8 若a是一个含有根号的无理数，且3 ＜ a ＜ 4。写出任意一个符合条件的a：。

$\sqrt{10}$(答案不唯一)

【分析】
解题时先明确题目的两个要求：①a是含有根号的无理数；②3＜a＜4。我们可以先将区间两端的整数转化为带根号的形式：3=√9，4=√16，那么只要找到大于9、小于16的非完全平方数，对其取算术平方根，得到的数就同时满足“含根号、是无理数、大小在3到4之间”的要求。
【解析】
1. 先对区间端点平方计算：$3^2=9$，$4^2=16$，因此若$a=\sqrt{x}$，要满足$3＜a＜4$，则被开方数$x$需要满足$9＜x＜16$。
2. 又因为$a$是无理数，所以$x$不能是完全平方数（若$x$是完全平方数，$\sqrt{x}$为有理数，不符合要求）。
3. 取符合条件的非完全平方数，例如$x=10$，可得$a=\sqrt{10}$，此时$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，满足所有条件，同理$\sqrt{11}、\sqrt{13}$等也符合要求。
【答案】
$\sqrt{10}$(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念，实数大小比较，算术平方根
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查无理数的辨识和实数大小比较的方法，利用平方比较法将整数转化为算术平方根形式即可快速解题，注意被开方数不能为完全平方数，避免得到有理数。
【难度系数】
0.8

9 大家知道,当$x^2=2(x＞0)$时,$x$的值不可能是有理数,而$1^2 ＜ x^2 ＜ 2^2$,所以$x$的整数部分是1。根据以上内容,解答下面的问题:
(1)若$x^2=10$,则$x$的整数部分$m=$;
(2)若$y^2=17$,则$y$的整数部分$n=$。

(1) 3 (2) 4

【分析】
要确定平方等于正数a的数的整数部分，我们可以用“夹逼法”：找到两个连续的正整数k和k+1，使得$k^2 ＜ a ＜ (k+1)^2$，那么对应的数就介于k和k+1之间，整数部分就是k。本题我们分别对10、17找到符合条件的连续正整数即可求解。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方可得：$3^2=9$，$4^2=16$，因此有$9 ＜ 10 ＜ 16$，即$3^2 ＜ x^2 ＜ 4^2$。因为x的整数部分为正，所以$3 ＜ x ＜ 4$，故x的整数部分$m=3$。
(2) 同理，计算得$4^2=16$，$5^2=25$，因此有$16 ＜ 17 ＜ 25$，即$4^2 ＜ y^2 ＜ 5^2$，可得$4 ＜ y ＜ 5$，故y的整数部分$n=4$。
【答案】
(1) 3；(2) 4
【知识点】
无理数的估算，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用平方数估算无理数大小的方法，熟记常见正整数的平方值可以快速解题。
【难度系数】
0.85

⑩ 在$\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，…，$\sqrt{401}$中，共有个无理数。

381 [提示:因为$20^2=400$,所以在$\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，…，$\sqrt{401}$中有20个有理数,则无理数的个数为$401-20=381$。]

【分析】
要计算给定算术平方根中无理数的个数，可采用逆向思维：首先明确只有被开方数是完全平方数时，它的算术平方根才是有理数。我们先找出1~401中所有的完全平方数，得到有理数的总个数，再用所有数的总个数减去有理数的个数，就能快速得到无理数的个数，比直接逐一判断无理数更简便。
【解析】
解：若$\sqrt{a}$（$a$为正整数）是有理数，则$a$一定是正整数的完全平方数。
先统计1~401中的完全平方数：
$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，……，$20^2=400$，
而$21^2=441＞401$，超出范围，不符合要求。
因此1~401中共有20个完全平方数，即对应有20个算术平方根是有理数。
题目中共有401个算术平方根（被开方数从1到401），所以无理数的个数为：
$401-20=381$
【答案】
381
【知识点】
无理数的概念，算术平方根，完全平方数
【点评】
本题考查无理数的判断，解题时用逆向思维先确定有理数的个数，再通过作差得到无理数的个数，大幅简化了计算过程，解题核心是准确找到指定范围内的完全平方数。
【难度系数】
0.7

