登录
1 将三张正方形纸片按如图所示的方式摆放.若要使中间的三角形是直角三角形,则选取的三张正方形纸片的面积不可以是（
A.1,2,3
B.3,4,7
C.3,4,5
D.2,3,5
C
）A.1,2,3
B.3,4,7
C.3,4,5
D.2,3,5
答案
1.C
解析
【分析】
观察图形可知，三个正方形的边长恰好对应中间三角形的三条边，正方形的面积等于边长的平方。要判断中间三角形是否为直角三角形，可依据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，对应到正方形面积的关系就是：两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。解题时只需对每个选项先找出三个面积中的最大值，再判断另外两个面积的和是否等于最大值即可，不满足条件的就是符合题意的答案。
【解析】
设三个正方形的面积从小到大依次为$S_1$、$S_2$、$S_{max}$，它们的边长对应中间三角形的三条边。
由正方形面积公式可得：正方形面积=边长²，因此中间三角形三条边的平方就等于对应正方形的面积。
根据勾股定理的逆定理，若中间三角形为直角三角形，需满足：$S_1+S_2=S_{max}$。
逐个分析选项：
A. 最大面积为3，$1+2=3$，满足条件，不符合题意；
B. 最大面积为7，$3+4=7$，满足条件，不符合题意；
C. 最大面积为5，$3+4=7≠5$，不满足条件，符合题意；
D. 最大面积为5，$2+3=5$，满足条件，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理；正方形面积计算
【点评】
本题将正方形的面积性质和直角三角形的判定结合考查，解题的核心是建立正方形面积与三角形边长平方的对应关系，无需额外计算边长，直接通过面积和的关系即可快速判断，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，三个正方形的边长恰好对应中间三角形的三条边，正方形的面积等于边长的平方。要判断中间三角形是否为直角三角形，可依据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，对应到正方形面积的关系就是：两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。解题时只需对每个选项先找出三个面积中的最大值，再判断另外两个面积的和是否等于最大值即可，不满足条件的就是符合题意的答案。
【解析】
设三个正方形的面积从小到大依次为$S_1$、$S_2$、$S_{max}$，它们的边长对应中间三角形的三条边。
由正方形面积公式可得：正方形面积=边长²，因此中间三角形三条边的平方就等于对应正方形的面积。
根据勾股定理的逆定理，若中间三角形为直角三角形，需满足：$S_1+S_2=S_{max}$。
逐个分析选项：
A. 最大面积为3，$1+2=3$，满足条件，不符合题意；
B. 最大面积为7，$3+4=7$，满足条件，不符合题意；
C. 最大面积为5，$3+4=7≠5$，不满足条件，符合题意；
D. 最大面积为5，$2+3=5$，满足条件，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理；正方形面积计算
【点评】
本题将正方形的面积性质和直角三角形的判定结合考查，解题的核心是建立正方形面积与三角形边长平方的对应关系，无需额外计算边长，直接通过面积和的关系即可快速判断，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
2 将下列长度的三根木条首尾顺次连接，能组成直角三角形的是 （
A.2 cm,3 cm,4 cm
B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm,8 cm
B
）A.2 cm,3 cm,4 cm
B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,6 cm
D.6 cm,7 cm,8 cm
答案
2.B
解析
【分析】
本题可利用勾股定理的逆定理判断能否构成直角三角形，解题思路如下：首先回忆勾股定理逆定理的内容：若三角形的三边长中，较短两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形；接下来逐个分析选项，先找出每个选项里的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，比较二者是否相等，相等的选项即为正确答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A. 最长边为4cm，$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为5cm，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，$25 = 25$，可以组成直角三角形；
C. 最长边为6cm，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不能组成直角三角形；
D. 最长边为8cm，$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$，$8^2 = 64$，$85 ≠ 64$，不能组成直角三角形。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是明确判断规则，准确计算各边长的平方后比较即可。
【难度系数】
0.9
本题可利用勾股定理的逆定理判断能否构成直角三角形，解题思路如下：首先回忆勾股定理逆定理的内容：若三角形的三边长中，较短两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形；接下来逐个分析选项，先找出每个选项里的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，比较二者是否相等，相等的选项即为正确答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证选项：
A. 最长边为4cm，$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为5cm，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，$25 = 25$，可以组成直角三角形；
C. 最长边为6cm，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不能组成直角三角形；
D. 最长边为8cm，$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$，$8^2 = 64$，$85 ≠ 64$，不能组成直角三角形。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是明确判断规则，准确计算各边长的平方后比较即可。
【难度系数】
0.9
3 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长分别为$a$，$b$，$c$且$a^2 - b^2 = c^2$，则下列说法正确的是（
A.$△ ABC$是直角三角形，且$∠ A$是直角
B.$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B$是直角
