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1.已知线段AB=10 cm,CD=15 cm,则AB:CD等于（
A.2:3
B.3:2
C.2:1
D.3:1
【变式题】已知线段a=4 mm,线段b=0.6 cm,则两条线段的比a:b=
A
）A.2:3
B.3:2
C.2:1
D.3:1
【变式题】已知线段a=4 mm,线段b=0.6 cm,则两条线段的比a:b=
2:3
.答案
1.A 【变式题】2:3
解析
【分析】
求两条线段的比时，首先要确认两条线段的长度单位是否统一，若单位不统一需先换算为相同单位，再将两个长度作比，最后约分化为最简整数比即可。第一题中AB和CD单位均为cm，单位一致可直接作比化简；变式题中两条线段单位不同，需先统一单位后再作比化简。
【解析】
1. 已知AB=10cm，CD=15cm，单位统一，因此：
$AB:CD=10\mathrm{cm}:15\mathrm{cm}=10:15=2:3$，故选A。
【变式题】首先统一长度单位：
∵$1\mathrm{cm}=10\mathrm{mm}$，
∴$b=0.6\mathrm{cm}=0.6×10\mathrm{mm}=6\mathrm{mm}$，
已知$a=4\mathrm{mm}$，单位统一，因此：
$a:b=4\mathrm{mm}:6\mathrm{mm}=4:6=2:3$。
【答案】
1.A 【变式题】2:3
【知识点】
1.线段的比 2.长度单位换算 3.比的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查线段比的计算，易错点是计算时未先统一长度单位直接作比导致错误，掌握线段比的计算要求即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
求两条线段的比时，首先要确认两条线段的长度单位是否统一，若单位不统一需先换算为相同单位，再将两个长度作比，最后约分化为最简整数比即可。第一题中AB和CD单位均为cm，单位一致可直接作比化简；变式题中两条线段单位不同，需先统一单位后再作比化简。
【解析】
1. 已知AB=10cm，CD=15cm，单位统一，因此：
$AB:CD=10\mathrm{cm}:15\mathrm{cm}=10:15=2:3$，故选A。
【变式题】首先统一长度单位：
∵$1\mathrm{cm}=10\mathrm{mm}$，
∴$b=0.6\mathrm{cm}=0.6×10\mathrm{mm}=6\mathrm{mm}$，
已知$a=4\mathrm{mm}$，单位统一，因此：
$a:b=4\mathrm{mm}:6\mathrm{mm}=4:6=2:3$。
【答案】
1.A 【变式题】2:3
【知识点】
1.线段的比 2.长度单位换算 3.比的化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查线段比的计算，易错点是计算时未先统一长度单位直接作比导致错误，掌握线段比的计算要求即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
2.如图,点B在线段AC上,且AB:BC=1:2,则AB:AC=
1:3
. 答案
2.1:3
解析
【分析】
解题时首先明确线段AC由AB、BC两部分组成，已知AB与BC的比例为1:2，我们可以采用设参数的方法，或直接用份数思想分析：将AB看作1份，则对应BC为2份，整条线段AC的总份数就是AB与BC的份数之和，最后计算AB和AC的份数比即可得到结果，这是比例线段计算的常用思路。
【解析】
解：方法1（参数法）：
设AB的长度为$ k $（$ k＞0 $），
∵ $ AB:BC=1:2 $，
∴ $ BC=2k $，
又
∵ 点B在线段AC上，
∴ $ AC=AB+BC=k+2k=3k $，
∴ $ AB:AC=k:3k=1:3 $。
方法2（份数法）：
由$ AB:BC=1:2 $，可将AB看作1份，BC看作2份，
线段AC的总份数为$ 1+2=3 $份，
因此$ AB:AC=1:3 $。
【答案】
1:3
【知识点】
线段和差计算、比例化简
【点评】
本题属于基础题型，考查线段比例的相关计算，只要理清线段之间的和差关系，结合比例的基本性质即可快速求解，计算时注意不要混淆各线段对应的份数。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确线段AC由AB、BC两部分组成，已知AB与BC的比例为1:2，我们可以采用设参数的方法，或直接用份数思想分析：将AB看作1份，则对应BC为2份，整条线段AC的总份数就是AB与BC的份数之和，最后计算AB和AC的份数比即可得到结果，这是比例线段计算的常用思路。
【解析】
解：方法1（参数法）：
设AB的长度为$ k $（$ k＞0 $），
∵ $ AB:BC=1:2 $，
∴ $ BC=2k $，
又
∵ 点B在线段AC上，
∴ $ AC=AB+BC=k+2k=3k $，
∴ $ AB:AC=k:3k=1:3 $。
方法2（份数法）：
由$ AB:BC=1:2 $，可将AB看作1份，BC看作2份，
线段AC的总份数为$ 1+2=3 $份，
因此$ AB:AC=1:3 $。
【答案】
1:3
【知识点】
线段和差计算、比例化简
【点评】
本题属于基础题型，考查线段比例的相关计算，只要理清线段之间的和差关系，结合比例的基本性质即可快速求解，计算时注意不要混淆各线段对应的份数。
【难度系数】
0.9
3.(宣城期末)下列各组中的四条线段是成比例线段的是 (
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
C.1 cm,$\sqrt{2}$ cm,$\sqrt{3}$ cm,2 cm
D.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
D
)A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
C.1 cm,$\sqrt{2}$ cm,$\sqrt{3}$ cm,2 cm
D.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
