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1. 下列各组图形中,是相似图形的是 (
A
) 答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确相似图形的判定核心：形状完全相同的图形是相似图形，大小、摆放位置不做要求。接下来逐组判断图形形状是否一致即可：先看A组，两个都是圆，圆的形状和半径大小无关，形状相同；再看B组，一个是正方形、一个是长方形，长宽比例不同，形状不同；C组两个图形边数不同，分别是六边形和八边形，形状不同；D组箭头方向数量不同，形状不同，由此即可得出答案。
【解析】
根据相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形，相似图形仅要求形状一致，大小可以不同，对各选项逐一分析：
选项A：两个图形均为圆形，形状完全相同，仅大小存在差异，符合相似图形的定义；
选项B：左侧为正方形（长与宽相等），右侧为长方形（长与宽不相等），二者形状不同，不属于相似图形；
选项C：左侧是正六边形，右侧是正八边形，图形边数不同，形状不同，不属于相似图形；
选项D：左侧是3个方向的箭头图形，右侧是4个方向的箭头图形，形状不同，不属于相似图形。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
相似图形的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对相似图形特征的掌握，解题时只要抓住“形状相同”这一判断要点即可快速得出答案，易混点是部分同学会误将大小是否相同作为判断依据，需要注意区分。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确相似图形的判定核心：形状完全相同的图形是相似图形，大小、摆放位置不做要求。接下来逐组判断图形形状是否一致即可：先看A组，两个都是圆，圆的形状和半径大小无关，形状相同；再看B组，一个是正方形、一个是长方形，长宽比例不同，形状不同；C组两个图形边数不同，分别是六边形和八边形，形状不同；D组箭头方向数量不同，形状不同，由此即可得出答案。
【解析】
根据相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形，相似图形仅要求形状一致，大小可以不同，对各选项逐一分析：
选项A：两个图形均为圆形，形状完全相同，仅大小存在差异，符合相似图形的定义；
选项B：左侧为正方形（长与宽相等），右侧为长方形（长与宽不相等），二者形状不同，不属于相似图形；
选项C：左侧是正六边形，右侧是正八边形，图形边数不同，形状不同，不属于相似图形；
选项D：左侧是3个方向的箭头图形，右侧是4个方向的箭头图形，形状不同，不属于相似图形。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
相似图形的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对相似图形特征的掌握，解题时只要抓住“形状相同”这一判断要点即可快速得出答案，易混点是部分同学会误将大小是否相同作为判断依据，需要注意区分。
【难度系数】
0.9
2.有下列图形:①复印前后纸上对应的图片；②在同一张中国地图上,北京市和合肥市的行政区图；③两个边长不相等的等边三角形,其中相似的有
2
组.答案
2.2
解析
【分析】
解题的核心是掌握相似图形的定义：形状完全相同的图形叫做相似图形，其中全等图形是特殊的相似图形。我们只需逐个判断三组图形是否满足“形状完全相同”的特征即可：首先判断复印前后的图片，形状无差异，属于全等，符合相似要求；再判断同地图上两个城市的行政区图，城市轮廓不同，形状不一致，不符合；最后判断边长不等的等边三角形，所有等边三角形形状均相同，符合要求，最后统计符合的组数即可。
【解析】
根据相似图形的定义逐一判断：
1. 复印前后纸上对应的图片：形状完全相同，大小相等，属于全等图形，是特殊的相似图形，因此①是相似图形；
2. 同一张中国地图上北京市和合肥市的行政区图：两个城市的轮廓形状不相同，不属于相似图形，因此②不是相似图形；
3. 两个边长不相等的等边三角形：等边三角形的三个内角均为60°，形状完全相同，仅大小存在差异，符合相似图形的定义，因此③是相似图形。
综上，相似的有①和③，共2组。
【答案】
2
