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1 化简$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$的结果是 （
A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
A
）A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\sqrt{\frac{2}{3}}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
要化简含有二次根式的分式，首先要明确最简二次根式的要求：分母不能含有根号，根号内不能含有分母。本题的解题思路是对分母进行有理化：给分子和分母同时乘分母中的根号部分$\sqrt{3}$，利用二次根式的性质$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a(a≥0)$去掉分母的根号，再计算分子的结果即可，注意选项C虽然数值和原式相等，但不符合最简二次根式的要求，不是最终化简结果。
【解析】
解：对$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}$，得：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$
根据二次根式乘法法则，分子$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，分母$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
因此化简结果为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化；二次根式乘法运算；最简二次根式
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，核心是掌握分母有理化的操作方法和最简二次根式的判定标准，做题时要注意区分数值相等但未化简完全的干扰项，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
要化简含有二次根式的分式，首先要明确最简二次根式的要求：分母不能含有根号，根号内不能含有分母。本题的解题思路是对分母进行有理化：给分子和分母同时乘分母中的根号部分$\sqrt{3}$，利用二次根式的性质$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a(a≥0)$去掉分母的根号，再计算分子的结果即可，注意选项C虽然数值和原式相等，但不符合最简二次根式的要求，不是最终化简结果。
【解析】
解：对$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{3}$，得：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$
根据二次根式乘法法则，分子$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，分母$\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
因此化简结果为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化；二次根式乘法运算；最简二次根式
【点评】
本题考查二次根式的基础化简，核心是掌握分母有理化的操作方法和最简二次根式的判定标准，做题时要注意区分数值相等但未化简完全的干扰项，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
2 化简$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$的结果是 （
A.$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
D
）A.$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
要化简分母含有二次根式的式子，核心思路是分母有理化，去掉分母中的根号。观察到分母是$\sqrt{3}-\sqrt{5}$，我们可以利用平方差公式的特点，给分子、分母同时乘以分母的有理化因式$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，这样分母就能转化为有理数，再进一步化简即可，计算过程中要特别注意符号的变化。
【解析】
对原式进行分母有理化，分子、分母同时乘以$\sqrt{3}+\sqrt{5}$：
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}&=\frac{1×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3-5}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{-2}\\&=-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是准确找到分母的有理化因式，计算时要注意平方差运算的结果符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
要化简分母含有二次根式的式子，核心思路是分母有理化，去掉分母中的根号。观察到分母是$\sqrt{3}-\sqrt{5}$，我们可以利用平方差公式的特点，给分子、分母同时乘以分母的有理化因式$\sqrt{3}+\sqrt{5}$，这样分母就能转化为有理数，再进一步化简即可，计算过程中要特别注意符号的变化。
【解析】
对原式进行分母有理化，分子、分母同时乘以$\sqrt{3}+\sqrt{5}$：
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}&=\frac{1×(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{3-5}\\&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{-2}\\&=-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是准确找到分母的有理化因式，计算时要注意平方差运算的结果符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
3 将代数式$\frac{3}{\sqrt{5}+2\sqrt{2}}$的分母化为有理数，结果是
$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
。答案
3. $2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要将代数式的分母化为有理数，即进行分母有理化。首先观察分母为$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$，是两个二次根式相加的形式，可利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$消去根号，因此只需给分子、分母同时乘分母的有理化因式$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$，将分母转化为有理数后再化简计算即可。