答案
3.D
解析
【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按长度从小到大排序，再根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，否则不是。接下来逐个对选项进行验证即可。
【解析】
判断成比例线段的步骤：
1. 将各选项的线段按长度从小到大排序；
2. 计算最短线段×最长线段的积，以及中间两条线段的积，若两个积相等，则四条线段成比例。
对各选项逐一分析：
A. 排序：1cm，2cm，3cm，4cm，$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不是成比例线段；
B. 排序：2cm，4cm，6cm，8cm，$2×8=16$，$4×6=24$，$16≠24$，不是成比例线段；
C. 排序：1cm，$\sqrt{2}$cm，$\sqrt{3}$cm，2cm，$1×2=2$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，$2≠\sqrt{6}$，不是成比例线段；
D. 排序：2cm，3cm，4cm，6cm，$2×6=12$，$3×4=12$，$12=12$，是成比例线段。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，采用“排序后乘积比较”的方法可以快速准确得出结果，避免计算比值时出现分数运算的失误。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否为成比例线段，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按长度从小到大排序，再根据比例的基本性质，验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则为成比例线段，否则不是。接下来逐个对选项进行验证即可。
【解析】
判断成比例线段的步骤：
1. 将各选项的线段按长度从小到大排序；
2. 计算最短线段×最长线段的积，以及中间两条线段的积，若两个积相等，则四条线段成比例。
对各选项逐一分析：
A. 排序：1cm，2cm，3cm，4cm，$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不是成比例线段；
B. 排序：2cm，4cm，6cm，8cm，$2×8=16$，$4×6=24$，$16≠24$，不是成比例线段；
C. 排序：1cm，$\sqrt{2}$cm，$\sqrt{3}$cm，2cm，$1×2=2$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，$2≠\sqrt{6}$，不是成比例线段；
D. 排序：2cm，3cm，4cm，6cm，$2×6=12$，$3×4=12$，$12=12$，是成比例线段。
【答案】
D
【知识点】
成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，采用“排序后乘积比较”的方法可以快速准确得出结果，避免计算比值时出现分数运算的失误。
【难度系数】
0.8
4.已知线段AB是线段MN,CD的比例中项，且$AB=3\ \mathrm{cm}$，$MN=4\ \mathrm{cm}$，则CD的长是
【变式题】(淮南田家庵区期末)已知线段$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=32\ \mathrm{cm}$，线段$c$是线段$a$，$b$的比例中项，则线段$c$的长为
$\frac{9}{4}$
cm.【变式题】(淮南田家庵区期末)已知线段$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=32\ \mathrm{cm}$，线段$c$是线段$a$，$b$的比例中项，则线段$c$的长为
8
cm.答案
4.$\frac{9}{4}$ 【变式题】8
解析
【分析】
解题的核心是牢记比例中项的定义：若线段$x$是线段$m$、$n$的比例中项，则满足$x^2=m· n$，且线段长度为正数，因此求解时只需代入已知线段的长度列等式，解方程后取正根即可。第4题中已知$AB$是$MN$和$CD$的比例中项，代入对应数值就能计算$CD$的长度；变式题同理，利用$c$是$a$、$b$的比例中项的关系列等式计算$c$的长度即可。
【解析】
第4题
$\because$ 线段$AB$是线段$MN$、$CD$的比例中项，
$\therefore$ 由比例中项的性质得：$AB^2 = MN· CD$，
将$AB=3\ \mathrm{cm}$，$MN=4\ \mathrm{cm}$代入上式，得：$3^2=4· CD$，
即$9=4CD$，
解得$CD=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$。
变式题
$\because$ 线段$c$是线段$a$、$b$的比例中项，
$\therefore$ 由比例中项的性质得：$c^2=a· b$，
将$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=32\ \mathrm{cm}$代入上式，得：$c^2=2×32=64$，
$\because$ 线段长度为正数，
$\therefore c=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4.$\frac{9}{4}$；【变式题】8
【知识点】
1.比例中项的概念 2.比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段的基础题型，解题关键是准确掌握比例中项的数量关系，计算时注意线段长度均为正数，不要误取负根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记比例中项的定义：若线段$x$是线段$m$、$n$的比例中项，则满足$x^2=m· n$，且线段长度为正数，因此求解时只需代入已知线段的长度列等式，解方程后取正根即可。第4题中已知$AB$是$MN$和$CD$的比例中项，代入对应数值就能计算$CD$的长度；变式题同理，利用$c$是$a$、$b$的比例中项的关系列等式计算$c$的长度即可。
