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14 小康和小英玩摸卡片游戏.如图,有三张完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式.现将卡片背面朝上,小康随机抽取两张.若小康所抽取的两张卡片上写的都是无理数,则它们的和为（
A.4
B.6
C.8
D.10
A
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
14. A
解析
【分析】
解题分为三步：首先分别计算三张卡片上算式的结果，判断每个结果是否为无理数；其次筛选出结果为无理数的两张卡片；最后将这两个无理数相加即可得到答案。计算过程中要正确运用完全平方公式、平方差公式以及二次根式的化简规则，保证运算准确。
【解析】
1. 计算各卡片的运算结果，判断是否为无理数：
① 卡片A：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$(1-\sqrt{3})^2=1^2-2×1×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$，是无理数；
② 卡片B：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，是有理数；
③ 卡片C：先化简二次根式，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
因此$\sqrt{48}÷\sqrt{(-2)^2}=4\sqrt{3}÷2=2\sqrt{3}$，是无理数。
2. 两张均为无理数的卡片是A和C，计算两数之和：
$(4-2\sqrt{3})+2\sqrt{3}=4$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算，无理数的识别，乘法公式的应用
【点评】
本题结合了二次根式运算与无理数判断两个考点，解题核心是先准确计算各卡片的运算结果，再按要求选取对应数字求和，合理运用乘法公式可以有效简化运算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题分为三步：首先分别计算三张卡片上算式的结果，判断每个结果是否为无理数；其次筛选出结果为无理数的两张卡片；最后将这两个无理数相加即可得到答案。计算过程中要正确运用完全平方公式、平方差公式以及二次根式的化简规则，保证运算准确。
【解析】
1. 计算各卡片的运算结果，判断是否为无理数：
① 卡片A：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$(1-\sqrt{3})^2=1^2-2×1×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$，是无理数；
② 卡片B：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，是有理数；
③ 卡片C：先化简二次根式，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，
因此$\sqrt{48}÷\sqrt{(-2)^2}=4\sqrt{3}÷2=2\sqrt{3}$，是无理数。
2. 两张均为无理数的卡片是A和C，计算两数之和：
$(4-2\sqrt{3})+2\sqrt{3}=4$
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算，无理数的识别，乘法公式的应用
【点评】
本题结合了二次根式运算与无理数判断两个考点，解题核心是先准确计算各卡片的运算结果，再按要求选取对应数字求和，合理运用乘法公式可以有效简化运算、降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15 新考向新定义题 对于任意正实数$a,b$,定义一种新的运算:$a\otimes b=\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}$,如$2\otimes3=\sqrt{2×3}-\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.计算:$3\otimes6=$
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
.答案
15. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步，先准确理解新运算“⊗”的运算规则：两个数a、b进行⊗运算，结果等于a与b乘积的算术平方根减去a除以b的商的算术平方根；第二步，将a=3、b=6代入运算规则列出算式；第三步，按照二次根式的化简、加减运算法则计算出最终结果，注意结果要化为最简二次根式。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}$，把$a=3$，$b=6$代入得：
$\begin{aligned}3\otimes6&=\sqrt{3×6}-\sqrt{\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{18}-\sqrt{\frac{1}{2}}\\&=3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{6\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题结合新定义形式考查二次根式的运算，核心是准确理解新运算规则，代入数值后严格按照二次根式的运算法则化简计算即可，注意最终运算结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步，先准确理解新运算“⊗”的运算规则：两个数a、b进行⊗运算，结果等于a与b乘积的算术平方根减去a除以b的商的算术平方根；第二步，将a=3、b=6代入运算规则列出算式；第三步，按照二次根式的化简、加减运算法则计算出最终结果，注意结果要化为最简二次根式。
【解析】
根据新定义的运算规则$a\otimes b=\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}$，把$a=3$，$b=6$代入得：
$\begin{aligned}3\otimes6&=\sqrt{3×6}-\sqrt{\frac{3}{6}}\\&=\sqrt{18}-\sqrt{\frac{1}{2}}\\&=3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{6\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题结合新定义形式考查二次根式的运算，核心是准确理解新运算规则，代入数值后严格按照二次根式的运算法则化简计算即可，注意最终运算结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
16 如图,某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD,长BC为$\sqrt{128}$米,宽AB为$\sqrt{50}$米,现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛(涂色部分),每个长方形花坛的长为$(\sqrt{13}+1)$米,宽为$(\sqrt{13}-1)$米.
(1) 求长方形ABCD的周长(结果化为最简二次根式).
(2) 除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为30元/米²的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元?
(第16题)
(1) 求长方形ABCD的周长(结果化为最简二次根式).
(2) 除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为30元/米²的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元?