C.$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$是直角
D.$△ ABC$是锐角三角形
A
）A.$△ ABC$是直角三角形，且$∠ A$是直角
B.$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B$是直角
C.$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C$是直角
D.$△ ABC$是锐角三角形
答案
3.A
解析
【分析】
拿到这道题首先看到题干给出了三角形三边平方的等量关系，优先联想到勾股定理的逆定理来判定是否为直角三角形。第一步先对已知等式进行变形，整理成两边平方和等于第三边平方的形式；第二步确定出最长边，再根据直角三角形中最长边对应直角的规律，即可判断出直角的位置，选出正确选项。
【解析】
已知$a^2 - b^2 = c^2$，对等式移项变形可得：$a^2 = b^2 + c^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，其中边长为$a$的边是直角三角形的斜边。
又因为直角三角形中斜边所对的角为直角，边$a$对应的角是$∠ A$，所以$∠ A$是直角。因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题关键是准确变形已知等式，明确勾股定理逆定理中“斜边为最长边，对应直角”的对应关系，避免混淆边和角的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先看到题干给出了三角形三边平方的等量关系，优先联想到勾股定理的逆定理来判定是否为直角三角形。第一步先对已知等式进行变形，整理成两边平方和等于第三边平方的形式；第二步确定出最长边，再根据直角三角形中最长边对应直角的规律，即可判断出直角的位置，选出正确选项。
【解析】
已知$a^2 - b^2 = c^2$，对等式移项变形可得：$a^2 = b^2 + c^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，其中边长为$a$的边是直角三角形的斜边。
又因为直角三角形中斜边所对的角为直角，边$a$对应的角是$∠ A$，所以$∠ A$是直角。因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题关键是准确变形已知等式，明确勾股定理逆定理中“斜边为最长边，对应直角”的对应关系，避免混淆边和角的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4 如图，$△ ABC$ 在每个小正方形的边长都为1的网格中，顶点都在格点上，则$∠ BAC$ 的度数为
$90°$
。答案
4.$90°$
解析
【分析】
要求∠BAC的度数，我们可以借助网格边长为1的条件，先通过勾股定理求出△ABC三边长度的平方，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，进而确定∠BAC的度数。解题步骤：首先分别计算AB、AC、BC三边的平方，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则对应最长边的对角为直角。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 20$，
$BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$。
∵ $5 + 20 = 25$，即 $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且BC为斜边，
∴ $∠ BAC = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理应用的典型网格题，解题核心是准确计算网格中线段长度的平方，结合勾股定理逆定理判断直角，难度不大，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要求∠BAC的度数，我们可以借助网格边长为1的条件，先通过勾股定理求出△ABC三边长度的平方，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，进而确定∠BAC的度数。解题步骤：首先分别计算AB、AC、BC三边的平方，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则对应最长边的对角为直角。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 20$，
$BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$。
∵ $5 + 20 = 25$，即 $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且BC为斜边，
∴ $∠ BAC = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理应用的典型网格题，解题核心是准确计算网格中线段长度的平方，结合勾股定理逆定理判断直角，难度不大，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5 若一个三角形的三边长分别是12 cm，16 cm，20 cm，则这个三角形的面积是
96
cm²。答案
5.96
解析
【分析】
已知三角形三边长求面积时，首先可通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方作对比，若二者相等则该三角形为直角三角形，且两条短边为直角边，后续直接用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：计算三边的平方
$12^2=144$，$16^2=256$，$20^2=400$
第二步：判断三角形形状
因为$144+256=400$，即$12^2+16^2=20^2$，根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形，两条直角边长为12cm、16cm，斜边长为20cm。
第三步：计算面积
直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$直角边$×$直角边$=\frac{1}{2}×12×16=96(cm²)$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是先通过勾股定理逆定理确定三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，能有效考查对勾股定理逆定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
已知三角形三边长求面积时，首先可通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算两条较短边的平方和，再与最长边的平方作对比，若二者相等则该三角形为直角三角形，且两条短边为直角边，后续直接用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：计算三边的平方
$12^2=144$，$16^2=256$，$20^2=400$
第二步：判断三角形形状