【解析】
第4题
$\because$ 线段$AB$是线段$MN$、$CD$的比例中项，
$\therefore$ 由比例中项的性质得：$AB^2 = MN· CD$，
将$AB=3\ \mathrm{cm}$，$MN=4\ \mathrm{cm}$代入上式，得：$3^2=4· CD$，
即$9=4CD$，
解得$CD=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$。
变式题
$\because$ 线段$c$是线段$a$、$b$的比例中项，
$\therefore$ 由比例中项的性质得：$c^2=a· b$，
将$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=32\ \mathrm{cm}$代入上式，得：$c^2=2×32=64$，
$\because$ 线段长度为正数，
$\therefore c=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4.$\frac{9}{4}$；【变式题】8
【知识点】
1.比例中项的概念 2.比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段的基础题型，解题关键是准确掌握比例中项的数量关系，计算时注意线段长度均为正数，不要误取负根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
5.已知a,b,c,d四条线段成比例，且$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{6}$，求线段d的长度。
答案
5.解:
∵四条线段a,b,c,d成比例,
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
∵$a=1$,$b=\sqrt{2}$,$c=\sqrt{6}$,
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{d}$,解得$d=2\sqrt{3}$.
∵四条线段a,b,c,d成比例,
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
∵$a=1$,$b=\sqrt{2}$,$c=\sqrt{6}$,
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{d}$,解得$d=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d成比例，即按顺序满足比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，解题时不能随意调换四条线段的顺序。接下来将已知的a、b、c的取值代入比例式，再利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）求解关于d的方程，即可得到d的长度。
【解析】
解：
∵四条线段a,b,c,d成比例，
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
又
∵$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{6}$，
∴代入得$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{d}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$d=\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段的基础计算题，解题核心是明确成比例线段的顺序性，严格按照题目给出的线段顺序列比例式求解，掌握比例的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d成比例，即按顺序满足比例关系$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，解题时不能随意调换四条线段的顺序。接下来将已知的a、b、c的取值代入比例式，再利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）求解关于d的方程，即可得到d的长度。
【解析】
解：
∵四条线段a,b,c,d成比例，
∴$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
又
∵$a=1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{6}$，
∴代入得$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{d}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$d=\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质
【点评】
本题是比例线段的基础计算题，解题核心是明确成比例线段的顺序性，严格按照题目给出的线段顺序列比例式求解，掌握比例的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
6.(教材P68练习T2变式)延长线段AB到点C,使BC=AB,则下列线段的比错误的是 (
A.$AB:AC=1:2$
B.$AB:BC=1:1$
C.$BC:AC=1:2$
D.$AC:AB=1:2$
D
)A.$AB:AC=1:2$
B.$AB:BC=1:1$
C.$BC:AC=1:2$
