登录
6 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m. 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为（
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
C
）A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先要抓住不变量：梯子的长度始终不变。梯子斜靠在墙上时，梯子、竖直墙面、水平地面会构成直角三角形，梯子为直角三角形的斜边。第一步先根据左墙侧直角三角形的两条直角边长度，用勾股定理算出梯子的长度；第二步再根据右墙侧直角三角形的斜边（梯子长度）和竖直直角边长度，用勾股定理算出梯子底端到右墙角的水平距离；最后将两次的水平距离相加，就能得到小巷的总宽度。
【解析】
首先计算梯子的长度：
当梯子斜靠在左墙时，由勾股定理得，梯子长度的平方为：
$0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25$
即梯子长度为$\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{m}$。
设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为$x\ \mathrm{m}$，同理由勾股定理可得：
$x^2 + 2^2 = 6.25$
整理得$x^2 = 6.25 - 4 = 2.25$，解得$x=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
因此小巷的宽度为底端到左墙的距离加底端到右墙的距离：$0.7 + 1.5 = 2.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题，解题的核心是识别出梯子长度不变这一隐含条件，通过两次构造直角三角形、运用勾股定理求解对应边长即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住不变量：梯子的长度始终不变。梯子斜靠在墙上时，梯子、竖直墙面、水平地面会构成直角三角形，梯子为直角三角形的斜边。第一步先根据左墙侧直角三角形的两条直角边长度，用勾股定理算出梯子的长度；第二步再根据右墙侧直角三角形的斜边（梯子长度）和竖直直角边长度，用勾股定理算出梯子底端到右墙角的水平距离；最后将两次的水平距离相加，就能得到小巷的总宽度。
【解析】
首先计算梯子的长度：
当梯子斜靠在左墙时，由勾股定理得，梯子长度的平方为：
$0.7^2 + 2.4^2 = 0.49 + 5.76 = 6.25$
即梯子长度为$\sqrt{6.25}=2.5\ \mathrm{m}$。
设梯子斜靠在右墙时，底端到右墙角的距离为$x\ \mathrm{m}$，同理由勾股定理可得：
$x^2 + 2^2 = 6.25$
整理得$x^2 = 6.25 - 4 = 2.25$，解得$x=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
因此小巷的宽度为底端到左墙的距离加底端到右墙的距离：$0.7 + 1.5 = 2.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题，解题的核心是识别出梯子长度不变这一隐含条件，通过两次构造直角三角形、运用勾股定理求解对应边长即可得到结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7 新情境 数学文化 [2024 眉山]如图①所示为2002年国际数学家大会会标的主要图案，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成如图②所示的图案，则图②中大正方形的面积为（
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）A.24
B.36
C.40
D.44
答案
7. D 【解析】设直角三角形的斜边的长为$c$,两直角边的长分别为$a,b$. 因为题图①中大正方形的面积是24,所以$a^2+b^2=c^2=24$.因为小正方形的面积是4,所以$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=4$.所以$ab=10$.所以题图②中大正方形的面积为$c^2+4×\frac{1}{2}ab=24+2×10=44$.
解析
【分析】
首先明确两个图形均由四个全等的直角三角形拼接而成，我们可以设直角三角形的两条直角边长为$a、b$，斜边长为$c$。先从图①的已知面积推导数量关系：图①中大正方形的边长是直角三角形的斜边$c$，由大正方形面积结合勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=24$；小正方形的边长是两条直角边的差$a-b$，由小正方形面积可得$(a-b)^2=4$，展开该式结合勾股定理的结论即可求出$ab$的值。再分析图②的面积构成：图②中大正方形的面积等于边长为$c$的白色正方形面积加上四个直角三角形的面积，代入已求的数值即可算出结果。
【解析】
设直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 图①中大正方形的面积为24，其边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 24$。
2. 图①中小正方形的面积为4，其边长为两条直角边的差$a-b$，因此：$(a-b)^2 = 4$。
3. 展开完全平方公式得：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 4$，将$a^2 + b^2=24$代入，可得$24 - 2ab = 4$，解得$ab=10$。
4. 图②中大正方形的面积为中间白色正方形面积与四个直角三角形面积之和，计算得：
$c^2 + 4× \frac{1}{2}ab = 24 + 2× 10 = 44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、面积和差计算
