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1 如图,从电线杆离地面8 m(BC=8 m)处向地面拉一条长为10 m(AC=10 m)的钢缆,则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（
A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
B
）A.5 m
B.6 m
C.7 m
D.8 m
答案
1. B
解析
【分析】首先结合题意可知电线杆与地面垂直，因此△ABC是直角三角形，∠B为直角。题目给出了一条直角边BC的长度和斜边AC的长度，求另一条直角边AB的长度，直接使用勾股定理就能求解，解题时要注意斜边是最长的边AC，不要混淆直角边和斜边。
【解析】解：由题意得$CB⊥ AB$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AB^2+BC^2=AC^2$
已知$BC=8\ \mathrm{m}$，$AC=10\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6(\mathrm{m})$
即地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为6m。
【答案】B
【知识点】勾股定理、直角三角形应用
【点评】本题是勾股定理在实际生活中的基础应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形几何模型，准确识别直角、区分斜边和直角边后代入公式计算即可，考查基础公式应用能力。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题意得$CB⊥ AB$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
在$Rt△ ABC$中，根据勾股定理可得：
$AB^2+BC^2=AC^2$
已知$BC=8\ \mathrm{m}$，$AC=10\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6(\mathrm{m})$
即地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为6m。
【答案】B
【知识点】勾股定理、直角三角形应用
【点评】本题是勾股定理在实际生活中的基础应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形几何模型，准确识别直角、区分斜边和直角边后代入公式计算即可，考查基础公式应用能力。
【难度系数】0.8
2 教材P14习题T1变式 如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5 m、高3 m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3 m，则共需购买红地毯（
A.$21\ \mathrm{m}^2$
B.$45\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
A
）A.$21\ \mathrm{m}^2$
B.$45\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
答案
2. A
解析
【分析】
要计算所需红地毯的面积，首先需要求出红地毯的总长度，再结合台阶的宽度计算面积。我们可以利用平移的思想：把台阶的所有竖直台阶面向左平移，所有水平台阶面向下平移，可知竖直台阶的总长度等于台阶的总高度3m，水平台阶的总长度等于台阶的水平总长度。首先通过勾股定理求出台阶的水平总长度，再计算地毯总长度，最后乘台阶宽度即可得到面积。
【解析】
首先根据勾股定理，计算台阶的水平长度：
台阶的斜边为5m，高度为3m，因此水平长度$\mathrm{=}\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{m})$
由平移的性质，铺设地毯的总长度$\mathrm{=}$台阶竖直总高度$\mathrm{+}$台阶水平总长度$\mathrm{=3+4=7(m)}$
已知台阶的宽为3m，因此红地毯的面积$\mathrm{=}$总长度$\mathrm{×}$台阶宽度$\mathrm{=7×3=21(m^2)}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是勾股定理结合平移思想解决实际问题的典型题目，核心是通过平移将分散的台阶长度拼接转化为总高度和总水平长度之和，简化计算，解题时要注意不要误将斜坡长度当作地毯长度计算。
【难度系数】
0.7
要计算所需红地毯的面积，首先需要求出红地毯的总长度，再结合台阶的宽度计算面积。我们可以利用平移的思想：把台阶的所有竖直台阶面向左平移，所有水平台阶面向下平移，可知竖直台阶的总长度等于台阶的总高度3m，水平台阶的总长度等于台阶的水平总长度。首先通过勾股定理求出台阶的水平总长度，再计算地毯总长度，最后乘台阶宽度即可得到面积。
【解析】
首先根据勾股定理，计算台阶的水平长度：
台阶的斜边为5m，高度为3m，因此水平长度$\mathrm{=}\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{m})$
由平移的性质，铺设地毯的总长度$\mathrm{=}$台阶竖直总高度$\mathrm{+}$台阶水平总长度$\mathrm{=3+4=7(m)}$
已知台阶的宽为3m，因此红地毯的面积$\mathrm{=}$总长度$\mathrm{×}$台阶宽度$\mathrm{=7×3=21(m^2)}$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是勾股定理结合平移思想解决实际问题的典型题目，核心是通过平移将分散的台阶长度拼接转化为总高度和总水平长度之和，简化计算，解题时要注意不要误将斜坡长度当作地毯长度计算。
【难度系数】
0.7
3 [2025成都锦江期中]如图,有两棵树AB和CD(都与水平地面AC垂直),大树AB高14 m,树梢D到树AB的水平距离DE(DE⊥AB)为9 m,小树CD高2 m,一只小鸟从树梢D飞到树梢B,则它至少要飞行的路程为