【解析】
对原式进行分母有理化，给分子、分母同时乘以$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$，计算过程如下：
$\begin{aligned}\frac{3}{\sqrt{5}+2\sqrt{2}}&=\frac{3×(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{5}+2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}\\&=\frac{3(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}\\&=\frac{3(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{8-5}\\&=\frac{3(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{3}\\&=2\sqrt{2}-\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查分母有理化的操作方法，解题关键是准确找到分母对应的有理化因式，结合平方差公式计算即可，属于二次根式运算中必须熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
要将代数式的分母化为有理数，即进行分母有理化。首先观察分母为$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$，是两个二次根式相加的形式，可利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$消去根号，因此只需给分子、分母同时乘分母的有理化因式$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$，将分母转化为有理数后再化简计算即可。
【解析】
对原式进行分母有理化，给分子、分母同时乘以$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$，计算过程如下：
$\begin{aligned}\frac{3}{\sqrt{5}+2\sqrt{2}}&=\frac{3×(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{5}+2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}\\&=\frac{3(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}\\&=\frac{3(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{8-5}\\&=\frac{3(2\sqrt{2}-\sqrt{5})}{3}\\&=2\sqrt{2}-\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查分母有理化的操作方法，解题关键是准确找到分母对应的有理化因式，结合平方差公式计算即可，属于二次根式运算中必须熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
4 下列计算中,正确的是 (
A.$\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=5$
C.$\sqrt{18}÷\sqrt{3}=\sqrt{15}$
D.$\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$
D
)A.$\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=5$
C.$\sqrt{18}÷\sqrt{3}=\sqrt{15}$
D.$\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算规则，解题时需逐一验证每个选项：首先明确二次根式加减的前提是被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；二次根式乘除运算遵循$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$的法则，按规则计算后判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此A错误；
B选项：同类二次根式相减，系数相减、根号部分不变，$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=(5-1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}≠5$，因此B错误；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{3}=\sqrt{18÷3}=\sqrt{6}≠\sqrt{15}$，因此C错误；
D选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6$，计算正确，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；同类二次根式的识别
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式各类运算的基本规则，注意区分加减和乘除运算的不同要求，避免出现非同类二次根式强行合并、乘除运算时直接对被开方数加减等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算规则，解题时需逐一验证每个选项：首先明确二次根式加减的前提是被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；二次根式乘除运算遵循$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$的法则，按规则计算后判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此A错误；
B选项：同类二次根式相减，系数相减、根号部分不变，$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=(5-1)\sqrt{3}=4\sqrt{3}≠5$，因此B错误；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{18}÷\sqrt{3}=\sqrt{18÷3}=\sqrt{6}≠\sqrt{15}$，因此C错误；
D选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6$，计算正确，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；同类二次根式的识别
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式各类运算的基本规则，注意区分加减和乘除运算的不同要求，避免出现非同类二次根式强行合并、乘除运算时直接对被开方数加减等常见错误。
【难度系数】
0.8
