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8 如图，将长为16 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升至点C，橡皮筋被拉长了4 cm，则CP的长为（
A.12 cm
B.10 cm
C.6 cm
D.2 cm
C
）A.12 cm
B.10 cm
C.6 cm
D.2 cm
答案
8. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知的AB长度和P是AB中点，先求出AP的长度；再根据橡皮筋拉长的长度算出拉升后AC+BC的总长度，结合CP垂直平分AB的性质得到AC=BC，求出AC的长度；最后在直角三角形ACP中，利用勾股定理计算CP的长度即可。
【解析】
解：已知AB原长为16 cm，P是AB中点，因此：
$AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8\ \mathrm{cm}$
橡皮筋被拉长了4 cm，因此拉升后总长度$AC + BC = 16 + 4 = 20\ \mathrm{cm}$。
∵CP垂直AB，且P是AB中点，即CP是AB的垂直平分线，
∴$AC = BC$，因此$AC = \frac{1}{2}×20 = 10\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACP$中，根据勾股定理：$AC^2 = AP^2 + CP^2$，
代入数值可得：
$CP^2 = AC^2 - AP^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
∵CP为长度，取正值，
∴$CP = \sqrt{36} = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，垂直平分线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是结合题意梳理出直角三角形的已知边长，再利用勾股定理求解未知边，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据已知的AB长度和P是AB中点，先求出AP的长度；再根据橡皮筋拉长的长度算出拉升后AC+BC的总长度，结合CP垂直平分AB的性质得到AC=BC，求出AC的长度；最后在直角三角形ACP中，利用勾股定理计算CP的长度即可。
【解析】
解：已知AB原长为16 cm，P是AB中点，因此：
$AP = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8\ \mathrm{cm}$
橡皮筋被拉长了4 cm，因此拉升后总长度$AC + BC = 16 + 4 = 20\ \mathrm{cm}$。
∵CP垂直AB，且P是AB中点，即CP是AB的垂直平分线，
∴$AC = BC$，因此$AC = \frac{1}{2}×20 = 10\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACP$中，根据勾股定理：$AC^2 = AP^2 + CP^2$，
代入数值可得：
$CP^2 = AC^2 - AP^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
∵CP为长度，取正值，
∴$CP = \sqrt{36} = 6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，垂直平分线的性质，线段中点的定义
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是结合题意梳理出直角三角形的已知边长，再利用勾股定理求解未知边，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
9 如图①,有一只摆钟,把摆锤看作一个点,如图②,当它摆动到离底座最近时,摆锤离底座的垂直高度$DE=4\ \mathrm{cm}$,当它摆动到离底座最远时,摆锤离底座的垂直高度$BF=6\ \mathrm{cm}$,最近与最远时的水平距离$BC=8\ \mathrm{cm}$,则钟摆$AD$的长为
17
$\mathrm{cm}.$答案
9. 17
解析
【分析】
解题时首先抓住钟摆长度不变的特点，即AD=AB。我们设AD的长为x cm，先计算摆锤两个位置的竖直高度差：BF比DE高6-4=2 cm，因此直角边AC的长度为(x-2) cm，另一条直角边BC已知为8 cm，△ACB为直角三角形，即可用勾股定理列方程求解x的值。
【解析】
设钟摆AD的长为$ x $ cm，由于钟摆长度不变，因此$ AB = AD = x $ cm。
由题意得，摆锤两个位置的竖直高度差：$ CD = BF - DE = 6 - 4 = 2 $ cm，因此直角边$ AC = AD - CD = (x - 2) $ cm。
又已知水平距离$ BC = 8 $ cm，且$ BC ⊥ AE $，即$ △ ACB $是直角三角形，$ ∠ ACB = 90° $。
根据勾股定理：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，代入得：
$(x - 2)^2 + 8^2 = x^2$
展开并化简：
$x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2$
消去$ x^2 $后整理得：$ -4x = -68 $，解得$ x = 17 $。
【答案】
17
【知识点】
勾股定理；列方程解几何题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题型，解题的核心是抓住摆长不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过建立方程即可快速求解，能很好地考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住钟摆长度不变的特点，即AD=AB。我们设AD的长为x cm，先计算摆锤两个位置的竖直高度差：BF比DE高6-4=2 cm，因此直角边AC的长度为(x-2) cm，另一条直角边BC已知为8 cm，△ACB为直角三角形，即可用勾股定理列方程求解x的值。
【解析】
设钟摆AD的长为$ x $ cm，由于钟摆长度不变，因此$ AB = AD = x $ cm。
由题意得，摆锤两个位置的竖直高度差：$ CD = BF - DE = 6 - 4 = 2 $ cm，因此直角边$ AC = AD - CD = (x - 2) $ cm。
