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1 下列图形中，是正多边形的是 （
A.等腰三角形
B.六边形
C.正方形
D.五边都相等的五边形
C
）A.等腰三角形
B.六边形
C.正方形
D.五边都相等的五边形
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查正多边形的判定，解题时首先回忆正多边形的定义：正多边形需要同时满足“各边长度都相等”“各个内角都相等”两个条件，二者缺一不可。接下来我们逐一判断每个选项是否符合这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
根据正多边形的定义：各边相等，且各内角也相等的多边形叫做正多边形，逐一分析选项：
A. 等腰三角形仅两条边相等、两个底角相等，不满足各边、各角都相等的要求，不属于正多边形，故A错误；
B. 普通六边形没有说明各边、各角均相等，不符合正多边形的定义，故B错误；
C. 正方形的四条边长度完全相等，四个内角均为90°，同时满足正多边形的两个判定条件，属于正多边形，故C正确；
D. 仅五边相等的五边形无法保证五个内角都相等，比如边长相等但内角不等的凹五边形就不属于正多边形，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义，正多边形的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是牢记正多边形需要同时满足边等、角等两个条件，避免出现只凭边相等或者角相等就判定为正多边形的误区。
【难度系数】
0.8
本题考查正多边形的判定，解题时首先回忆正多边形的定义：正多边形需要同时满足“各边长度都相等”“各个内角都相等”两个条件，二者缺一不可。接下来我们逐一判断每个选项是否符合这两个条件，即可选出正确答案。
【解析】
根据正多边形的定义：各边相等，且各内角也相等的多边形叫做正多边形，逐一分析选项：
A. 等腰三角形仅两条边相等、两个底角相等，不满足各边、各角都相等的要求，不属于正多边形，故A错误；
B. 普通六边形没有说明各边、各角均相等，不符合正多边形的定义，故B错误；
C. 正方形的四条边长度完全相等，四个内角均为90°，同时满足正多边形的两个判定条件，属于正多边形，故C正确；
D. 仅五边相等的五边形无法保证五个内角都相等，比如边长相等但内角不等的凹五边形就不属于正多边形，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义，正多边形的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是牢记正多边形需要同时满足边等、角等两个条件，避免出现只凭边相等或者角相等就判定为正多边形的误区。
【难度系数】
0.8
2 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
A
）A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先明确圆内接正多边形的核心性质：正多边形的各边相等，因此各边所对的圆心角也相等，整个圆周对应的圆心角为360°。由此可推导出正n边形一条边所对的圆心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，要找最大的圆心角，只需找到边数n最小的正多边形即可。
【解析】
圆内接正n边形的一条边所对的圆心角度数为$\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数，n≥3且为整数）：
A选项正三角形，n=3，对应圆心角为$\frac{360°}{3}=120°$；
B选项正方形，n=4，对应圆心角为$\frac{360°}{4}=90°$；
C选项正五边形，n=5，对应圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$；
D选项正六边形，n=6，对应圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
对比可知120°最大，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形与圆的性质
2.圆心角计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要掌握圆内接正多边形边数与对应圆心角的数量关系，即可快速计算并选出答案，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆内接正多边形的核心性质：正多边形的各边相等，因此各边所对的圆心角也相等，整个圆周对应的圆心角为360°。由此可推导出正n边形一条边所对的圆心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，要找最大的圆心角，只需找到边数n最小的正多边形即可。
【解析】
圆内接正n边形的一条边所对的圆心角度数为$\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数，n≥3且为整数）：
A选项正三角形，n=3，对应圆心角为$\frac{360°}{3}=120°$；
B选项正方形，n=4，对应圆心角为$\frac{360°}{4}=90°$；
C选项正五边形，n=5，对应圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$；
D选项正六边形，n=6，对应圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
对比可知120°最大，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形与圆的性质
2.圆心角计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要掌握圆内接正多边形边数与对应圆心角的数量关系，即可快速计算并选出答案，得分率较高。
【难度系数】
0.9
3 如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接OC,OD,则$∠ BAE - ∠ COD$的度数为（
A.$60°$
B.$54°$
C.$48°$
D.$36°$
D
）A.$60°$
B.$54°$
C.$48°$
D.$36°$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决本题，需分别求出∠BAE和∠COD的度数再作差。首先∠BAE是正五边形的内角，可通过正多边形内角和公式计算得到；其次∠COD是正五边形的边CD对应的圆心角（即中心角），正n边形的所有中心角之和为360°且各中心角相等，据此可算出∠COD的度数，最后将两个角度相减即可得到结果。
