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7 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BCA = 90°$，将 $Rt△ ABC$ 绕点 A 按逆时针方向旋转 $30°$得到 $Rt△ AB'C'$，点 $B'$在直线 $AC$ 上。若 $BC = 1$，则点 $C$ 和 $△ AB'C'$外心之间的距离是（
A.$1$
B.$\sqrt{3} - 1$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$1$
B.$\sqrt{3} - 1$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
7. B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先结合旋转性质和已知的旋转角，得出原Rt△ABC中∠BAC=30°，再利用含30°角的直角三角形的边长关系，求出AC、AB的长度；②明确直角三角形的外心是斜边的中点，因此Rt△AB'C'的外心为斜边AB'的中点；③结合旋转前后对应边相等得到AB'的长度，算出外心到点A的距离，最后用AC的长度减去外心到点A的距离，即可得到点C和外心的距离。
【解析】
解：
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°得到Rt△AB'C'，且点B'在AC所在直线上
∴∠BAC=30°，AB=AB'
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=1
∴AB=2BC=2，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴AB'=AB=2
∵直角三角形的外心为斜边的中点，设Rt△AB'C'的外心为O，则O是AB'的中点
∴$AO=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}×2=1$
∵点O、C均在线段AB'上
∴$OC=AC-AO=\sqrt{3}-1$
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；直角三角形外心的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了图形旋转、三角形外心以及特殊直角三角形的相关知识，解题的核心是准确把握直角三角形外心的位置特点，结合旋转的性质求出相关线段的长度，整体计算量较小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先结合旋转性质和已知的旋转角，得出原Rt△ABC中∠BAC=30°，再利用含30°角的直角三角形的边长关系，求出AC、AB的长度；②明确直角三角形的外心是斜边的中点，因此Rt△AB'C'的外心为斜边AB'的中点；③结合旋转前后对应边相等得到AB'的长度，算出外心到点A的距离，最后用AC的长度减去外心到点A的距离，即可得到点C和外心的距离。
【解析】
解：
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°得到Rt△AB'C'，且点B'在AC所在直线上
∴∠BAC=30°，AB=AB'
在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=1
∴AB=2BC=2，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴AB'=AB=2
∵直角三角形的外心为斜边的中点，设Rt△AB'C'的外心为O，则O是AB'的中点
∴$AO=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}×2=1$
∵点O、C均在线段AB'上
∴$OC=AC-AO=\sqrt{3}-1$
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；直角三角形外心的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了图形旋转、三角形外心以及特殊直角三角形的相关知识，解题的核心是准确把握直角三角形外心的位置特点，结合旋转的性质求出相关线段的长度，整体计算量较小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.6
8 如图，在$5×7$的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是$△ ABC$的外心。在不添加其他字母的情况下，选择其中任意三点作为三角形的顶点，把除$△ ABC$外外心是点O的三角形都写出来：
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
。答案
8. $△ ABD,△ ACD,△ BCD$
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，因此我们只需要先计算点O到所有已知格点的距离，筛选出到O距离相等的点，再从中选取除△ABC外的三点组合即可。第一步先利用勾股定理计算O到A、B、C、D、E的距离，排除距离不相等的点；第二步从距离相等的点中列举所有三点组合，去掉△ABC就是所求结果。
【解析】
解：
∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴先计算点O到各格点的距离，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$，
∴点A、B、C、D在以O为圆心，$\sqrt{5}$为半径的同一个圆上，点E不在该圆上。
从A、B、C、D中任选三点构成的三角形外心均为O，排除△ABC后，剩余符合要求的三角形为$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关知识，解题的关键是将外心问题转化为点到点的距离比较问题，借助勾股定理快速计算线段长度即可完成求解，需要注意不要遗漏符合要求的组合，也不要误选含E的组合。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确三角形外心的核心性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，因此我们只需要先计算点O到所有已知格点的距离，筛选出到O距离相等的点，再从中选取除△ABC外的三点组合即可。第一步先利用勾股定理计算O到A、B、C、D、E的距离，排除距离不相等的点；第二步从距离相等的点中列举所有三点组合，去掉△ABC就是所求结果。
【解析】
解：
∵三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴先计算点O到各格点的距离，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$，
∴点A、B、C、D在以O为圆心，$\sqrt{5}$为半径的同一个圆上，点E不在该圆上。
从A、B、C、D中任选三点构成的三角形外心均为O，排除△ABC后，剩余符合要求的三角形为$△ ABD$、$△ ACD$、$△ BCD$。