5 新情境游戏活动 老师设计了一个“接力游戏”,用合作的方式完成二次根式的混合运算.如图,老师把题目交给一名同学,他完成一步解答后交给第二名同学,依次进行,最后完成计算,规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中,自己负责的式子出现错误的是 (
A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮
B
)A.小明和小丽
B.小丽和小红
C.小红和小亮
D.小丽和小亮
答案
5. B
解析
【分析】
解题时需按照接力顺序，依次验证每一名同学的运算步骤是否符合二次根式的运算法则：首先依据除法分配律，两个数的和除以一个数，可以分别用这两个数除以除数再相加；再结合二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、二次根式的化简规则，逐步骤判断正误，最终找到出错的同学。
【解析】
我们依次检查每一步的运算：
1. 检查小明的步骤：
老师给出的式子为$(\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据除法分配律和二次根式除法法则，可变形为$\sqrt{12}÷\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷3}$，小明的运算正确。
2. 检查小丽的步骤：
小明传递的式子是$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷3}$，计算被开方数可得$\dfrac{1}{18}÷3=\dfrac{1}{54}$，正确变形应为$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{54}}$，但小丽写为$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，被开方数计算错误，因此小丽的运算错误。
3. 检查小红的步骤：
小丽传递的式子是$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，其中$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$和$\sqrt{\dfrac{1}{36}}$不相等，小红错误改写了被开方数，因此小红的运算错误。
4. 检查小亮的步骤：
小红传递的式子是$2+\sqrt{\dfrac{1}{36}}$，其中$\sqrt{\dfrac{1}{36}}=\dfrac{1}{6}$，计算得$2+\dfrac{1}{6}=2\dfrac{1}{6}$，小亮的运算正确。
综上，出现错误的是小丽和小红。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简
【点评】
本题结合趣味接力的情境考查二次根式的运算，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则，细致核查每一步的运算变形，易错点是二次根式除法中被开方数的计算错误、以及化简时随意改写被开方数。
【难度系数】
0.7
解题时需按照接力顺序，依次验证每一名同学的运算步骤是否符合二次根式的运算法则：首先依据除法分配律，两个数的和除以一个数，可以分别用这两个数除以除数再相加；再结合二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、二次根式的化简规则，逐步骤判断正误，最终找到出错的同学。
【解析】
我们依次检查每一步的运算：
1. 检查小明的步骤：
老师给出的式子为$(\sqrt{12}+\sqrt{\dfrac{1}{18}})÷\sqrt{3}$，根据除法分配律和二次根式除法法则，可变形为$\sqrt{12}÷\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}}÷\sqrt{3}=\sqrt{12÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷3}$，小明的运算正确。
2. 检查小丽的步骤：
小明传递的式子是$\sqrt{12÷3}+\sqrt{\dfrac{1}{18}÷3}$，计算被开方数可得$\dfrac{1}{18}÷3=\dfrac{1}{54}$，正确变形应为$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{54}}$，但小丽写为$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，被开方数计算错误，因此小丽的运算错误。
3. 检查小红的步骤：
小丽传递的式子是$\sqrt{4}+\sqrt{\dfrac{1}{6}}$，其中$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$和$\sqrt{\dfrac{1}{36}}$不相等，小红错误改写了被开方数，因此小红的运算错误。
4. 检查小亮的步骤：
小红传递的式子是$2+\sqrt{\dfrac{1}{36}}$，其中$\sqrt{\dfrac{1}{36}}=\dfrac{1}{6}$，计算得$2+\dfrac{1}{6}=2\dfrac{1}{6}$，小亮的运算正确。
综上，出现错误的是小丽和小红。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简
【点评】
本题结合趣味接力的情境考查二次根式的运算，需要学生熟练掌握二次根式的运算法则，细致核查每一步的运算变形，易错点是二次根式除法中被开方数的计算错误、以及化简时随意改写被开方数。
【难度系数】
0.7
6 计算$(5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45}) ÷ (-\sqrt{5})$的结果为（
A.5
B.$-5$
C.7
D.$-7$
A
）A.5
B.$-5$
C.7
D.$-7$
答案
6. A
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，可按运算顺序先算括号内再算除法，也可利用除法分配律简化计算：首先需要将括号内的非最简二次根式全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后做除法运算，计算过程中要重点关注符号的处理，避免符号出错。
【解析】
方法一：先算括号内，再算除法
1. 化简括号内的二次根式：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$
$2\sqrt{45} = 2×\sqrt{9×5} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
2. 合并括号内的同类二次根式：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45} = \sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$
3. 计算除法：
$(-5\sqrt{5}) ÷ (-\sqrt{5}) = 5$（负负得正，$\sqrt{5}$约分后得5）
方法二：利用除法分配律计算
