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一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1 [2025安徽安庆质检]下列各选项中,两个图形不全等的是 (
A
B
C
D
1 [2025安徽安庆质检]下列各选项中,两个图形不全等的是 (
C
)A
B
C
D
答案
1. C 【解析】A、B、D 选项,两个图形是全等图形,故不符合题意;C 选项,两个图形不是全等图形,故符合题意. 故选 C.
2[2026陕西西安质检]如图，$BD=BC$，$BE=CA$，$∠ DBE=∠ C=62°$，$∠ BDE=75°$，则$∠ EBC$的度数为（
A.$12°$
B.$13°$
C.$14°$
D.$15°$
（第2题图）
（第3题图）
B
）A.$12°$
B.$13°$
C.$14°$
D.$15°$
（第2题图）
（第3题图）
答案
2. B 【解析】在 $△EDB$ 和 $△ABC$ 中,
$\begin{cases}BD=CB,\\∠DBE=∠C,\\BE=CA,\end{cases}$
$\therefore △EDB ≌ △ABC (\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠CBA=∠BDE=75°.∵ ∠DBE=∠C=62°,\therefore ∠EBC=∠CBA-∠DBE=75°-62°=13°,$ 故选 B.
$\begin{cases}BD=CB,\\∠DBE=∠C,\\BE=CA,\end{cases}$
$\therefore △EDB ≌ △ABC (\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠CBA=∠BDE=75°.∵ ∠DBE=∠C=62°,\therefore ∠EBC=∠CBA-∠DBE=75°-62°=13°,$ 故选 B.
3[2026甘肃张掖期末]如图,把长短确定的两根木棍AB,AC的一端固定在A处,和第三根木棍BM摆出△ABC,再将木棍AC绕A转动,得到△ABD,这说明（
A.有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
D
）A.有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等
C.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
答案
3. D 【解析】由题意可知 $AB=AB,AC=AD$, $∠ABC=∠ABD,△ABC$ 与 $△ABD$ 满足有两边和其中一边的对角分别相等,但是 $△ABC$ 与 $△ABD$ 不全等,所以这说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 故选 D.
4[2025甘肃张掖期末]如图,点P为∠AOB的平分线OC上一点,PM⊥OA于点M,PM=6,点N为OB上任意一点,则满足PN=6的点N有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(第4题图)
(第5题图)
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
(第4题图)
(第5题图)
答案
思路分析
过点 $P$ 作 $PN' ⊥ OB$, 交 $OB$ 于 $N'$, 根据角平分线的性质求出 $PN'$, 再根据垂线段最短解答即可.
4. A 【解析】如图,过点 $P$ 作 $PN' ⊥ OB$, 交 $OB$ 于 $N'$.
$\because OP$ 平分 $∠AOB,PM ⊥ OA,PN' ⊥ OB,\therefore PN' = PM=6.$ 由垂线段最短可知满足 $PN=6$ 的点 $N$ 有 1 个,即点 $N'$. 故选 A.
5[2026山东青岛期中]如图，$△ ABC$中，$∠ BAD = ∠ CAD$，$G$为$AD$的中点，连接$BG$并延长交$AC$于点$E$，作$CF ⊥ AD$，垂足为$H$，交$AB$于点$F$，连接$DF$，有下列结论：①$FH = HC$；②$AF = AC$；③$S_{△ ABG} = S_{△ DBG}$；④$S_{△ ABD} = AD · CH$，其中正确的结论是（
A.①②③④
B.①②
C.①②③
D.①②④
C
）A.①②③④
B.①②
C.①②③
D.①②④
答案
5. C 【解析】$\because CF ⊥ AD,\therefore ∠AHF=∠AHC=90°.$ 在 $△AHF$ 和 $△AHC$ 中,
$\begin{cases}∠BAD=∠CAD,\\AH=AH,\\∠AHF=∠AHC,\end{cases}$
$\therefore △AHF ≌ △AHC (\mathrm{ASA}),\therefore FH=HC,AF=AC,\therefore$ 结论 ①②正确. $\because G$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore BG$ 是 $△ABD$ 的中线,$\therefore S_{△ABG}=S_{△DBG},\therefore$ 结论 ③ 正确. 在 $△ADF$ 和 $△ADC$ 中,
$\begin{cases}AF=AC,\\∠FAD=∠CAD,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ADF ≌ △ADC (\mathrm{SAS}),$
$\therefore S_{△ADF}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}AD· CH,\therefore 2S_{△ADF}=AD· CH.$ $\because$ 根据已知条件无法得出 $F$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore$ 无法得出 ④$S_{△ABD}=AD· CH.$ 综上所述,正确的结论为①②③. 故选 C.