15
m.答案
3. 15
解析
【分析】要计算小鸟飞行的最短路程，首先根据“两点之间线段最短”，确定最短路径为线段BD的长度。接下来构造直角三角形求解BD：由题意可知AB、CD均垂直地面AC，DE垂直AB，因此四边形AEDC是矩形，可得AE的长度等于CD的高度，进而求出直角边BE的长度，再结合已知的DE长度，在直角三角形BED中用勾股定理即可算出BD的长度。
【解析】解：由题意得，$AC⊥ AB$，$AC⊥ CD$，$DE⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$AEDC$是矩形，
$\therefore AE=CD=2\ \mathrm{m}$，$DE=9\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=14-2=12\ \mathrm{m}$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore △ BED$是直角三角形，$∠ BED=90°$，
根据勾股定理得：
$BD^2=BE^2+DE^2=12^2+9^2=144+81=225$，
$\therefore BD=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】15
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】本题属于勾股定理的实际应用题，解题关键是将实际场景转化为几何中的直角三角形计算问题，准确找到直角三角形的两条直角边长度，代入勾股定理计算即可。
【难度系数】0.7
【解析】解：由题意得，$AC⊥ AB$，$AC⊥ CD$，$DE⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形$AEDC$是矩形，
$\therefore AE=CD=2\ \mathrm{m}$，$DE=9\ \mathrm{m}$，
$\therefore BE=AB-AE=14-2=12\ \mathrm{m}$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore △ BED$是直角三角形，$∠ BED=90°$，
根据勾股定理得：
$BD^2=BE^2+DE^2=12^2+9^2=144+81=225$，
$\therefore BD=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】15
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；勾股定理的应用
【点评】本题属于勾股定理的实际应用题，解题关键是将实际场景转化为几何中的直角三角形计算问题，准确找到直角三角形的两条直角边长度，代入勾股定理计算即可。
【难度系数】0.7
4 教材P13例题变式 如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米，竹竿高出水面的部分AD长0.5米。如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，那么水渠的深度BD为
2
米。答案
4. 2
解析
【分析】
解题时首先抓住竹竿长度不变这一隐含条件，设水渠深度BD为x米，可得到竹竿总长度为(x+0.5)米，将竹竿顶端拉到C点后，BC的长度等于竹竿总长度。观察图形可知△BCD是直角三角形，因此可以利用勾股定理建立关于x的一元一次方程，解方程即可得到BD的长度。
【解析】
设水渠的深度BD为x米，则竹竿AB的总长度为(x+0.5)米，由题意可知BC=AB=x+0.5。
∵CD⊥AB，
∴△BCD为直角三角形，根据勾股定理可得：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
代入CD=1.5，BD=x，BC=x+0.5，得：
$x^2 + 1.5^2 = (x+0.5)^2$
展开得：$x^2 + 2.25 = x^2 + x + 0.25$
消去$x^2$后移项计算得：$x=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题关键是找到不变量，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，难度不大，掌握勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住竹竿长度不变这一隐含条件，设水渠深度BD为x米，可得到竹竿总长度为(x+0.5)米，将竹竿顶端拉到C点后，BC的长度等于竹竿总长度。观察图形可知△BCD是直角三角形，因此可以利用勾股定理建立关于x的一元一次方程，解方程即可得到BD的长度。
【解析】
设水渠的深度BD为x米，则竹竿AB的总长度为(x+0.5)米，由题意可知BC=AB=x+0.5。
∵CD⊥AB，
∴△BCD为直角三角形，根据勾股定理可得：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
代入CD=1.5，BD=x，BC=x+0.5，得：
$x^2 + 1.5^2 = (x+0.5)^2$
展开得：$x^2 + 2.25 = x^2 + x + 0.25$
消去$x^2$后移项计算得：$x=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题关键是找到不变量，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，难度不大，掌握勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5 如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船,河岸上一男子拽着绳子另一端向右走,绳端从C移动到E,同时小船从A移动到B,绳子始终绷紧且绳长保持不变,已知A,B,F三点在同一条直线上,且$AF ⊥ CF$于点F.若$CF=8\ \mathrm{m},AF=15\ \mathrm{m},AB=9\ \mathrm{m}$,求男子向右移动的距离CE.
