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1 如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出的圆的个数为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
D
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. D
解析
【分析】
解题首先要牢记确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆。观察题中点的位置可知，A、B、C、D四个点都在同一直线l上，因此这四个点中任意三个点共线，无法确定圆，所以我们选取的三个点必须包含直线外的点P，再从A、B、C、D中任选2个点，这两个点和P一定不共线，每一组这样的三个点都能确定一个圆，最后统计符合条件的组合数即可得到结果。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的性质：
1. 若选取的三个点均为直线l上的A、B、C、D中的点，这三个点共线，无法确定圆，该类情况排除。
2. 符合条件的三点组合必须包含点P，再从A、B、C、D中任选2个点与P组成不共线的三点：
可选的两点组合有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，每种组合都能和P确定1个圆，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件，简单组合计数
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的应用，解题的核心是先排除共线三点的无效情况，再统计含点P的有效三点组合数，注意计数时不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
解题首先要牢记确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆。观察题中点的位置可知，A、B、C、D四个点都在同一直线l上，因此这四个点中任意三个点共线，无法确定圆，所以我们选取的三个点必须包含直线外的点P，再从A、B、C、D中任选2个点，这两个点和P一定不共线，每一组这样的三个点都能确定一个圆，最后统计符合条件的组合数即可得到结果。
【解析】
根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的性质：
1. 若选取的三个点均为直线l上的A、B、C、D中的点，这三个点共线，无法确定圆，该类情况排除。
2. 符合条件的三点组合必须包含点P，再从A、B、C、D中任选2个点与P组成不共线的三点：
可选的两点组合有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种，每种组合都能和P确定1个圆，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件，简单组合计数
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的应用，解题的核心是先排除共线三点的无效情况，再统计含点P的有效三点组合数，注意计数时不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
2 在平面直角坐标系中，点$A(0,4),B(4,4),C(6,2)$.
(1) 点$A,B,C$能确定一个圆吗？请说明理由.
(2) 如果能由$A,B,C$三点确定一个圆，请用尺规作图的方法，作出过这三点的$\odot P$(保留作图痕迹，不要求写作法). 写出圆心$P$的坐标，并求出$\odot P$的半径.
(1) 点$A,B,C$能确定一个圆吗？请说明理由.
(2) 如果能由$A,B,C$三点确定一个圆，请用尺规作图的方法，作出过这三点的$\odot P$(保留作图痕迹，不要求写作法). 写出圆心$P$的坐标，并求出$\odot P$的半径.
答案
(1) 点A,B,C能确定一个圆 理由:点A,B,C不在同一条直线上.
(2) 如图所示，
，$\odot P$即为所求作 由AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，得圆心P的坐标是$(2,0)$，半径的长为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$解析
【分析】
(1) 判断三个点能否确定一个圆的依据是“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，因此只需验证A、B、C三点是否共线：A、B两点纵坐标相同，可知AB平行于x轴，C点纵坐标与A、B不同，故三点不共线，可确定一个圆。
(2) 过三点的圆的圆心是三角形的外心，即三边垂直平分线的交点。首先AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直线，再结合BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心P。得到P点坐标后，利用两点间距离公式计算P到A（或B、C）的距离，即为圆的半径。
【解析】
(1) 点A,B,C能确定一个圆，理由如下：
∵ 点$A(0,4)$、$B(4,4)$的纵坐标相等，
∴ 点A、B在直线$y=4$上，$AB// x$轴，
又
∵ 点$C(6,2)$的纵坐标为$2≠4$，
∴ 点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上，
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知三点能确定一个圆。
(2) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两线交点即为圆心P，以P为圆心、PA长为半径作圆，即为$\odot P$。
求圆心P坐标：
AB的中点为$(2,4)$，AB为水平线段，故AB的垂直平分线为直线$x=2$，可设$P(2,y)$。
∵ P为外接圆圆心，
∴ $PA=PC$，
根据两点间距离公式列方程：
$\sqrt{(2-0)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(2-6)^2+(y-2)^2}$
两边平方得：$4+(y-4)^2=16+(y-2)^2$
展开化简：$4+y^2-8y+16=16+y^2-4y+4$
解得$y=0$，即圆心P的坐标为$(2,0)$。
求半径：
$PA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，即$\odot P$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 点A,B,C能确定一个圆 理由:点A,B,C不在同一条直线上.