【知识点】
相似图形的定义，等边三角形的性质
【点评】
本题侧重考查对相似图形概念的理解，解题时要抓住“形状完全相同”这一核心判定依据，明确全等图形是特殊的相似图形，图形大小不影响相似性的判断。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握相似图形的定义：形状完全相同的图形叫做相似图形，其中全等图形是特殊的相似图形。我们只需逐个判断三组图形是否满足“形状完全相同”的特征即可：首先判断复印前后的图片，形状无差异，属于全等，符合相似要求；再判断同地图上两个城市的行政区图，城市轮廓不同，形状不一致，不符合；最后判断边长不等的等边三角形，所有等边三角形形状均相同，符合要求，最后统计符合的组数即可。
【解析】
根据相似图形的定义逐一判断：
1. 复印前后纸上对应的图片：形状完全相同，大小相等，属于全等图形，是特殊的相似图形，因此①是相似图形；
2. 同一张中国地图上北京市和合肥市的行政区图：两个城市的轮廓形状不相同，不属于相似图形，因此②不是相似图形；
3. 两个边长不相等的等边三角形：等边三角形的三个内角均为60°，形状完全相同，仅大小存在差异，符合相似图形的定义，因此③是相似图形。
综上，相似的有①和③，共2组。
【答案】
2
【知识点】
相似图形的定义，等边三角形的性质
【点评】
本题侧重考查对相似图形概念的理解，解题时要抓住“形状完全相同”这一核心判定依据，明确全等图形是特殊的相似图形，图形大小不影响相似性的判断。
【难度系数】
0.8
3.若两个相似多边形一组对应边的长分别为3 cm,4.5 cm,则它们的相似比为 （
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{9}{4}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{9}{4}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形相似比的定义：相似多边形的相似比等于对应边的比值。本题已经给出一组对应边的长度，我们只需将两个对应边的长度按题目给出的顺序作比，再化简为最简分数即可，注意不要颠倒对应边的前后顺序。
【解析】
解：根据相似多边形的性质，相似多边形的相似比为对应边的比值。
已知一组对应边的长分别为3cm、4.5cm，因此相似比为：
$\frac{3}{4.5}=\frac{3×2}{4.5×2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查相似比的计算，只要掌握相似比与对应边的关系，正确化简分数即可顺利解答，做题时要注意不要搞反对应边的前后顺序，避免误选。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似多边形相似比的定义：相似多边形的相似比等于对应边的比值。本题已经给出一组对应边的长度，我们只需将两个对应边的长度按题目给出的顺序作比，再化简为最简分数即可，注意不要颠倒对应边的前后顺序。
【解析】
解：根据相似多边形的性质，相似多边形的相似比为对应边的比值。
已知一组对应边的长分别为3cm、4.5cm，因此相似比为：
$\frac{3}{4.5}=\frac{3×2}{4.5×2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查相似比的计算，只要掌握相似比与对应边的关系，正确化简分数即可顺利解答，做题时要注意不要搞反对应边的前后顺序，避免误选。
【难度系数】
0.9
4.一个五边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的五边形的最短边长为6,则这个五边形的最长边长为 （
A.18
B.24
C.30
D.12
A
）A.18
B.24
C.30
D.12
答案
4.A
解析
【分析】
解决本题首先要回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。第一步先确定已知五边形的最短边和最长边，分别为2和6；第二步结合另一个相似五边形的最短边为6，先求出两个相似图形的相似比，最后利用对应边成比例的关系，列比例式即可求出未知五边形的最长边。
【解析】
解：已知边长为2、3、4、5、6的五边形中，最短边长为2，最长边长为6。
设与它相似的五边形的最长边长为$x$。
∵ 相似多边形的对应边成比例，