又已知水平距离$ BC = 8 $ cm，且$ BC ⊥ AE $，即$ △ ACB $是直角三角形，$ ∠ ACB = 90° $。
根据勾股定理：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，代入得：
$(x - 2)^2 + 8^2 = x^2$
展开并化简：
$x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2$
消去$ x^2 $后整理得：$ -4x = -68 $，解得$ x = 17 $。
【答案】
17
【知识点】
勾股定理；列方程解几何题
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题型，解题的核心是抓住摆长不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，通过建立方程即可快速求解，能很好地考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
10 新情境 数学文化 在我国古代数学著作《九章算术》中有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸.问门广几何？”大意如下：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，AD=BC=AO=BO，那么门的宽度(即AB的长)为
101
寸.答案
10. 101
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题时先将实际问题转化为几何模型：首先统一单位，由门的对称性可知两扇门对称，已知AD=AO，要求AB的长，可设AO=AD=x寸，则AB=2x寸；过D作AB的垂线构造直角三角形，结合已知条件可得直角三角形的两条直角边分别为10寸和(x-1)寸，斜边为x寸，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸。
设AO=AD=x寸，则门的宽度AB=2AO=2x寸。
过点D作DE⊥AB于点E，由题意得DE=10寸；
根据两扇门的对称性可得OE=CD÷2=2÷2=1寸，因此AE=AO-OE=(x-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AD^2=AE^2+DE^2$
代入对应边长得：$x^2=(x-1)^2+10^2$
展开并化简方程：
$x^2=x^2-2x+1+100$
两边消去$x^2$，移项得$2x=101$，即AB=101寸。
【答案】
101
【知识点】
1.勾股定理
2.一元一次方程的应用
3.轴对称的性质
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为情境，既体现了数学文化，又考查了勾股定理的实际应用能力。解题核心是结合对称性构造直角三角形，找到各边的数量关系后利用勾股定理建立方程求解，很好地考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题时先将实际问题转化为几何模型：首先统一单位，由门的对称性可知两扇门对称，已知AD=AO，要求AB的长，可设AO=AD=x寸，则AB=2x寸；过D作AB的垂线构造直角三角形，结合已知条件可得直角三角形的两条直角边分别为10寸和(x-1)寸，斜边为x寸，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸。
设AO=AD=x寸，则门的宽度AB=2AO=2x寸。
过点D作DE⊥AB于点E，由题意得DE=10寸；
根据两扇门的对称性可得OE=CD÷2=2÷2=1寸，因此AE=AO-OE=(x-1)寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AD^2=AE^2+DE^2$
代入对应边长得：$x^2=(x-1)^2+10^2$
展开并化简方程：
$x^2=x^2-2x+1+100$
两边消去$x^2$，移项得$2x=101$，即AB=101寸。
【答案】
101
【知识点】
1.勾股定理
2.一元一次方程的应用
3.轴对称的性质
【点评】
本题以我国古代数学著作中的问题为情境，既体现了数学文化，又考查了勾股定理的实际应用能力。解题核心是结合对称性构造直角三角形，找到各边的数量关系后利用勾股定理建立方程求解，很好地考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
11 教材P15习题T3变式 一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示。已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米。
（1）此卡车是否能通过桥洞？请说明理由。
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2米、高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少米？
（1）此卡车是否能通过桥洞？请说明理由。
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2米、高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少米？
答案
11. (1) 能通过 理由:如图①,MN为卡车的宽度,过点M,N分别作AB的垂线交半圆于点C,D,连接CD,OC,过点O作OE⊥CD,垂足为E,易得CD=MN=1.6米,AB=2米,CE=DE=0.8米.又因为OC=OA=1米,在Rt△OCE中,$OE^2=OC^2-CE^2=0.36$(平方米),所以OE=0.6米.所以CM=2.3+0.6=2.9(米).因为2.9＞2.5,所以此卡车能通过. (2) 如图②,根据题意,可知CG=BE=2.8米,BG=OF=1.2米,EF=AD=2.3米,所以BF=0.5米.根据勾股定理,得$OA^2=OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.69$(平方米).所以OA=1.3米.所以桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(米)
解析
【分析】
（1）判断卡车能否通过桥洞，核心是对比卡车高度与卡车宽度对应位置的桥洞总高度：卡车宽1.6米，对应桥洞中心线两侧各0.8米的位置，该位置桥洞总高度=长方形部分高度+半圆在该位置的竖直高度，可通过勾股定理计算半圆部分的竖直高度，再和卡车高度2.5米比较即可。
