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1 老师在课上总结定理“对于任意两个正数$a$，$b$，如果$a＞b$，那么$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$”，然后讲解了一道例题：比较$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的大小.
解：$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=9×2=18$.
因为$12＜18$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$.
参考上面例题的解法，解答下面的问题：
（1）比较大小：$-3\sqrt{5}$
（2）比较$\sqrt{6}+\sqrt{2}$与$\sqrt{5}+\sqrt{3}$的大小.
解：$(2\sqrt{3})^2=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^2=9×2=18$.
因为$12＜18$，所以$2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$.
参考上面例题的解法，解答下面的问题：
（1）比较大小：$-3\sqrt{5}$
＞
$-5\sqrt{3}$（填“＞”“＜”或“=”）；（2）比较$\sqrt{6}+\sqrt{2}$与$\sqrt{5}+\sqrt{3}$的大小.
答案
(1) ＞ 【解析】因为$(3\sqrt{5})^2=9×5=45$，$(5\sqrt{3})^2=25×3=75$，$45＜75$，所以$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$。所以$-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$。
(2) 因为$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$，$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=8+2\sqrt{15}$，$(4\sqrt{3})^2=48$，$(2\sqrt{15})^2=60$，$48＜60$，所以$4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$。所以$8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$。所以$\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$
(2) 因为$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$，$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=8+2\sqrt{15}$，$(4\sqrt{3})^2=48$，$(2\sqrt{15})^2=60$，$48＜60$，所以$4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$。所以$8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$。所以$\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$
解析
【分析】
我们可以借鉴例题的平方法比较二次根式大小：正数平方后数值越大，原数越大；负数比较大小时，绝对值越大的负数本身越小。
（1）比较两个负的带二次根式的数，先计算它们绝对值的平方，得到绝对值的大小关系，再结合负数比较大小的规则判断即可；
（2）比较两个二次根式的和，因为二者均为正数，先分别平方展开化简，对剩余的无理数部分再次用平方法比较大小，就能推出原式的大小关系。
【解析】
（1）先计算两个数绝对值的平方：
$(3\sqrt{5})^2=9×5=45$，$(5\sqrt{3})^2=25×3=75$，
因为$45＜75$，所以$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$，
根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，因此$-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$。
（2）$\sqrt{6}+\sqrt{2}$和$\sqrt{5}+\sqrt{3}$均为正数，分别计算二者的平方：
$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2+2×\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt{3}$，
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15}$，
再比较$4\sqrt{3}$和$2\sqrt{15}$的大小，分别平方得：
$(4\sqrt{3})^2=16×3=48$，$(2\sqrt{15})^2=4×15=60$，
因为$48＜60$，所以$4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$，
因此$8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$，故$\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{＞}$；（2）$\boxed{\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
【知识点】
实数大小比较、二次根式运算、平方比较法
【点评】
本题重点考查平方法在二次根式大小比较中的应用，解题时要注意负数比较大小的特殊性，对于根式和的比较，平方后可对剩余无理部分再次用平方法比较，逻辑清晰，方法实用性强。
【难度系数】
0.7
我们可以借鉴例题的平方法比较二次根式大小：正数平方后数值越大，原数越大；负数比较大小时，绝对值越大的负数本身越小。
（1）比较两个负的带二次根式的数，先计算它们绝对值的平方，得到绝对值的大小关系，再结合负数比较大小的规则判断即可；
（2）比较两个二次根式的和，因为二者均为正数，先分别平方展开化简，对剩余的无理数部分再次用平方法比较大小，就能推出原式的大小关系。
【解析】
（1）先计算两个数绝对值的平方：
$(3\sqrt{5})^2=9×5=45$，$(5\sqrt{3})^2=25×3=75$，