【点评】
本题以我国古代赵爽弦图为背景，考查勾股定理与完全平方公式的结合应用，解题关键是明确拼接图形的面积组成，找到直角三角形三边的数量关系，通过代数运算求解即可。
【难度系数】
0.7
首先明确两个图形均由四个全等的直角三角形拼接而成，我们可以设直角三角形的两条直角边长为$a、b$，斜边长为$c$。先从图①的已知面积推导数量关系：图①中大正方形的边长是直角三角形的斜边$c$，由大正方形面积结合勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=24$；小正方形的边长是两条直角边的差$a-b$，由小正方形面积可得$(a-b)^2=4$，展开该式结合勾股定理的结论即可求出$ab$的值。再分析图②的面积构成：图②中大正方形的面积等于边长为$c$的白色正方形面积加上四个直角三角形的面积，代入已求的数值即可算出结果。
【解析】
设直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 图①中大正方形的面积为24，其边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 24$。
2. 图①中小正方形的面积为4，其边长为两条直角边的差$a-b$，因此：$(a-b)^2 = 4$。
3. 展开完全平方公式得：$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 4$，将$a^2 + b^2=24$代入，可得$24 - 2ab = 4$，解得$ab=10$。
4. 图②中大正方形的面积为中间白色正方形面积与四个直角三角形面积之和，计算得：
$c^2 + 4× \frac{1}{2}ab = 24 + 2× 10 = 44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、面积和差计算
【点评】
本题以我国古代赵爽弦图为背景，考查勾股定理与完全平方公式的结合应用，解题关键是明确拼接图形的面积组成，找到直角三角形三边的数量关系，通过代数运算求解即可。
【难度系数】
0.7
8 如图，有一块长50 cm的木板斜靠在一个直立于地面的墙面上，木板的上缘离地面的距离是30 cm，则木板的下缘离墙面的距离是
40
cm.答案
8. 40
解析
【分析】
首先观察实际场景，墙面与地面互相垂直，因此木板、墙面、地面三者可围成一个直角三角形：木板为直角三角形的斜边，上缘离地面的距离是其中一条直角边，所求的木板下缘离墙面的距离是另一条直角边。解题时先明确直角三角形的斜边和已知直角边的长度，再利用勾股定理即可求出未知直角边的长度。
【解析】
解：由题意可知墙面与地面垂直，因此木板、墙面、地面构成直角三角形，其中木板长为斜边长$ c=50\mathrm{cm} $，木板上缘离地面的距离为一条直角边长$ a=30\mathrm{cm} $。
设木板下缘离墙面的距离为另一条直角边$ b $，根据勾股定理$ a^2+b^2=c^2 $，可得：
$ b=\sqrt{c^2-a^2} $
代入数值计算：
$ b=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40(\mathrm{cm}) $
【答案】
40
【知识点】
1.勾股定理 2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是将实际生活场景转化为直角三角形数学模型，再代入勾股定理计算即可，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察实际场景，墙面与地面互相垂直，因此木板、墙面、地面三者可围成一个直角三角形：木板为直角三角形的斜边，上缘离地面的距离是其中一条直角边，所求的木板下缘离墙面的距离是另一条直角边。解题时先明确直角三角形的斜边和已知直角边的长度，再利用勾股定理即可求出未知直角边的长度。
【解析】
解：由题意可知墙面与地面垂直，因此木板、墙面、地面构成直角三角形，其中木板长为斜边长$ c=50\mathrm{cm} $，木板上缘离地面的距离为一条直角边长$ a=30\mathrm{cm} $。
设木板下缘离墙面的距离为另一条直角边$ b $，根据勾股定理$ a^2+b^2=c^2 $，可得：
$ b=\sqrt{c^2-a^2} $
代入数值计算：
$ b=\sqrt{50^2-30^2}=\sqrt{2500-900}=\sqrt{1600}=40(\mathrm{cm}) $
【答案】
40
【知识点】
1.勾股定理 2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是将实际生活场景转化为直角三角形数学模型，再代入勾股定理计算即可，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
9《村居》中的“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”描绘了孩童放风筝的活泼景象.如图，小明在放风筝时进行了如下操作:① 测得水平距离BD的长为8 m；② 根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17 m.如果小明想要风筝沿CD方向下降9 m，那么他应该往回收线
7
m.答案
9. 7 【解析】如图,设风筝下降到点$M$处,连接$BM$. 在$\mathrm{Rt}△BCD$中,由勾股定理,得$CD^2=BC^2-BD^2$,$BC=17\ \mathrm{m}$,$BD=8\ \mathrm{m}$,所以$CD=15\ \mathrm{m}$. 因为$CM=9\ \mathrm{m}$,所以$DM=CD-CM=15-9=6(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△BDM$中,由勾股定理,得$BM^2=BD^2+MD^2$,$BD=8\ \mathrm{m}$,$MD=6\ \mathrm{m}$,所以$BM=10\ \mathrm{m}$. 所以$BC-BM=17-10=7(\mathrm{m})$. 所以他应该往回收线7 m.