∴ 两个五边形的最短边之比等于最长边之比，可得：
$\frac{2}{6}=\frac{6}{x}$
交叉相乘得：$2x = 6×6$
解得：$x=18$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质，比例线段计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的关键是找准对应边，正确列出比例式求解，只要熟练掌握相似图形的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。第一步先确定已知五边形的最短边和最长边，分别为2和6；第二步结合另一个相似五边形的最短边为6，先求出两个相似图形的相似比，最后利用对应边成比例的关系，列比例式即可求出未知五边形的最长边。
【解析】
解：已知边长为2、3、4、5、6的五边形中，最短边长为2，最长边长为6。
设与它相似的五边形的最长边长为$x$。
∵ 相似多边形的对应边成比例，
∴ 两个五边形的最短边之比等于最长边之比，可得：
$\frac{2}{6}=\frac{6}{x}$
交叉相乘得：$2x = 6×6$
解得：$x=18$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质，比例线段计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的关键是找准对应边，正确列出比例式求解，只要熟练掌握相似图形的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
5.如图,有甲、乙、丙三个矩形,其中相似的两个矩形是
甲
与丙
.(填“甲”“乙”或“丙”)答案
5.甲 丙
解析
【分析】
要判断两个矩形是否相似，首先根据矩形的性质可知所有矩形的内角都是直角，已经满足相似多边形要求的“对应角相等”这一条件，因此只需验证两个矩形的邻边是否对应成比例即可。我们可以分别计算三个矩形邻边的比值，对比比值是否相等，比值相等的两个矩形即为相似矩形。
【解析】
∵ 矩形的四个内角均为90°，
∴ 甲、乙、丙三个矩形的对应角全部相等，只需判断邻边是否对应成比例。
分别计算三个矩形的长与宽的比值：
甲矩形：$\frac{长}{宽}=\frac{3}{2}=1.5$；
乙矩形：$\frac{长}{宽}=\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$；
丙矩形：$\frac{长}{宽}=\frac{1.5}{1}=1.5$。
可得甲和丙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此甲和丙是相似的矩形。
【答案】
甲 丙
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题考查相似图形的判定，解题的关键是牢记相似多边形的判定条件，结合矩形的性质简化判定步骤，不要误认为所有矩形都相似，需验证边是否成比例。
【难度系数】
0.8
要判断两个矩形是否相似，首先根据矩形的性质可知所有矩形的内角都是直角，已经满足相似多边形要求的“对应角相等”这一条件，因此只需验证两个矩形的邻边是否对应成比例即可。我们可以分别计算三个矩形邻边的比值，对比比值是否相等，比值相等的两个矩形即为相似矩形。
【解析】
∵ 矩形的四个内角均为90°，
∴ 甲、乙、丙三个矩形的对应角全部相等，只需判断邻边是否对应成比例。
分别计算三个矩形的长与宽的比值：
甲矩形：$\frac{长}{宽}=\frac{3}{2}=1.5$；
乙矩形：$\frac{长}{宽}=\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$；
丙矩形：$\frac{长}{宽}=\frac{1.5}{1}=1.5$。
可得甲和丙的邻边比值相等，即对应边成比例，因此甲和丙是相似的矩形。
【答案】
甲 丙
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题考查相似图形的判定，解题的关键是牢记相似多边形的判定条件，结合矩形的性质简化判定步骤，不要误认为所有矩形都相似，需验证边是否成比例。
【难度系数】
0.8
6.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似.
