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11 新考向 探究题 如图，M，N是线段AB上的两点，$AM=MN=2$，$BN=1$，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧在AB上方交于点C，连接AC，BC，则$△ ABC$是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
11.B
解析
【分析】
解题时首先明确画弧的规则：以某点为圆心画弧时，弧上的点到圆心的距离等于半径，据此先求出AC、BC的长度，再计算AB的总长度，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
首先计算△ABC三边的长度：
1. 求AC的长度：已知$AM=MN=2$，可得$AN=AM+MN=2+2=4$，因为以A为圆心、AN为半径画弧得到点C，所以$AC=AN=4$。
2. 求BC的长度：已知$MN=2$，$BN=1$，可得$BM=MN+BN=2+1=3$，因为以B为圆心、BM为半径画弧得到点C，所以$BC=BM=3$。
3. 求AB的长度：$AB=AM+MN+BN=2+2+1=5$。
再验证三边的平方关系：
$AC^2+BC^2=4^2+3^2=16+9=25$，$AB^2=5^2=25$，因此$AC^2+BC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，圆的半径性质，线段和差计算
【点评】
本题结合尺规作图的特点考查直角三角形的判定，解题核心是先准确求出三角形三边的长度，再利用勾股定理逆定理判断，属于基础类应用题，重点考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确画弧的规则：以某点为圆心画弧时，弧上的点到圆心的距离等于半径，据此先求出AC、BC的长度，再计算AB的总长度，最后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
【解析】
首先计算△ABC三边的长度：
1. 求AC的长度：已知$AM=MN=2$，可得$AN=AM+MN=2+2=4$，因为以A为圆心、AN为半径画弧得到点C，所以$AC=AN=4$。
2. 求BC的长度：已知$MN=2$，$BN=1$，可得$BM=MN+BN=2+1=3$，因为以B为圆心、BM为半径画弧得到点C，所以$BC=BM=3$。
3. 求AB的长度：$AB=AM+MN+BN=2+2+1=5$。
再验证三边的平方关系：
$AC^2+BC^2=4^2+3^2=16+9=25$，$AB^2=5^2=25$，因此$AC^2+BC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，圆的半径性质，线段和差计算
【点评】
本题结合尺规作图的特点考查直角三角形的判定，解题核心是先准确求出三角形三边的长度，再利用勾股定理逆定理判断，属于基础类应用题，重点考查对基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.8
12 小惠用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇拉住第6个结，要使拉紧绳子后得到一个以第1个结为直角顶点的直角三角形，小婷应该拉住的结是（
A.第16个
B.第17个
C.第18个
D.第19个
D
）A.第16个
B.第17个
C.第18个
D.第19个
答案
12.D
解析
【分析】
首先设每段等长绳子的长度为1，31个结将绳子分为30等份，总长度为30。握住第1和第31个结后，绳子形成周长为30的封闭圈，三个拉结点将圈分成的三段就是直角三角形的三条边。已知直角顶点是第1个结，因此从第1个结出发的两条边为直角边：一条是第1到第6个结的长度5，另一条是第1个结到小婷拉的结的长度（设小婷拉第n个结，该边长为31-n），剩余第6到第n个结的长度为斜边。结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设每段绳子长度为1，小婷拉住的是第n个结。
由题意得直角三角形三边长分别为：
1. 第1个结到第6个结的长度：$6-1=5$
2. 第n个结到第1个结（即第31个结）的长度：$31-n$
3. 第6个结到第n个结的长度：$n-6$（$n＞6$）
因为直角顶点为第1个结，所以边长为5和$31-n$的边为直角边，边长为$n-6$的边为斜边，根据勾股定理列方程：
$5^2 + (31-n)^2 = (n-6)^2$
展开得：
$25 + 961 -62n +n^2 = n^2 -12n +36$