$\begin{aligned}&(5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45}) ÷ (-\sqrt{5})\\=&5\sqrt{\dfrac{1}{5}} ÷ (-\sqrt{5}) - 2\sqrt{45} ÷ (-\sqrt{5})\\=&-5×\sqrt{\dfrac{1}{5}÷5} + 2×\sqrt{45÷5}\\=&-5×\dfrac{1}{5} + 2×3\\=&-1 + 6\\=&5\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，运算时可根据式子特点灵活选择计算方法，同时要注意运算符号的正确性，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，可按运算顺序先算括号内再算除法，也可利用除法分配律简化计算：首先需要将括号内的非最简二次根式全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后做除法运算，计算过程中要重点关注符号的处理，避免符号出错。
【解析】
方法一：先算括号内，再算除法
1. 化简括号内的二次根式：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} = 5×\dfrac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$
$2\sqrt{45} = 2×\sqrt{9×5} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
2. 合并括号内的同类二次根式：
$5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45} = \sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$
3. 计算除法：
$(-5\sqrt{5}) ÷ (-\sqrt{5}) = 5$（负负得正，$\sqrt{5}$约分后得5）
方法二：利用除法分配律计算
$\begin{aligned}&(5\sqrt{\dfrac{1}{5}} - 2\sqrt{45}) ÷ (-\sqrt{5})\\=&5\sqrt{\dfrac{1}{5}} ÷ (-\sqrt{5}) - 2\sqrt{45} ÷ (-\sqrt{5})\\=&-5×\sqrt{\dfrac{1}{5}÷5} + 2×\sqrt{45÷5}\\=&-5×\dfrac{1}{5} + 2×3\\=&-1 + 6\\=&5\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，解题关键是熟练掌握二次根式的化简规则，运算时可根据式子特点灵活选择计算方法，同时要注意运算符号的正确性，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
7 计算：$( \sqrt{48} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} ) ÷ \sqrt{3} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
7. 3
解析
【分析】
这是二次根式的混合运算题，解题有两种常见思路：一是利用除法分配律，将括号内的两项分别除以√3，再结合二次根式的除法法则计算，这种方法更简便；二是先把括号内的所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后再做除法运算。两种思路都符合二次根式的运算规则，计算时注意化简不要出错即可。
【解析】
方法一：利用除法分配律简化计算
$\begin{aligned}( \sqrt{48} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} ) ÷ \sqrt{3}&=\sqrt{48}÷\sqrt{3} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}÷\sqrt{3}\\&=\sqrt{48÷3} - 3×\sqrt{\dfrac{1}{3}÷3}\\&=\sqrt{16} - 3×\sqrt{\dfrac{1}{9}}\\&=4 - 3×\dfrac{1}{3}\\&=4 - 1\\&=3\end{aligned}$
方法二：先化简括号内的项再计算
先化简括号内二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$，
括号内合并同类二次根式得：$4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
再计算除法：$3\sqrt{3}÷\sqrt{3}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，运算时可灵活选择运算律简化计算步骤，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的混合运算题，解题有两种常见思路：一是利用除法分配律，将括号内的两项分别除以√3，再结合二次根式的除法法则计算，这种方法更简便；二是先把括号内的所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后再做除法运算。两种思路都符合二次根式的运算规则，计算时注意化简不要出错即可。
【解析】
方法一：利用除法分配律简化计算
$\begin{aligned}( \sqrt{48} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} ) ÷ \sqrt{3}&=\sqrt{48}÷\sqrt{3} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}÷\sqrt{3}\\&=\sqrt{48÷3} - 3×\sqrt{\dfrac{1}{3}÷3}\\&=\sqrt{16} - 3×\sqrt{\dfrac{1}{9}}\\&=4 - 3×\dfrac{1}{3}\\&=4 - 1\\&=3\end{aligned}$
方法二：先化简括号内的项再计算
先化简括号内二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$，
括号内合并同类二次根式得：$4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
再计算除法：$3\sqrt{3}÷\sqrt{3}=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，运算时可灵活选择运算律简化计算步骤，熟练掌握二次根式的化简方法和运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
8 [2025 南京]计算$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{12}-\sqrt{8})$的结果是
2
。答案
8. 2
解析
【分析】
解题时首先观察算式结构，第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化简，再观察化简后的式子是否符合乘法公式的特征，本题化简后可提取公因式，进而用平方差公式简化计算，避免直接展开的繁琐运算；也可以直接用多项式乘多项式的法则展开计算，两种方法都能得到结果，优先选择用公式简化运算。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