【解析】
1. 计算∠BAE的度数：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$。
正五边形各内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算∠COD的度数：
正n边形的中心角总和为$360°$，且各中心角相等，因此正五边形每个中心角为$360°÷5=72°$，即$∠ COD=72°$。
3. 计算差值：
$∠ BAE-∠ COD=108°-72°=36°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形内角和公式、中心角的计算规律，牢记对应公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分别求出∠BAE和∠COD的度数再作差。首先∠BAE是正五边形的内角，可通过正多边形内角和公式计算得到；其次∠COD是正五边形的边CD对应的圆心角（即中心角），正n边形的所有中心角之和为360°且各中心角相等，据此可算出∠COD的度数，最后将两个角度相减即可得到结果。
【解析】
1. 计算∠BAE的度数：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形边数$n=5$，因此内角和为$(5-2)×180°=540°$。
正五边形各内角相等，因此$∠ BAE=540°÷5=108°$。
2. 计算∠COD的度数：
正n边形的中心角总和为$360°$，且各中心角相等，因此正五边形每个中心角为$360°÷5=72°$，即$∠ COD=72°$。
3. 计算差值：
$∠ BAE-∠ COD=108°-72°=36°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形内角和公式、中心角的计算规律，牢记对应公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
4[2024雅安]如图，$\odot O$的周长为$8π$，正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，则$△ OAB$的面积为（
A.$4$
B.$4\sqrt{3}$
C.$6$
D.$6\sqrt{3}$
B
）A.$4$
B.$4\sqrt{3}$
C.$6$
D.$6\sqrt{3}$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到给出了圆的周长，可先通过圆的周长公式求出圆的半径，也就是△OAB的两边OA、OB的长度；再结合正六边形内接于圆的性质，计算出中心角∠AOB的度数，判断△OAB的形状，最后根据对应图形的面积公式计算出结果即可。
【解析】
1. 求⊙O的半径：
已知⊙O的周长为$8π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入数据得：
$2π r=8π$，解得$r=4$，即$OA=OB=4$。
2. 判断△OAB的形状：
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，正六边形的中心角之和为$360°$，且每个中心角相等，因此：
$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$。
又因为$OA=OB=4$，所以△OAB是边长为4的等边三角形。
3. 计算△OAB的面积：
等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为等边三角形的边长），将$a=4$代入得：
$S_{△ OAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆的周长计算，等边三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握正六边形的中心角为$60°$，其对应的中心三角形为等边三角形，再结合相关公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先看到给出了圆的周长，可先通过圆的周长公式求出圆的半径，也就是△OAB的两边OA、OB的长度；再结合正六边形内接于圆的性质，计算出中心角∠AOB的度数，判断△OAB的形状，最后根据对应图形的面积公式计算出结果即可。
【解析】
1. 求⊙O的半径：
已知⊙O的周长为$8π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入数据得：
$2π r=8π$，解得$r=4$，即$OA=OB=4$。
2. 判断△OAB的形状：
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，正六边形的中心角之和为$360°$，且每个中心角相等，因此：
$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$。
又因为$OA=OB=4$，所以△OAB是边长为4的等边三角形。
3. 计算△OAB的面积：
等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为等边三角形的边长），将$a=4$代入得：
$S_{△ OAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆的周长计算，等边三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握正六边形的中心角为$60°$，其对应的中心三角形为等边三角形，再结合相关公式计算即可。
【难度系数】
0.7
5 若一个正多边形的每个内角都为$144°$,则这个正多边形的中心角的度数是
$36°$
,它是正十
边形.答案
5. $36°$ 十
解析
【分析】
解题时可先利用正多边形内角与外角的互补关系求出单个外角的度数，再结合正多边形外角和恒为$360°$的性质求出边数，最后根据正多边形中心角的计算公式（中心角$=360°÷$边数）求出中心角的度数即可。也可先通过内角和公式列方程求出边数，再计算中心角，利用外角性质计算会更简便。
【解析】
步骤1：计算正多边形的单个外角度数
正多边形的每个内角与相邻外角互补，因此每个外角的度数为：
$180° - 144° = 36°$
步骤2：计算正多边形的边数
任意正多边形的外角和均为$360°$，因此边数$n$为：
$n = 360° ÷ 36° = 10$，即该多边形为正十边形。
步骤3：计算正多边形的中心角
