9[2026湖南长沙质检]如图,两条笔直的公路$l_1$,$l_2$相交于点$A$,在公路的旁边建两个加工厂$B$,$D$(加工厂到公路的距离忽略不计),已知$C$村到公路$l_1$的距离为$50\ \mathrm{km}$,$AB=AD=62\ \mathrm{km}$,$CB=CD=58\ \mathrm{km}$,则$C$村到公路$l_2$的距离是$\mathrm{km}$.

(第9题图)
(第10题图)

9. 50 【解析】在$△ABC$ 和 $△ADC$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\CB=CD,\\AC=AC,\end{cases}$
$\therefore △ABC≌ △ADC,\therefore ∠BAC=∠DAC,\therefore AC$ 为 $∠BAD$ 的平分线, $\therefore C$ 村到公路 $l_1$ 的距离与 $C$ 村到 $l_2$ 的距离相等. $\because C$ 村到公路 $l_1$ 的距离为 $50\ \mathrm{km},\therefore C$ 村到公路 $l_2$ 的距离是 $50\ \mathrm{km}.$ 故答案为 50.

10 如图，已知点$P(2m-1,6m-5)$在第一象限角平分线$OC$上，一直角顶点与点$P$重合，角的两边与$x$轴、$y$轴分别交于$A$点，$B$点，则：
(1)点$P$的坐标为；
(2)$OA+BO=$。

思路分析
(1) 作 $PE ⊥ y$ 轴于 $E,PF ⊥ x$ 轴于 $F$. 由角平分线的性质得出 $PE=PF$, 进而得出方程 $2m-1=6m-5$, 解方程求出 $m=1$, 即可得出 $P$ 点坐标;
(2) 由 ASA 证明 $△BEP ≌ △AFP$, 得出 $BE = AF$, 则 $OA+OB=OE+OF=2.$
10. (1) $(1,1)$ (2) 2 【解析】(1) 如图, 作 $PE ⊥ y$ 轴于点 $E,PF ⊥ x$ 轴于点 $F$. 根据题意, 得 $PE=PF,\therefore 2m-1=6m-5,$ 解得 $m=1,\therefore P(1,1).$
(2) 由(1)得 $∠EPF=90°,$ $PE=PF=1.$ $\because ∠BPA=90°,∴ ∠EPB=∠FPA.$ 在 $△BEP$ 和 $△AFP$ 中,
$\begin{cases}∠PEB=∠PFA,\\PE=PF,\\∠EPB=∠FPA,\end{cases}$
$\therefore △BEP≌ △AFP (\mathrm{ASA}),$
$\therefore BE=AF,\therefore OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE,\therefore OA+BO=2.$

11 [2026山东泰安期中]如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = ∠BCD = 90°，连接AC。若AC=6，则四边形ABCD的面积为。

思路分析
延长 $CB$ 到点 $E$, 使 $BE = CD$, 连接 $AE$, 证明 $△ABE≌ △ADC$, 由全等三角形的性质得出$∠EAB=∠DAC$, $AE = AC$, $△ABE$ 与 $△ADC$ 的面积相等, 则可推出四边形 $ABCD$ 的面积为等腰直角三角形 $EAC$ 的面积.
11. 18 【解析】如图, 延长 $CB$ 到点 $E$, 使 $BE = CD$, 连接 $AE$,
$\therefore ∠ABE + ∠ABC = 180°.$
$\because ∠BAD= ∠BCD = 90°,$
$\therefore ∠D+∠ABC=180°,∴ ∠D=∠ABE.$ $\because AB = AD, BE = DC,$
$\therefore △ABE≌ △ADC(\mathrm{SAS}),\therefore ∠EAB=∠DAC,$ $AE = AC$, $△ABE$ 与 $△ADC$ 的面积相等.
$\because ∠CAB+∠EAB=∠BAC+∠DAC=90°,$ 即 $∠EAC=90°,∴ △EAC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积 $= △EAC$ 的面积 $=\frac{1}{2}×6^2=18,$ 故答案为 18.

三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12[2025河北秦皇岛期中]如图,在△ABC中,D是AC上一点(CD＞AD).
(1)连接BD,作△DEF(点E在线段CD上,点F在线段AC的右侧),使得△DEF≌△DAB；
(保留作图痕迹,不写作法)
(2)作图依据是.

12.【解】(1)如图, $△DEF$ 即为所求.
(2)在$△DEF$ 和 $△DAB$ 中,
$\begin{cases}DE=DA,\\∠EDF=∠ADB,\\DF=DB,\end{cases}$
$\therefore △DEF≌ △DAB(\mathrm{SAS}).$ 故答案为 SAS(答案不唯一,与(1)的作图痕迹对应即可).

