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7 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BCA = 90°$，将 $Rt△ ABC$ 绕点 A 按逆时针方向旋转 $30°$得到 $Rt△ AB'C'$，点 $B'$在直线 $AC$ 上。若 $BC = 1$，则点 $C$ 和 $△ AB'C'$外心之间的距离是（
A.$1$
B.$\sqrt{3} - 1$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$1$
B.$\sqrt{3} - 1$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
7. B
8 如图，在$5×7$的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是$△ ABC$的外心。在不添加其他字母的情况下，选择其中任意三点作为三角形的顶点，把除$△ ABC$外外心是点O的三角形都写出来：
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
。答案
8. $△ ABD,△ ACD,△ BCD$
9 如图，A，B，C 三点均在正方形网格的格点上，过 A，B，C 三点的外接圆除经过 A，B，C 三点外还能经过的格点个数为
5
.答案
9. 5
10 如图,点 O 是△ABC 的外心,∠BAC=60°,D 是 BC 的中点,连接 OA,OB.
(1) ∠OBD=
(2) 若∠AOD=166°,CE 是边 AB 上的高,则∠BCE 的度数为
(1) ∠OBD=
$30°$
;(2) 若∠AOD=166°,CE 是边 AB 上的高,则∠BCE 的度数为
$23°$
.答案
10. (1) $30°$ (2) $23°$
【解析】(1) 连接OC，由外心的性质，得$OA=OB=OC$，$\therefore △ OAB,△ OBC$和$△ OAC$均为等腰三角形，$∠ OAB = ∠ OBA$，$∠ OBC = ∠ OCB$，$∠ OAC = ∠ OCA$.
$\because ∠ BAC=∠ OAB+∠ OAC=60°$，$\therefore ∠ OBA+∠ OCA=60°$，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=120°$.$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=2∠ OBD=∠ ABC+∠ ACB-(∠ OBA+∠ OCA)=120°-60°=60°$.$\therefore ∠ OBD=30°$.
(2) $\because △ OBC$为等腰三角形，D是BC的中点，$\therefore OD⊥ BC$.$\because ∠ OBD=30°$，$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because ∠ AOD=166°$，$\therefore ∠ AOB=166°-60°=106°$.$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-106°}{2}=37°$. 又$\because ∠ OBC=30°$，$\therefore ∠ ABC=∠ OBA+∠ OBC=67°$. $\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ BCE=90°-∠ ABC=23°$.
【解析】(1) 连接OC，由外心的性质，得$OA=OB=OC$，$\therefore △ OAB,△ OBC$和$△ OAC$均为等腰三角形，$∠ OAB = ∠ OBA$，$∠ OBC = ∠ OCB$，$∠ OAC = ∠ OCA$.
$\because ∠ BAC=∠ OAB+∠ OAC=60°$，$\therefore ∠ OBA+∠ OCA=60°$，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=120°$.$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=2∠ OBD=∠ ABC+∠ ACB-(∠ OBA+∠ OCA)=120°-60°=60°$.$\therefore ∠ OBD=30°$.
(2) $\because △ OBC$为等腰三角形，D是BC的中点，$\therefore OD⊥ BC$.$\because ∠ OBD=30°$，$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because ∠ AOD=166°$，$\therefore ∠ AOB=166°-60°=106°$.$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-106°}{2}=37°$. 又$\because ∠ OBC=30°$，$\therefore ∠ ABC=∠ OBA+∠ OBC=67°$. $\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ BCE=90°-∠ ABC=23°$.