D.$AC:AB=1:2$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先明确延长线段AB到C的含义，即点的排列顺序为A、B、C，B在A、C之间。我们可以通过设参数表示各线段长度，再分别计算各选项的线段比，对比判断对错即可。具体步骤：先设AB的长度为一个参数，根据BC=AB得到BC的长度，再由线段和的关系求出AC的长度，最后逐一计算四个选项的比例，找出错误的选项。
【解析】
设线段AB的长度为$ x $，
∵ 延长AB到C且$ BC=AB $，
∴ $ BC = x $，
且$ AC = AB + BC = x + x = 2x $。
逐一分析选项：
A. $ AB:AC = x:2x = 1:2 $，计算正确，不符合题意；
B. $ AB:BC = x:x =1:1 $，计算正确，不符合题意；
C. $ BC:AC = x:2x =1:2 $，计算正确，不符合题意；
D. $ AC:AB = 2x:x =2:1 ≠ 1:2 $，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段的和差计算 2. 比例线段化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确理解延长线段的方向，理清各线段之间的数量关系，采用设参数的方法计算比例可以有效避免出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确延长线段AB到C的含义，即点的排列顺序为A、B、C，B在A、C之间。我们可以通过设参数表示各线段长度，再分别计算各选项的线段比，对比判断对错即可。具体步骤：先设AB的长度为一个参数，根据BC=AB得到BC的长度，再由线段和的关系求出AC的长度，最后逐一计算四个选项的比例，找出错误的选项。
【解析】
设线段AB的长度为$ x $，
∵ 延长AB到C且$ BC=AB $，
∴ $ BC = x $，
且$ AC = AB + BC = x + x = 2x $。
逐一分析选项：
A. $ AB:AC = x:2x = 1:2 $，计算正确，不符合题意；
B. $ AB:BC = x:x =1:1 $，计算正确，不符合题意；
C. $ BC:AC = x:2x =1:2 $，计算正确，不符合题意；
D. $ AC:AB = 2x:x =2:1 ≠ 1:2 $，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段的和差计算 2. 比例线段化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是准确理解延长线段的方向，理清各线段之间的数量关系，采用设参数的方法计算比例可以有效避免出错。
【难度系数】
0.9
7.如图，在$△ ABC$中，$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}$。若$BD=3$，$CD=2$，$AB=10$，则$BE$的长是
6
。答案
7.6
解析
【分析】
本题已知线段的比例关系与部分线段的长度，要求BE的长，解题思路如下：首先根据线段的和差关系，将AE用AB和待求的BE表示（$AE=AB-BE$），再把已知的$BD、CD、AB$的数值以及含BE的AE表达式代入给出的比例式，最后利用比例的基本性质解关于BE的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：由线段的和差关系可得：$AE=AB-BE$
已知$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}$，且$BD=3$，$CD=2$，$AB=10$，将各值代入比例式得：
$\frac{BE}{10-BE}=\frac{3}{2}$
根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），交叉相乘得：
$2BE=3(10-BE)$
展开并整理方程：
$2BE=30-3BE$
$5BE=30$
解得：$BE=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的基本性质，线段和差运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于比例线段应用的基础题，解题核心是把未知线段用所求量和已知量表示，代入比例式建立方程求解，熟练掌握比例的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题已知线段的比例关系与部分线段的长度，要求BE的长，解题思路如下：首先根据线段的和差关系，将AE用AB和待求的BE表示（$AE=AB-BE$），再把已知的$BD、CD、AB$的数值以及含BE的AE表达式代入给出的比例式，最后利用比例的基本性质解关于BE的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
解：由线段的和差关系可得：$AE=AB-BE$
已知$\frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}$，且$BD=3$，$CD=2$，$AB=10$，将各值代入比例式得：
$\frac{BE}{10-BE}=\frac{3}{2}$
根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），交叉相乘得：
$2BE=3(10-BE)$
展开并整理方程：
$2BE=30-3BE$
$5BE=30$
解得：$BE=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的基本性质，线段和差运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于比例线段应用的基础题，解题核心是把未知线段用所求量和已知量表示，代入比例式建立方程求解，熟练掌握比例的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 新定义 新趋势我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”，如果一个“钻石菱形”的边长是6，那么这个菱形的面积是
18
。答案
8.18
解析
【分析】