(1)α的度数是
(2)x的值是
能力提升 整合运用
(1)α的度数是
$83°$
，它们的相似比是$\frac{3}{2}$
；(2)x的值是
12
，y的值是$\frac{33}{2}$
.能力提升 整合运用
答案
6.(1)$83°$ $\frac{3}{2}$ (2)12 $\frac{33}{2}$
解析
【分析】
本题考查相似多边形的性质应用，解题思路如下：1. 求α的度数：首先利用四边形内角和为360°，结合相似多边形对应角相等，得到四边形A'B'C'D'中除α外其余三个内角的度数，相减即可得到α；2. 求相似比：找到已知的一组对应边AD和A'D'，计算对应边的比值即为相似比，注意相似比是前一个图形比后一个图形；3. 求x、y的值：利用相似多边形对应边成比例，结合相似比分别列比例式求解即可。
【解析】
(1) 首先，四边形内角和为$360°$。
因为四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似，所以对应角相等，即$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，已知$∠ D'=140°$，因此：
$α=360°-∠ A'-∠ B'-∠ D'=360°-62°-75°-140°=83°$
相似比为对应边的比值，AD对应$A'D'$，所以相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
(2) 因为相似多边形对应边成比例，相似比为$\frac{3}{2}$，因此：
$\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{2}$，即$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{3}{2}×8=12$；
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{2}$，即$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，解得$y=\frac{3}{2}×11=\frac{33}{2}$。
【答案】
(1)$83°$，$\frac{3}{2}$；(2)$12$，$\frac{33}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和，比例计算
【点评】
本题属于相似图形的基础应用题，解题的关键是准确识别相似多边形的对应边和对应角，计算相似比时要注意两个图形的先后顺序，避免比例关系列反。
【难度系数】
0.7
本题考查相似多边形的性质应用，解题思路如下：1. 求α的度数：首先利用四边形内角和为360°，结合相似多边形对应角相等，得到四边形A'B'C'D'中除α外其余三个内角的度数，相减即可得到α；2. 求相似比：找到已知的一组对应边AD和A'D'，计算对应边的比值即为相似比，注意相似比是前一个图形比后一个图形；3. 求x、y的值：利用相似多边形对应边成比例，结合相似比分别列比例式求解即可。
【解析】
(1) 首先，四边形内角和为$360°$。
因为四边形ABCD与四边形$A'B'C'D'$相似，所以对应角相等，即$∠ A'=∠ A=62°$，$∠ B'=∠ B=75°$，已知$∠ D'=140°$，因此：
$α=360°-∠ A'-∠ B'-∠ D'=360°-62°-75°-140°=83°$
相似比为对应边的比值，AD对应$A'D'$，所以相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
(2) 因为相似多边形对应边成比例，相似比为$\frac{3}{2}$，因此：
$\frac{BC}{B'C'}=\frac{3}{2}$，即$\frac{x}{8}=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{3}{2}×8=12$；
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{3}{2}$，即$\frac{y}{11}=\frac{3}{2}$，解得$y=\frac{3}{2}×11=\frac{33}{2}$。
【答案】
(1)$83°$，$\frac{3}{2}$；(2)$12$，$\frac{33}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和，比例计算
【点评】
本题属于相似图形的基础应用题，解题的关键是准确识别相似多边形的对应边和对应角，计算相似比时要注意两个图形的先后顺序，避免比例关系列反。
【难度系数】
0.7
7.(淮南期末)下列图形一定相似的是 (
A.两个矩形
B.两个等腰三角形
C.两个五边形
D.两个正方形
D
)A.两个矩形
B.两个等腰三角形
C.两个五边形
D.两个正方形
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确相似多边形的判定条件：一是所有对应角相等，二是所有对应边成比例，两个条件必须同时满足，缺一不可。接下来我们结合各类图形的性质，逐一验证四个选项是否同时满足上述两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，据此分析各选项：
1. 选项A：两个矩形的四个角都是直角，满足对应角相等，但长与宽的比值不一定相等，例如长为4宽为1的矩形和长为3宽为2的矩形，对应边不成比例，因此两个矩形不一定相似。
2. 选项B：两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为120°的等腰三角形，角度不对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似。