因为$144+256=400$，即$12^2+16^2=20^2$，根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形，两条直角边长为12cm、16cm，斜边长为20cm。
第三步：计算面积
直角三角形面积$=\frac{1}{2}×$直角边$×$直角边$=\frac{1}{2}×12×16=96(cm²)$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是先通过勾股定理逆定理确定三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，能有效考查对勾股定理逆定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
6 教材P11习题T1变式 三角形的三边长$a,b,c$满足$(a-b)^2 = c^2 - 2ab$，则这个三角形是________（按角分类）。
答案
6.直角三角形
解析
【分析】
要判断三角形按角分类的形状，核心是推导三边长是否满足勾股定理的逆定理（即两边平方和等于第三边平方）。解题时先利用完全平方公式展开等式左侧，再通过移项消去同类项化简等式，最后验证化简结果是否符合勾股定理逆定理的形式即可。
【解析】
对给定的边长等式逐步化简：
1. 利用完全平方公式展开等式左边：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入原等式可得：
$a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$
2. 等式两边同时加$2ab$消去同类项，整理得：
$a^2+b^2=c^2$
3. 根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式恒等变形
3. 勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开规则，能对边长关系式做正确化简，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状，掌握相关基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断三角形按角分类的形状，核心是推导三边长是否满足勾股定理的逆定理（即两边平方和等于第三边平方）。解题时先利用完全平方公式展开等式左侧，再通过移项消去同类项化简等式，最后验证化简结果是否符合勾股定理逆定理的形式即可。
【解析】
对给定的边长等式逐步化简：
1. 利用完全平方公式展开等式左边：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入原等式可得：
$a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$
2. 等式两边同时加$2ab$消去同类项，整理得：
$a^2+b^2=c^2$
3. 根据勾股定理的逆定理：若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整式恒等变形
3. 勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开规则，能对边长关系式做正确化简，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状，掌握相关基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
7 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=2$，$b=\dfrac{5}{2}$，$c=\dfrac{3}{2}$，$△ ABC$是直
角三角形吗？
小亮的解答如下：
解：$△ ABC$不是直角三角形.因为$a^2=4$，$b^2+c^2=(\dfrac{5}{2})^2+(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{17}{2}$，所以$a^2≠ b^2+c^2$.所以$△ ABC$不是直角三角形.
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.
角三角形吗？
小亮的解答如下：
解：$△ ABC$不是直角三角形.因为$a^2=4$，$b^2+c^2=(\dfrac{5}{2})^2+(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{17}{2}$，所以$a^2≠ b^2+c^2$.所以$△ ABC$不是直角三角形.
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.
答案
7. 小亮的解答不正确 $△ ABC$ 是直角三角形. 因为 $a^{2}+c^{2}=2^{2}+(\dfrac{3}{2})^{2}=4+\dfrac{9}{4}=\dfrac{25}{4},b^{2}=(\dfrac{5}{2})^{2}=\dfrac{25}{4}$,所以 $a^{2}+c^{2}=b^{2}$. 所以$△ ABC$是直角三角形
解析
【分析】
判断三角形是否为直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，其中第三边为斜边，是三角形的最长边。小亮解答错误的原因是没有先确定三角形的最长边，误将长度为a的边当作斜边验证，导致结论错误。正确的解题思路是：先比较三边长度，找到最长边，再验证最长边的平方是否等于另外两条短边的平方和即可。
【解析】
小亮的解答不正确，正确解答过程如下：
1. 比较三边长度确定最长边：
将三边通分对比，$a=2=\frac{4}{2}$，因此$\frac{5}{2}＞\frac{4}{2}＞\frac{3}{2}$，即$b＞a＞c$，最长边为$b$，若$△ ABC$是直角三角形，则$b$应为斜边。
2. 分别计算两条短边的平方和与最长边的平方：
$a^2 + c^2 = 2^2 + (\frac{3}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}$
$b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$
3. 对比可得$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
小亮的解答不正确，$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题的易错点是使用勾股定理逆定理时未先确定最长边，错选斜边进行验证导致结论错误，解题时要牢记斜边一定是三角形中最长的边，先确定最长边再验证平方关系即可避免出错。
【难度系数】
0.7
判断三角形是否为直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，其中第三边为斜边，是三角形的最长边。小亮解答错误的原因是没有先确定三角形的最长边，误将长度为a的边当作斜边验证，导致结论错误。正确的解题思路是：先比较三边长度，找到最长边，再验证最长边的平方是否等于另外两条短边的平方和即可。
【解析】
小亮的解答不正确，正确解答过程如下：
1. 比较三边长度确定最长边：
将三边通分对比，$a=2=\frac{4}{2}$，因此$\frac{5}{2}＞\frac{4}{2}＞\frac{3}{2}$，即$b＞a＞c$，最长边为$b$，若$△ ABC$是直角三角形，则$b$应为斜边。