正多边形的中心角为$360°$除以边数，因此中心角的度数为：
$360° ÷ 10 = 36°$
【答案】
$36°$；十
【知识点】
正多边形的内角与外角；正多边形外角和；正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握正多边形内角、外角、边数、中心角之间的数量关系，利用外角和为固定值$360°$的规律可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时可先利用正多边形内角与外角的互补关系求出单个外角的度数，再结合正多边形外角和恒为$360°$的性质求出边数，最后根据正多边形中心角的计算公式（中心角$=360°÷$边数）求出中心角的度数即可。也可先通过内角和公式列方程求出边数，再计算中心角，利用外角性质计算会更简便。
【解析】
步骤1：计算正多边形的单个外角度数
正多边形的每个内角与相邻外角互补，因此每个外角的度数为：
$180° - 144° = 36°$
步骤2：计算正多边形的边数
任意正多边形的外角和均为$360°$，因此边数$n$为：
$n = 360° ÷ 36° = 10$，即该多边形为正十边形。
步骤3：计算正多边形的中心角
正多边形的中心角为$360°$除以边数，因此中心角的度数为：
$360° ÷ 10 = 36°$
【答案】
$36°$；十
【知识点】
正多边形的内角与外角；正多边形外角和；正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握正多边形内角、外角、边数、中心角之间的数量关系，利用外角和为固定值$360°$的规律可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
6 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确：半径为R的圆内接正n边形的边心距可通过构造“半径、边心距、边长的一半”组成的直角三角形求解。我们先分别求出半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距，再用勾股定理逆定理判断这三个边心距组成的三角形的形状，最后计算三角形面积即可。
【解析】
设圆的半径为$R=2$，分别计算三个正多边形的边心距：
1. 求内接正三角形的边心距$d_1$：
正$n$边形的边心距可通过直角三角形边角关系计算，对于正三角形$n=3$，边心距对应锐角为$\frac{180°}{3}=60°$：
$d_1=2×\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$
2. 求内接正方形的边心距$d_2$：
对于正方形$n=4$，边心距对应锐角为$\frac{180°}{4}=45°$：
$d_2=2×\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
3. 求内接正六边形的边心距$d_3$：
对于正六边形$n=6$，边心距对应锐角为$\frac{180°}{6}=30°$：
$d_3=2×\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
得到三角形三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，验证三边关系：
$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$
由勾股定理逆定理可知，该三角形为直角三角形，两条直角边长为$1$和$\sqrt{2}$，因此面积为：
$S=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形边心距计算，勾股定理逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握圆内接正多边形的边心距求解方法，通过勾股定理逆定理判断三角形形状后可直接计算面积，避免了复杂运算，要求学生对正多边形和圆的相关性质灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：半径为R的圆内接正n边形的边心距可通过构造“半径、边心距、边长的一半”组成的直角三角形求解。我们先分别求出半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距，再用勾股定理逆定理判断这三个边心距组成的三角形的形状，最后计算三角形面积即可。
【解析】
设圆的半径为$R=2$，分别计算三个正多边形的边心距：
1. 求内接正三角形的边心距$d_1$：
正$n$边形的边心距可通过直角三角形边角关系计算，对于正三角形$n=3$，边心距对应锐角为$\frac{180°}{3}=60°$：
$d_1=2×\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$
2. 求内接正方形的边心距$d_2$：
对于正方形$n=4$，边心距对应锐角为$\frac{180°}{4}=45°$：
$d_2=2×\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
3. 求内接正六边形的边心距$d_3$：
对于正六边形$n=6$，边心距对应锐角为$\frac{180°}{6}=30°$：
$d_3=2×\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
得到三角形三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，验证三边关系：
$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$
由勾股定理逆定理可知，该三角形为直角三角形，两条直角边长为$1$和$\sqrt{2}$，因此面积为：
$S=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形边心距计算，勾股定理逆定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握圆内接正多边形的边心距求解方法，通过勾股定理逆定理判断三角形形状后可直接计算面积，避免了复杂运算，要求学生对正多边形和圆的相关性质灵活运用。
【难度系数】
0.7
7[2025上海]已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点.若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好都是某正五边形的一边，则这个角的度数为
$108°或36°$
.答案
7. $108°或36°$
解析
【分析】
