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1. 如图,在数轴上,点A,B,C分别表示-3,-1,5.
(1)AC=
(2)若将数轴折叠,使得点A与点C重合,则点B与数
(3)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,假设t秒后.
①3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
②若点A,C向右运动,点B向左运动,速度保持不变,3BC-4AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
(1)AC=
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.(2)若将数轴折叠,使得点A与点C重合,则点B与数
3
表示的点重合.(3)点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,假设t秒后.
①3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
②若点A,C向右运动,点B向左运动,速度保持不变,3BC-4AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
答案
解：
1. 两直角边的平方和等于斜边的平方；$a^2 + b^2 = c^2$
1. 两直角边的平方和等于斜边的平方；$a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
（1）数轴上两点间的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，直接用C点对应的数减去A点对应的数即可求出AC的长度。
（2）折叠后A、C重合，说明折痕是线段AC的中点，先计算出中点对应的数，再根据折叠后两点到中点的距离相等，即可求出与点B重合的点对应的数。
（3）①解决动点问题，先写出t秒后三个点分别表示的数，再根据两点距离公式分别表示出AB、BC的长度，代入代数式$3BC-2AB$化简，若化简后不含t说明值不变，否则随t变化。
②先写出运动t秒后三个点表示的数，再表示出AB、BC的长度，此时AB的表达式含有绝对值，需要分情况讨论绝对值内式子的正负，分别化简后代入代数式判断是否随t变化。
【解析】
(1) 已知点A表示-3，点C表示5，数轴上右边的数大于左边的数，因此$AC=5-(-3)=8$。
(2) 折叠后A与C重合，折叠处为AC的中点，中点对应的数为$\frac{-3+5}{2}=1$。设与点B重合的点对应的数为x，根据中点性质可得$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$。
(3) ①t秒后，点A向左运动，对应的数为$-3-2t$；点B向右运动，对应的数为$-1+t$；点C向右运动，对应的数为$5+3t$。
因此$AB=(-1+t)-(-3-2t)=3t+2$，$BC=(5+3t)-(-1+t)=2t+6$。
代入代数式得：
$3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+2)=6t+18-6t-4=14$，
化简后不含t，因此$3BC-2AB$的值不随时间t的变化而改变，固定为14。
②t秒后，点A向右运动，对应的数为$-3+2t$；点B向左运动，对应的数为$-1-t$；点C向右运动，对应的数为$5+3t$。
因此$BC=(5+3t)-(-1-t)=4t+6$，$AB=|(-3+2t)-(-1-t)|=|3t-2|$。
代入代数式得：
$3BC-4AB=3(4t+6)-4|3t-2|=12t+18-4|3t-2|$，分两种情况讨论：
当$3t-2＜0$，即$t＜\frac{2}{3}$时，原式$=12t+18-4(2-3t)=24t+10$，含有t，因此值随t的变化而改变；
当$3t-2≥0$，即$t≥\frac{2}{3}$时，原式$=12t+18-4(3t-2)=26$，不含t，因此值不随t的变化而改变，固定为26。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{3}$
(3) ①不变，值为$\boxed{14}$；②当$t＜\frac{2}{3}$时，值随时间t的变化而改变；当$t≥\frac{2}{3}$时，值不变，为$\boxed{26}$。
【知识点】
数轴两点距离计算，数轴折叠问题，数轴动点问题
【点评】
本题是数轴的综合考察题型，既涉及数轴基础的距离、折叠性质，也考察了动点问题的分析方法，解题核心是掌握用含参数的代数式表示运动后点的位置，遇到绝对值时注意分类讨论，是数轴模块的经典常考题。
【难度系数】
0.6
（1）数轴上两点间的距离等于右边点表示的数减去左边点表示的数，直接用C点对应的数减去A点对应的数即可求出AC的长度。
（2）折叠后A、C重合，说明折痕是线段AC的中点，先计算出中点对应的数，再根据折叠后两点到中点的距离相等，即可求出与点B重合的点对应的数。
（3）①解决动点问题，先写出t秒后三个点分别表示的数，再根据两点距离公式分别表示出AB、BC的长度，代入代数式$3BC-2AB$化简，若化简后不含t说明值不变，否则随t变化。