$\begin{cases}∠BAD=∠CAD,\\AH=AH,\\∠AHF=∠AHC,\end{cases}$
$\therefore △AHF ≌ △AHC (\mathrm{ASA}),\therefore FH=HC,AF=AC,\therefore$ 结论 ①②正确. $\because G$ 是 $AD$ 的中点,$\therefore BG$ 是 $△ABD$ 的中线,$\therefore S_{△ABG}=S_{△DBG},\therefore$ 结论 ③ 正确. 在 $△ADF$ 和 $△ADC$ 中,
$\begin{cases}AF=AC,\\∠FAD=∠CAD,\\AD=AD,\end{cases}$
$\therefore △ADF ≌ △ADC (\mathrm{SAS}),$
$\therefore S_{△ADF}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}AD· CH,\therefore 2S_{△ADF}=AD· CH.$ $\because$ 根据已知条件无法得出 $F$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore$ 无法得出 ④$S_{△ABD}=AD· CH.$ 综上所述,正确的结论为①②③. 故选 C.
6[2025广西玉林期中]如图所示,在$△ ABC$中,$∠ ABC=70°$,$BD$平分$∠ ABC$,$P$为线段$BD$上一动点,$Q$为边$AB$上一动点,当$AP+PQ$的值最小时,$∠ APD$的度数是 (
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
A
)A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
思路分析
在 $BC$ 上截取 $BE=BQ$, 连接 $PE$, 证明 $△PBQ≌ △PBE$, 得出 $PE=PQ$, 则 $AP+PQ=AP+PE$, 则当 $A,P,E$ 在同一直线上,且 $AE ⊥ BC$ 时, $AP+PE$ 的值最小, 即 $AP+PQ$ 的值最小, 再根据三角形内角和定理和三角形外角的性质, 求出结果即可.
6. A 【解析】在 $BC$ 上截取 $BE=BQ$, 连接 $PE$, 如图. $\because BD$ 平分 $∠ABC,\therefore ∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=35°.$ 又 $\because BP=BP,BQ=BE$,
$\therefore △PBQ≌ △PBE (\mathrm{SAS}),$
$\therefore PE=PQ,\therefore AP+PQ=AP+PE,\therefore$ 当 $A,P,E$ 在同一直线上, 且 $AE ⊥ BC$ 时, $AP+PE$ 的值最小, 即 $AP+PQ$ 的值最小.
$\because ∠AEB=90°,∠ABE=70°,∴ ∠BAE=90°-∠ABE=20°,∴ ∠APD=∠BAP+∠ABP=20°+35°=55°,$ 故选 A.