解析
【分析】
解题时先明确所求的收线长度是风筝下降前后风筝线的长度差。第一步，观察图形可得△BCD是直角三角形，已知斜边BC和水平直角边BD的长度，可用勾股定理先求出竖直边CD的长度；第二步，风筝沿CD下降9m后，得到新的直角三角形BDM，先通过线段差计算出DM的长度，再用勾股定理求出新的风筝线BM的长度；第三步，用原风筝线长度BC减去BM的长度，即可得到需要收线的长度。
【解析】
设风筝下降到点$M$处，连接$BM$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2$，
已知$BC=17\ \mathrm{m}$，$BD=8\ \mathrm{m}$，代入计算：
$CD=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15(\mathrm{m})$。
因为风筝沿CD方向下降$9\ \mathrm{m}$，即$CM=9\ \mathrm{m}$，
所以$DM=CD-CM=15-9=6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BDM$中，由勾股定理得：
$BM^2=BD^2+MD^2$，
代入$BD=8\ \mathrm{m}$，$MD=6\ \mathrm{m}$计算：
$BM=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(\mathrm{m})$。
则需要收线的长度为$BC-BM=17-10=7(\mathrm{m})$。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题将勾股定理和放风筝的生活场景结合，考查学生的数学建模能力和基础计算能力，解题时只需找准对应的直角三角形，逐步代入勾股定理计算即可，贴合生活实际，能让学生感受到数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
解题时先明确所求的收线长度是风筝下降前后风筝线的长度差。第一步，观察图形可得△BCD是直角三角形，已知斜边BC和水平直角边BD的长度，可用勾股定理先求出竖直边CD的长度；第二步，风筝沿CD下降9m后，得到新的直角三角形BDM，先通过线段差计算出DM的长度，再用勾股定理求出新的风筝线BM的长度；第三步，用原风筝线长度BC减去BM的长度，即可得到需要收线的长度。
【解析】
设风筝下降到点$M$处，连接$BM$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2$，
已知$BC=17\ \mathrm{m}$，$BD=8\ \mathrm{m}$，代入计算：
$CD=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15(\mathrm{m})$。
因为风筝沿CD方向下降$9\ \mathrm{m}$，即$CM=9\ \mathrm{m}$，
所以$DM=CD-CM=15-9=6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△BDM$中，由勾股定理得：
$BM^2=BD^2+MD^2$，
代入$BD=8\ \mathrm{m}$，$MD=6\ \mathrm{m}$计算：
$BM=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10(\mathrm{m})$。
则需要收线的长度为$BC-BM=17-10=7(\mathrm{m})$。
【答案】
7
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题将勾股定理和放风筝的生活场景结合，考查学生的数学建模能力和基础计算能力，解题时只需找准对应的直角三角形，逐步代入勾股定理计算即可，贴合生活实际，能让学生感受到数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
10 如图，某隧道的截面是一个半径为4.2 m的半圆形，一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过该隧道吗？
答案
10. 如图,当$OB=3÷2=1.5(\mathrm{m})$时,因为$AB^2=OA^2-OB^2=4.2^2-1.5^2=15.39(\mathrm{m}^2)$,$3.6^2=12.96$,$15.39＞12.96$,所以一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过隧道
解析
【分析】
要判断卡车能否通过隧道，最优通行方案是让卡车沿半圆形隧道的中线行驶，此时只需计算距离中线水平距离为卡车宽度一半的位置处的隧道净高，再将该高度与卡车高度比较即可。我们可以构造以半圆半径为斜边、卡车半宽为一条直角边的直角三角形，利用勾股定理求出对应位置的隧道高度，进而比较判断。
【解析】
解：当卡车沿隧道中线行驶时，卡车宽度的一半为：
$OB=3÷2=1.5(\mathrm{m})$
已知半圆形隧道的半径$OA=4.2\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理可得：
$AB^2=OA^2-OB^2$
代入数值计算：
$AB^2=4.2^2-1.5^2=17.64-2.25=15.39(\mathrm{m}^2)$
卡车的高度为$3.6\mathrm{m}$，其高度的平方为：
$3.6^2=12.96(\mathrm{m}^2)$
因为$15.39＞12.96$，所以$AB＞3.6\mathrm{m}$，即该位置的隧道净高大于卡车高度。
【答案】
一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过隧道
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的常见题型，核心是将实际通行问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时需注意选择卡车通行的最优情况（沿隧道中线行驶）进行分析计算，再通过数值比较得出结论。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否通过隧道，最优通行方案是让卡车沿半圆形隧道的中线行驶，此时只需计算距离中线水平距离为卡车宽度一半的位置处的隧道净高，再将该高度与卡车高度比较即可。我们可以构造以半圆半径为斜边、卡车半宽为一条直角边的直角三角形，利用勾股定理求出对应位置的隧道高度，进而比较判断。
【解析】
解：当卡车沿隧道中线行驶时，卡车宽度的一半为：
$OB=3÷2=1.5(\mathrm{m})$
已知半圆形隧道的半径$OA=4.2\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理可得：
$AB^2=OA^2-OB^2$
代入数值计算：
$AB^2=4.2^2-1.5^2=17.64-2.25=15.39(\mathrm{m}^2)$
卡车的高度为$3.6\mathrm{m}$，其高度的平方为：
$3.6^2=12.96(\mathrm{m}^2)$
因为$15.39＞12.96$，所以$AB＞3.6\mathrm{m}$，即该位置的隧道净高大于卡车高度。
【答案】
一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过隧道
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的常见题型，核心是将实际通行问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时需注意选择卡车通行的最优情况（沿隧道中线行驶）进行分析计算，再通过数值比较得出结论。
【难度系数】
0.7
11 新考向 阅读理解题 如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$;在正方形$IECF$中,$IE=EC=CF=FI=x$.小明发现了求正方形边长的方法:由题意,可得$BD=BE=a-x$,$AD=AF=b-x$.因为$AB=BD+AD$,所以$a-x+b-x=c$,解得$x=\dfrac{a+b-c}{2}$.