3. 选项C：两个五边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，例如普通不规则五边形和正五边形，不满足相似条件，因此两个五边形不一定相似。
4. 选项D：两个正方形的四个角都是90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比值等于边长的比值，满足对应边成比例，因此两个正方形一定相似。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的判定；多边形相似的条件
【点评】
本题是相似图形判定的基础题型，解题核心是牢记多边形相似的两个必要条件，注意不要误判为仅满足对应角相等或仅满足对应边成比例即可判定相似，二者缺一不可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确相似多边形的判定条件：一是所有对应角相等，二是所有对应边成比例，两个条件必须同时满足，缺一不可。接下来我们结合各类图形的性质，逐一验证四个选项是否同时满足上述两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
相似多边形需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，据此分析各选项：
1. 选项A：两个矩形的四个角都是直角，满足对应角相等，但长与宽的比值不一定相等，例如长为4宽为1的矩形和长为3宽为2的矩形，对应边不成比例，因此两个矩形不一定相似。
2. 选项B：两个等腰三角形的顶角、底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为120°的等腰三角形，角度不对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似。
3. 选项C：两个五边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，例如普通不规则五边形和正五边形，不满足相似条件，因此两个五边形不一定相似。
4. 选项D：两个正方形的四个角都是90°，满足对应角相等；且正方形四条边长度相等，对应边的比值等于边长的比值，满足对应边成比例，因此两个正方形一定相似。
【答案】
D
【知识点】
相似图形的判定；多边形相似的条件
【点评】
本题是相似图形判定的基础题型，解题核心是牢记多边形相似的两个必要条件，注意不要误判为仅满足对应角相等或仅满足对应边成比例即可判定相似，二者缺一不可。
【难度系数】
0.8
8.如图，把一张矩形纸片对折两次得到4个小矩形.如果每个小矩形都与原矩形相似，那么原矩形纸片的长与宽之比是（
A.$\sqrt{2}:1$
B.$2:1$
C.$3:1$
D.$4:1$
B
）A.$\sqrt{2}:1$
B.$2:1$
C.$3:1$
D.$4:1$
答案
8.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先设原矩形的长、宽分别为a、b，先明确对折两次后得到的小矩形的长和宽，再根据小矩形与原矩形相似的条件，列出对应边的比例式，求解即可得到原矩形长与宽的比值。
【解析】
设原矩形的长为$a$，宽为$b$。
将矩形对折两次得到4个小矩形，因此每个小矩形的长等于原矩形的宽$b$，小矩形的宽为原矩形长的$\frac{1}{4}$，即$\frac{a}{4}$。
∵ 小矩形与原矩形相似，相似多边形对应边成比例
∴ $\frac{\mathrm{原矩形的长}}{\mathrm{原矩形的宽}}=\frac{\mathrm{小矩形的长}}{\mathrm{小矩形的宽}}$，代入得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{4}}$
整理等式：
$\frac{a}{b}=\frac{4b}{a}$
交叉相乘得：$a^2=4b^2$
∵ $a$、$b$均为正数，
∴ $a=2b$，即$a:b=2:1$
【答案】
B
【知识点】
1.相似多边形的性质 2.比例运算
【点评】
本题考查相似图形性质的应用，解题关键是准确找出对折后小矩形与原矩形的对应边，再结合相似性质列比例式求解，解题时需注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以利用相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先设原矩形的长、宽分别为a、b，先明确对折两次后得到的小矩形的长和宽，再根据小矩形与原矩形相似的条件，列出对应边的比例式，求解即可得到原矩形长与宽的比值。
【解析】
设原矩形的长为$a$，宽为$b$。
将矩形对折两次得到4个小矩形，因此每个小矩形的长等于原矩形的宽$b$，小矩形的宽为原矩形长的$\frac{1}{4}$，即$\frac{a}{4}$。
∵ 小矩形与原矩形相似，相似多边形对应边成比例
∴ $\frac{\mathrm{原矩形的长}}{\mathrm{原矩形的宽}}=\frac{\mathrm{小矩形的长}}{\mathrm{小矩形的宽}}$，代入得：
$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{4}}$
整理等式：
$\frac{a}{b}=\frac{4b}{a}$
交叉相乘得：$a^2=4b^2$
∵ $a$、$b$均为正数，
∴ $a=2b$，即$a:b=2:1$
【答案】
B
【知识点】
1.相似多边形的性质 2.比例运算
【点评】
本题考查相似图形性质的应用，解题关键是准确找出对折后小矩形与原矩形的对应边，再结合相似性质列比例式求解，解题时需注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