答案
5. 在Rt△CFA 中,AF = 15 m,CF = 8 m,由勾股定理,得$AC^2=AF^2+CF^2$,所以AC=17 m. 在Rt△CFB 中,BF=AF−AB=6 m,CF=8 m,由勾股定理,得$BC^2=CF^2+BF^2$,所以BC=10 m. 由题意,得$CE=AC-BC=17-10=7(\mathrm{m})$. 所以男子向右移动的距离CE为7 m
解析
【分析】
解题时先抓住题目中“绳长保持不变”的核心条件，可知初始绳长AC等于移动后绳长BC与男子移动距离CE的和，因此要求CE，需先求出AC和BC的长度。观察图形可知△CFA和△CFB均为直角三角形，可先后利用勾股定理计算两条斜边的长度：首先利用已知的AF、CF长度求AC，再通过线段和差求出BF长度，进而求出BC，最后计算AC与BC的差即可得到CE。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ CFA$中，$∠ CFA=90°$，$AF=15\ \mathrm{m}$，$CF=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2=AF^2+CF^2=15^2+8^2=225+64=289$，
$\therefore AC=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$。
$\because A,B,F$三点共线，$AB=9\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=AF-AB=15-9=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CFB$中，$∠ CFB=90°$，$CF=8\ \mathrm{m}$，$BF=6\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BC^2=CF^2+BF^2=8^2+6^2=64+36=100$，
$\therefore BC=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
由绳长保持不变可知$AC=BC+CE$，
$\therefore CE=AC-BC=17-10=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
男子向右移动的距离$CE$为$7\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题的关键是从题目中提炼出绳长不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形边长求解问题，两次运用勾股定理即可得到结果，侧重考查对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住题目中“绳长保持不变”的核心条件，可知初始绳长AC等于移动后绳长BC与男子移动距离CE的和，因此要求CE，需先求出AC和BC的长度。观察图形可知△CFA和△CFB均为直角三角形，可先后利用勾股定理计算两条斜边的长度：首先利用已知的AF、CF长度求AC，再通过线段和差求出BF长度，进而求出BC，最后计算AC与BC的差即可得到CE。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ CFA$中，$∠ CFA=90°$，$AF=15\ \mathrm{m}$，$CF=8\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$AC^2=AF^2+CF^2=15^2+8^2=225+64=289$，
$\therefore AC=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$。
$\because A,B,F$三点共线，$AB=9\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF=AF-AB=15-9=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CFB$中，$∠ CFB=90°$，$CF=8\ \mathrm{m}$，$BF=6\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$BC^2=CF^2+BF^2=8^2+6^2=64+36=100$，
$\therefore BC=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
由绳长保持不变可知$AC=BC+CE$，
$\therefore CE=AC-BC=17-10=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
男子向右移动的距离$CE$为$7\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的应用，解题的关键是从题目中提炼出绳长不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形边长求解问题，两次运用勾股定理即可得到结果，侧重考查对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
6 教材P14随堂练习T1变式 已知五根小木棒的长度分别为9 cm，12 cm，15 cm，36 cm，39 cm，现将它们摆成两个直角三角形，有如图所示的几种摆法.其中正确的有
单位:cm
②④
(填序号).单位:cm
答案
6. ②④
解析
【分析】
要判断摆法是否正确，需利用勾股定理的逆定理，分别验证每个摆法中的两个三角形是否为直角三角形，同时确认用到的木棒为给出的9cm、12cm、15cm、36cm、39cm这五根。勾股定理的逆定理为：若三角形三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则这个三角形是直角三角形，我们按照该定理逐个分析四个摆法即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各摆法：
1. 摆法①：
大三角形三边长为12cm、36cm、39cm，计算得$12^2+36^2=144+1296=1440$，$39^2=1521$，$1440≠1521$，大三角形不是直角三角形，故①错误。
2. 摆法②：
大三角形三边长为15cm、36cm、39cm，$15^2+36^2=225+1296=1521=39^2$，是直角三角形；