(第16题)答案
16. (1) $2×(\sqrt{128}+\sqrt{50})=2×(8\sqrt{2}+5\sqrt{2})=26\sqrt{2}$(米),所以长方形ABCD的周长为$26\sqrt{2}$米
(2) $\sqrt{128}×\sqrt{50}-2×(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)=56$(平方米),则$56×30=1680$(元),所以要铺完整个通道,则购买地砖需要花费1680元
(2) $\sqrt{128}×\sqrt{50}-2×(\sqrt{13}+1)×(\sqrt{13}-1)=56$(平方米),则$56×30=1680$(元),所以要铺完整个通道,则购买地砖需要花费1680元
解析
【分析】
（1）求长方形ABCD的周长，可直接利用长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。先将题目给出的长$\sqrt{128}$、宽$\sqrt{50}$化为最简二次根式，再合并同类二次根式后代入公式计算即可。
（2）求购买地砖的总花费，需先计算通道的面积：通道面积=大长方形ABCD的面积-2个花坛的总面积。先根据长方形面积公式分别计算大长方形、单个花坛的面积，计算单个花坛面积时可利用平方差公式简化运算，得到通道面积后乘每平方米地砖的造价，即可得到总花费。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(\sqrt{128}+\sqrt{50})\\&=2×(8\sqrt{2}+5\sqrt{2})\\&=2×13\sqrt{2}\\&=26\sqrt{2}(\mathrm{米})\end{aligned}$
(2) 先计算通道面积，再计算总花费：
$\begin{aligned}\mathrm{大长方形面积}&=\sqrt{128}×\sqrt{50}=\sqrt{128×50}=\sqrt{6400}=80(\mathrm{平方米})\\\mathrm{单个花坛面积}&=(\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1)=(\sqrt{13})^2-1^2=13-1=12(\mathrm{平方米})\\\mathrm{通道面积}&=80-2×12=56(\mathrm{平方米})\\\mathrm{总花费}&=56×30=1680(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
(1) 长方形ABCD的周长为$26\sqrt{2}$米；
(2) 购买地砖需要花费1680元。
【知识点】
二次根式的运算、长方形周长与面积计算、平方差公式
【点评】
本题结合生活场景考察二次根式的实际应用，解题时要熟练掌握二次根式的化简规则，灵活运用乘法公式简化运算，降低计算出错的概率，属于二次根式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）求长方形ABCD的周长，可直接利用长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。先将题目给出的长$\sqrt{128}$、宽$\sqrt{50}$化为最简二次根式，再合并同类二次根式后代入公式计算即可。
（2）求购买地砖的总花费，需先计算通道的面积：通道面积=大长方形ABCD的面积-2个花坛的总面积。先根据长方形面积公式分别计算大长方形、单个花坛的面积，计算单个花坛面积时可利用平方差公式简化运算，得到通道面积后乘每平方米地砖的造价，即可得到总花费。
【解析】
(1) 根据长方形周长公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(\sqrt{128}+\sqrt{50})\\&=2×(8\sqrt{2}+5\sqrt{2})\\&=2×13\sqrt{2}\\&=26\sqrt{2}(\mathrm{米})\end{aligned}$
(2) 先计算通道面积，再计算总花费：
$\begin{aligned}\mathrm{大长方形面积}&=\sqrt{128}×\sqrt{50}=\sqrt{128×50}=\sqrt{6400}=80(\mathrm{平方米})\\\mathrm{单个花坛面积}&=(\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1)=(\sqrt{13})^2-1^2=13-1=12(\mathrm{平方米})\\\mathrm{通道面积}&=80-2×12=56(\mathrm{平方米})\\\mathrm{总花费}&=56×30=1680(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
(1) 长方形ABCD的周长为$26\sqrt{2}$米；
(2) 购买地砖需要花费1680元。
【知识点】
二次根式的运算、长方形周长与面积计算、平方差公式
【点评】
本题结合生活场景考察二次根式的实际应用，解题时要熟练掌握二次根式的化简规则，灵活运用乘法公式简化运算，降低计算出错的概率，属于二次根式应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
1 已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\dfrac{3}{\sqrt{7}-2}$，则$a$与$b$的关系为（
A.$ab=1$
B.$ab=-1$
C.$a=b$
D.$a=-b$
C
）A.$ab=1$
B.$ab=-1$
C.$a=b$
D.$a=-b$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断a与b的关系，首先观察到b的分母含有二次根式，我们可以先通过分母有理化将b化简为最简形式，再将化简后的b与a的表达式进行对比，即可得出二者的关系。
【解析】
首先对b进行分母有理化：
给$b=\dfrac{3}{\sqrt{7}-2}$的分子、分母同乘$\sqrt{7}+2$（利用平方差公式消去分母中的根号），得：
$b=\dfrac{3×(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}$
计算分母：根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，可得$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7})^2 - 2^2=7-4=3$
代入原式得：$b=\dfrac{3(\sqrt{7}+2)}{3}=\sqrt{7}+2$
已知$a=\sqrt{7}+2$，因此$a=b$。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握分母有理化的操作方法，通过化简b的表达式再和a对比即可快速得到结果，是二次根式混合运算的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断a与b的关系，首先观察到b的分母含有二次根式，我们可以先通过分母有理化将b化简为最简形式，再将化简后的b与a的表达式进行对比，即可得出二者的关系。
【解析】
首先对b进行分母有理化：
给$b=\dfrac{3}{\sqrt{7}-2}$的分子、分母同乘$\sqrt{7}+2$（利用平方差公式消去分母中的根号），得：
$b=\dfrac{3×(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}$
计算分母：根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2-n^2$，可得$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7})^2 - 2^2=7-4=3$
代入原式得：$b=\dfrac{3(\sqrt{7}+2)}{3}=\sqrt{7}+2$
已知$a=\sqrt{7}+2$，因此$a=b$。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握分母有理化的操作方法，通过化简b的表达式再和a对比即可快速得到结果，是二次根式混合运算的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
2 阅读材料，并解决问题.