9.要制作甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知甲框架的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，乙框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙框架共有
3
种。答案
9.3
解析
【分析】
解题首先明确核心考点为相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。题目仅给出乙框架的一边长为20cm，未明确该边与甲框架哪条边为对应边，因此需要分三种情况讨论：分别假设20cm的边对应甲框架的50cm、60cm、80cm的边，由于甲本身是合法三角形，按比例缩放后得到的三边必然满足三角形三边关系，因此只要对应比例合理的情况均有效。
【解析】
解：
∵甲、乙两个三角形框架相似，
∴二者对应边成比例。
已知甲框架三边长分别为50cm、60cm、80cm，乙框架有一边长为20cm，未明确对应关系，分以下3种情况讨论：
1. 当20cm的边对应甲框架50cm的边时，相似比$k_1=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，
此时乙框架另外两边长为$60×\frac{2}{5}=24\mathrm{cm}$，$80×\frac{2}{5}=32\mathrm{cm}$，可构成三角形，符合要求；
2. 当20cm的边对应甲框架60cm的边时，相似比$k_2=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$，
此时乙框架另外两边长为$50×\frac{1}{3}=\frac{50}{3}\mathrm{cm}$，$80×\frac{1}{3}=\frac{80}{3}\mathrm{cm}$，可构成三角形，符合要求；
3. 当20cm的边对应甲框架80cm的边时，相似比$k_3=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$，
此时乙框架另外两边长为$50×\frac{1}{4}=12.5\mathrm{cm}$，$60×\frac{1}{4}=15\mathrm{cm}$，可构成三角形，符合要求。
综上，符合条件的乙框架共有3种。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题关键是注意题干未明确对应边时，要分所有可能的对应情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题首先明确核心考点为相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。题目仅给出乙框架的一边长为20cm，未明确该边与甲框架哪条边为对应边，因此需要分三种情况讨论：分别假设20cm的边对应甲框架的50cm、60cm、80cm的边，由于甲本身是合法三角形，按比例缩放后得到的三边必然满足三角形三边关系，因此只要对应比例合理的情况均有效。
【解析】
解：
∵甲、乙两个三角形框架相似，
∴二者对应边成比例。
已知甲框架三边长分别为50cm、60cm、80cm，乙框架有一边长为20cm，未明确对应关系，分以下3种情况讨论：
1. 当20cm的边对应甲框架50cm的边时，相似比$k_1=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$，
此时乙框架另外两边长为$60×\frac{2}{5}=24\mathrm{cm}$，$80×\frac{2}{5}=32\mathrm{cm}$，可构成三角形，符合要求；
2. 当20cm的边对应甲框架60cm的边时，相似比$k_2=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$，
此时乙框架另外两边长为$50×\frac{1}{3}=\frac{50}{3}\mathrm{cm}$，$80×\frac{1}{3}=\frac{80}{3}\mathrm{cm}$，可构成三角形，符合要求；
3. 当20cm的边对应甲框架80cm的边时，相似比$k_3=\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$，
此时乙框架另外两边长为$50×\frac{1}{4}=12.5\mathrm{cm}$，$60×\frac{1}{4}=15\mathrm{cm}$，可构成三角形，符合要求。
综上，符合条件的乙框架共有3种。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形对应边成比例的应用，解题关键是注意题干未明确对应边时，要分所有可能的对应情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10.(教材 P66 练习 T1 变式)如图,矩形草坪EFMN长 20 m、宽 10 m,沿草坪三面有1 m宽的小路,则小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
答案
10.解:相似.理由如下:由题意,得 $MN=20\ \mathrm{m},EN=10\ \mathrm{m},CD=20+2=22(\mathrm{m}),AD=10+1=11(\mathrm{m}),\therefore \frac{MN}{CD}=\frac{20}{22}=\frac{10}{11},\frac{EN}{AD}=\frac{10}{11}.$
$\therefore \frac{MN}{CD}=\frac{EN}{AD}.$ 又$\because$ 四边形 $ABCD$,四边形 $EFMN$ 均为矩形,$\therefore$ 各对应角相等. $\therefore$ 小路内外边缘所成的矩形相似.