(2) 如图所示，，$\odot P$即为所求作 由AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，得圆心P的坐标是$(2,0)$，半径的长为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
【知识点】
三点确定圆的条件，线段垂直平分线性质，两点间距离公式
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的基本性质，解题核心是掌握不在同一直线上三点确定一个圆的规则，以及三角形外心是三边垂直平分线交点的性质，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三个点能否确定一个圆的依据是“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，因此只需验证A、B、C三点是否共线：A、B两点纵坐标相同，可知AB平行于x轴，C点纵坐标与A、B不同，故三点不共线，可确定一个圆。
(2) 过三点的圆的圆心是三角形的外心，即三边垂直平分线的交点。首先AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直线，再结合BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心P。得到P点坐标后，利用两点间距离公式计算P到A（或B、C）的距离，即为圆的半径。
【解析】
(1) 点A,B,C能确定一个圆，理由如下：
∵ 点$A(0,4)$、$B(4,4)$的纵坐标相等，
∴ 点A、B在直线$y=4$上，$AB// x$轴，
又
∵ 点$C(6,2)$的纵坐标为$2≠4$，
∴ 点C不在直线AB上，即A、B、C三点不在同一条直线上，
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知三点能确定一个圆。
(2) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两线交点即为圆心P，以P为圆心、PA长为半径作圆，即为$\odot P$。
求圆心P坐标：
AB的中点为$(2,4)$，AB为水平线段，故AB的垂直平分线为直线$x=2$，可设$P(2,y)$。
∵ P为外接圆圆心，
∴ $PA=PC$，
根据两点间距离公式列方程：
$\sqrt{(2-0)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(2-6)^2+(y-2)^2}$
两边平方得：$4+(y-4)^2=16+(y-2)^2$
展开化简：$4+y^2-8y+16=16+y^2-4y+4$
解得$y=0$，即圆心P的坐标为$(2,0)$。
求半径：
$PA=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，即$\odot P$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 点A,B,C能确定一个圆 理由:点A,B,C不在同一条直线上.
(2) 如图所示，
，$\odot P$即为所求作 由AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，得圆心P的坐标是$(2,0)$，半径的长为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$【知识点】
三点确定圆的条件，线段垂直平分线性质，两点间距离公式
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查圆的基本性质，解题核心是掌握不在同一直线上三点确定一个圆的规则，以及三角形外心是三边垂直平分线交点的性质，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
3 三角形的外心具有的性质是（
A.到三边的距离相等
B.是三条角平分线的交点
C.到三个顶点的距离相等
D.外心在三角形内
C
）A.到三边的距离相等
B.是三条角平分线的交点
C.到三个顶点的距离相等
D.外心在三角形内
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。我们可以结合线段垂直平分线的性质，以及三角形其他特殊点（如内心）的性质，逐一判断每个选项是否符合外心的特征，同时注意外心的位置和三角形形状的关系，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心。
对各选项逐一分析：
A. 到三角形三边距离相等是三角形内心（三条角平分线的交点）的性质，不是外心的性质，故A错误；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，不是外心，故B错误；
C. 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这是外心的核心性质，故C正确；
D. 外心的位置和三角形的形状有关：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，因此外心不一定在三角形内，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查三角形外心与内心的性质区分，解题的核心是准确记忆各类特殊点的定义和性质，避免混淆不同特殊点的特征，同时要明确外心的位置随三角形形状的变化而变化。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。我们可以结合线段垂直平分线的性质，以及三角形其他特殊点（如内心）的性质，逐一判断每个选项是否符合外心的特征，同时注意外心的位置和三角形形状的关系，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心。