2. 分别计算两条短边的平方和与最长边的平方：
$a^2 + c^2 = 2^2 + (\frac{3}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}$
$b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$
3. 对比可得$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
小亮的解答不正确，$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题的易错点是使用勾股定理逆定理时未先确定最长边，错选斜边进行验证导致结论错误，解题时要牢记斜边一定是三角形中最长的边，先确定最长边再验证平方关系即可避免出错。
【难度系数】
0.7
8 如图，$AD ⊥ BC$，垂足为D。如果$CD=1$，$AD=2$，$BD=4$，那么$∠ BAC$是直角吗？请说明理由。
答案
8. $∠BAC$ 是直角 理由: 因为 $AD ⊥ BC$,所以 $∠ADC =∠ADB=90°$. 在 $Rt△ ACD$ 中,$CD = 1$,$AD = 2$,所以 $AC^2 = CD^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 5$. 在 $Rt△ ABD$ 中,$AD=2$,$BD=4$,所以 $AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 + 4^2 = 20$. 因为 $CD=1$,$BD=4$,所以 $BC=CD+BD=5$. 所以 $BC^2=25$. 所以 $AC^2 + AB^2 = BC^2$. 所以 $△ ABC$ 是直角三角形. 所以$∠BAC$ 是直角.
解析
【分析】
要判断∠BAC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理，验证△ABC中AC² + AB²是否等于BC²即可。解题思路如下：第一步，根据AD⊥BC得到两个直角三角形Rt△ACD、Rt△ABD，用勾股定理分别计算AC²和AB²；第二步，结合CD、BD的长度求出BC的总长，计算BC²；第三步，对比AC²+AB²与BC²的大小关系，若二者相等则△ABC为直角三角形，∠BAC为直角，反之则不是。
【解析】
解：∠BAC是直角，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°。
在Rt△ACD中，CD=1，AD=2，由勾股定理得：
$AC^2 = CD^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 5$。
在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，由勾股定理得：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 + 4^2 = 20$。
∵BC=CD+BD=1+4=5，
∴$BC^2=5^2=25$。
∵$AC^2 + AB^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，斜边为BC，
∴∠BAC是直角。
【答案】
∠BAC是直角，理由：因为$AD ⊥ BC$,所以 $∠ADC =∠ADB=90°$. 在 $Rt△ ACD$ 中,$CD = 1$,$AD = 2$,所以 $AC^2 = CD^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 5$. 在 $Rt△ ABD$ 中,$AD=2$,$BD=4$,所以 $AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 + 4^2 = 20$. 因为 $CD=1$,$BD=4$,所以 $BC=CD+BD=5$. 所以 $BC^2=25$. 所以 $AC^2 + AB^2 = BC^2$. 所以 $△ ABC$ 是直角三角形. 所以$∠BAC$ 是直角。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的关键是明确两个定理的使用场景：勾股定理用于直角三角形中求边长，逆定理用于通过边长关系判断三角形是否为直角三角形，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断∠BAC是否为直角，可利用勾股定理的逆定理，验证△ABC中AC² + AB²是否等于BC²即可。解题思路如下：第一步，根据AD⊥BC得到两个直角三角形Rt△ACD、Rt△ABD，用勾股定理分别计算AC²和AB²；第二步，结合CD、BD的长度求出BC的总长，计算BC²；第三步，对比AC²+AB²与BC²的大小关系，若二者相等则△ABC为直角三角形，∠BAC为直角，反之则不是。
【解析】
解：∠BAC是直角，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°。
在Rt△ACD中，CD=1，AD=2，由勾股定理得：
$AC^2 = CD^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 5$。
在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，由勾股定理得：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 + 4^2 = 20$。
∵BC=CD+BD=1+4=5，
∴$BC^2=5^2=25$。
∵$AC^2 + AB^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2$，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，斜边为BC，
∴∠BAC是直角。
【答案】
∠BAC是直角，理由：因为$AD ⊥ BC$,所以 $∠ADC =∠ADB=90°$. 在 $Rt△ ACD$ 中,$CD = 1$,$AD = 2$,所以 $AC^2 = CD^2 + AD^2 = 1^2 + 2^2 = 5$. 在 $Rt△ ABD$ 中,$AD=2$,$BD=4$,所以 $AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 + 4^2 = 20$. 因为 $CD=1$,$BD=4$,所以 $BC=CD+BD=5$. 所以 $BC^2=25$. 所以 $AC^2 + AB^2 = BC^2$. 所以 $△ ABC$ 是直角三角形. 所以$∠BAC$ 是直角。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的关键是明确两个定理的使用场景：勾股定理用于直角三角形中求边长，逆定理用于通过边长关系判断三角形是否为直角三角形，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9（易错题）下列四组数中，是勾股数的为（
A.6,8,10
B.$3^2,4^2,5^2$
C.-10,-6,-8
D.0.3,0.4,0.5
A
）A.6,8,10
B.$3^2,4^2,5^2$
C.-10,-6,-8
D.0.3,0.4,0.5
答案
9.A
9. 满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方,同时还需满足勾股数是正整数的条件.
