的范畴，忽略两个数之间的无理数有无数个，以及近似数取值范围的边界判断，熟练掌握基础概念即可准确解题。
【难度系数】
0.7
4 有下列各数:①$\frac{22}{7}$；②$\sqrt{25}$；③0.3；④$\sqrt[3]{5}$；⑤0；⑥$-π$；⑦1.010010001…(每两个1之间依次多1个0)。
（1）属于整数的有
（2）属于无理数的有
（1）属于整数的有
②⑤
。（填序号）（2）属于无理数的有
④⑥⑦
。（填序号）答案
(1) ②⑤ (2) ④⑥⑦
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确整数、无理数的定义，再逐个分析所给数的类型，最后按要求归类。第一步先回忆相关概念：整数包含正整数、0、负整数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型有开方开不尽的数的方根、含π的数、结构特殊的无限不循环小数。注意带根号的数要先化简再判断，不能直接认为带根号的就是无理数。
【解析】
先逐个分析每个数的属性：
①$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，既不是整数也不是无理数；
②$\sqrt{25}=5$，5是正整数，属于整数，是有理数；
③0.3是有限小数，属于有理数，既不是整数也不是无理数；
④$\sqrt[3]{5}$是开立方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
⑤0是整数，属于有理数；
⑥$-π$中π本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，是无理数；
⑦1.010010001…(每两个1之间依次多1个0)是无限不循环的特殊结构小数，属于无理数。
因此：
（1）属于整数的是②⑤；
（2）属于无理数的是④⑥⑦。
【答案】
（1）②⑤ （2）④⑥⑦
【知识点】
整数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题考查实数的分类，解题的核心是准确掌握各类数的定义，特别注意带根号的数要先化简再判断类型，同时要区分开“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，避免混淆。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确整数、无理数的定义，再逐个分析所给数的类型，最后按要求归类。第一步先回忆相关概念：整数包含正整数、0、负整数；无理数是无限不循环小数，常见的无理数类型有开方开不尽的数的方根、含π的数、结构特殊的无限不循环小数。注意带根号的数要先化简再判断，不能直接认为带根号的就是无理数。
【解析】
先逐个分析每个数的属性：
①$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，既不是整数也不是无理数；
②$\sqrt{25}=5$，5是正整数，属于整数，是有理数；
③0.3是有限小数，属于有理数，既不是整数也不是无理数；
④$\sqrt[3]{5}$是开立方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数；
⑤0是整数，属于有理数；
⑥$-π$中π本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，是无理数；
⑦1.010010001…(每两个1之间依次多1个0)是无限不循环的特殊结构小数，属于无理数。
因此：
（1）属于整数的是②⑤；
（2）属于无理数的是④⑥⑦。
【答案】
（1）②⑤ （2）④⑥⑦
【知识点】
整数的定义，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题考查实数的分类，解题的核心是准确掌握各类数的定义，特别注意带根号的数要先化简再判断类型，同时要区分开“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，避免混淆。
【难度系数】
0.85
5 数3.16、-10、2π、$-\dfrac{22}{7}$、1.3、1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)中的无理数是
2π，1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)
。答案
2π，1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数、分数，可转化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的式子、有规律但不循环的无限小数、开方开不尽的数。接下来我们逐个判断给出的数，排除有理数后就能得到无理数。
【解析】
根据定义逐个分析各数：
1. 3.16是有限小数，属于有理数；
2. -10是整数，属于有理数；
3. 2π：π本身是无限不循环小数，因此2π也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $-\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；
5. 1.3是有限小数，属于有理数；
6. 1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)：是无限且不循环的小数，属于无理数。
综上可得出题干中的无理数。
【答案】
2π，1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)
【知识点】
无理数的定义；有理数的分类
【点评】
本题是基础的数的分类题，解题核心是牢记无理数的特征，注意不要把分数（如$-\dfrac{22}{7}$）误认为无理数，也不要把有规律但不循环的无限小数当成循环小数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确有理数和无理数的定义：有理数包括整数、分数，可转化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的式子、有规律但不循环的无限小数、开方开不尽的数。接下来我们逐个判断给出的数，排除有理数后就能得到无理数。
【解析】
根据定义逐个分析各数：
1. 3.16是有限小数，属于有理数；
2. -10是整数，属于有理数；