首先回忆正多边形和圆的相关性质：正n边形的中心角为$360°÷ n$，同圆中相等的弦对应的圆心角相等。再结合角的顶点与圆的位置关系分两种情况讨论：①角的顶点在圆外，利用圆外角的度数等于其所夹两段弧度数差的一半计算；②角的顶点在圆内，利用圆内角的度数等于其所夹两段弧度数和的一半计算，即可求出两种情况下角的度数。
【解析】
1. 计算正五边形边对应的圆心角：
正五边形的中心角（即一条边所对的圆心角）为 $\frac{360°}{5}=72°$，因为圆截角两边得到的两条弦都是正五边形的边，所以两条弦对应的劣弧度数均为$72°$。
2. 分情况讨论：
情况1：角的顶点在圆外
根据圆外角的性质，结合圆周角定理可得，该角的度数为 $\frac{72°}{2}=36°$。
情况2：角的顶点在圆内
除两条弦对应的劣弧外，剩余两段弧的总度数为 $360° - 72° × 2 = 216°$，根据圆内角的性质，该角的度数为 $\frac{216°}{2}=108°$。
综上，这个角的度数为$36°$或$108°$。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，分类讨论思想
【点评】
本题是正多边形与圆的综合题，解题关键是掌握正多边形中心角的计算方法，同时需要考虑角的顶点与圆的两种位置关系，容易出现的错误是遗漏其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先回忆正多边形和圆的相关性质：正n边形的中心角为$360°÷ n$，同圆中相等的弦对应的圆心角相等。再结合角的顶点与圆的位置关系分两种情况讨论：①角的顶点在圆外，利用圆外角的度数等于其所夹两段弧度数差的一半计算；②角的顶点在圆内，利用圆内角的度数等于其所夹两段弧度数和的一半计算，即可求出两种情况下角的度数。
【解析】
1. 计算正五边形边对应的圆心角：
正五边形的中心角（即一条边所对的圆心角）为 $\frac{360°}{5}=72°$，因为圆截角两边得到的两条弦都是正五边形的边，所以两条弦对应的劣弧度数均为$72°$。
2. 分情况讨论：
情况1：角的顶点在圆外
根据圆外角的性质，结合圆周角定理可得，该角的度数为 $\frac{72°}{2}=36°$。
情况2：角的顶点在圆内
除两条弦对应的劣弧外，剩余两段弧的总度数为 $360° - 72° × 2 = 216°$，根据圆内角的性质，该角的度数为 $\frac{216°}{2}=108°$。
综上，这个角的度数为$36°$或$108°$。
【答案】
$108°$或$36°$
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆周角定理，分类讨论思想
【点评】
本题是正多边形与圆的综合题，解题关键是掌握正多边形中心角的计算方法，同时需要考虑角的顶点与圆的两种位置关系，容易出现的错误是遗漏其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
8 如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上.若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为
4
.答案
8. 4
解析
【分析】
解题时先设正六边形的边长为未知数，首先利用正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，结合正方形内角为90°的性质，推导得到直角三角形AFH中各角的度数，再根据30°直角三角形的边长特性建立方程，求解方程即可得到正六边形的边长。
【解析】
设正六边形$ABCDEF$的边长为$x$，则$AB=AF=x$。
∵正方形$BMGH$的边长为6，
∴$AH=BH-AB=6-x$。
∵正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
∴$∠ BAF=120°$，
∴$∠ HAF=180°-∠ BAF=60°$。
∵四边形$BMGH$是正方形，
∴$∠ H=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ AFH$中，$∠ AFH=90°-60°=30°$。
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AH=\frac{1}{2}AF$，
即$6-x=\frac{1}{2}x$，
解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
正多边形的性质，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将正六边形与正方形结合，通过角度推导得到特殊直角三角形，利用边长关系建立方程求解，解题的核心是准确找到角度等量关系和边长等量关系。
【难度系数】
0.65
解题时先设正六边形的边长为未知数，首先利用正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，结合正方形内角为90°的性质，推导得到直角三角形AFH中各角的度数，再根据30°直角三角形的边长特性建立方程，求解方程即可得到正六边形的边长。
【解析】
设正六边形$ABCDEF$的边长为$x$，则$AB=AF=x$。
∵正方形$BMGH$的边长为6，
∴$AH=BH-AB=6-x$。
∵正六边形的每个内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
∴$∠ BAF=120°$，
∴$∠ HAF=180°-∠ BAF=60°$。
∵四边形$BMGH$是正方形，
∴$∠ H=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ AFH$中，$∠ AFH=90°-60°=30°$。
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AH=\frac{1}{2}AF$，
即$6-x=\frac{1}{2}x$，
解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
正多边形的性质，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题将正六边形与正方形结合，通过角度推导得到特殊直角三角形，利用边长关系建立方程求解，解题的核心是准确找到角度等量关系和边长等量关系。
【难度系数】
0.65
9 如图，等边三角形ABC内接于$\odot O$，BD为内接正十二边形的一边，$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$. 求$\odot O$的半径.