对各选项逐一分析：
A. 到三角形三边距离相等是三角形内心（三条角平分线的交点）的性质，不是外心的性质，故A错误；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，不是外心，故B错误；
C. 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这是外心的核心性质，故C正确；
D. 外心的位置和三角形的形状有关：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，因此外心不一定在三角形内，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内心的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查三角形外心与内心的性质区分，解题的核心是准确记忆各类特殊点的定义和性质，避免混淆不同特殊点的特征，同时要明确外心的位置随三角形形状的变化而变化。
【难度系数】
0.8
4 根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定$△ ABC$的外心的是（
B
）答案
4. B
解析
【分析】
解题核心是明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此要只用直尺确定外心，作图痕迹需要包含至少两条边的垂直平分线的作图痕迹，用直尺连接对应弧的交点得到两条垂直平分线，交点就是外心。解题时先区分垂直平分线和角平分线的尺规作图特征：作垂直平分线时，弧的交点在线段的两侧；作角平分线时，弧的交点在角的内部，再结合定义逐一判断选项即可。
【解析】
解：① 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，因此只需得到两条边的垂直平分线，其交点即为外心。
② 逐一分析各选项：
选项A：作图痕迹为BC边的垂直平分线、∠C的角平分线，无法得到两条边的垂直平分线，不能确定外心；
选项B：作图痕迹为BC边的垂直平分线、AC边的垂直平分线，用直尺分别连接两组弧的交点，即可得到两条垂直平分线，二者的交点就是△ABC的外心，符合要求；
选项C：作图痕迹为BC边的垂直平分线、∠A的角平分线，无法得到两条边的垂直平分线，不能确定外心；
选项D：作图痕迹为∠B和∠C的角平分线，二者的交点是三角形的内心，不是外心，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义，尺规作垂直平分线，尺规作角平分线
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查三角形外心的判定，解题关键是区分垂直平分线和角平分线的作图特征，牢记外心是三边垂直平分线的交点，注意区分外心和内心的定义差异。
【难度系数】
0.7
解题核心是明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此要只用直尺确定外心，作图痕迹需要包含至少两条边的垂直平分线的作图痕迹，用直尺连接对应弧的交点得到两条垂直平分线，交点就是外心。解题时先区分垂直平分线和角平分线的尺规作图特征：作垂直平分线时，弧的交点在线段的两侧；作角平分线时，弧的交点在角的内部，再结合定义逐一判断选项即可。
【解析】
解：① 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，因此只需得到两条边的垂直平分线，其交点即为外心。
② 逐一分析各选项：
选项A：作图痕迹为BC边的垂直平分线、∠C的角平分线，无法得到两条边的垂直平分线，不能确定外心；
选项B：作图痕迹为BC边的垂直平分线、AC边的垂直平分线，用直尺分别连接两组弧的交点，即可得到两条垂直平分线，二者的交点就是△ABC的外心，符合要求；
选项C：作图痕迹为BC边的垂直平分线、∠A的角平分线，无法得到两条边的垂直平分线，不能确定外心；
选项D：作图痕迹为∠B和∠C的角平分线，二者的交点是三角形的内心，不是外心，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义，尺规作垂直平分线，尺规作角平分线
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查三角形外心的判定，解题关键是区分垂直平分线和角平分线的作图特征，牢记外心是三边垂直平分线的交点，注意区分外心和内心的定义差异。
【难度系数】
0.7
5 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 6\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=120°$.
（1）作$△ ABC$的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求$△ ABC$的外接圆半径.
（1）作$△ ABC$的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求$△ ABC$的外接圆半径.