因为$45＜75$，所以$3\sqrt{5}＜5\sqrt{3}$，
根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，因此$-3\sqrt{5}＞-5\sqrt{3}$。
（2）$\sqrt{6}+\sqrt{2}$和$\sqrt{5}+\sqrt{3}$均为正数，分别计算二者的平方：
$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{6})^2+2×\sqrt{6}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt{3}$，
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{5}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15}$，
再比较$4\sqrt{3}$和$2\sqrt{15}$的大小，分别平方得：
$(4\sqrt{3})^2=16×3=48$，$(2\sqrt{15})^2=4×15=60$，
因为$48＜60$，所以$4\sqrt{3}＜2\sqrt{15}$，
因此$8+4\sqrt{3}＜8+2\sqrt{15}$，故$\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{＞}$；（2）$\boxed{\sqrt{6}+\sqrt{2}＜\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
【知识点】
实数大小比较、二次根式运算、平方比较法
【点评】
本题重点考查平方法在二次根式大小比较中的应用，解题时要注意负数比较大小的特殊性，对于根式和的比较，平方后可对剩余无理部分再次用平方法比较，逻辑清晰，方法实用性强。
【难度系数】
0.7
2 课堂上，老师出了一道题：比较$\frac{\sqrt{19}-2}{3}$与$\frac{2}{3}$的大小.小明的解法如下：
解：$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.因为$19＞16$，所以$\sqrt{19}＞4$.所以$\sqrt{19}-4＞0$.所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$.所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.请仿照上述方法，比较下面各组数的大小：
(1) $1-\sqrt{5}$和$1-\sqrt{3}$；
(2) 一题多解 $\frac{6-\sqrt{5}}{8}$和$\frac{3}{8}$.
解：$\frac{\sqrt{19}-2}{3}-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{19}-2-2}{3}=\frac{\sqrt{19}-4}{3}$.因为$19＞16$，所以$\sqrt{19}＞4$.所以$\sqrt{19}-4＞0$.所以$\frac{\sqrt{19}-4}{3}＞0$.所以$\frac{\sqrt{19}-2}{3}＞\frac{2}{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.请仿照上述方法，比较下面各组数的大小：
(1) $1-\sqrt{5}$和$1-\sqrt{3}$；
(2) 一题多解 $\frac{6-\sqrt{5}}{8}$和$\frac{3}{8}$.
答案
(1) 根据题意可知，$1-\sqrt{5}-(1-\sqrt{3})=1-\sqrt{5}-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{5}$. 因为$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，所以$\sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$. 所以$1-\sqrt{5}＜1-\sqrt{3}$
(2) 解法一:根据题意可知，$\frac{6-\sqrt{5}}{8}-\frac{3}{8}=\frac{6-\sqrt{5}-3}{8}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$. 因为$3＞\sqrt{5}$，所以$3-\sqrt{5}＞0$. 所以$\frac{3-\sqrt{5}}{8}＞0$. 所以$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
解法二:因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$. 所以$3＜6-\sqrt{5}＜4$. 所以$\frac{3}{8}＜\frac{6-\sqrt{5}}{8}＜\frac{1}{2}$. 所以$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
(2) 解法一:根据题意可知，$\frac{6-\sqrt{5}}{8}-\frac{3}{8}=\frac{6-\sqrt{5}-3}{8}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$. 因为$3＞\sqrt{5}$，所以$3-\sqrt{5}＞0$. 所以$\frac{3-\sqrt{5}}{8}＞0$. 所以$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
解法二:因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$. 所以$3＜6-\sqrt{5}＜4$. 所以$\frac{3}{8}＜\frac{6-\sqrt{5}}{8}＜\frac{1}{2}$. 所以$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，可结合题目给出的作差法思路解题，也可根据数的特征选择合适方法：1. 作差法的核心逻辑是：若$a-b＞0$，则$a＞b$；若$a-b＜0$，则$a＜b$；若$a-b=0$，则$a=b$。解题时先对两个数作差，化简差的表达式，再通过比较无理数与有理数的大小判断差的正负，最终得到两个数的大小关系。2. 对于同分母的分数比较大小，也可直接比较分子的大小，此时可先估算无理数的取值范围，推导分子的大小后直接比较分数大小。
【解析】
(1) 对两个数作差：
$1-\sqrt{5}-(1-\sqrt{3})=1-\sqrt{5}-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{5}$