13 如图，$△ ABC$ 和 $△ DEF$，点 $E$，$F$ 在直线 $BC$ 上，$AB=DF$，$∠ A=∠ D$，$∠ ABC=∠ DFE$. 如图(1)，易证：$BC+BE=BF$. 请解答下列问题：
(1)如图(2)、图(3)，请猜想 $BC$，$BE$，$BF$ 之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明.

13. (1)【解】图(2):$BC+BE=BF$, 图(3):$BE-BC=BF.$
(2)【证明】图(2):$\because ∠A=∠D,AB=DF,∠B=∠F,\therefore △ABC ≌ △DFE (\mathrm{ASA}),$
$\therefore BC=EF.$
$\because BE=BC+CE,\therefore BC+BE=EF+BC+CE=BF.$
图(3): $\because ∠A=∠D,AB=DF,∠ABC=∠DFE,\therefore △ABC ≌ △DFE (\mathrm{ASA}),\therefore BC=EF.$ $\because BE=BF+EF,\therefore BE-BC=BF+EF-BC=BF+BC-BC=BF.$ (任选一种回答即可)

14[2026吉林长春质检]如图，$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$。点$P$从$A$点出发沿$A-C-B$路径向终点$B$运动；点$Q$从$B$点出发沿$B-C-A$路径向终点$A$运动。点$P$和$Q$分别以$2\ \mathrm{cm/s}$和$x\ \mathrm{cm/s}$的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，设点$P$运动时间为$t\ \mathrm{s}$。分别过$P$和$Q$作$PE⊥ l$于$E$，$QF⊥ l$于$F$。
(1)当$x=3$，点$P$在$AC$上，点$Q$在$BC$上时，
①用含$t$的式子表示$CP$和$CQ$的长：$CP=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$CQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
②当$t=2$时，$△ PEC$与$△ QFC$全等吗？说明理由。
(2)当$x=4$时，以点$P$，$E$，$C$为顶点的三角形与以点$Q$，$F$，$C$为顶点的三角形，有没有可能全等？若可能，请求出符合条件的$t$值；若不可能，请说明理由。

备用图

14.【解】(1)①由题意得 $AP=2t\ \mathrm{cm},BQ=3t\ \mathrm{cm},$ 则 $CP=(6-2t)\ \mathrm{cm},CQ=(8-3t)\ \mathrm{cm},$ 故答案为 $(6-2t),(8-3t).$
②当 $t=2$ 时, $△ PEC$ 与 $△ QFC$ 全等. 理由如下:当 $t=2$ 时, $CP=6-2×2=2(\mathrm{cm}),CQ=8-3×2=2(\mathrm{cm}),\therefore CP=CQ.$ $\because ∠ACB=90°,$
$\therefore ∠PCE+∠QCF=90°.$ 又 $\because PE ⊥ l$ 于 $E$, $QF ⊥ l$ 于 $F$, $\therefore ∠PEC=∠CFQ=90°,$
$\therefore ∠PCE+∠CPE=90°,∴ ∠CPE=∠QCF.$
在 $△PEC$ 和 $△CFQ$ 中,
$\begin{cases}∠CPE=∠QCF,\\∠PEC=∠CFQ,\\CP=QC,\end{cases}$
$\therefore △PEC≌ △CFQ(\mathrm{AAS}).$
易错警示
(2) 注意有三种情况, 不要漏了点 $P$ 与点 $Q$ 重合的情况.
(2) 当 $x=4$ 时, $△ PEC$ 与 $△ QFC$ 有可能全等. 分三种情况:①当点 $P$ 在 $AC$ 上,点 $Q$ 在 $BC$ 上时, $△ PEC≌ △ CFQ$, 如图(1), 则 $PC=CQ,\therefore 6-2t=8-4t,$ 解得 $t=1$;
②如图(2), 当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时, $△ PEC≌ △ QFC,\therefore CP=CQ,\therefore 6-2t=4t-8,$ 解得 $t=\frac{7}{3}$;
③当点 $P$ 在 $BC$ 上, 点 $Q$ 与点 $A$ 重合时, $△ PEC≌ △ CFQ$, 如图(3), 则 $PC=CQ,\therefore 2t-6=6,\therefore t=6.$ 综上, 符合条件的 $t$ 值为 1 或 $\frac{7}{3}$ 或 6.