首先理解新定义“钻石菱形”的含义：边长是两条对角线长度的比例中项，回忆比例中项的性质，即若b是a、c的比例中项，则$b^2=ac$，由此可建立菱形边长与两条对角线乘积的等量关系；再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，代入数值即可计算出面积。
【解析】
设该钻石菱形的两条对角线长度分别为$m$、$n$。
根据“钻石菱形”的定义，边长是两条对角线长度的比例中项，可得：
$6^2 = m · n$
计算得$mn = 36$。
根据菱形的面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，可得：
$S_{\mathrm{菱形}} = \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2} × 36 = 18$
【答案】
18
【知识点】
比例中项的性质；菱形面积计算；新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查基础几何性质的应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，将新定义转化为熟悉的数学关系式，再结合已学的菱形面积公式计算即可，侧重对概念理解和基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先理解新定义“钻石菱形”的含义：边长是两条对角线长度的比例中项，回忆比例中项的性质，即若b是a、c的比例中项，则$b^2=ac$，由此可建立菱形边长与两条对角线乘积的等量关系；再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，代入数值即可计算出面积。
【解析】
设该钻石菱形的两条对角线长度分别为$m$、$n$。
根据“钻石菱形”的定义，边长是两条对角线长度的比例中项，可得：
$6^2 = m · n$
计算得$mn = 36$。
根据菱形的面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半，可得：
$S_{\mathrm{菱形}} = \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2} × 36 = 18$
【答案】
18
【知识点】
比例中项的性质；菱形面积计算；新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查基础几何性质的应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，将新定义转化为熟悉的数学关系式，再结合已学的菱形面积公式计算即可，侧重对概念理解和基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
9. 分类讨论新理念（易错题）已知三条线段的长分别为1 cm,2 cm,$\sqrt{2}$ cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段,那么该线段的长为
$2\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$
cm.答案
9.$2\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足$a:b=c:d$（即两内项之积等于两外项之积，$ad=bc$），则这四条线段为成比例线段。本题未指定四条线段的排列顺序，因此需要分类讨论所求线段的不同对应位置，结合比例的基本性质列方程求解即可。
【解析】
设所求线段的长度为$ x $ cm，由于成比例线段的顺序未明确，分以下三种情况讨论：
1. 当$ x $与1为比例的外项，2和$\sqrt{2}$为内项时，根据比例的基本性质可得：
$ x × 1 = 2 × \sqrt{2} $，解得$ x=2\sqrt{2} $；
2. 当$ x $与2为比例的外项，1和$\sqrt{2}$为内项时，可得：
$ x × 2 = 1 × \sqrt{2} $，解得$ x=\frac{\sqrt{2}}{2} $；
3. 当$ x $与$\sqrt{2}$为比例的外项，1和2为内项时，可得：
$ x × \sqrt{2} = 1 × 2 $，解得$ x=\sqrt{2} $。
【答案】
$2\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的易错点是忽略成比例线段未指定顺序时需要分类讨论，容易出现漏解的情况，只要结合比例的基本性质，对未知线段的不同位置逐一讨论就能求出所有符合条件的解。
【难度系数】
0.6
首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足$a:b=c:d$（即两内项之积等于两外项之积，$ad=bc$），则这四条线段为成比例线段。本题未指定四条线段的排列顺序，因此需要分类讨论所求线段的不同对应位置，结合比例的基本性质列方程求解即可。
【解析】
设所求线段的长度为$ x $ cm，由于成比例线段的顺序未明确，分以下三种情况讨论：
1. 当$ x $与1为比例的外项，2和$\sqrt{2}$为内项时，根据比例的基本性质可得：
$ x × 1 = 2 × \sqrt{2} $，解得$ x=2\sqrt{2} $；
2. 当$ x $与2为比例的外项，1和$\sqrt{2}$为内项时，可得：
$ x × 2 = 1 × \sqrt{2} $，解得$ x=\frac{\sqrt{2}}{2} $；
3. 当$ x $与$\sqrt{2}$为比例的外项，1和2为内项时，可得：
$ x × \sqrt{2} = 1 × 2 $，解得$ x=\sqrt{2} $。
【答案】
$2\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的易错点是忽略成比例线段未指定顺序时需要分类讨论，容易出现漏解的情况，只要结合比例的基本性质，对未知线段的不同位置逐一讨论就能求出所有符合条件的解。
【难度系数】
0.6
10.已知线段$a,b,c$满足$a:b:c=1:3:5$，且$a-b+c=6$.
