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1. (2026·金华期末)随着互联网的普及和城市交通的多样化,人们出行的时间与方式有了更多的选择.某市出租车、滴滴快车的收费标准见下表.
(温馨提示:以40公里/时的行驶速度计算)
(1)若乘坐这两种交通工具的里程数都是10公里,则出租车费用为
(2)已知甲、乙两地的里程数超过15公里.从甲地到乙地,乘坐出租车比滴滴快车节省6元,求甲、乙两地间的里程数.
(3)滴滴快车对第一次下单的乘客有立减6.2元的优惠活动.如果有位顾客第一次下单,按他乘坐的里程数计算,乘出租车和滴滴快车的收费相同,求这位顾客乘车的里程数(精确到0.1公里).
(温馨提示:以40公里/时的行驶速度计算)
(1)若乘坐这两种交通工具的里程数都是10公里,则出租车费用为
30.5
元;滴滴快车费用为38
元.(2)已知甲、乙两地的里程数超过15公里.从甲地到乙地,乘坐出租车比滴滴快车节省6元,求甲、乙两地间的里程数.
(3)滴滴快车对第一次下单的乘客有立减6.2元的优惠活动.如果有位顾客第一次下单,按他乘坐的里程数计算,乘出租车和滴滴快车的收费相同,求这位顾客乘车的里程数(精确到0.1公里).
答案
解：由P的位置为五列二行，表示为(5,2)，可知有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数。
因此(4,3)表示的位置是四列三行（对应图中的点C）。
因此(4,3)表示的位置是四列三行（对应图中的点C）。
解析
【分析】
本题是生活中出行的分段计费类实际问题，解题思路如下：
(1) 计算10公里的费用时，先对照两种车的收费规则：出租车10公里超过2.5公里需付超公里费，超过5公里还需付超出部分的空驶费，分别计算各段费用相加即可；滴滴快车10公里未超过15公里，无需付远途费，只需计算起步价+里程费+时长费（时长=路程÷速度，速度为40公里/时，换算成分钟再乘时长费标准）。
(2) 里程超过15公里时，先分别用含x的代数式表示出租车和滴滴快车的总费用，再根据“出租车费用=滴滴快车费用-6”的等量关系列一元一次方程求解。
(3) 因为两种车的收费都有多个分段点（2.5公里、5公里、15公里），所以需要按里程范围分四种情况讨论：①0＜a≤2.5；②2.5＜a≤5；③5＜a≤15；④a＞15，分别表示两种车的费用（注意滴滴快车要减6.2元优惠），列方程求解后检验解是否符合对应范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 出租车费用：起步价8元，超过2.5公里的部分是10-2.5=7.5公里，超公里费为$2.5×7.5$；超过5公里的部分是10-5=5公里，空驶费为$2.5×30\%×5$，总费用$=8+2.5×(10-2.5)+2.5×30\%×(10-5)=8+18.75+3.75=30.5$元。
滴滴快车费用：起步价12元，10公里未超15公里，里程费为$2×10$；行驶时间为$\frac{10}{40}$小时，换算为分钟是$\frac{10}{40}×60$，时长费为$\frac{10}{40}×60×0.4$，总费用$=12+2×10+\frac{10}{40}×60×0.4=12+20+6=38$元。
(2) 设甲、乙两地相距$x$公里（$x＞15$）。
出租车费用：$8 + 2.5(x-2.5) + 2.5×30\%(x-5)$，化简得$3.25x - 2$ 元；
滴滴快车费用：$12 + 2×15 + 3(x-15) + \frac{x}{40}×60×0.4$，化简得$3.6x - 3$ 元；
根据题意列方程：$3.25x - 2 = (3.6x - 3) - 6$
移项计算得：$0.35x = 7$，解得$x=20$，符合$x＞15$的条件。
(3) 设这位顾客乘车的里程数为$a$公里，滴滴快车优惠后费用需减6.2元，分情况讨论：
①当$0＜a≤2.5$时：
出租车费用为8元；滴滴快车费用为$12 + 2a + \frac{a}{40}×60×0.4 - 6.2 = 2.6a + 5.8$ 元；
列方程：$8 = 2.6a + 5.8$，解得$a=\frac{11}{13}≈0.8$，符合范围。
②当$2.5＜a≤5$时：
出租车费用为$8 + 2.5(a-2.5) = 2.5a + 1.75$ 元；滴滴快车费用仍为$2.6a + 5.8$ 元；
列方程：$2.5a + 1.75 = 2.6a + 5.8$，解得$a=-40.5$，不符合范围，舍去。
③当$5＜a≤15$时：
出租车费用为$3.25a - 2$ 元；滴滴快车费用仍为$2.6a + 5.8$ 元；
列方程：$3.25a - 2 = 2.6a + 5.8$，解得$a=12.0$，符合范围。
④当$a＞15$时：
出租车费用为$3.25a - 2$ 元；滴滴快车费用为$12 + 2×15 + 3(a-15) + \frac{a}{40}×60×0.4 - 6.2 = 3.6a - 9.2$ 元；
列方程：$3.25a - 2 = 3.6a - 9.2$，解得$a=\frac{144}{7}≈20.6$，符合范围。