(1) 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$,可以得到$x$与$a,b,c$的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程.
(2) 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
(1) 小亮也发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{△ ABC}=S_{△ AIB}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$,可以得到$x$与$a,b,c$的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程.
(2) 请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
答案
11. (1) 因为$S_{△ ABC}=S_{△ ABI}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$,即$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx$,所以$x=\frac{ab}{a+b+c}$ (2) 根据题意,得$x=\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$,即$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$,化简,得$a^2+b^2=c^2$
解析
【分析】
(1) 本题利用面积法求解正方形边长：首先明确大直角三角形ABC的面积等于三个小三角形△ABI、△BIC、△AIC的面积之和，三个小三角形的底分别为△ABC的三边AB=c、BC=a、AC=b，对应高均为正方形的边长x，代入面积公式列等式化简即可得到x的表达式。
(2) 验证勾股定理时，将小明和小亮得到的两个x的表达式联立相等，通过整式的乘法、公式化简，最终可推导得到a²+b²=c²，完成勾股定理的验证。
【解析】
(1) 根据面积和关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABI}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$代入得：
$\displaystyle\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx$
等式两边同时乘2消去分母：
$ab = cx + ax + bx$
对右边提取公因式x：
$ab = x(a+b+c)$
移项得：$\displaystyle x=\frac{ab}{a+b+c}$
(2) 联立两人得到的x的表达式：
$\displaystyle\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$
交叉相乘得：
$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$
将右边用平方差公式化简：
$2ab=(a+b)^2 - c^2$
展开完全平方项：
$2ab=a^2+2ab+b^2 - c^2$
两边同时减去2ab，移项得：
$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\displaystyle x=\frac{ab}{a+b+c}$
(2) 化简两个结论的等量关系可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立
【知识点】
面积法求边长，整式运算，勾股定理验证
【点评】
本题结合几何图形的面积关系和代数运算验证勾股定理，体现了数形结合的核心数学思想，既拓展了几何问题的求解思路，也巩固了整式化简的运算技能。
【难度系数】
0.7
(1) 本题利用面积法求解正方形边长：首先明确大直角三角形ABC的面积等于三个小三角形△ABI、△BIC、△AIC的面积之和，三个小三角形的底分别为△ABC的三边AB=c、BC=a、AC=b，对应高均为正方形的边长x，代入面积公式列等式化简即可得到x的表达式。
(2) 验证勾股定理时，将小明和小亮得到的两个x的表达式联立相等，通过整式的乘法、公式化简，最终可推导得到a²+b²=c²，完成勾股定理的验证。
【解析】
(1) 根据面积和关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABI}+S_{△ BIC}+S_{△ AIC}$，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$代入得：
$\displaystyle\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cx+\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}bx$
等式两边同时乘2消去分母：
$ab = cx + ax + bx$
对右边提取公因式x：
$ab = x(a+b+c)$
移项得：$\displaystyle x=\frac{ab}{a+b+c}$
(2) 联立两人得到的x的表达式：
$\displaystyle\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$
交叉相乘得：
$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$
将右边用平方差公式化简：
$2ab=(a+b)^2 - c^2$
展开完全平方项：
$2ab=a^2+2ab+b^2 - c^2$
两边同时减去2ab，移项得：
$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【答案】
(1) $\displaystyle x=\frac{ab}{a+b+c}$
(2) 化简两个结论的等量关系可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立
【知识点】
面积法求边长，整式运算，勾股定理验证
【点评】
本题结合几何图形的面积关系和代数运算验证勾股定理，体现了数形结合的核心数学思想，既拓展了几何问题的求解思路，也巩固了整式化简的运算技能。
【难度系数】
0.7