因为$3＜5$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，因此$\sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$
所以$1-\sqrt{5}＜1-\sqrt{3}$
(2) 解法一（作差法）：
对两个数作差：
$\frac{6-\sqrt{5}}{8}-\frac{3}{8}=\frac{6-\sqrt{5}-3}{8}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$
因为$3=\sqrt{9}$，$9＞5$，所以$\sqrt{9}＞\sqrt{5}$，即$3＞\sqrt{5}$，因此$3-\sqrt{5}＞0$
所以$\frac{3-\sqrt{5}}{8}＞0$，即$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
解法二（估算法）：
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$
不等式两边同时加6，得$6-3＜6-\sqrt{5}＜6-2$，即$3＜6-\sqrt{5}＜4$
两个分数分母相同，分子越大分数越大，因此$\frac{3}{8}＜\frac{6-\sqrt{5}}{8}$
即$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
【答案】
(1) $1-\sqrt{5}＜1-\sqrt{3}$
(2) $\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
【知识点】
实数大小比较，作差法，无理数估算
【点评】
本题重点考查作差法比较实数大小的应用，同时兼顾无理数估算能力的考查，解题时要熟练掌握作差法的四步：作差、化简、判断差的正负、得出结论，也可根据数字特征灵活选择更简便的比较方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的大小比较，可结合题目给出的作差法思路解题，也可根据数的特征选择合适方法：1. 作差法的核心逻辑是：若$a-b＞0$，则$a＞b$；若$a-b＜0$，则$a＜b$；若$a-b=0$，则$a=b$。解题时先对两个数作差，化简差的表达式，再通过比较无理数与有理数的大小判断差的正负，最终得到两个数的大小关系。2. 对于同分母的分数比较大小，也可直接比较分子的大小，此时可先估算无理数的取值范围，推导分子的大小后直接比较分数大小。
【解析】
(1) 对两个数作差：
$1-\sqrt{5}-(1-\sqrt{3})=1-\sqrt{5}-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{5}$
因为$3＜5$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{5}$，因此$\sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$
所以$1-\sqrt{5}＜1-\sqrt{3}$
(2) 解法一（作差法）：
对两个数作差：
$\frac{6-\sqrt{5}}{8}-\frac{3}{8}=\frac{6-\sqrt{5}-3}{8}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$
因为$3=\sqrt{9}$，$9＞5$，所以$\sqrt{9}＞\sqrt{5}$，即$3＞\sqrt{5}$，因此$3-\sqrt{5}＞0$
所以$\frac{3-\sqrt{5}}{8}＞0$，即$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
解法二（估算法）：
因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$
不等式两边同时加6，得$6-3＜6-\sqrt{5}＜6-2$，即$3＜6-\sqrt{5}＜4$
两个分数分母相同，分子越大分数越大，因此$\frac{3}{8}＜\frac{6-\sqrt{5}}{8}$
即$\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
【答案】
(1) $1-\sqrt{5}＜1-\sqrt{3}$
(2) $\frac{6-\sqrt{5}}{8}＞\frac{3}{8}$
【知识点】
实数大小比较，作差法，无理数估算
【点评】
本题重点考查作差法比较实数大小的应用，同时兼顾无理数估算能力的考查，解题时要熟练掌握作差法的四步：作差、化简、判断差的正负、得出结论，也可根据数字特征灵活选择更简便的比较方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3 用作商法比较大小：
(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ 和 $\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $8\sqrt{7}$ 和 $14\sqrt{2}$。
(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ 和 $\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $8\sqrt{7}$ 和 $14\sqrt{2}$。
答案
(1) $\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}=\frac{\sqrt{28}}{5}＞1$，所以$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) $\frac{8\sqrt{7}}{14\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{448}}{\sqrt{392}}＞1$，所以$8\sqrt{7}＞14\sqrt{2}$
(2) $\frac{8\sqrt{7}}{14\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{448}}{\sqrt{392}}＞1$，所以$8\sqrt{7}＞14\sqrt{2}$
解析
【分析】
用作商法比较两个正实数大小的核心逻辑是：对于两个正数a、b，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。本题中要比较的两组数均为正数，符合作商法的适用条件。解题思路为：首先确认待比较的两个数均为正数，再将两数相除，按二次根式乘除法则化简商，最后判断商和1的大小关系，即可得出两数的大小结论。