【答案】
(1) $\boxed{30.5}$；$\boxed{38}$
(2) $\boxed{20}$公里
(3) $\boxed{0.8}$公里或$\boxed{12.0}$公里或$\boxed{20.6}$公里
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的实际应用；分类讨论思想
【点评】
本题贴合生活出行场景，考查对分段计费规则的理解和一元一次方程的应用能力，解题关键是找准不同里程段的费用组成，第三问需根据收费分段点正确分类，避免漏解或多解，计算时要注意各附加费用的收取条件，减少计算失误。
【难度系数】
0.6
本题是生活中出行的分段计费类实际问题，解题思路如下：
(1) 计算10公里的费用时，先对照两种车的收费规则：出租车10公里超过2.5公里需付超公里费，超过5公里还需付超出部分的空驶费，分别计算各段费用相加即可；滴滴快车10公里未超过15公里，无需付远途费，只需计算起步价+里程费+时长费（时长=路程÷速度，速度为40公里/时，换算成分钟再乘时长费标准）。
(2) 里程超过15公里时，先分别用含x的代数式表示出租车和滴滴快车的总费用，再根据“出租车费用=滴滴快车费用-6”的等量关系列一元一次方程求解。
(3) 因为两种车的收费都有多个分段点（2.5公里、5公里、15公里），所以需要按里程范围分四种情况讨论：①0＜a≤2.5；②2.5＜a≤5；③5＜a≤15；④a＞15，分别表示两种车的费用（注意滴滴快车要减6.2元优惠），列方程求解后检验解是否符合对应范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 出租车费用：起步价8元，超过2.5公里的部分是10-2.5=7.5公里，超公里费为$2.5×7.5$；超过5公里的部分是10-5=5公里，空驶费为$2.5×30\%×5$，总费用$=8+2.5×(10-2.5)+2.5×30\%×(10-5)=8+18.75+3.75=30.5$元。
滴滴快车费用：起步价12元，10公里未超15公里，里程费为$2×10$；行驶时间为$\frac{10}{40}$小时，换算为分钟是$\frac{10}{40}×60$，时长费为$\frac{10}{40}×60×0.4$，总费用$=12+2×10+\frac{10}{40}×60×0.4=12+20+6=38$元。
(2) 设甲、乙两地相距$x$公里（$x＞15$）。
出租车费用：$8 + 2.5(x-2.5) + 2.5×30\%(x-5)$，化简得$3.25x - 2$ 元；
滴滴快车费用：$12 + 2×15 + 3(x-15) + \frac{x}{40}×60×0.4$，化简得$3.6x - 3$ 元；
根据题意列方程：$3.25x - 2 = (3.6x - 3) - 6$
移项计算得：$0.35x = 7$，解得$x=20$，符合$x＞15$的条件。
(3) 设这位顾客乘车的里程数为$a$公里，滴滴快车优惠后费用需减6.2元，分情况讨论：
①当$0＜a≤2.5$时：
出租车费用为8元；滴滴快车费用为$12 + 2a + \frac{a}{40}×60×0.4 - 6.2 = 2.6a + 5.8$ 元；
列方程：$8 = 2.6a + 5.8$，解得$a=\frac{11}{13}≈0.8$，符合范围。
②当$2.5＜a≤5$时：
出租车费用为$8 + 2.5(a-2.5) = 2.5a + 1.75$ 元；滴滴快车费用仍为$2.6a + 5.8$ 元；
列方程：$2.5a + 1.75 = 2.6a + 5.8$，解得$a=-40.5$，不符合范围，舍去。
③当$5＜a≤15$时：
出租车费用为$3.25a - 2$ 元；滴滴快车费用仍为$2.6a + 5.8$ 元；
列方程：$3.25a - 2 = 2.6a + 5.8$，解得$a=12.0$，符合范围。
④当$a＞15$时：
出租车费用为$3.25a - 2$ 元；滴滴快车费用为$12 + 2×15 + 3(a-15) + \frac{a}{40}×60×0.4 - 6.2 = 3.6a - 9.2$ 元；
列方程：$3.25a - 2 = 3.6a - 9.2$，解得$a=\frac{144}{7}≈20.6$，符合范围。
【答案】
(1) $\boxed{30.5}$；$\boxed{38}$
(2) $\boxed{20}$公里
(3) $\boxed{0.8}$公里或$\boxed{12.0}$公里或$\boxed{20.6}$公里
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的实际应用；分类讨论思想
【点评】
本题贴合生活出行场景，考查对分段计费规则的理解和一元一次方程的应用能力，解题关键是找准不同里程段的费用组成，第三问需根据收费分段点正确分类，避免漏解或多解，计算时要注意各附加费用的收取条件，减少计算失误。
【难度系数】
0.6
2. (2026·北京期末)杆秤是我国度量衡“三大件(尺、斗、秤)”的重要组成部分,是中华民族称重的基本工具.杆秤依据杠杆原理制作而成,一般由秤钩(秤盘)、秤杆和秤砣三部分组成.