7[2025江苏宿迁质检]如图,在长方形ABCD中,E是边BC的中点,F在边AB上,若$S_{△ DEF}=5S_{△ BEF}=10$,则$\frac{AB}{BF}$的值为 (
A.4
B.2
C.1.5
D.$\frac{5}{3}$
A
)A.4
B.2
C.1.5
D.$\frac{5}{3}$
答案
7. A 【解析】如图,延长 $DE,AB$ 交于点 $G$. $\because$ 在长方形 $ABCD$ 中, $AB // CD$, $AB = CD$,
$\therefore ∠GBE=∠C.$ 在 $△BEG$ 和 $△CED$ 中,
$\begin{cases}∠GBE=∠C,\\BE=CE,\\∠BEG=∠CED,\end{cases}$
$\therefore △BEG≌ △CED (\mathrm{ASA}),\therefore DE=GE,BG=CD=AB,\therefore S_{△EGF}=S_{△DEF}=10.∵ 5S_{△BEF}=10,$
$\therefore S_{△BEF}=2,\therefore S_{△BEG}=S_{△FEG}-S_{△BEF}=8,\therefore \frac{BG}{BF}=\frac{S_{△BEG}}{S_{△BEF}}=4,\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{BG}{BF}=4,$ 故选 A.
8[2025浙江台州期中]如图,已知$AB=10,AC=6,BD=8$,其中$∠ CAB=∠ DBA=α$,点P以每秒2个单位长度的速度沿着$C→A→B$路径运动,同时,点Q以每秒$x$个单位长度的速度沿着$D→B→A$路径运动,一个点到达终点后另一个点立即停止运动,它们的运动时间为$t$秒.
①若$x=1$,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍;
②若$P,Q$两点同时到达$A$点,则$x=5$;
③若$α=90°,t=5,x=1$,则$PC$与$PQ$垂直;
④若$△ ACP$与$△ BPQ$全等,则$x=\frac{4}{5}$或$\frac{4}{11}$.
以上说法正确的个数为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
①若$x=1$,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍;
②若$P,Q$两点同时到达$A$点,则$x=5$;
③若$α=90°,t=5,x=1$,则$PC$与$PQ$垂直;
④若$△ ACP$与$△ BPQ$全等,则$x=\frac{4}{5}$或$\frac{4}{11}$.
以上说法正确的个数为 (
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. B 【解析】若 $x=1$, 运动时间为 $t$ 秒, 则点 $P$ 运动路程为 $2t$, 点 $Q$ 运动路程为 $t$, 故点 $P$ 运动路程始终是点 $Q$ 运动路程的 2 倍, 故①正确, 符合题意. 点 $P$ 到达点 $A$ 的运动时间为 $6÷2=3$(秒), 当 $x=5$ 时, 点 $Q$ 到达点 $A$ 的运动时间为 $(8+10)÷5=3.6$(秒), $3.6≠3$, 故②不正确, 不符合题意. 如图所示, 当 $t=5,x=1$ 时, 点 $P$ 运动的路程为 $2×5=10$, 点 $Q$ 运动的路程为 $5×1=5$.
$\because AC=6,DQ=5,BD=8,$
$\therefore AP=10-6=4,BQ=BD-DQ=8-5=3.$
$\because AB=10,\therefore PB=AB-AP=10-4=6,\therefore PB=CA.$ 又 $\because ∠CAP=∠PBQ=90°,AP≠ BQ$,
$\therefore △CAP$ 和 $△BPQ$ 不全等, $\therefore ∠C≠ ∠QPB.$
$\because ∠C+∠CPA=90°,∴ ∠QPB+∠CPA≠90°,$
$\therefore ∠CPQ=180°-(∠QPB+∠CPA)≠90°,$
$\therefore PC$ 与 $PQ$ 不垂直, 故③不正确, 不符合题意. 当点 $P$ 在 $AB$ 上, 且点 $Q$ 在 $BD$ 上时, $AP=2t-6,QD=xt$, 则 $PB=10-(2t-6)=16-2t,BQ=8-xt.$ 若 $△ACP$ 与 $△BPQ$ 全等, 则 $AC=PB$ 且 $AP=BQ$ 或 $AC=BQ$ 且 $AP=BP$, 即 $6=16-2t$ 且 $2t-6=8-xt$ 或 $6=8-xt$ 且 $2t-6=16-2t$, 解得 $x=\frac{4}{5}$ 或 $\frac{4}{11}$, 故④正确, 符合题意, 故选 B.