答案
(1) 如图，
，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆(2) 如图，连接AO，BO.$\because \odot O$为$△ ABC$的外接圆，$\therefore$ 点O在线段BC的垂直平分线上.$\because AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ BAC=120°$，$\therefore AO$垂直平分线段BC，且$∠ BAO=∠ CAO=60°$.$\because AO=BO$，$\therefore △ ABO$是等边三角形.$\therefore AO=AB=6\ \mathrm{cm}$，即$△ ABC$的外接圆半径为$6\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
（1）作三角形外接圆的核心是确定外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O为圆心、OA（或OB、OC）为半径画圆即可完成作图。
（2）求解外接圆半径时，首先结合等腰三角形“三线合一”的性质得到角的度数，再利用“同圆半径相等”得到边相等，通过判定等边三角形即可求出半径长度：先连接AO、BO，由AB=AC可知A在BC的垂直平分线上，外心O也在BC的垂直平分线上，因此AO垂直平分BC，可得∠BAO=60°，再结合AO=BO，可判定△ABO是等边三角形，即可得到半径等于AB的长度。
【解析】
（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即为△ABC的外接圆。
（2）连接AO，BO：
∵ ⊙O是△ABC的外接圆，
∴ 点O是△ABC的外心，在线段BC的垂直平分线上，且AO=BO（同圆的半径相等）。
∵ AB=AC，
∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上，即AO垂直平分BC，
∴ AO平分∠BAC，
∴ $∠ BAO = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×120° = 60°$。
又
∵ AO=BO，
∴ △ABO是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ AO=AB=6 cm，即△ABC的外接圆半径为6 cm。
【答案】
(1) 如图，，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆
(2) $△ ABC$的外接圆半径为$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了三角形外接圆的作图方法，又考查了特殊三角形的性质应用，解题的关键是明确外心的定义，灵活运用等腰、等边三角形的性质推导边的关系。
【难度系数】
0.7
（1）作三角形外接圆的核心是确定外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O为圆心、OA（或OB、OC）为半径画圆即可完成作图。
（2）求解外接圆半径时，首先结合等腰三角形“三线合一”的性质得到角的度数，再利用“同圆半径相等”得到边相等，通过判定等边三角形即可求出半径长度：先连接AO、BO，由AB=AC可知A在BC的垂直平分线上，外心O也在BC的垂直平分线上，因此AO垂直平分BC，可得∠BAO=60°，再结合AO=BO，可判定△ABO是等边三角形，即可得到半径等于AB的长度。
【解析】
（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，即为△ABC的外接圆。
（2）连接AO，BO：
∵ ⊙O是△ABC的外接圆，
∴ 点O是△ABC的外心，在线段BC的垂直平分线上，且AO=BO（同圆的半径相等）。
∵ AB=AC，
∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上，即AO垂直平分BC，
∴ AO平分∠BAC，
∴ $∠ BAO = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×120° = 60°$。
又
∵ AO=BO，
∴ △ABO是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ AO=AB=6 cm，即△ABC的外接圆半径为6 cm。
【答案】
(1) 如图，
，$\odot O$即为$△ ABC$的外接圆(2) $△ ABC$的外接圆半径为$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 三角形外心的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了三角形外接圆的作图方法，又考查了特殊三角形的性质应用，解题的关键是明确外心的定义，灵活运用等腰、等边三角形的性质推导边的关系。
【难度系数】
0.7
6 教材变式题 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块玻璃碎片如图所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
B
）A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
答案
6. B
解析
【分析】
要配到和原来大小一致的圆形玻璃，核心是确定原圆的圆心和半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，只要碎片保留了一段足够长的连续圆弧，就能在弧上取三个不共线的点，通过作弦的垂直平分线找到圆心、得到半径，从而还原原圆。我们只需判断四块碎片中哪块包含符合要求的圆弧即可。
【解析】
根据圆的确定规则：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1. 第①、③、④块碎片所含的原圆周的圆弧过短，没有足够的有效点用来确定圆心，无法还原原圆的大小；
2. 第②块碎片保留了一段较长的连续原圆周圆弧，可在这段圆弧上任取三个不共线的点，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，即可确定原圆的大小，配到相同的玻璃。
综上，应该带第②块碎片。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件 2. 垂径定理的应用
【点评】
本题是结合生活场景的应用题，解题核心是理解确定圆的条件，知识点考察基础，和实际生活联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要配到和原来大小一致的圆形玻璃，核心是确定原圆的圆心和半径。根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，只要碎片保留了一段足够长的连续圆弧，就能在弧上取三个不共线的点，通过作弦的垂直平分线找到圆心、得到半径，从而还原原圆。我们只需判断四块碎片中哪块包含符合要求的圆弧即可。
【解析】
根据圆的确定规则：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1. 第①、③、④块碎片所含的原圆周的圆弧过短，没有足够的有效点用来确定圆心，无法还原原圆的大小；
2. 第②块碎片保留了一段较长的连续原圆周圆弧，可在这段圆弧上任取三个不共线的点，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，即可确定原圆的大小，配到相同的玻璃。
综上，应该带第②块碎片。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件 2. 垂径定理的应用
【点评】
本题是结合生活场景的应用题，解题核心是理解确定圆的条件，知识点考察基础，和实际生活联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