(1)求线段$a,b,c$的长；
(2)若线段$m$是线段$a,b$的比例中项，求线段$m$的长.
(1)求线段$a,b,c$的长；
(2)若线段$m$是线段$a,b$的比例中项，求线段$m$的长.
答案
10.解:(1)设$a=k$,则$b=3k$,$c=5k$.
∵$a-b+c=6$,
∴$k-3k+5k=6$,解得$k=2$.
∴$a=2$,$b=6$,$c=10$. (2)由(1),得$a=2$,$b=6$.
∵$m$是$a,b$的比例中项,
∴$m^2=ab=12$,解得$m=\pm 2\sqrt{3}$.
∵$m＞0$,
∴$m=2\sqrt{3}$.
∵$a-b+c=6$,
∴$k-3k+5k=6$,解得$k=2$.
∴$a=2$,$b=6$,$c=10$. (2)由(1),得$a=2$,$b=6$.
∵$m$是$a,b$的比例中项,
∴$m^2=ab=12$,解得$m=\pm 2\sqrt{3}$.
∵$m＞0$,
∴$m=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 遇到线段的连比问题，通常采用设参数的方法简化计算：设比例中每一份的长度为k，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式a-b+c=6，解一元一次方程求出k的值，就能得到三条线段的长度。
(2) 首先回忆比例中项的定义：若m是a、b的比例中项，则满足m²=ab，代入第一问求出的a、b的值计算即可，注意线段长度为正数，最后要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 设$a=k$，根据$a:b:c=1:3:5$，可得$b=3k$，$c=5k$。
将上述表达式代入$a-b+c=6$，得：
$k-3k+5k=6$
合并同类项得$3k=6$，解得$k=2$。
因此$a=k=2$，$b=3k=3×2=6$，$c=5k=5×2=10$。
(2) 由(1)的结果可知$a=2$，$b=6$。
∵线段m是a、b的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得$m^2=ab=2×6=12$，
解得$m=\pm2\sqrt{3}$。
又
∵线段长度为正数，即$m＞0$，
∴舍去负根，得$m=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=6$，$c=10$；(2) $m=2\sqrt{3}$
【知识点】
比例的应用，比例中项的定义
【点评】
本题是比例线段的基础题，核心考查连比问题的设参技巧和比例中项的概念，解题时需注意线段的非负性，避免漏看条件保留负根，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 遇到线段的连比问题，通常采用设参数的方法简化计算：设比例中每一份的长度为k，即可将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入已知等式a-b+c=6，解一元一次方程求出k的值，就能得到三条线段的长度。
(2) 首先回忆比例中项的定义：若m是a、b的比例中项，则满足m²=ab，代入第一问求出的a、b的值计算即可，注意线段长度为正数，最后要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 设$a=k$，根据$a:b:c=1:3:5$，可得$b=3k$，$c=5k$。
将上述表达式代入$a-b+c=6$，得：
$k-3k+5k=6$
合并同类项得$3k=6$，解得$k=2$。
因此$a=k=2$，$b=3k=3×2=6$，$c=5k=5×2=10$。
(2) 由(1)的结果可知$a=2$，$b=6$。
∵线段m是a、b的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得$m^2=ab=2×6=12$，
解得$m=\pm2\sqrt{3}$。
又
∵线段长度为正数，即$m＞0$，
∴舍去负根，得$m=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=6$，$c=10$；(2) $m=2\sqrt{3}$
【知识点】
比例的应用，比例中项的定义
【点评】
本题是比例线段的基础题，核心考查连比问题的设参技巧和比例中项的概念，解题时需注意线段的非负性，避免漏看条件保留负根，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
