3. 新题型 新定义 定义:数轴上A,B两点的距离为a个单位长度,记作AB=a,根据定义完成下列各题.
两个长方形ABCD和EFGH的宽都是3个单位长度,长方形ABCD的长AD是6个单位长度,长方形EFGH的长EH是10个单位长度,其中点A,D,E,H在数轴上(如图),点E在数轴上表示的数是5,且E,D两点之间的距离为14,原点记为O.
(1)求数轴上点H,A所表示的数.
(2)若长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右运动,同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左运动,数轴上有M,N两点,其中点M在A,D两点之间,且$AM=\frac{1}{2}AD$,其中点N在E,H两点之间,且$EN=\frac{1}{5}EH$,设运动时间为x秒.
①经过x秒后,M点表示的数是,N点表示的数是(用含x的式子表示,结果需化简);
②求MN(用含x的式子表示,结果需化简).
(3)若长方形ABCD以2个单位长度/秒的速度向右运动,长方形EFGH固定不动,设长方形ABCD运动的时间为$t(t＞0)$秒,两个长方形重叠部分的面积为S,当$S=12$时,求此时t的值.

(1)由题意得 ED=14,OE=5,EH=10,AD=6,所以 OH=OE+EH=5+10=15,所以 OD=ED-OE=14-5=9,所以 OA=OD+AD=9+6=15,所以点 H 在数轴上表示的数是 15,点 A 在数轴上表示的数是-15.
(2)①4x-12 7-3x 解析:因为 AD=6,EH=10,所以 AM=1/2 AD=3,EN=1/5 EH=2.因为 OA=15,OE=5,所以 OM=OA-AM=12,ON=OE+EN=7.因为长方形 ABCD 以 4 个单位长度/秒的速度向右运动,同时长方形 EFGH 以 3 个单位长度/秒的速度向左运动,所以 M 点表示的数为 4x-12,N 点表示的数为 7-3x.
②当 M 点在 N 点的左侧时,MN=(7-3x)-(4x-12)=19-7x,当 M 点在 N 点的右侧时,MN=(4x-12)-(7-3x)=7x-19.
(3)因为两个长方形的宽都是 3 个单位长度,重叠部分的面积为 12,所以重叠部分的长为 4 个单位长度,当点 D 运动到点 E 右边 4 个单位长度时,t=(14+4)÷2=9;当点 A 运动到点 H 左边 4 个单位长度时,t=(6+14+6)÷2=13.综上,长方形 ABCD 运动的时间为 9 秒或 13 秒时,两个长方形重叠部分的面积为 12.

【分析】
(1) 求数轴上点对应的数遵循“右加左减”规则：已知E表示5，H在E右侧，用E的数加EH长度可得H的数；D在E左侧，用E的数减ED长度得D的数，A在D左侧，再用D的数减AD长度得A的数。
(2) ①先求运动前M、N对应的数：M是AD中点，由A的初始位置加AM长度得M初始数，向右运动每秒加4，乘时间加初始数即可得x秒后M的数；N在E右侧，由E的初始位置加EN长度得N初始数，向左运动每秒减3，用初始数减3乘时间即可得x秒后N的数。②数轴上两点距离为右侧点表示的数减左侧点表示的数，需分M在N左侧、M在N右侧两种情况计算。
(3) 由重叠面积和长方形宽先算出重叠部分的水平长度，再分两种情况：一是ABCD刚进入EFGH，D点超过E点4个单位；二是ABCD即将离开EFGH，A点距H点还有4个单位，分别计算运动路程除以速度即可得t的值。
【解析】
(1) 由题意得点E表示的数为5，EH=10，ED=14，AD=6。
H在E右侧，故H表示的数为$5+10=15$；
D在E左侧，故D表示的数为$5-14=-9$；
A在D左侧，故A表示的数为$-9-6=-15$。
(2) ①$\because AD=6$，$AM=\frac{1}{2}AD$，$\therefore AM=3$，运动前A表示-15，故M初始表示的数为$-15+3=-12$。
ABCD向右运动，速度为4单位/秒，x秒后M表示的数为$-12+4x=4x-12$。
$\because EH=10$，$EN=\frac{1}{5}EH$，$\therefore EN=2$，运动前E表示5，故N初始表示的数为$5+2=7$。
EFGH向左运动，速度为3单位/秒，x秒后N表示的数为$7-3x$。
②分两种情况：
当M在N左侧时，$MN=(7-3x)-(4x-12)=19-7x$；
当M在N右侧时，$MN=(4x-12)-(7-3x)=7x-19$。
(3) $\because$两个长方形宽均为3，$S=12$，$\therefore$重叠部分水平长度为$12÷3=4$。
分两种情况：
第一种：D运动到E右侧4个单位处，此时D表示的数为$5+4=9$，初始D表示-9，运动路程为$9-(-9)=18$，故$t=18÷2=9$；
第二种：A运动到H左侧4个单位处，此时A表示的数为$15-4=11$，初始A表示-15，运动路程为$11-(-15)=26$，故$t=26÷2=13$。
【答案】
(1) 点H表示的数是15，点A表示的数是-15；
(2) ①$\boxed{4x-12}$，$\boxed{7-3x}$；②$19-7x$或$7x-19$；
(3) t的值为9秒或13秒。
【知识点】
数轴的应用，数轴动点问题，两点间距离
【点评】
本题结合新定义考查数轴动点相关知识，综合性较强，解题时要熟练掌握数轴上点的坐标变化规律，合理运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.6

4. 已知数轴上有A,B,C三个点,分别表示有理数-24,-10,10,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点C运动,设运动时间为t秒.若用PA,PB,PC分别表示点P与点A、点B、点C的距离,试回答以下问题.
(1)当点P运动10秒时,PA=,PB=,PC=.
(2)当点P运动了t秒时,请用含t的代数式表示点P到点A、点B、点C的距离:PA=,PB=,PC=.
(3)经过几秒后,点P到点A、点C的距离相等?此时点P表示的数是多少?
(4)当点P运动到点B时,点Q从点A出发,以每秒3个单位长度的速度向点C运动,点Q到达点C后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A.在点Q开始运动后,P,Q两点之间的距离能否为4个单位长度?如果能,请直接写出点P表示的数;如果不能,请说明理由.

16或34

分两种情况利用勾股定理计算：
1. 若边长5为斜边，则第三条边为直角边，第三条边长的平方为$5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$；
2. 若边长3和5均为直角边，则第三条边为斜边，第三条边长的平方为$3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$。
因此第三条边长的平方为16或34。