消去$n^2$，移项合并同类项得：
$50n=950$
解得$n=19$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；三角形周长计算
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题关键是结合绳子首尾连接的特点，正确表示出三角形三条边的长度，避免误算从拉结点到首尾重合处的边长。
【难度系数】
0.6
首先设每段等长绳子的长度为1，31个结将绳子分为30等份，总长度为30。握住第1和第31个结后，绳子形成周长为30的封闭圈，三个拉结点将圈分成的三段就是直角三角形的三条边。已知直角顶点是第1个结，因此从第1个结出发的两条边为直角边：一条是第1到第6个结的长度5，另一条是第1个结到小婷拉的结的长度（设小婷拉第n个结，该边长为31-n），剩余第6到第n个结的长度为斜边。结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设每段绳子长度为1，小婷拉住的是第n个结。
由题意得直角三角形三边长分别为：
1. 第1个结到第6个结的长度：$6-1=5$
2. 第n个结到第1个结（即第31个结）的长度：$31-n$
3. 第6个结到第n个结的长度：$n-6$（$n＞6$）
因为直角顶点为第1个结，所以边长为5和$31-n$的边为直角边，边长为$n-6$的边为斜边，根据勾股定理列方程：
$5^2 + (31-n)^2 = (n-6)^2$
展开得：
$25 + 961 -62n +n^2 = n^2 -12n +36$
消去$n^2$，移项合并同类项得：
$50n=950$
解得$n=19$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用；三角形周长计算
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题关键是结合绳子首尾连接的特点，正确表示出三角形三条边的长度，避免误算从拉结点到首尾重合处的边长。
【难度系数】
0.6
13 在$△ ABC$中，$BC=a$，$AB=c$，$AC=b$，有下列条件：① $∠ A=∠ B-∠ C$；② $b^2=(a+c)(a-c)$；③ $a:b:c=1:2:3$；④ $∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$；⑤ $∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$。其中，能判定$△ ABC$是直角三角形的为
①②④⑤
（填序号）。答案
13. ①②④⑤
【解析】因为$∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°$,所以$∠B=∠A+∠C=90°$.故①能判定$△ ABC$ 是直角三角形. 由$b^2=(a+c)(a-c)$,得$b^2=a^2-c^2$,即$b^2+c^2=a^2$.故②能判定$△ ABC$ 是直角三角形. 由$a:b:c=1:2:3$,可设$a=x,b=2x,c=3x$,则有$a+b=3x=c$.故③不能构成三角形,不符合题意. 由$∠A:∠B:∠C=3:4:7$,可设$∠A=3k$,$∠B=4k,∠C=7k$,所以$3k+4k+7k=180°$,可得$7k=90°$.故④能判定$△ ABC$ 是直角三角形. 因为$∠A+∠B+∠C=180°$,$∠A=∠B=\dfrac{1}{2}∠C$,所以$\dfrac{1}{2}∠C+\dfrac{1}{2}∠C+∠C=180°$,解得$∠C=90°$.故⑤能判定$△ ABC$ 是直角三角形.
【解析】因为$∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°$,所以$∠B=∠A+∠C=90°$.故①能判定$△ ABC$ 是直角三角形. 由$b^2=(a+c)(a-c)$,得$b^2=a^2-c^2$,即$b^2+c^2=a^2$.故②能判定$△ ABC$ 是直角三角形. 由$a:b:c=1:2:3$,可设$a=x,b=2x,c=3x$,则有$a+b=3x=c$.故③不能构成三角形,不符合题意. 由$∠A:∠B:∠C=3:4:7$,可设$∠A=3k$,$∠B=4k,∠C=7k$,所以$3k+4k+7k=180°$,可得$7k=90°$.故④能判定$△ ABC$ 是直角三角形. 因为$∠A+∠B+∠C=180°$,$∠A=∠B=\dfrac{1}{2}∠C$,所以$\dfrac{1}{2}∠C+\dfrac{1}{2}∠C+∠C=180°$,解得$∠C=90°$.故⑤能判定$△ ABC$ 是直角三角形.