答案
9. 连接OB,OC,OD.
∵等边三角形ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,
∴∠BOC=$\frac{1}{3}×360°=120°$,∠BOD=$\frac{1}{12}×360°=30°$.
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°.
∵OC=OD,CD=$5\sqrt{2}$ cm,
∴由勾股定理,易得OC=5 cm.
∴⊙O的半径为5 cm
∵等边三角形ABC内接于⊙O,BD为内接正十二边形的一边,
∴∠BOC=$\frac{1}{3}×360°=120°$,∠BOD=$\frac{1}{12}×360°=30°$.
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°.
∵OC=OD,CD=$5\sqrt{2}$ cm,
∴由勾股定理,易得OC=5 cm.
∴⊙O的半径为5 cm
解析
【分析】
遇到正多边形内接于圆的问题，首先可利用“正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$”计算对应圆心角。解题时先连接圆心O与相关点B、C、D，分别求出等边三角形、正十二边形对应的中心角，推导得到∠COD的度数，判断△COD的形状后，结合已知CD的长度，用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
连接$OB,OC,OD$。
∵等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，正多边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}×360°=120°$，
∵$BD$为$\odot O$内接正十二边形的一边，
∴$∠ BOD=\frac{1}{12}×360°=30°$，
∴$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$。
∵$OC$、$OD$均为$\odot O$的半径，
∴$OC=OD$，即$△ COD$是等腰直角三角形，
已知$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$OC^2+OD^2=CD^2$，代入$OC=OD$得：
$2OC^2=(5\sqrt{2})^2$，
$2OC^2=50$，
$OC^2=25$，
解得$OC=5\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负解）。
【答案】
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、勾股定理
【点评】
本题核心是利用正多边形的中心角公式推导得到直角三角形，再结合勾股定理求解半径，解题的关键是正确计算不同正多边形对应的中心角，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
遇到正多边形内接于圆的问题，首先可利用“正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$”计算对应圆心角。解题时先连接圆心O与相关点B、C、D，分别求出等边三角形、正十二边形对应的中心角，推导得到∠COD的度数，判断△COD的形状后，结合已知CD的长度，用勾股定理即可求出圆的半径。
【解析】
连接$OB,OC,OD$。
∵等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，正多边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}×360°=120°$，
∵$BD$为$\odot O$内接正十二边形的一边，
∴$∠ BOD=\frac{1}{12}×360°=30°$，
∴$∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$。
∵$OC$、$OD$均为$\odot O$的半径，
∴$OC=OD$，即$△ COD$是等腰直角三角形，
已知$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$OC^2+OD^2=CD^2$，代入$OC=OD$得：
$2OC^2=(5\sqrt{2})^2$，
$2OC^2=50$，
$OC^2=25$，
解得$OC=5\ \mathrm{cm}$（半径为正数，舍去负解）。
【答案】
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、勾股定理
【点评】
本题核心是利用正多边形的中心角公式推导得到直角三角形，再结合勾股定理求解半径，解题的关键是正确计算不同正多边形对应的中心角，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
10 通过等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是 （
A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正七边形
D
）A.正三角形
B.正方形
C.正六边形
D.正七边形
答案
10. D
解析
【分析】
本题考查利用直尺和圆规作正多边形的知识，解题核心是明确尺规作正多边形的本质是等分圆周，我们可以逐个分析选项中对应正多边形能否通过尺规等分圆周得到：先回忆常见的可通过尺规实现的圆周等分方式，再对应判断各正多边形是否可作即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正三角形：先用圆规将圆六等分，每隔一个分点顺次连接，即可得到正三角形，可通过尺规作出；
B. 正方形：先作圆的一条直径，再用尺规作该直径的垂直平分线，两条互相垂直的直径将圆四等分，顺次连接四个分点即可得到正方形，可通过尺规作出；
C. 正六边形：正六边形的边长等于其外接圆的半径，用圆规在圆周上依次截取长度等于半径的弧，即可将圆六等分，顺次连接分点得到正六边形，可通过尺规作出；
D. 正七边形：无法利用直尺和圆规将圆精准七等分，因此不能作出正七边形。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；等分圆周
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查常见正多边形的尺规作图方法，熟记常见的可尺规作出的正多边形类型，掌握等分圆周的基本操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查利用直尺和圆规作正多边形的知识，解题核心是明确尺规作正多边形的本质是等分圆周，我们可以逐个分析选项中对应正多边形能否通过尺规等分圆周得到：先回忆常见的可通过尺规实现的圆周等分方式，再对应判断各正多边形是否可作即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正三角形：先用圆规将圆六等分，每隔一个分点顺次连接，即可得到正三角形，可通过尺规作出；
B. 正方形：先作圆的一条直径，再用尺规作该直径的垂直平分线，两条互相垂直的直径将圆四等分，顺次连接四个分点即可得到正方形，可通过尺规作出；
C. 正六边形：正六边形的边长等于其外接圆的半径，用圆规在圆周上依次截取长度等于半径的弧，即可将圆六等分，顺次连接分点得到正六边形，可通过尺规作出；
D. 正七边形：无法利用直尺和圆规将圆精准七等分，因此不能作出正七边形。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；等分圆周
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查常见正多边形的尺规作图方法，熟记常见的可尺规作出的正多边形类型，掌握等分圆周的基本操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11 利用尺规在下面画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(不写作法,保留作图痕迹).