$\therefore \frac{MN}{CD}=\frac{EN}{AD}.$ 又$\because$ 四边形 $ABCD$,四边形 $EFMN$ 均为矩形,$\therefore$ 各对应角相等. $\therefore$ 小路内外边缘所成的矩形相似.
解析
【分析】
要判断两个矩形是否相似，需结合相似多边形的判定条件：①所有对应角相等，②所有对应边成比例，两个条件需同时满足。首先矩形的四个内角都是直角，因此两个矩形的对应角已经满足相等的条件，接下来只需计算两个矩形对应边的比值，验证比值是否相等即可。首先根据小路的宽度，先求出外边缘矩形的长和宽，再分别计算长的比、宽的比，看两个比值是否相等即可得出结论。
【解析】
解：判断过程如下：
1. 确定两个矩形的边长：
由题意得，内边缘矩形EFMN的长$MN=20\ \mathrm{m}$，宽$EN=10\ \mathrm{m}$；
沿草坪三面有1m宽的小路，因此外边缘矩形ABCD的长为草坪长加左右两侧小路宽度：$CD=20+1×2=22(\mathrm{m})$，外边缘矩形的宽为草坪宽加一侧小路宽度：$AD=10+1=11(\mathrm{m})$。
2. 验证对应边比例：
计算对应边的比值：$\frac{MN}{CD}=\frac{20}{22}=\frac{10}{11}$，$\frac{EN}{AD}=\frac{10}{11}$，因此$\frac{MN}{CD}=\frac{EN}{AD}$，即对应边成比例。
3. 验证对应角：
因为四边形ABCD和四边形EFMN均为矩形，所有内角均为$90°$，因此对应角相等。
综上，两个矩形同时满足对应角相等、对应边成比例的相似判定条件。
【答案】
小路内外边缘所成的矩形相似。
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，解题时需注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可。本题易错点是计算外矩形边长时，忽略小路仅分布在三面，错误将宽也加2m导致计算错误，需结合题意准确分析小路的分布位置再计算边长。
【难度系数】
0.8
要判断两个矩形是否相似，需结合相似多边形的判定条件：①所有对应角相等，②所有对应边成比例，两个条件需同时满足。首先矩形的四个内角都是直角，因此两个矩形的对应角已经满足相等的条件，接下来只需计算两个矩形对应边的比值，验证比值是否相等即可。首先根据小路的宽度，先求出外边缘矩形的长和宽，再分别计算长的比、宽的比，看两个比值是否相等即可得出结论。
【解析】
解：判断过程如下：
1. 确定两个矩形的边长：
由题意得，内边缘矩形EFMN的长$MN=20\ \mathrm{m}$，宽$EN=10\ \mathrm{m}$；
沿草坪三面有1m宽的小路，因此外边缘矩形ABCD的长为草坪长加左右两侧小路宽度：$CD=20+1×2=22(\mathrm{m})$，外边缘矩形的宽为草坪宽加一侧小路宽度：$AD=10+1=11(\mathrm{m})$。
2. 验证对应边比例：
计算对应边的比值：$\frac{MN}{CD}=\frac{20}{22}=\frac{10}{11}$，$\frac{EN}{AD}=\frac{10}{11}$，因此$\frac{MN}{CD}=\frac{EN}{AD}$，即对应边成比例。
3. 验证对应角：
因为四边形ABCD和四边形EFMN均为矩形，所有内角均为$90°$，因此对应角相等。
综上，两个矩形同时满足对应角相等、对应边成比例的相似判定条件。
【答案】
小路内外边缘所成的矩形相似。
【知识点】
相似多边形的判定、矩形的性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，解题时需注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，缺一不可。本题易错点是计算外矩形边长时，忽略小路仅分布在三面，错误将宽也加2m导致计算错误，需结合题意准确分析小路的分布位置再计算边长。
【难度系数】
0.8