11 阅读材料，解答问题。
例:设$a$、$b$都是有理数，且满足$a+\sqrt{2}b=3-2\sqrt{2}$，求$b^a$的值。
解:由题意，得$(a-3)+(b+2)\sqrt{2}=0$。因为$a$、$b$都是有理数，所以$a-3$、$b+2$也是有理数。因为$\sqrt{2}$是无理数，所以$a-3=0$，$b+2=0$。所以$a=3$，$b=-2$。所以$b^a=(-2)^3=-8$。
请用以上方法解决问题:已知$x$、$y$都是有理数，且满足$x^2-2y+\sqrt{5}y=10+3\sqrt{5}$，求$x+y$的值。

由题意,得$(x^2-2y-10)+(y-3)\sqrt{5}=0$。因为$x$、$y$都是有理数,所以$x^2-2y-10$、$y-3$也是有理数。因为$\sqrt{5}$是无理数,所以$y-3=0$,$x^2-2y-10=0$,解得$y=3$,$x=\pm4$。
所以当$x=4$时,$x+y=7$;当$x=-4$时,$x+y=-1$。

【分析】
解题时参考例题的思路，先将等式左右两侧的项移到同一侧，把不含无理数$\sqrt{5}$的有理数部分合并为一组，含$\sqrt{5}$的项合并为另一组，整理为“有理数部分 + 含$\sqrt{5}$的项 = 0”的形式。因为x、y都是有理数，所以有理数部分整体也是有理数，$\sqrt{5}$是无理数，根据“有理数与无理数的和为0时，有理数部分为0，且无理数的系数也为0”的性质，可列出两个方程，先求出y的值，再代入求x的取值，最后分别计算x+y的结果即可，注意x是平方项，开平方有正负两个解，不要漏解。
【解析】
对原式移项整理得：
$(x^2 - 2y - 10) + (y - 3)\sqrt{5} = 0$
因为x、y都是有理数，所以$x^2 - 2y - 10$和$y - 3$也都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数，因此要使等式成立，需满足：
$\begin{cases} y - 3 = 0 \\ x^2 - 2y - 10 = 0 \end{cases}$
解第一个方程得$y=3$，将$y=3$代入第二个方程得：
$x^2 - 2×3 - 10 = 0$，即$x^2=16$，解得$x=±4$。
分情况计算$x+y$：
当$x=4$时，$x+y=4+3=7$；
当$x=-4$时，$x+y=-4+3=-1$。
【答案】
7或-1
【知识点】
1. 有理数与无理数的运算性质
2. 平方根的计算
3. 二元方程组的求解
【点评】
本题属于材料类比类题目，解题关键是读懂例题的解题逻辑，掌握“若有理数与无理数的和为0，则有理数部分为0、无理数的系数为0”的规律，解题时要注意平方项开方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7

12 新定义:若无理数$\sqrt{T}$(T 为正整数)的被开方数满足$n^2 ＜ T ＜ (n+1)^2$(其中 n 为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n, n+1)$;同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1, -n)$。例如:因为$1^2 ＜ 2 ＜ 2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1, 2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2, -1)$。请回答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为;$-\sqrt{23}$的“青一区间”为。
(2)有理数 x、y 满足关系式:$\sqrt{x - 3} + |2025 + (y - 4)^2| = 2025$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”。

(1) 因为$4^2 ＜ 17 ＜ 5^2$,所以$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4, 5)$;因为$4^2 ＜ 23 ＜ 5^2$,所以$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5, -4)$;
(2) 因为$\sqrt{x-3}+|2025+(y-4)^2|=2025$,$2025+(y-4)^2＞0$,所以$\sqrt{x-3}+2025+(y-4)^2=2025$,即$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$,所以$x=3$,$y=4$,所以$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$。因为$3^2 ＜ 12 ＜ 4^2$,所以$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3, 4)$。