使用时将重物放在秤盘上,用手提起提纽,在秤杆上移动秤砣的位置,当秤杆水平平衡时,可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量.其中秤盘质量为$m_0$,重物质量为$m$,秤砣质量为$M$,提纽与秤盘的水平距离为$l$,提纽与零刻度线的水平距离为$a$,秤砣与零刻度线的水平距离为$x$,根据杠杆平衡条件可得$(m_0+m) · l = M · (a+x)$.
某实验小组制作了一杆杆秤,设定$m_0 = 10$克,$M=50$克,$l=2.5$厘米,当秤盘不放重物$(m=0)$,秤砣在零刻度线$(x=0)$时,杆秤平衡.
(1)提纽与零刻度线的水平距离$a =$
(2)当秤盘放入质量$m=1000$克的重物,秤砣移至末刻度线时,杆秤平衡.
①求此时末刻度线到零刻度线的距离$x$;
②若从零刻度线开始,在秤杆上每隔100克作对应大刻度线,每两个大刻度线之间每隔10克作对应小刻度线,则相邻大刻度线间的距离是
使用时将重物放在秤盘上,用手提起提纽,在秤杆上移动秤砣的位置,当秤杆水平平衡时,可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量.其中秤盘质量为$m_0$,重物质量为$m$,秤砣质量为$M$,提纽与秤盘的水平距离为$l$,提纽与零刻度线的水平距离为$a$,秤砣与零刻度线的水平距离为$x$,根据杠杆平衡条件可得$(m_0+m) · l = M · (a+x)$.
某实验小组制作了一杆杆秤,设定$m_0 = 10$克,$M=50$克,$l=2.5$厘米,当秤盘不放重物$(m=0)$,秤砣在零刻度线$(x=0)$时,杆秤平衡.
(1)提纽与零刻度线的水平距离$a =$
0.5
厘米.(2)当秤盘放入质量$m=1000$克的重物,秤砣移至末刻度线时,杆秤平衡.
①求此时末刻度线到零刻度线的距离$x$;
②若从零刻度线开始,在秤杆上每隔100克作对应大刻度线,每两个大刻度线之间每隔10克作对应小刻度线,则相邻大刻度线间的距离是
5
厘米;小明将一块磁铁吸在了秤砣上,他重新调整秤砣的位置,杆秤平衡时读数为990克,则这块磁铁的质量为0.5
克.答案
解：由目标A的位置$(3,90°)$和目标B的位置$(3,210°)$可知，该有序数对的第一个数表示目标到雷达中心的距离，第二个数表示目标对应的方位角。
观察图形可得，目标C到雷达中心的距离为5，对应的方位角为$150°$，因此目标C的位置为$\boldsymbol{(5,150°)}$。
观察图形可得，目标C到雷达中心的距离为5，对应的方位角为$150°$，因此目标C的位置为$\boldsymbol{(5,150°)}$。
解析
【分析】
本题直接给出了杆秤平衡的等量公式，所有问题均可通过将对应已知条件代入公式，列一元一次方程求解：(1)将秤盘不放重物、秤砣在零刻度线的已知量代入公式，即可解出a的值；(2)①将1000g重物对应的已知量代入公式，求解x即可；②第一个空：大刻度间隔对应重物质量差100g，代入m=100g求出对应的x值，即为相邻大刻度间距；第二个空：先根据刻度均匀的特点求出990g读数对应的x值，再设磁铁质量为未知量，代入平衡公式解方程即可。
【解析】
(1) 当$m=0$，$x=0$时，将$m_0=10\mathrm{g}$，$M=50\mathrm{g}$，$l=2.5\mathrm{cm}$代入平衡公式$(m_0+m)l=M(a+x)$，得：
$10×2.5=50× a$
$25=50a$
解得$a=0.5$。
(2) ①将$m=1000\mathrm{g}$，$m_0=10\mathrm{g}$，$M=50\mathrm{g}$，$l=2.5\mathrm{cm}$，$a=0.5\mathrm{cm}$代入平衡公式，得：
$(10+1000)×2.5=50×(0.5+x)$
$1010×2.5=25+50x$
$2525=25+50x$
$50x=2500$
解得$x=50$。
② 求相邻大刻度线间距：当重物质量$m=100\mathrm{g}$时，代入公式得：