解析
【分析】
判定直角三角形有两类常用思路：一是利用三角形内角和为180°，验证三个内角中是否存在90°的角；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方，同时需先确认给出的三边条件能构成三角形（满足两边之和大于第三边）。我们只需按照上述思路逐个分析给出的5个条件即可。
【解析】
①已知∠A=∠B-∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠A替换为∠B-∠C代入得：$(∠B-∠C)+∠B+∠C=180°$，化简得$2∠B=180°$，即$∠B=90°$，可判定是直角三角形；
②对条件$b^2=(a+c)(a-c)$化简得$b^2=a^2-c^2$，移项得$b^2+c^2=a^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定是直角三角形；
③设$a=x$，$b=2x$，$c=3x$，可得$a+b=x+2x=3x=c$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，不能构成三角形，不符合题意；
④设$∠A=3k$，$∠B=4k$，$∠C=7k$，结合内角和得$3k+4k+7k=180°$，解得$14k=180°$，则$7k=90°$即$∠C=90°$，可判定是直角三角形；
⑤已知$∠A=∠B=\frac{1}{2}∠C$，代入内角和得：$\frac{1}{2}∠C+\frac{1}{2}∠C+∠C=180°$，化简得$2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，可判定是直角三角形。
综上，能判定△ABC是直角三角形的为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形的判定方法，解题时要注意先验证三边是否能构成三角形，再判断是否为直角三角形，其中条件③是易错点，容易忽略三角形三边关系直接按比例计算导致判断错误。
【难度系数】
0.7
判定直角三角形有两类常用思路：一是利用三角形内角和为180°，验证三个内角中是否存在90°的角；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方，同时需先确认给出的三边条件能构成三角形（满足两边之和大于第三边）。我们只需按照上述思路逐个分析给出的5个条件即可。
【解析】
①已知∠A=∠B-∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠A替换为∠B-∠C代入得：$(∠B-∠C)+∠B+∠C=180°$，化简得$2∠B=180°$，即$∠B=90°$，可判定是直角三角形；
②对条件$b^2=(a+c)(a-c)$化简得$b^2=a^2-c^2$，移项得$b^2+c^2=a^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定是直角三角形；
③设$a=x$，$b=2x$，$c=3x$，可得$a+b=x+2x=3x=c$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，不能构成三角形，不符合题意；
④设$∠A=3k$，$∠B=4k$，$∠C=7k$，结合内角和得$3k+4k+7k=180°$，解得$14k=180°$，则$7k=90°$即$∠C=90°$，可判定是直角三角形；
⑤已知$∠A=∠B=\frac{1}{2}∠C$，代入内角和得：$\frac{1}{2}∠C+\frac{1}{2}∠C+∠C=180°$，化简得$2∠C=180°$，解得$∠C=90°$，可判定是直角三角形。
综上，能判定△ABC是直角三角形的为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形的判定方法，解题时要注意先验证三边是否能构成三角形，再判断是否为直角三角形，其中条件③是易错点，容易忽略三角形三边关系直接按比例计算导致判断错误。
【难度系数】
0.7
14 如图，A，B，C分别是正方体展开图中小正方形的顶点，小正方形的边长均为1，则∠BAC的大小为
$45°$
.答案
14. $45°$
【解析】连接 BC. 由勾股定理,可知$AB^2=BC^2=10$,$AC^2=20$,所以$AB^2+BC^2=AC^2$. 所以$△ ABC$ 是等腰直角三角形. 所以$∠BAC=45°$.
【解析】连接 BC. 由勾股定理,可知$AB^2=BC^2=10$,$AC^2=20$,所以$AB^2+BC^2=AC^2$. 所以$△ ABC$ 是等腰直角三角形. 所以$∠BAC=45°$.