小三角形三边长为9cm、12cm、15cm，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，是直角三角形；
五根木棒全部使用，故②正确。
3. 摆法③：
大三角形三边长为9cm、36cm、39cm，$9^2+36^2=81+1296=1377$，$39^2=1521$，$1377≠1521$，大三角形不是直角三角形，故③错误。
4. 摆法④：
大三角形三边长为15cm、36cm、39cm，$15^2+36^2=1521=39^2$，是直角三角形；
小三角形三边长为9cm、12cm、15cm，$9^2+12^2=225=15^2$，是直角三角形；
五根木棒全部使用，故④正确。
【答案】
②④
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是熟练掌握直角三角形的判定方法，验证时注意找准每个三角形的最长边，避免计算平方时出错。
【难度系数】
0.7
要判断摆法是否正确，需利用勾股定理的逆定理，分别验证每个摆法中的两个三角形是否为直角三角形，同时确认用到的木棒为给出的9cm、12cm、15cm、36cm、39cm这五根。勾股定理的逆定理为：若三角形三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则这个三角形是直角三角形，我们按照该定理逐个分析四个摆法即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一验证各摆法：
1. 摆法①：
大三角形三边长为12cm、36cm、39cm，计算得$12^2+36^2=144+1296=1440$，$39^2=1521$，$1440≠1521$，大三角形不是直角三角形，故①错误。
2. 摆法②：
大三角形三边长为15cm、36cm、39cm，$15^2+36^2=225+1296=1521=39^2$，是直角三角形；
小三角形三边长为9cm、12cm、15cm，$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，是直角三角形；
五根木棒全部使用，故②正确。
3. 摆法③：
大三角形三边长为9cm、36cm、39cm，$9^2+36^2=81+1296=1377$，$39^2=1521$，$1377≠1521$，大三角形不是直角三角形，故③错误。
4. 摆法④：
大三角形三边长为15cm、36cm、39cm，$15^2+36^2=1521=39^2$，是直角三角形；
小三角形三边长为9cm、12cm、15cm，$9^2+12^2=225=15^2$，是直角三角形；
五根木棒全部使用，故④正确。
【答案】
②④
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题的核心是熟练掌握直角三角形的判定方法，验证时注意找准每个三角形的最长边，避免计算平方时出错。
【难度系数】
0.7
7 如图是一个小型儿童玩具购物车的侧面简化示意图，测得支架AC=12 cm，CB=9 cm，两轮中心的距离AB=15 cm，则点C到AB的距离为
(第7题)
7.2
cm. (第7题)答案
7. 7.2
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确认它是直角三角形后，要求点C到AB的距离，也就是求这个直角三角形斜边上的高，此时可以利用面积法求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，列等式即可求出高的长度。
【解析】
1. 判断△ABC的形状
已知AC=12cm，CB=9cm，AB=15cm，
计算得：$AC^2 + CB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$，$AB^2 = 15^2 = 225$，
因此$AC^2 + CB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
2. 用面积法求点C到AB的距离
设点C到AB的距离为$h$cm，
△ABC的面积可表示为$S=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S=\frac{1}{2}AB· h$，
因此有等式：$\frac{1}{2}×12×9 = \frac{1}{2}×15× h$，
化简得：$108=15h$，解得$h=7.2$。
【答案】
7.2
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形面积计算、点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先判定三角形为直角三角形，再利用面积法快速求出斜边上的高，属于勾股定理应用类的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长度，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确认它是直角三角形后，要求点C到AB的距离，也就是求这个直角三角形斜边上的高，此时可以利用面积法求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，列等式即可求出高的长度。
【解析】
1. 判断△ABC的形状
已知AC=12cm，CB=9cm，AB=15cm，
计算得：$AC^2 + CB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$，$AB^2 = 15^2 = 225$，
因此$AC^2 + CB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
2. 用面积法求点C到AB的距离
设点C到AB的距离为$h$cm，
△ABC的面积可表示为$S=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S=\frac{1}{2}AB· h$，
因此有等式：$\frac{1}{2}×12×9 = \frac{1}{2}×15× h$，
化简得：$108=15h$，解得$h=7.2$。
【答案】
7.2
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形面积计算、点到直线的距离
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先判定三角形为直角三角形，再利用面积法快速求出斜边上的高，属于勾股定理应用类的基础题型。
【难度系数】
0.7