答案
11. 答案不唯一,如图所示
解析
【分析】
要画圆内接正多边形，核心思路是将圆n等分，顺次连接各等分点即可得到对应的圆内接正n边形，我们可以选择不同的n值作不同的正多边形：①作正四边形（正方形）：正四边形的中心角为90°，只要过圆心作两条互相垂直的直径，就可以将圆四等分；②作正八边形：在四等分圆的基础上，作相邻直径夹角的角平分线，即可将圆八等分；③作正三角形：正三角形的中心角为120°，可以先以半径为弦长将圆六等分，间隔选取3个等分点连接就能得到正三角形，三种作图均符合尺规作图要求，且图形互不相同。
【解析】
作图思路如下（无需写作法，保留痕迹即可）：
1. 第一个圆：过圆心作两条互相垂直的水平、竖直直径，顺次连接直径与圆的四个交点，得到圆内接正方形；
2. 第二个圆：在四等分圆的基础上，分别作两组对顶角的角平分线，得到四条直径，将圆八等分，顺次连接八个交点，得到圆内接正八边形；
3. 第三个圆：以圆上任意一点为起点，以圆的半径为弦长，在圆周上依次截取得到6个等分点，间隔选取3个等分点顺次连接，得到圆内接正三角形。
注：也可选取正五边形、正六边形等其他正多边形，只要符合要求均正确，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如图所示
【知识点】
正多边形与圆的关系；尺规作图；圆的等分
【点评】
本题是开放性作图题，重点考查对正多边形和圆对应关系的理解，以及尺规基本作图的操作能力，解题的关键是明确“将圆n等分即可得到圆内接正n边形”的规律，作图时要注意保留必要的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要画圆内接正多边形，核心思路是将圆n等分，顺次连接各等分点即可得到对应的圆内接正n边形，我们可以选择不同的n值作不同的正多边形：①作正四边形（正方形）：正四边形的中心角为90°，只要过圆心作两条互相垂直的直径，就可以将圆四等分；②作正八边形：在四等分圆的基础上，作相邻直径夹角的角平分线，即可将圆八等分；③作正三角形：正三角形的中心角为120°，可以先以半径为弦长将圆六等分，间隔选取3个等分点连接就能得到正三角形，三种作图均符合尺规作图要求，且图形互不相同。
【解析】
作图思路如下（无需写作法，保留痕迹即可）：
1. 第一个圆：过圆心作两条互相垂直的水平、竖直直径，顺次连接直径与圆的四个交点，得到圆内接正方形；
2. 第二个圆：在四等分圆的基础上，分别作两组对顶角的角平分线，得到四条直径，将圆八等分，顺次连接八个交点，得到圆内接正八边形；
3. 第三个圆：以圆上任意一点为起点，以圆的半径为弦长，在圆周上依次截取得到6个等分点，间隔选取3个等分点顺次连接，得到圆内接正三角形。
注：也可选取正五边形、正六边形等其他正多边形，只要符合要求均正确，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如图所示
【知识点】
正多边形与圆的关系；尺规作图；圆的等分
【点评】
本题是开放性作图题，重点考查对正多边形和圆对应关系的理解，以及尺规基本作图的操作能力，解题的关键是明确“将圆n等分即可得到圆内接正n边形”的规律，作图时要注意保留必要的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