解析
【分析】
要求∠BAC的度数，可先连接BC构造△ABC，结合网格中小正方形边长为1的条件，利用勾股定理分别计算AB、BC、AC三边长度的平方，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，即可推导得出∠BAC的度数。
【解析】
连接BC，设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2=1^2+3^2=1+9=10$，
$BC^2=3^2+1^2=9+1=10$，
$AC^2=2^2+4^2=4+16=20$，
因此$AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$，且$AB=BC$，
可得$△ ABC$是等腰直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
所以$∠ BAC=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格类求角度的典型题型，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是通过作辅助线构造三角形，结合网格特征计算边长，判断三角形形状后即可求出对应角度。
【难度系数】
0.7
要求∠BAC的度数，可先连接BC构造△ABC，结合网格中小正方形边长为1的条件，利用勾股定理分别计算AB、BC、AC三边长度的平方，再通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，即可推导得出∠BAC的度数。
【解析】
连接BC，设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2=1^2+3^2=1+9=10$，
$BC^2=3^2+1^2=9+1=10$，
$AC^2=2^2+4^2=4+16=20$，
因此$AB^2+BC^2=10+10=20=AC^2$，且$AB=BC$，
可得$△ ABC$是等腰直角三角形，且$∠ ABC=90°$，
所以$∠ BAC=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格类求角度的典型题型，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是通过作辅助线构造三角形，结合网格特征计算边长，判断三角形形状后即可求出对应角度。
【难度系数】
0.7
15 如图所示为婴儿车的简化结构示意图，AB与BD之间由一个固定为$90°$的零件连接(即$∠ ABD=90°$).根据安全标准需满足$BC⊥ CD$,现测得$AB=8\ \mathrm{dm},BC=9\ \mathrm{dm},CD=12\ \mathrm{dm},AD=17\ \mathrm{dm}$,通过计算说明该车是否符合安全标准.
(第15题)
(第15题)答案
15. 因为$∠ABD=90°,AB=8\ \mathrm{dm},AD=17\ \mathrm{dm}$,所以$AB^2 + BD^2 = AD^2$,即$8^2 + BD^2 = 17^2$. 所以$BD^2 = 225\ \mathrm{dm^2}$. 因为$BC^2 + CD^2 = 9^2 + 12^2 = 225(\mathrm{dm^2})$,所以$BC^2 + CD^2 = BD^2$. 所以$△ BCD$ 是直角三角形,且$∠BCD=90°$. 所以$BC⊥CD$. 所以该车符合安全标准
解析
【分析】
要判断该车是否符合安全标准，核心是验证$BC⊥CD$，也就是判断$△ BCD$中$∠ BCD$是否为$90°$。首先我们可以利用已知的直角$∠ ABD$和$AB$、$AD$的边长，通过勾股定理算出$BD^2$的数值，再计算$BC^2+CD^2$的和，对比二者是否相等：若相等则可根据勾股定理的逆定理判定$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD$为直角，符合安全标准；若不相等则不符合。
【解析】
解：已知$∠ ABD=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=8\ \mathrm{dm}$，$AD=17\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理$AB^2 + BD^2 = AD^2$，代入数值得：
$8^2 + BD^2 = 17^2$
计算得$BD^2=17^2-8^2=289-64=225\ \mathrm{dm^2}$。
再计算$△ BCD$中两条边的平方和：
$BC^2 + CD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\ \mathrm{dm^2}$，
因此$BC^2 + CD^2 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥CD$。
【答案】
该车符合安全标准
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的实际应用题目，解题关键是先通过直角三角形的勾股定理求出公共边$BD$的平方，再利用勾股定理的逆定理判断目标三角形是否为直角三角形，题目结合生活场景，考查知识点基础。
【难度系数】
0.8
要判断该车是否符合安全标准，核心是验证$BC⊥CD$，也就是判断$△ BCD$中$∠ BCD$是否为$90°$。首先我们可以利用已知的直角$∠ ABD$和$AB$、$AD$的边长，通过勾股定理算出$BD^2$的数值，再计算$BC^2+CD^2$的和，对比二者是否相等：若相等则可根据勾股定理的逆定理判定$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD$为直角，符合安全标准；若不相等则不符合。
【解析】
解：已知$∠ ABD=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=8\ \mathrm{dm}$，$AD=17\ \mathrm{dm}$，
根据勾股定理$AB^2 + BD^2 = AD^2$，代入数值得：
$8^2 + BD^2 = 17^2$
计算得$BD^2=17^2-8^2=289-64=225\ \mathrm{dm^2}$。
再计算$△ BCD$中两条边的平方和：
$BC^2 + CD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\ \mathrm{dm^2}$，
因此$BC^2 + CD^2 = BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得：$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥CD$。
【答案】
该车符合安全标准
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的实际应用题目，解题关键是先通过直角三角形的勾股定理求出公共边$BD$的平方，再利用勾股定理的逆定理判断目标三角形是否为直角三角形，题目结合生活场景，考查知识点基础。
【难度系数】
0.8
16 满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的三个正整数，称为勾股数.