（2）双行道场景下卡车沿单侧通行，宽1.2米即对应距桥洞中心线水平距离1.2米的位置，要求该位置桥洞总高度≥2.8米。先算出半圆需要提供的额外高度为2.8-2.3=0.5米，再通过勾股定理求出半圆的半径，桥洞总宽度为半径的2倍。
【解析】
（1）此卡车能通过，理由如下：
如图①，设MN为卡车的宽度，过点M、N分别作AB的垂线交半圆于点C、D，连接CD、OC，过点O作OE⊥CD，垂足为E。
由题意得CD=MN=1.6米，半圆直径AB=2米，因此半径$OC=OA=1$米。
根据垂径定理可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD=0.8$米。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2-CE^2=1^2-0.8^2=0.36$，解得$OE=0.6$米（长度为正，舍去负解）。
因此该位置桥洞总高度为$CM=2.3+0.6=2.9$米。
因为$2.9＞2.5$，所以此卡车能通过桥洞。
（2）根据双行道通行要求，卡车沿单侧行驶，卡车宽1.2米，即距桥洞中心线的水平距离为1.2米，要求该位置桥洞高度≥2.8米。
由题意得，桥洞长方形部分高2.3米，因此半圆部分需要提供的竖直高度为$2.8-2.3=0.5$米，即$BF=0.5$米，$OF=1.2$米，OB为半圆的半径。
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：$OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.69$，解得$OB=1.3$米（长度为正，舍去负解）。
因此桥洞的总宽度至少为$1.3×2=2.6$米。
【答案】
(1) 能通过 理由:如图①,MN为卡车的宽度,过点M,N分别作AB的垂线交半圆于点C,D,连接CD,OC,过点O作OE⊥CD,垂足为E,易得CD=MN=1.6米,AB=2米,CE=DE=0.8米.又因为OC=OA=1米,在Rt△OCE中,$OE^2=OC^2-CE^2=0.36$(平方米),所以OE=0.6米.所以CM=2.3+0.6=2.9(米).因为2.9＞2.5,所以此卡车能通过. (2) 如图②,根据题意,可知CG=BE=2.8米,BG=OF=1.2米,EF=AD=2.3米,所以BF=0.5米.根据勾股定理,得$OA^2=OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.69$(平方米).所以OA=1.3米.所以桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(米)
【知识点】
勾股定理应用，圆的基本性质，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中卡车过桥洞的实际场景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，准确找到直角三角形的各边对应关系即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）判断卡车能否通过桥洞，核心是对比卡车高度与卡车宽度对应位置的桥洞总高度：卡车宽1.6米，对应桥洞中心线两侧各0.8米的位置，该位置桥洞总高度=长方形部分高度+半圆在该位置的竖直高度，可通过勾股定理计算半圆部分的竖直高度，再和卡车高度2.5米比较即可。
（2）双行道场景下卡车沿单侧通行，宽1.2米即对应距桥洞中心线水平距离1.2米的位置，要求该位置桥洞总高度≥2.8米。先算出半圆需要提供的额外高度为2.8-2.3=0.5米，再通过勾股定理求出半圆的半径，桥洞总宽度为半径的2倍。
【解析】
（1）此卡车能通过，理由如下：
如图①，设MN为卡车的宽度，过点M、N分别作AB的垂线交半圆于点C、D，连接CD、OC，过点O作OE⊥CD，垂足为E。
由题意得CD=MN=1.6米，半圆直径AB=2米，因此半径$OC=OA=1$米。
根据垂径定理可得$CE=DE=\frac{1}{2}CD=0.8$米。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2-CE^2=1^2-0.8^2=0.36$，解得$OE=0.6$米（长度为正，舍去负解）。
因此该位置桥洞总高度为$CM=2.3+0.6=2.9$米。
因为$2.9＞2.5$，所以此卡车能通过桥洞。
（2）根据双行道通行要求，卡车沿单侧行驶，卡车宽1.2米，即距桥洞中心线的水平距离为1.2米，要求该位置桥洞高度≥2.8米。
由题意得，桥洞长方形部分高2.3米，因此半圆部分需要提供的竖直高度为$2.8-2.3=0.5$米，即$BF=0.5$米，$OF=1.2$米，OB为半圆的半径。
在$Rt△ OBF$中，由勾股定理得：$OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.69$，解得$OB=1.3$米（长度为正，舍去负解）。
因此桥洞的总宽度至少为$1.3×2=2.6$米。
【答案】
(1) 能通过 理由:如图①,MN为卡车的宽度,过点M,N分别作AB的垂线交半圆于点C,D,连接CD,OC,过点O作OE⊥CD,垂足为E,易得CD=MN=1.6米,AB=2米,CE=DE=0.8米.又因为OC=OA=1米,在Rt△OCE中,$OE^2=OC^2-CE^2=0.36$(平方米),所以OE=0.6米.所以CM=2.3+0.6=2.9(米).因为2.9＞2.5,所以此卡车能通过. (2) 如图②,根据题意,可知CG=BE=2.8米,BG=OF=1.2米,EF=AD=2.3米,所以BF=0.5米.根据勾股定理,得$OA^2=OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.69$(平方米).所以OA=1.3米.所以桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(米)
【知识点】
勾股定理应用，圆的基本性质，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中卡车过桥洞的实际场景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，准确找到直角三角形的各边对应关系即可求解。
【难度系数】
0.7
12 如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中$AB=AC$,现由村庄C到取水点A的路已经不通,为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得$BC=3\ \mathrm{km}$,$CH=2.4\ \mathrm{km}$,$BH=1.8\ \mathrm{km}$.