先化简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})\\&=2×(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\&=2×[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2]\\&=2×(3-2)\\&=2×1\\&=2\end{aligned}$
方法二：直接展开计算
同样先化简二次根式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})\\&=\sqrt{3}×2\sqrt{3} - \sqrt{3}×2\sqrt{2} + \sqrt{2}×2\sqrt{3} - \sqrt{2}×2\sqrt{2}\\&=6 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} -4\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题时先将非最简二次根式化简，再根据式子结构灵活选择运算方法，合理运用乘法公式能有效简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察算式结构，第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化简，再观察化简后的式子是否符合乘法公式的特征，本题化简后可提取公因式，进而用平方差公式简化计算，避免直接展开的繁琐运算；也可以直接用多项式乘多项式的法则展开计算，两种方法都能得到结果，优先选择用公式简化运算。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
先化简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})\\&=2×(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\&=2×[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2]\\&=2×(3-2)\\&=2×1\\&=2\end{aligned}$
方法二：直接展开计算
同样先化简二次根式得：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-2\sqrt{2})\\&=\sqrt{3}×2\sqrt{3} - \sqrt{3}×2\sqrt{2} + \sqrt{2}×2\sqrt{3} - \sqrt{2}×2\sqrt{2}\\&=6 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} -4\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
二次根式化简，平方差公式，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题时先将非最简二次根式化简，再根据式子结构灵活选择运算方法，合理运用乘法公式能有效简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
9 新考向 开放性问题 从$-\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$中任意选择两个数，分别填在算式$(□+○)^2÷\sqrt{2}$的“□”与“○”中，计算该算式的结果是
答案不唯一,如$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$
（写出一种即可）。答案
9. 答案不唯一,如$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道开放性二次根式运算题，解题思路清晰：第一步，从给定的$-\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$三个数中任选两个，分别填入方框和圆圈的位置；第二步，先利用完全平方公式计算括号内两数和的平方，展开后合并同类项；第三步，将得到的结果除以$\sqrt{2}$，通过二次根式的除法法则或分母有理化化简，就能得到最终结果。我们以选$-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$为例演示计算过程。
【解析】
选择将$-\sqrt{2}$填入$□$，$\sqrt{3}$填入$○$，代入算式计算：
$\begin{aligned}(-\sqrt{2}+\sqrt{3})^2÷\sqrt{2}&=[(-\sqrt{2})^2+2×(-\sqrt{2})×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2]÷\sqrt{2}\\&=(2-2\sqrt{6}+3)÷\sqrt{2}\\&=(5-2\sqrt{6})÷\sqrt{2}\\&=\frac{5}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}\end{aligned}$
（选择其他两个数代入计算，结果正确即可）
【答案】
答案不唯一，如$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式混合运算，分母有理化
【点评】
本题为开放性运算题，核心考查二次根式的运算规则和完全平方公式的应用，选择不同的数字代入会得到不同的结果，计算时注意运算顺序、符号处理以及二次根式的化简规范即可得分。
【难度系数】
0.7
这是一道开放性二次根式运算题，解题思路清晰：第一步，从给定的$-\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$三个数中任选两个，分别填入方框和圆圈的位置；第二步，先利用完全平方公式计算括号内两数和的平方，展开后合并同类项；第三步，将得到的结果除以$\sqrt{2}$，通过二次根式的除法法则或分母有理化化简，就能得到最终结果。我们以选$-\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$为例演示计算过程。
【解析】
选择将$-\sqrt{2}$填入$□$，$\sqrt{3}$填入$○$，代入算式计算：
$\begin{aligned}(-\sqrt{2}+\sqrt{3})^2÷\sqrt{2}&=[(-\sqrt{2})^2+2×(-\sqrt{2})×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2]÷\sqrt{2}\\&=(2-2\sqrt{6}+3)÷\sqrt{2}\\&=(5-2\sqrt{6})÷\sqrt{2}\\&=\frac{5}{\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}\end{aligned}$
（选择其他两个数代入计算，结果正确即可）
【答案】
答案不唯一，如$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式混合运算，分母有理化
【点评】
本题为开放性运算题，核心考查二次根式的运算规则和完全平方公式的应用，选择不同的数字代入会得到不同的结果，计算时注意运算顺序、符号处理以及二次根式的化简规范即可得分。
【难度系数】
0.7