(1) 请把下列三组勾股数补充完整：
①
③ 8,15,
(2) 小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数中,都有一个数是偶数.如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成 $m^2 + n^2$, $m^2 - n^2$,如 $4=2×2×1,5=2^2 +1^2,3=2^2 -1^2$.试说明:$2mn, m^2 + n^2, m^2 - n^2(m＞n$,且m,n为正整数)这三个数是一组勾股数.
(3) 如果21,72,75是一组满足上述小敏发现的规律的勾股数,求 $m + n$ 的值.
(1) 请把下列三组勾股数补充完整：
①
3
,4,5;② 5, 12
,13;③ 8,15,
17
.(2) 小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数中,都有一个数是偶数.如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成 $m^2 + n^2$, $m^2 - n^2$,如 $4=2×2×1,5=2^2 +1^2,3=2^2 -1^2$.试说明:$2mn, m^2 + n^2, m^2 - n^2(m＞n$,且m,n为正整数)这三个数是一组勾股数.
(3) 如果21,72,75是一组满足上述小敏发现的规律的勾股数,求 $m + n$ 的值.
答案
16. (1) ① 3 ② 12 ③ 17
(2) 因为$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,$(m^2+n^2)^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,所以$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$. 所以$2mn,m^2+n^2,m^2-n^2$ 这三个数是一组勾股数
(3) 约去公因数,得7,24,25. 因为偶数$24=2×3×4,25=4^2+3^2,7=4^2-3^2$,所以$m=4,n=3$. 所以$m+n=7$
(2) 因为$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,$(m^2+n^2)^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,所以$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$. 所以$2mn,m^2+n^2,m^2-n^2$ 这三个数是一组勾股数
(3) 约去公因数,得7,24,25. 因为偶数$24=2×3×4,25=4^2+3^2,7=4^2-3^2$,所以$m=4,n=3$. 所以$m+n=7$
解析
【分析】
(1) 勾股数满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，将已知的两个数代入公式，舍去负根后取正整数解，即可补全空缺；
(2) 要证明三个数是勾股数，只需验证两个较小数的平方和等于最大数的平方，利用完全平方公式分别展开等式左右两边的代数式，验证结果相等即可，且$m＞n$为正整数，因此三个数均为正整数，符合勾股数定义；
(3) 先将21、72、75约去公因数得到最简勾股数，再对应规律中$2mn$、$m^2+n^2$、$m^2-n^2$的形式，确定$m$、$n$的取值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
(1) ① 设空缺数为$x$，由勾股定理得$x^2+4^2=5^2$，解得$x^2=9$，$x$为正整数，故$x=3$；
② 设空缺数为$y$，由勾股定理得$5^2+y^2=13^2$，解得$y^2=144$，$y$为正整数，故$y=12$；
③ 设空缺数为$z$，由勾股定理得$8^2+15^2=z^2$，解得$z^2=289$，$z$为正整数，故$z=17$。
(2) 计算可得：
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$
$(m^2+n^2)^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$
因此$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$，且$m＞n$为正整数，$2mn$、$m^2+n^2$、$m^2-n^2$均为正整数，故这三个数是一组勾股数。