9. 满足其中两个数的平方和等于第三个数的平方,同时还需满足勾股数是正整数的条件.
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不满足正整数要求的选项，再对剩余选项验证平方和关系，即可得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，称为勾股数。我们对每个选项逐一分析：
A选项：6、8、10均为正整数，计算得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股数的要求；
B选项：$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，计算得$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足平方和关系，不是勾股数；
C选项：-10、-6、-8都是负数，不符合正整数的要求，不是勾股数；
D选项：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.勾股数的定义
2.平方运算
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略勾股数必须是正整数这一前提，仅验证平方和关系误选B或D，先判断数的属性再验证平方和，可有效规避错误。
【难度系数】
0.7
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先排除不满足正整数要求的选项，再对剩余选项验证平方和关系，即可得出正确答案。
【解析】
勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，称为勾股数。我们对每个选项逐一分析：
A选项：6、8、10均为正整数，计算得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股数的要求；
B选项：$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，计算得$9^2+16^2=81+256=337$，$25^2=625$，$337≠625$，不满足平方和关系，不是勾股数；
C选项：-10、-6、-8都是负数，不符合正整数的要求，不是勾股数；
D选项：0.3、0.4、0.5都是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1.勾股数的定义
2.平方运算
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略勾股数必须是正整数这一前提，仅验证平方和关系误选B或D，先判断数的属性再验证平方和，可有效规避错误。
【难度系数】
0.7
10 有一组勾股数，其中两个数分别是20和15，
则第三个数是
则第三个数是
25
.答案
10.25
解析
【分析】
首先明确勾股数是满足勾股定理的三个正整数，已知两个数15和20，无法确定第三个数是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，最后还要验证计算结果是否为正整数，符合勾股数的定义。
【解析】
设第三个数为$x$，根据勾股定理分情况计算：
1. 若$x$为斜边长：
$x^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
因为$x$是正整数，所以$x = \sqrt{625} = 25$，符合勾股数要求。
2. 若20为斜边长，$x$为直角边长：
$x^2 = 20^2 - 15^2 = 400 - 225 = 175$
175不是完全平方数，$x$不是正整数，不符合勾股数定义，舍去该情况。
综上，第三个数为25。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，勾股数的定义
【点评】
本题解题关键是对第三边的角色进行分类讨论，同时要牢记勾股数为正整数的限制条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.7
首先明确勾股数是满足勾股定理的三个正整数，已知两个数15和20，无法确定第三个数是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论，最后还要验证计算结果是否为正整数，符合勾股数的定义。
【解析】
设第三个数为$x$，根据勾股定理分情况计算：
1. 若$x$为斜边长：
$x^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
因为$x$是正整数，所以$x = \sqrt{625} = 25$，符合勾股数要求。
2. 若20为斜边长，$x$为直角边长：
$x^2 = 20^2 - 15^2 = 400 - 225 = 175$
175不是完全平方数，$x$不是正整数，不符合勾股数定义，舍去该情况。
综上，第三个数为25。
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，勾股数的定义
【点评】
本题解题关键是对第三边的角色进行分类讨论，同时要牢记勾股数为正整数的限制条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.7