11 如图,点O是△ABC的外心,连接AO并延长,交BC于点D.若∠B=40°,∠BAD=22°,则∠C的度数为
$68°$
.答案
11. $68°$
【解析】连接OB,OC. $\because$ 点O是$△ ABC$的外心，$\therefore OA=OB=OC$. $\therefore ∠ ABO=∠ BAD=22°$，$∠ OBD=∠ OCD$，$∠ OAC=∠ OCA$. $\because ∠ ABD=40°$，$\therefore ∠ OCD=∠ OBD=∠ ABD-∠ ABO=40°-22°=18°$. 设$∠ OAC=∠ OCA=x$. $\because ∠ BAC+∠ ABD+∠ ACB=180°$，$\therefore ∠ BAD+∠ OAC+∠ ABD+∠ OCD+∠ OCA=180°$. $\therefore 22°+x+40°+18°+x=180°$，解得$x=50°$，即$∠ OCA=50°$. $\therefore ∠ ACB=∠ OCD+∠ OCA=18°+50°=68°$.
【解析】连接OB,OC. $\because$ 点O是$△ ABC$的外心，$\therefore OA=OB=OC$. $\therefore ∠ ABO=∠ BAD=22°$，$∠ OBD=∠ OCD$，$∠ OAC=∠ OCA$. $\because ∠ ABD=40°$，$\therefore ∠ OCD=∠ OBD=∠ ABD-∠ ABO=40°-22°=18°$. 设$∠ OAC=∠ OCA=x$. $\because ∠ BAC+∠ ABD+∠ ACB=180°$，$\therefore ∠ BAD+∠ OAC+∠ ABD+∠ OCD+∠ OCA=180°$. $\therefore 22°+x+40°+18°+x=180°$，解得$x=50°$，即$∠ OCA=50°$. $\therefore ∠ ACB=∠ OCD+∠ OCA=18°+50°=68°$.
12 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 边于点 $D$.$\odot O$ 过 $B,D$ 两点,且圆心 $O$ 在 $AB$ 边上.
(1) 用直尺和圆规作出$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 若 $AB=9$,$AD=3$,则$\odot O$ 的半径为
(1) 用直尺和圆规作出$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 若 $AB=9$,$AD=3$,则$\odot O$ 的半径为
4
.答案
12. (1) 如图所示
(2) 4
【解析】如图，连接OD.$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$. $\because OB=OD$，$\therefore ∠ ODB=∠ ABD$. $\therefore ∠ CBD=∠ ODB$. $\therefore OD// BC$. $\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$. $\therefore OD⊥ AC$. 设$\odot O$的半径为$x$. 在$Rt△ AOD$中，由勾股定理，得$3^2+x^2=(9-x)^2$，解得$x=4$. $\therefore \odot O$的半径为4.
13 如图①，在$△ ABC$中，$BA=BC$，$D$是平面内不与点$A$，$B$，$C$重合的任意一点，且$∠ ABC=∠ DBE$，$BD=BE$。
（1）求证：$△ ABD≌△ CBE$；
（2）如图②，当点$D$是$△ ABC$外接圆的圆心时，试判断四边形$BECD$的形状，并证明。
（1）求证：$△ ABD≌△ CBE$；
（2）如图②，当点$D$是$△ ABC$外接圆的圆心时，试判断四边形$BECD$的形状，并证明。
答案
13. (1) $\because ∠ ABC=∠ DBE$，$\therefore ∠ ABC+∠ DBC=∠ DBE+∠ DBC$. $\therefore ∠ ABD=∠ CBE$. 在$△ ABD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}BA=BC,\\∠ ABD=∠ CBE,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE$
(2) 四边形BECD是菱形 $\because △ ABD≌△ CBE$，$\therefore AD=CE$. $\because$ 点D是$△ ABC$外接圆的圆心，$\therefore AD=BD=CD$. 又$\because BD=BE$，$\therefore BD=BE=CE=CD$. $\therefore$ 四边形BECD是菱形
$\begin{cases}BA=BC,\\∠ ABD=∠ CBE,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE$
(2) 四边形BECD是菱形 $\because △ ABD≌△ CBE$，$\therefore AD=CE$. $\because$ 点D是$△ ABC$外接圆的圆心，$\therefore AD=BD=CD$. 又$\because BD=BE$，$\therefore BD=BE=CE=CD$. $\therefore$ 四边形BECD是菱形