$(10+100)×2.5=50×(0.5+x_1)$
$275=25+50x_1$
$50x_1=250$
解得$x_1=5$，即相邻大刻度线间距为5厘米。
求磁铁质量：因刻度均匀，1000g对应$x=50\mathrm{cm}$，故读数990g对应的x值为$50×\frac{990}{1000}=49.5\mathrm{cm}$。设磁铁质量为$M'$，此时秤砣总质量为$50+M'$，所测重物仍为1000g，代入平衡公式得：
$(10+1000)×2.5=(50+M')×(0.5+49.5)$
$2525=(50+M')×50$
$2525=2500+50M'$
$50M'=25$
解得$M'=0.5$。
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$
(2) ①末刻度线到零刻度线的距离为$\boxed{50}$厘米；②$\boxed{5}$；$\boxed{0.5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 杠杆平衡条件
3. 代入求值
【点评】
本题结合传统杆秤的生活情境考查方程的实际应用，解题核心是准确理解题干给出的平衡公式，找准对应量代入计算，最后一问需要注意读数对应的是秤砣的位置，重物质量不变，仅秤砣质量发生变化。
【难度系数】
0.7
本题直接给出了杆秤平衡的等量公式，所有问题均可通过将对应已知条件代入公式，列一元一次方程求解：(1)将秤盘不放重物、秤砣在零刻度线的已知量代入公式，即可解出a的值；(2)①将1000g重物对应的已知量代入公式，求解x即可；②第一个空：大刻度间隔对应重物质量差100g，代入m=100g求出对应的x值，即为相邻大刻度间距；第二个空：先根据刻度均匀的特点求出990g读数对应的x值，再设磁铁质量为未知量，代入平衡公式解方程即可。
【解析】
(1) 当$m=0$，$x=0$时，将$m_0=10\mathrm{g}$，$M=50\mathrm{g}$，$l=2.5\mathrm{cm}$代入平衡公式$(m_0+m)l=M(a+x)$，得：
$10×2.5=50× a$
$25=50a$
解得$a=0.5$。
(2) ①将$m=1000\mathrm{g}$，$m_0=10\mathrm{g}$，$M=50\mathrm{g}$，$l=2.5\mathrm{cm}$，$a=0.5\mathrm{cm}$代入平衡公式，得：
$(10+1000)×2.5=50×(0.5+x)$
$1010×2.5=25+50x$
$2525=25+50x$
$50x=2500$
解得$x=50$。
② 求相邻大刻度线间距：当重物质量$m=100\mathrm{g}$时，代入公式得：
$(10+100)×2.5=50×(0.5+x_1)$
$275=25+50x_1$
$50x_1=250$
解得$x_1=5$，即相邻大刻度线间距为5厘米。
求磁铁质量：因刻度均匀，1000g对应$x=50\mathrm{cm}$，故读数990g对应的x值为$50×\frac{990}{1000}=49.5\mathrm{cm}$。设磁铁质量为$M'$，此时秤砣总质量为$50+M'$，所测重物仍为1000g，代入平衡公式得：
$(10+1000)×2.5=(50+M')×(0.5+49.5)$
$2525=(50+M')×50$
$2525=2500+50M'$
$50M'=25$
解得$M'=0.5$。
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$
(2) ①末刻度线到零刻度线的距离为$\boxed{50}$厘米；②$\boxed{5}$；$\boxed{0.5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 杠杆平衡条件
3. 代入求值
【点评】
本题结合传统杆秤的生活情境考查方程的实际应用，解题核心是准确理解题干给出的平衡公式，找准对应量代入计算，最后一问需要注意读数对应的是秤砣的位置，重物质量不变，仅秤砣质量发生变化。
【难度系数】
0.7