【解析】
(1) 已知$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞0$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞0$，计算两数的商：
$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}=\frac{\sqrt{4×7}}{5}=\frac{\sqrt{28}}{5}$
因为$\sqrt{28}＞\sqrt{25}=5$，所以$\frac{\sqrt{28}}{5}＞1$，可得$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2) 已知$8\sqrt{7}＞0$，$14\sqrt{2}＞0$，计算两数的商：
$\frac{8\sqrt{7}}{14\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8^2×7}}{\sqrt{14^2×2}}=\frac{\sqrt{448}}{\sqrt{392}}$
因为$448＞392$，所以$\sqrt{448}＞\sqrt{392}$，即$\frac{\sqrt{448}}{\sqrt{392}}＞1$，可得$8\sqrt{7}＞14\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) $8\sqrt{7}＞14\sqrt{2}$
【知识点】
作商法比较大小，二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，重点考查作商法的应用和二次根式的运算能力，解题时要先确认待比较数的符号，再准确化简商式，通过商与1的大小关系得出最终结论，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
用作商法比较两个正实数大小的核心逻辑是：对于两个正数a、b，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a=b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。本题中要比较的两组数均为正数，符合作商法的适用条件。解题思路为：首先确认待比较的两个数均为正数，再将两数相除，按二次根式乘除法则化简商，最后判断商和1的大小关系，即可得出两数的大小结论。
【解析】
(1) 已知$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞0$，$\frac{\sqrt{5}}{2}＞0$，计算两数的商：
$\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} × \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}=\frac{\sqrt{4×7}}{5}=\frac{\sqrt{28}}{5}$
因为$\sqrt{28}＞\sqrt{25}=5$，所以$\frac{\sqrt{28}}{5}＞1$，可得$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2) 已知$8\sqrt{7}＞0$，$14\sqrt{2}＞0$，计算两数的商：
$\frac{8\sqrt{7}}{14\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8^2×7}}{\sqrt{14^2×2}}=\frac{\sqrt{448}}{\sqrt{392}}$
因为$448＞392$，所以$\sqrt{448}＞\sqrt{392}$，即$\frac{\sqrt{448}}{\sqrt{392}}＞1$，可得$8\sqrt{7}＞14\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}＞\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) $8\sqrt{7}＞14\sqrt{2}$
【知识点】
作商法比较大小，二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，重点考查作商法的应用和二次根式的运算能力，解题时要先确认待比较数的符号，再准确化简商式，通过商与1的大小关系得出最终结论，熟练掌握二次根式的化简规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4 阅读材料：
比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$与$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小.
解：$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$，$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$. 因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}＞0$，所以$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}＜\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
仿照上述方法比较$4-\sqrt{13}$与$2\sqrt{3}-3$的大小.
比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$与$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小.
解：$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$，$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$. 因为$\sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}＞0$，所以$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}＜\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
所以$\sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
仿照上述方法比较$4-\sqrt{13}$与$2\sqrt{3}-3$的大小.