②先写出运动t秒后三个点表示的数，再表示出AB、BC的长度，此时AB的表达式含有绝对值，需要分情况讨论绝对值内式子的正负，分别化简后代入代数式判断是否随t变化。
【解析】
(1) 已知点A表示-3，点C表示5，数轴上右边的数大于左边的数，因此$AC=5-(-3)=8$。
(2) 折叠后A与C重合，折叠处为AC的中点，中点对应的数为$\frac{-3+5}{2}=1$。设与点B重合的点对应的数为x，根据中点性质可得$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$。
(3) ①t秒后，点A向左运动，对应的数为$-3-2t$；点B向右运动，对应的数为$-1+t$；点C向右运动，对应的数为$5+3t$。
因此$AB=(-1+t)-(-3-2t)=3t+2$，$BC=(5+3t)-(-1+t)=2t+6$。
代入代数式得：
$3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+2)=6t+18-6t-4=14$，
化简后不含t，因此$3BC-2AB$的值不随时间t的变化而改变，固定为14。
②t秒后，点A向右运动，对应的数为$-3+2t$；点B向左运动，对应的数为$-1-t$；点C向右运动，对应的数为$5+3t$。
因此$BC=(5+3t)-(-1-t)=4t+6$，$AB=|(-3+2t)-(-1-t)|=|3t-2|$。
代入代数式得：
$3BC-4AB=3(4t+6)-4|3t-2|=12t+18-4|3t-2|$，分两种情况讨论：
当$3t-2＜0$，即$t＜\frac{2}{3}$时，原式$=12t+18-4(2-3t)=24t+10$，含有t，因此值随t的变化而改变；
当$3t-2≥0$，即$t≥\frac{2}{3}$时，原式$=12t+18-4(3t-2)=26$，不含t，因此值不随t的变化而改变，固定为26。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{3}$
(3) ①不变，值为$\boxed{14}$；②当$t＜\frac{2}{3}$时，值随时间t的变化而改变；当$t≥\frac{2}{3}$时，值不变，为$\boxed{26}$。
【知识点】
数轴两点距离计算，数轴折叠问题，数轴动点问题
【点评】
本题是数轴的综合考察题型，既涉及数轴基础的距离、折叠性质，也考察了动点问题的分析方法，解题核心是掌握用含参数的代数式表示运动后点的位置，遇到绝对值时注意分类讨论，是数轴模块的经典常考题。
【难度系数】
0.6
2. 如图,数轴上,点 A 表示的数为-7,点 B 表示的数为-1,点 C 表示的数为9,点 D 表示的数为13,原点记为 O,在点 B 和点 C 处各折一下,得到一条“折线数轴”,我们称点 A 和点 D 在数轴上相距 20 个单位长度,动点 P 从点 A 出发,沿着“折线数轴”的正方向运动,同时,动点 Q 从点 D 出发,沿着“折线数轴”的负方向运动,它们在“水平路线”射线 BA 和射线 CD 上的运动速度相同,均为每秒 2 个单位长度,“上坡路段”从点 B 到点 C 速度变为“水平路线”速度的一半,“下坡路段”从点 C 到点 B 速度变为“水平路线”速度的 2 倍.设运动的时间为 t 秒,问:
(1)动点 Q 从点 C 运动到点 B 需要的时间为
(2)动点 P 从点 A 运动至点 D 需要的时间为多少秒?
(3)当 P,O 两点在数轴上相距的长度与 Q,O 两点在数轴上相距的长度相等时,求出动点 P 在数轴上所对应的数.
(1)动点 Q 从点 C 运动到点 B 需要的时间为
2.5
秒.(2)动点 P 从点 A 运动至点 D 需要的时间为多少秒?
(3)当 P,O 两点在数轴上相距的长度与 Q,O 两点在数轴上相距的长度相等时,求出动点 P 在数轴上所对应的数.
答案
C
解析
根据勾股定理逐一判断：
1. 选项A：未限定三角形为直角三角形，也未说明c是斜边，不满足勾股定理的适用条件，错误；
2. 选项B：直角三角形中是两条直角边的平方和等于斜边的平方，并非“两边和的平方等于第三边的平方”，表述错误；
3. 选项C：在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，斜边为$AB$，两条直角边为$BC$、$AC$，满足$BC^2+AC^2=AB^2$，符合勾股定理，正确；
4. 选项D：在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，斜边为$AC$，正确关系应为$BC^2+AB^2=AC^2$，原式不成立，错误。
综上，正确的是C。
1. 选项A：未限定三角形为直角三角形，也未说明c是斜边，不满足勾股定理的适用条件，错误；
2. 选项B：直角三角形中是两条直角边的平方和等于斜边的平方，并非“两边和的平方等于第三边的平方”，表述错误；
3. 选项C：在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，斜边为$AB$，两条直角边为$BC$、$AC$，满足$BC^2+AC^2=AB^2$，符合勾股定理，正确；
4. 选项D：在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，斜边为$AC$，正确关系应为$BC^2+AB^2=AC^2$，原式不成立，错误。
综上，正确的是C。