定义:将分母中的根号化去的过程叫作分母有理化,例如:$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$；$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1^2}=\sqrt{3}-1$.
(1) 将$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$分母有理化；
(2) 计算:$\frac{2}{\sqrt{3}+1}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{2}{\sqrt{999}+\sqrt{997}}$.
定义:将分母中的根号化去的过程叫作分母有理化,例如:$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$；$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^2 -1^2}=\sqrt{3}-1$.
(1) 将$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$分母有理化；
(2) 计算:$\frac{2}{\sqrt{3}+1}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{2}{\sqrt{999}+\sqrt{997}}$.
答案
2. (1) 原式$=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2) 原式$=\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+…+\sqrt{999}-\sqrt{997}=\sqrt{999}-1=3\sqrt{111}-1$
(2) 原式$=\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+…+\sqrt{999}-\sqrt{997}=\sqrt{999}-1=3\sqrt{111}-1$
解析
【分析】
(1) 解决分母有理化问题时，若分母是两个二次根式相加的形式，根据平方差公式的特征，其有理化因式为对应的两个二次根式相减的形式。本题分母为$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，因此给分子、分母同时乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，即可消去分母中的根号。
(2) 观察式子结构，每一项的分母都是相邻奇数的算术平方根之和、分子都是2，可先仿照(1)的方法对每一项分母有理化，会发现每一项化简后都是两个二次根式相减的形式，中间的项可相互抵消，仅保留首尾两项，再化简计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
原式$=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2) 先对每一项分别分母有理化：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$，$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，……，$\frac{2}{\sqrt{999}+\sqrt{997}}=\sqrt{999}-\sqrt{997}$
代入原式得：
原式$=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{999}-\sqrt{997})$
中间项相互抵消后剩余：
$=\sqrt{999}-1=3\sqrt{111}-1$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(2) $3\sqrt{111}-1$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式混合运算
【点评】
本题重点考查分母有理化的应用和裂项相消的计算技巧，解题的核心是正确找出分母的有理化因式，通过裂项抵消简化计算过程，避免逐次通分的复杂运算。
【难度系数】
0.7
(1) 解决分母有理化问题时，若分母是两个二次根式相加的形式，根据平方差公式的特征，其有理化因式为对应的两个二次根式相减的形式。本题分母为$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，因此给分子、分母同时乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，即可消去分母中的根号。
(2) 观察式子结构，每一项的分母都是相邻奇数的算术平方根之和、分子都是2，可先仿照(1)的方法对每一项分母有理化，会发现每一项化简后都是两个二次根式相减的形式，中间的项可相互抵消，仅保留首尾两项，再化简计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{5}-\sqrt{3}$：
原式$=\frac{2×(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2) 先对每一项分别分母有理化：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$，$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，$\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，……，$\frac{2}{\sqrt{999}+\sqrt{997}}=\sqrt{999}-\sqrt{997}$
代入原式得：
原式$=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{999}-\sqrt{997})$
中间项相互抵消后剩余：
$=\sqrt{999}-1=3\sqrt{111}-1$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$；(2) $3\sqrt{111}-1$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式混合运算
【点评】
本题重点考查分母有理化的应用和裂项相消的计算技巧，解题的核心是正确找出分母的有理化因式，通过裂项抵消简化计算过程，避免逐次通分的复杂运算。
【难度系数】
0.7