答案
$\frac{1}{4-\sqrt{13}}=\frac{4+\sqrt{13}}{(4-\sqrt{13})(4+\sqrt{13})}=\frac{4+\sqrt{13}}{3}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}-3}=\frac{2\sqrt{3}+3}{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)}=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$. 因为$2\sqrt{3}+3=\sqrt{12}+3$，$4＞3＞0$，$\sqrt{13}＞\sqrt{12}＞0$，所以$4+\sqrt{13}＞\sqrt{12}+3＞0$. 所以$\frac{1}{4-\sqrt{13}}＞\frac{1}{2\sqrt{3}-3}$. 所以$4-\sqrt{13}＜2\sqrt{3}-3$
解析
【分析】
本题可参照题中给出的比较方法求解，首先观察待比较的两个数$4-\sqrt{13}$和$2\sqrt{3}-3$均为正数，对于正数而言，倒数越大，原数越小。因此我们可以先分别求出两个数的倒数，再通过分母有理化将倒数化为同分母的形式，比较两个倒数的大小，最后反向推出原数的大小关系即可。
【解析】
首先分别计算两个数的倒数并进行分母有理化：
1. 计算$\frac{1}{4-\sqrt{13}}$：
利用平方差公式有理化分母，分子分母同乘$4+\sqrt{13}$：
$\frac{1}{4-\sqrt{13}}=\frac{4+\sqrt{13}}{(4-\sqrt{13})(4+\sqrt{13})}=\frac{4+\sqrt{13}}{16-13}=\frac{4+\sqrt{13}}{3}$
2. 计算$\frac{1}{2\sqrt{3}-3}$：
利用平方差公式有理化分母，分子分母同乘$2\sqrt{3}+3$：
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3}=\frac{2\sqrt{3}+3}{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)}=\frac{2\sqrt{3}+3}{(2\sqrt{3})^2-3^2}=\frac{2\sqrt{3}+3}{12-9}=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$
接下来比较两个倒数的大小：
先把$2\sqrt{3}$化为根号形式：$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，
因为$4＞3＞0$，$\sqrt{13}＞\sqrt{12}＞0$，所以$4+\sqrt{13}＞\sqrt{12}+3=2\sqrt{3}+3＞0$，
因此$\frac{4+\sqrt{13}}{3}＞\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，即$\frac{1}{4-\sqrt{13}}＞\frac{1}{2\sqrt{3}-3}$。
由于$4-\sqrt{13}＞0$，$2\sqrt{3}-3＞0$，正数的倒数越大，原数越小，所以$4-\sqrt{13}＜2\sqrt{3}-3$。
【答案】
$4-\sqrt{13}＜2\sqrt{3}-3$
【知识点】
实数大小比较，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题是方法迁移类题目，解题核心是掌握倒数法比较正数大小的规律，熟练运用平方差公式进行根式有理化，能够将例题给出的方法灵活应用到新的比较场景中。
【难度系数】
0.7
本题可参照题中给出的比较方法求解，首先观察待比较的两个数$4-\sqrt{13}$和$2\sqrt{3}-3$均为正数，对于正数而言，倒数越大，原数越小。因此我们可以先分别求出两个数的倒数，再通过分母有理化将倒数化为同分母的形式，比较两个倒数的大小，最后反向推出原数的大小关系即可。
【解析】
首先分别计算两个数的倒数并进行分母有理化：
1. 计算$\frac{1}{4-\sqrt{13}}$：
利用平方差公式有理化分母，分子分母同乘$4+\sqrt{13}$：
$\frac{1}{4-\sqrt{13}}=\frac{4+\sqrt{13}}{(4-\sqrt{13})(4+\sqrt{13})}=\frac{4+\sqrt{13}}{16-13}=\frac{4+\sqrt{13}}{3}$
2. 计算$\frac{1}{2\sqrt{3}-3}$：
利用平方差公式有理化分母，分子分母同乘$2\sqrt{3}+3$：
$\frac{1}{2\sqrt{3}-3}=\frac{2\sqrt{3}+3}{(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)}=\frac{2\sqrt{3}+3}{(2\sqrt{3})^2-3^2}=\frac{2\sqrt{3}+3}{12-9}=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$
接下来比较两个倒数的大小：
先把$2\sqrt{3}$化为根号形式：$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，
因为$4＞3＞0$，$\sqrt{13}＞\sqrt{12}＞0$，所以$4+\sqrt{13}＞\sqrt{12}+3=2\sqrt{3}+3＞0$，
因此$\frac{4+\sqrt{13}}{3}＞\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$，即$\frac{1}{4-\sqrt{13}}＞\frac{1}{2\sqrt{3}-3}$。
由于$4-\sqrt{13}＞0$，$2\sqrt{3}-3＞0$，正数的倒数越大，原数越小，所以$4-\sqrt{13}＜2\sqrt{3}-3$。
【答案】
$4-\sqrt{13}＜2\sqrt{3}-3$
【知识点】
实数大小比较，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题是方法迁移类题目，解题核心是掌握倒数法比较正数大小的规律，熟练运用平方差公式进行根式有理化，能够将例题给出的方法灵活应用到新的比较场景中。
【难度系数】
0.7