10 计算：
(1) $\sqrt{3} × \sqrt{12} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} × \sqrt{6}$。
(1) $\sqrt{3} × \sqrt{12} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} × \sqrt{6}$。
答案
10. (1) $6-\sqrt{3}$ (2) $3-\sqrt{2}$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：①先根据二次根式的乘除法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）计算乘除部分；②再将所有二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式得到最终结果。具体来看：第(1)题先分别计算两个二次根式乘法项，再做减法；第(2)题先分别计算分式除法和二次根式乘法，再做减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘法，再化简相减：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3×12} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\&=\sqrt{36} - 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\&=6 - \sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先分别计算除法和乘法，再化简相减：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{\dfrac{1}{3}×6}\\&=\sqrt{\dfrac{20}{5}}+\sqrt{\dfrac{5}{5}} - \sqrt{2}\\&=\sqrt{4}+1 - \sqrt{2}\\&=2+1 - \sqrt{2}\\&=3 - \sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6-\sqrt{3}$；(2) $3-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的常规基础题，核心考查二次根式的运算法则和最简二次根式的化简能力，计算时注意严格遵循运算顺序，最终结果要化为最简形式，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的混合运算，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：①先根据二次根式的乘除法则（$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）计算乘除部分；②再将所有二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式得到最终结果。具体来看：第(1)题先分别计算两个二次根式乘法项，再做减法；第(2)题先分别计算分式除法和二次根式乘法，再做减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘法，再化简相减：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3×12} - 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\&=\sqrt{36} - 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\&=6 - \sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先分别计算除法和乘法，再化简相减：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{\dfrac{1}{3}×6}\\&=\sqrt{\dfrac{20}{5}}+\sqrt{\dfrac{5}{5}} - \sqrt{2}\\&=\sqrt{4}+1 - \sqrt{2}\\&=2+1 - \sqrt{2}\\&=3 - \sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6-\sqrt{3}$；(2) $3-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的常规基础题，核心考查二次根式的运算法则和最简二次根式的化简能力，计算时注意严格遵循运算顺序，最终结果要化为最简形式，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
11 已知 $x=\sqrt{7}+\sqrt{5}, y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$, 则代数式 $x^2 - 2xy + y^2$ 的值为 （
A.28
B.20
C.$4\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{5}$
B
）A.28
B.20
C.$4\sqrt{7}$
D.$4\sqrt{5}$
答案
11. B
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2 - 2xy + y^2$，其结构符合完全平方差公式的形式，因此可以先将代数式因式分解为$(x-y)^2$，避免直接代入计算$x^2$、$y^2$、$xy$带来的繁琐运算。接下来先计算$x-y$的值，再对结果求平方即可得到最终答案，该方法能大幅简化计算，降低出错概率。
【解析】
解：利用完全平方差公式对代数式变形：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
将$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$代入计算$x-y$：
$x-y = (\sqrt{7}+\sqrt{5}) - (\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{7}+\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
再对$x-y$的结果求平方：
$(x-y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 × (\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$
因此代数式的值为20。
【答案】B
【知识点】
完全平方公式；二次根式的加减运算；二次根式的乘方运算
【点评】
本题考查整式公式与二次根式运算的结合应用，解题核心是先观察代数式结构，利用因式分解简化运算，可有效减少计算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$x^2 - 2xy + y^2$，其结构符合完全平方差公式的形式，因此可以先将代数式因式分解为$(x-y)^2$，避免直接代入计算$x^2$、$y^2$、$xy$带来的繁琐运算。接下来先计算$x-y$的值，再对结果求平方即可得到最终答案，该方法能大幅简化计算，降低出错概率。