(3) 先对21、72、75约去公因数3，得到最简勾股数7、24、25。其中偶数$24=2×3×4$，对应$2mn$；$25=4^2+3^2$对应$m^2+n^2$；$7=4^2-3^2$对应$m^2-n^2$，结合$m＞n$为正整数，得$m=4$，$n=3$，因此$m+n=4+3=7$。
【答案】
(1) ①3；②12；③17
(2) 因为$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,$(m^2+n^2)^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,所以$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$. 所以$2mn,m^2+n^2,m^2-n^2$ 这三个数是一组勾股数
(3) 约去公因数,得7,24,25. 因为偶数$24=2×3×4,25=4^2+3^2,7=4^2-3^2$,所以$m=4,n=3$. 所以$m+n=7$
【知识点】
勾股数的定义，完全平方公式，勾股定理的应用
【点评】
本题围绕勾股数设计分层问题，从基础计算到规律证明再到拓展应用，既考查了勾股定理的基础运用，也锻炼了代数式运算能力和逻辑推理能力，能帮助学生深化对勾股数特征的理解。
【难度系数】
0.7
(1) 勾股数满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$，将已知的两个数代入公式，舍去负根后取正整数解，即可补全空缺；
(2) 要证明三个数是勾股数，只需验证两个较小数的平方和等于最大数的平方，利用完全平方公式分别展开等式左右两边的代数式，验证结果相等即可，且$m＞n$为正整数，因此三个数均为正整数，符合勾股数定义；
(3) 先将21、72、75约去公因数得到最简勾股数，再对应规律中$2mn$、$m^2+n^2$、$m^2-n^2$的形式，确定$m$、$n$的取值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
(1) ① 设空缺数为$x$，由勾股定理得$x^2+4^2=5^2$，解得$x^2=9$，$x$为正整数，故$x=3$；
② 设空缺数为$y$，由勾股定理得$5^2+y^2=13^2$，解得$y^2=144$，$y$为正整数，故$y=12$；
③ 设空缺数为$z$，由勾股定理得$8^2+15^2=z^2$，解得$z^2=289$，$z$为正整数，故$z=17$。
(2) 计算可得：
$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$
$(m^2+n^2)^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$
因此$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$，且$m＞n$为正整数，$2mn$、$m^2+n^2$、$m^2-n^2$均为正整数，故这三个数是一组勾股数。
(3) 先对21、72、75约去公因数3，得到最简勾股数7、24、25。其中偶数$24=2×3×4$，对应$2mn$；$25=4^2+3^2$对应$m^2+n^2$；$7=4^2-3^2$对应$m^2-n^2$，结合$m＞n$为正整数，得$m=4$，$n=3$，因此$m+n=4+3=7$。
【答案】
(1) ①3；②12；③17
(2) 因为$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4+n^4-2m^2n^2+4m^2n^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,$(m^2+n^2)^2 = m^4+n^4+2m^2n^2$,所以$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$. 所以$2mn,m^2+n^2,m^2-n^2$ 这三个数是一组勾股数
(3) 约去公因数,得7,24,25. 因为偶数$24=2×3×4,25=4^2+3^2,7=4^2-3^2$,所以$m=4,n=3$. 所以$m+n=7$
【知识点】
勾股数的定义，完全平方公式，勾股定理的应用
【点评】
本题围绕勾股数设计分层问题，从基础计算到规律证明再到拓展应用，既考查了勾股定理的基础运用，也锻炼了代数式运算能力和逻辑推理能力，能帮助学生深化对勾股数特征的理解。
【难度系数】
0.7