【分析】
(1) 解决第一问核心是准确理解“青一区间”的定义：对于$\sqrt{T}$，先找到正整数$n$，使得$n^2＜T＜(n+1)^2$，它的青一区间就是$(n,n+1)$；对于$-\sqrt{T}$，青一区间为$(-n-1,-n)$。只需先确定17、23分别介于哪两个相邻正整数的平方之间，再套用定义即可求解。
(2) 解决第二问要用到非负数的性质：算术平方根、完全平方的结果都是非负数。先分析绝对值内的部分，$(y-4)^2≥0$，因此$2025+(y-4)^2$一定是正数，可以直接去掉绝对值符号，整理等式后得到两个非负数相加得0，说明这两个非负数各自为0，即可求出$x$、$y$的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后按定义估算它的青一区间即可。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，满足$4^2＜17＜5^2$，根据定义可得$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
又因为$4^2=16$，$5^2=25$，满足$4^2＜23＜5^2$，根据规定可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
(2) 已知$\sqrt{x - 3} + |2025 + (y - 4)^2| = 2025$，
∵$(y-4)^2≥0$，
∴$2025+(y-4)^2＞0$，可直接去掉绝对值，
∴原式化简为$\sqrt{x-3} + 2025 + (y-4)^2 = 2025$，
整理得$\sqrt{x-3} + (y-4)^2 = 0$，
∵$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数相加为0时各自为0，
∴$x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$，
∴$\sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
∵$3^2=9$，$4^2=16$，满足$3^2＜12＜4^2$，
∴$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1) $(4,5)$；$(-5,-4)$
(2) $(3,4)$
【知识点】
新定义理解，非负数的性质，无理数估算
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，同时熟练掌握非负数的性质、无理数估算的方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

13 定义:可以表示为两个整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为1的有理数,反之为无理数。如$\sqrt{2}$不能表示为两个互素的整数的商,所以$\sqrt{2}$是无理数。仔细阅读教材中证明$\sqrt{2}$不是有理数的过程,然后,请证明:$\sqrt{5}$是无理数。

假设$\sqrt{5}$是有理数,那么存在互素的正整数$a$、$b$,使$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$。于是可得$5=\frac{a^2}{b^2}$,$a^2=5b^2$。因为$b$是整数且不为0,所以$a$不为0且为5的倍数。设$a=5n$($n$是正整数),所以$(5n)^2=5b^2$,化简得$b^2=5n^2$,所以$b$也为5的倍数。由此可得$a$与$b$不是互素的,与$a$、$b$是互素的正整数矛盾。所以$\sqrt{5}$是无理数。

【分析】
要证明$\sqrt{5}$是无理数，由于无理数的定义是“不能表示为两个整数的商的数”，正面证明难度较大，因此采用反证法求解。解题思路如下：第一步先假设结论不成立，即$\sqrt{5}$是有理数；第二步根据有理数的定义，将$\sqrt{5}$写成两个互素正整数$a$、$b$的商的形式，通过平方变形推导$a$、$b$的公共因数，得到和“$a$、$b$互素”矛盾的结果；第三步根据矛盾说明假设错误，即可证明原命题成立。
【解析】
证明：假设$\sqrt{5}$是有理数，那么存在互素的正整数$a$、$b$，使$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$。
等式两边平方可得$5=\frac{a^2}{b^2}$，即$a^2=5b^2$。
因为$b$是不为0的整数，所以$a^2$是5的倍数，可得$a$不为0且为5的倍数。
设$a=5n$（$n$是正整数），代入$a^2=5b^2$得$(5n)^2=5b^2$，化简得$b^2=5n^2$，因此$b$也为5的倍数。
此时$a$、$b$都有公因数5，与“$a$、$b$是互素的正整数”的前提矛盾，因此假设不成立。
所以$\sqrt{5}$是无理数。
【答案】
假设$\sqrt{5}$是有理数,那么存在互素的正整数$a$、$b$,使$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$。于是可得$5=\frac{a^2}{b^2}$,$a^2=5b^2$。因为$b$是整数且不为0,所以$a$不为0且为5的倍数。设$a=5n$($n$是正整数),所以$(5n)^2=5b^2$,化简得$b^2=5n^2$,所以$b$也为5的倍数。由此可得$a$与$b$不是互素的,与$a$、$b$是互素的正整数矛盾。所以$\sqrt{5}$是无理数。
【知识点】
反证法；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题考查反证法的应用与数的分类相关概念，解题核心是掌握反证法“假设-推导矛盾-否定假设得结论”的逻辑步骤，结合有理数可表示为两个互素整数商的性质推导矛盾，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6