【解析】
解：利用完全平方差公式对代数式变形：
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
将$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$代入计算$x-y$：
$x-y = (\sqrt{7}+\sqrt{5}) - (\sqrt{7}-\sqrt{5}) = \sqrt{7}+\sqrt{5}-\sqrt{7}+\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
再对$x-y$的结果求平方：
$(x-y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 × (\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$
因此代数式的值为20。
【答案】B
【知识点】
完全平方公式；二次根式的加减运算；二次根式的乘方运算
【点评】
本题考查整式公式与二次根式运算的结合应用，解题核心是先观察代数式结构，利用因式分解简化运算，可有效减少计算量，提升解题正确率。
【难度系数】
0.8
12 已知$m=\sqrt{5}+1$，则代数式$m^2 - 2m -1$的值为
3
。答案
12. 3
解析
【分析】
本题要求代数式的值，有两种思路：一是直接将m的值代入计算，二是先对代数式变形简化运算。观察代数式$m^2 - 2m -1$，前两项符合完全平方公式的结构特征，优先选择配方的方法，先将原式转化为含$(m-1)$的形式，再代入m的值计算，可减少运算量，降低出错概率。具体步骤为：先对代数式配方变形，再代入m的值计算即可。
【解析】
先对代数式进行配方变形：
$m^2 - 2m -1$
$=(m^2 - 2m +1) -1 -1$
$=(m-1)^2 - 2$
将$m=\sqrt{5}+1$代入上式：
$m-1 = \sqrt{5}+1 -1 = \sqrt{5}$
所以原式$=(\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
二次根式的混合运算；完全平方公式的应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，通过配方简化代数式再代入求值的方法，比直接代入计算更高效，体现了代数运算中的整体思想，考查对完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式的值，有两种思路：一是直接将m的值代入计算，二是先对代数式变形简化运算。观察代数式$m^2 - 2m -1$，前两项符合完全平方公式的结构特征，优先选择配方的方法，先将原式转化为含$(m-1)$的形式，再代入m的值计算，可减少运算量，降低出错概率。具体步骤为：先对代数式配方变形，再代入m的值计算即可。
【解析】
先对代数式进行配方变形：
$m^2 - 2m -1$
$=(m^2 - 2m +1) -1 -1$
$=(m-1)^2 - 2$
将$m=\sqrt{5}+1$代入上式：
$m-1 = \sqrt{5}+1 -1 = \sqrt{5}$
所以原式$=(\sqrt{5})^2 - 2 = 5 - 2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
二次根式的混合运算；完全平方公式的应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，通过配方简化代数式再代入求值的方法，比直接代入计算更高效，体现了代数运算中的整体思想，考查对完全平方公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
13 设 $ M = ( \sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}} ) · \sqrt{ab} $，其中 $ a = 3, b = 2 $，则 $ M $ 的值为 （
A.2
B.-2
C.1
D.-1
B
）A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案
13. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时优先选择先化简再代入的方法，比直接代入数值计算更简便，也能减少计算错误。首先利用乘法分配律将$\sqrt{ab}$分别乘括号内的两项，再结合二次根式的乘法运算性质化简每一项，最后代入$a$、$b$的数值计算结果即可。
【解析】
先利用乘法分配律展开原式并化简：
$\begin{aligned}M&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}}·\sqrt{ab} - \sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{ab}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}×ab} - \sqrt{\dfrac{a}{b}×ab}\\&=\sqrt{1} - \sqrt{a^2}\end{aligned}$
已知$a=3＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得$\sqrt{a^2}=3$，代入化简后的式子计算：
$M=1 - 3=-2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式混合运算、代数式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，先化简再代入的计算思路可以有效降低运算量，解题时要注意二次根式开方结果为非负，需结合字母的正负性确定化简结果。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题时优先选择先化简再代入的方法，比直接代入数值计算更简便，也能减少计算错误。首先利用乘法分配律将$\sqrt{ab}$分别乘括号内的两项，再结合二次根式的乘法运算性质化简每一项，最后代入$a$、$b$的数值计算结果即可。
【解析】
先利用乘法分配律展开原式并化简：
$\begin{aligned}M&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}}·\sqrt{ab} - \sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{ab}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}×ab} - \sqrt{\dfrac{a}{b}×ab}\\&=\sqrt{1} - \sqrt{a^2}\end{aligned}$
已知$a=3＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得$\sqrt{a^2}=3$，代入化简后的式子计算：
$M=1 - 3=-2$
【答案】
B
【知识点】
二次根式混合运算、代数式化简求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，先化简再代入的计算思路可以有效降低运算量，解题时要注意二次根式开方结果为非负，需结合字母的正负性确定化简结果。
【难度系数】
0.8