(1) CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路?
(2) 求 AC 的长.
(1) CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路?
(2) 求 AC 的长.
答案
12. (1) 在△CHB 中,因为 $CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 9(\mathrm{km}^2)$,$BC^2=9\ \mathrm{km}^2$,所以 $CH^2+BH^2=BC^2$.所以△CHB 是直角三角形,且$∠CHB=90°$,即 $CH⊥AB$. 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路 (2) 设$AC=x\ \mathrm{km}$. 因为 AB=AC,所以$AB=x\ \mathrm{km}$. 所以$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$. 因为$CH⊥AB$,所以$∠CHA=90°$. 在Rt△ACH中,由勾股定理,得$AC^2=AH^2+CH^2$,即$x^2=(x-1.8)^2+2.4^2$,所以x=2.5. 所以 AC 的长为2.5 km
解析
【分析】
(1) 要判断CH是否为村庄C到河边的最近路，根据“垂线段最短”的性质，只需证明CH与AB垂直即可。可通过△CHB的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△CHB是否为直角三角形，且∠CHB为直角。
(2) 求AC的长，已知AB=AC，可设AC的长度为x km，那么AB也为x km，进而表示出AH的长度为$(x-1.8)\mathrm{km}$。由第一问可知CH⊥AB，所以△ACH是直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 在△CHB中：
$CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9(\mathrm{km}^2)$，
$BC^2 = 3^2 = 9(\mathrm{km}^2)$，
因此$CH^2 + BH^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△CHB是直角三角形，且$∠CHB=90°$，即$CH⊥AB$。
根据垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边的最近路。
(2) 设$AC=x\ \mathrm{km}$，因为$AB=AC$，所以$AB=x\ \mathrm{km}$。
因为点A、H、B在同一直线上，$BH=1.8\ \mathrm{km}$，所以$AH = AB - BH = (x - 1.8)\mathrm{km}$。
由(1)知$CH⊥AB$，所以$∠CHA=90°$，在Rt△ACH中，根据勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，代入得：
$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$
展开整理得：$x^2 = x^2 - 3.6x + 9$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) CH是从村庄C到河边的最近路；
(2) AC的长为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{km}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题以实际生活场景为载体，考查勾股定理及其逆定理的应用，解题时需先将实际问题转化为几何问题，先通过勾股定理逆定理证明垂直关系，再利用勾股定理列方程求解未知线段，是几何知识解决实际问题的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断CH是否为村庄C到河边的最近路，根据“垂线段最短”的性质，只需证明CH与AB垂直即可。可通过△CHB的三边长，利用勾股定理的逆定理判断△CHB是否为直角三角形，且∠CHB为直角。
(2) 求AC的长，已知AB=AC，可设AC的长度为x km，那么AB也为x km，进而表示出AH的长度为$(x-1.8)\mathrm{km}$。由第一问可知CH⊥AB，所以△ACH是直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 在△CHB中：
$CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9(\mathrm{km}^2)$，
$BC^2 = 3^2 = 9(\mathrm{km}^2)$，
因此$CH^2 + BH^2 = BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△CHB是直角三角形，且$∠CHB=90°$，即$CH⊥AB$。
根据垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边的最近路。
(2) 设$AC=x\ \mathrm{km}$，因为$AB=AC$，所以$AB=x\ \mathrm{km}$。
因为点A、H、B在同一直线上，$BH=1.8\ \mathrm{km}$，所以$AH = AB - BH = (x - 1.8)\mathrm{km}$。
由(1)知$CH⊥AB$，所以$∠CHA=90°$，在Rt△ACH中，根据勾股定理得：
$AC^2 = AH^2 + CH^2$，代入得：
$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$
展开整理得：$x^2 = x^2 - 3.6x + 9$，解得$x=2.5$。
【答案】
(1) CH是从村庄C到河边的最近路；
(2) AC的长为$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{km}}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题以实际生活场景为载体，考查勾股定理及其逆定理的应用，解题时需先将实际问题转化为几何问题，先通过勾股定理逆定理证明垂直关系，再利用勾股定理列方程求解未知线段，是几何知识解决实际问题的基础题型。
【难度系数】
0.7
