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11 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,AB=5,BC=4$,其内切圆分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,则弦EF的长为 （
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
11.C
12 新情境 数学文化 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问：该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘股，再乘2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于
6
步（注：“步”为长度单位）.答案
12.6
13 [2024自贡]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.
（1）如图①，有三组相等的线段分别是$CE=CF$，$AF=$
（2）如图②，延长$AC$到点$M$，使$AM=AB$，过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.
（1）如图①，有三组相等的线段分别是$CE=CF$，$AF=$
AD
，$BD=$BE
.若$AC=3$，$BC=4$，则$\odot O$的半径为1
.（2）如图②，延长$AC$到点$M$，使$AM=AB$，过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.
答案
13. (1) AD BE 1
(2)
过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF.∵ ∠ANM=90°=∠ACB，∠A=∠A，AM=AB，
∴ △AMN≌△ABC.
∴ AN=AC.
∵ AD=AF，
∴ AN−AD=AC−AF，即DN=CF.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴ ∠OEC=∠OFC=∠ACB=90°，OE=OF.
∴ 四边形OECF是正方形.
∴ CF=OE.
∴ DN=OE.
∵ 易知∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN，
∴ 四边形OHND是矩形.
∴ OH=DN.
∴ OH=OE，即OH是⊙O的半径.
∵ OH⊥MN，
∴ MN是⊙O的切线
1 [2024 泸州]如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点分别为A，D，点B，C在$\odot O$上.若$∠ BAE + ∠ BCD=236°$，则$∠ E$的度数为 （
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
（第1题）
C
）A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
（第1题）答案
1.C
2 如图，$\odot O$ 内切于正方形 $ABCD$，作 $∠ MON = 90°$，其两边分别交 $BC$，$CD$ 于点 $N$，$M$。若 $CM + CN = 4$，则 $\odot O$ 的面积为（
A.$π$
B.$2π$
C.$4π$
D.$0.5π$
C
）A.$π$
B.$2π$
C.$4π$
D.$0.5π$
答案
2.C