3. 2π：π本身是无限不循环小数，因此2π也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $-\dfrac{22}{7}$是分数，属于有理数；
5. 1.3是有限小数，属于有理数；
6. 1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)：是无限且不循环的小数，属于无理数。
综上可得出题干中的无理数。
【答案】
2π，1.2121121112…(每两个2之间依次多1个1)
【知识点】
无理数的定义；有理数的分类
【点评】
本题是基础的数的分类题，解题核心是牢记无理数的特征，注意不要把分数（如$-\dfrac{22}{7}$）误认为无理数，也不要把有规律但不循环的无限小数当成循环小数。
【难度系数】
0.8
⑥ 在7、0、-2.$\dot{5}$、3.02、-81、3.020020002…(每两个2之间依次多1个0)、$\frac{11}{4}$、π中，无理数有x个，有理数有y个，则$y^x=$
36
。答案
36
解析
【分析】
解题的核心是先明确有理数和无理数的定义，再逐个对给出的数进行分类，统计出无理数的个数x和有理数的个数y，最后代入计算$y^x$即可。首先回忆：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有无限不循环的有规律小数、含π的数等。分类时逐一判断避免漏数或多数。
【解析】
先逐个判断各数的类型：
1. 7是整数，属于有理数；
2. 0是整数，属于有理数；
3. -2.$\dot{5}$是无限循环小数，属于有理数；
4. 3.02是有限小数，属于有理数；
5. -81是整数，属于有理数；
6. 3.020020002…(每两个2之间依次多1个0)是无限不循环小数，属于无理数；
7. $\frac{11}{4}$是分数，属于有理数；
8. π是无限不循环小数，属于无理数。
统计可得：无理数有2个，即$x=2$；有理数有6个，即$y=6$。
代入计算：$y^x=6^2=36$。
【答案】
36
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分有理数和无理数，要注意无限循环小数属于有理数，而有书写规律但不循环的无限小数、π都属于无理数，分类时要逐个排查避免计数错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先明确有理数和无理数的定义，再逐个对给出的数进行分类，统计出无理数的个数x和有理数的个数y，最后代入计算$y^x$即可。首先回忆：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有无限不循环的有规律小数、含π的数等。分类时逐一判断避免漏数或多数。
【解析】
先逐个判断各数的类型：
1. 7是整数，属于有理数；
2. 0是整数，属于有理数；
3. -2.$\dot{5}$是无限循环小数，属于有理数；
4. 3.02是有限小数，属于有理数；
5. -81是整数，属于有理数；
6. 3.020020002…(每两个2之间依次多1个0)是无限不循环小数，属于无理数；
7. $\frac{11}{4}$是分数，属于有理数；
8. π是无限不循环小数，属于无理数。
统计可得：无理数有2个，即$x=2$；有理数有6个，即$y=6$。
代入计算：$y^x=6^2=36$。
【答案】
36
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确区分有理数和无理数，要注意无限循环小数属于有理数，而有书写规律但不循环的无限小数、π都属于无理数，分类时要逐个排查避免计数错误。
【难度系数】
0.7
7 如图是一个计算程序。若输入$x$的值为64，则输出$y$的结果为
$\sqrt[3]{2}$
。答案
$\sqrt[3]{2}$
解析
【分析】
解决本题需严格按照程序流程图的运算顺序逐步推导：首先将输入的x=64代入第一步运算求立方根，判断所得结果是否为无理数，若是则直接输出；若不是，则对该结果求算术平方根，再次判断是否为无理数，若是则输出，若不是则将该结果作为新的输入值返回求立方根的步骤，循环运算直到得到无理数即可。
【解析】
第一步：输入x=64，先计算其立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，4是有理数，不符合“是无理数”的输出条件，进入下一环节；
第二步：计算4的算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合“是无理数”的输出条件，将2作为新的输入值返回求立方根的环节；
第三步：计算2的立方根：$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{2}$是无理数，符合输出条件，因此输出的y为$\sqrt[3]{2}$。
【答案】
$\sqrt[3]{2}$
【知识点】
立方根的运算；算术平方根的运算；无理数的判定
【点评】
本题结合流程图考查实数的基础运算，解题的核心是读懂流程图的运算逻辑和判断条件，按步骤逐步计算即可，注意不要遗漏循环运算的环节。
【难度系数】
0.7
解决本题需严格按照程序流程图的运算顺序逐步推导：首先将输入的x=64代入第一步运算求立方根，判断所得结果是否为无理数，若是则直接输出；若不是，则对该结果求算术平方根，再次判断是否为无理数，若是则输出，若不是则将该结果作为新的输入值返回求立方根的步骤，循环运算直到得到无理数即可。
【解析】
第一步：输入x=64，先计算其立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，4是有理数，不符合“是无理数”的输出条件，进入下一环节；
第二步：计算4的算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合“是无理数”的输出条件，将2作为新的输入值返回求立方根的环节；
第三步：计算2的立方根：$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{2}$是无理数，符合输出条件，因此输出的y为$\sqrt[3]{2}$。
【答案】
$\sqrt[3]{2}$
【知识点】
立方根的运算；算术平方根的运算；无理数的判定
【点评】
本题结合流程图考查实数的基础运算，解题的核心是读懂流程图的运算逻辑和判断条件，按步骤逐步计算即可，注意不要遗漏循环运算的环节。
【难度系数】
0.7