【答案】
$△ ABD,△ ACD,△ BCD$
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关知识，解题的关键是将外心问题转化为点到点的距离比较问题，借助勾股定理快速计算线段长度即可完成求解，需要注意不要遗漏符合要求的组合，也不要误选含E的组合。
【难度系数】
0.7
9 如图，A，B，C 三点均在正方形网格的格点上，过 A，B，C 三点的外接圆除经过 A，B，C 三点外还能经过的格点个数为
5
.答案
9. 5
解析
【分析】要解决这个问题，首先回忆相关知识点：不在同一直线上的三个点确定一个圆，这个圆是三角形的外接圆，其圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点。解题思路如下：1. 作三角形任意两边的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心；2. 以该交点为圆心，交点到任意一点的距离为半径作圆，就是过A、B、C三点的外接圆；3. 数出圆上除A、B、C外的格点数量即可，也可通过建立平面直角坐标系，用坐标法计算符合圆方程的格点，简化计数过程。
【解析】设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，可得A(1,2)，B(2,3)，C(6,2)。
1. 求外接圆圆心：AC为水平线段，中点坐标为$(\frac{1+6}{2},\frac{2+2}{2})=(3.5,2)$，AC的垂直平分线为竖直直线$x=3.5$；AB的中点坐标为$(\frac{1+2}{2},\frac{2+3}{2})=(1.5,2.5)$，AB的斜率为$k=\frac{3-2}{2-1}=1$，因此AB垂直平分线的斜率为-1，可得其方程为$y-2.5=-(x-1.5)$，整理得$y=-x+4$。联立$x=3.5$和$y=-x+4$，解得圆心坐标为$O(3.5,0.5)$。
2. 计算半径平方：$r^2=OA^2=(3.5-1)^2+(0.5-2)^2=8.5$。
3. 查找圆上的格点：所有满足$(x-3.5)^2+(y-0.5)^2=8.5$的整数格点中，除A、B、C外，还有$(1,-1)$、$(2,-2)$、$(5,3)$、$(5,-2)$、$(6,-1)$共5个格点。
【答案】5
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；垂直平分线的性质
【点评】本题考查三角形外接圆的相关应用，解题核心是准确找到外接圆的圆心和半径，既可以通过尺规作图的方法求解，也可以结合坐标法计算，能同时考查学生的作图能力和代数计算能力。
【难度系数】0.6
【解析】设每个小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，可得A(1,2)，B(2,3)，C(6,2)。
1. 求外接圆圆心：AC为水平线段，中点坐标为$(\frac{1+6}{2},\frac{2+2}{2})=(3.5,2)$，AC的垂直平分线为竖直直线$x=3.5$；AB的中点坐标为$(\frac{1+2}{2},\frac{2+3}{2})=(1.5,2.5)$，AB的斜率为$k=\frac{3-2}{2-1}=1$，因此AB垂直平分线的斜率为-1，可得其方程为$y-2.5=-(x-1.5)$，整理得$y=-x+4$。联立$x=3.5$和$y=-x+4$，解得圆心坐标为$O(3.5,0.5)$。
2. 计算半径平方：$r^2=OA^2=(3.5-1)^2+(0.5-2)^2=8.5$。
3. 查找圆上的格点：所有满足$(x-3.5)^2+(y-0.5)^2=8.5$的整数格点中，除A、B、C外，还有$(1,-1)$、$(2,-2)$、$(5,3)$、$(5,-2)$、$(6,-1)$共5个格点。
【答案】5
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；垂直平分线的性质
【点评】本题考查三角形外接圆的相关应用，解题核心是准确找到外接圆的圆心和半径，既可以通过尺规作图的方法求解，也可以结合坐标法计算，能同时考查学生的作图能力和代数计算能力。
【难度系数】0.6
10 如图,点 O 是△ABC 的外心,∠BAC=60°,D 是 BC 的中点,连接 OA,OB.
(1) ∠OBD=
(2) 若∠AOD=166°,CE 是边 AB 上的高,则∠BCE 的度数为
(1) ∠OBD=
$30°$
;(2) 若∠AOD=166°,CE 是边 AB 上的高,则∠BCE 的度数为
$23°$
.答案
10. (1) $30°$ (2) $23°$
【解析】(1) 连接OC，由外心的性质，得$OA=OB=OC$，$\therefore △ OAB,△ OBC$和$△ OAC$均为等腰三角形，$∠ OAB = ∠ OBA$，$∠ OBC = ∠ OCB$，$∠ OAC = ∠ OCA$.
$\because ∠ BAC=∠ OAB+∠ OAC=60°$，$\therefore ∠ OBA+∠ OCA=60°$，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=120°$.$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=2∠ OBD=∠ ABC+∠ ACB-(∠ OBA+∠ OCA)=120°-60°=60°$.$\therefore ∠ OBD=30°$.
(2) $\because △ OBC$为等腰三角形，D是BC的中点，$\therefore OD⊥ BC$.$\because ∠ OBD=30°$，$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because ∠ AOD=166°$，$\therefore ∠ AOB=166°-60°=106°$.$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-106°}{2}=37°$. 又$\because ∠ OBC=30°$，$\therefore ∠ ABC=∠ OBA+∠ OBC=67°$. $\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ BCE=90°-∠ ABC=23°$.
【解析】(1) 连接OC，由外心的性质，得$OA=OB=OC$，$\therefore △ OAB,△ OBC$和$△ OAC$均为等腰三角形，$∠ OAB = ∠ OBA$，$∠ OBC = ∠ OCB$，$∠ OAC = ∠ OCA$.
$\because ∠ BAC=∠ OAB+∠ OAC=60°$，$\therefore ∠ OBA+∠ OCA=60°$，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=120°$.$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=2∠ OBD=∠ ABC+∠ ACB-(∠ OBA+∠ OCA)=120°-60°=60°$.$\therefore ∠ OBD=30°$.
(2) $\because △ OBC$为等腰三角形，D是BC的中点，$\therefore OD⊥ BC$.$\because ∠ OBD=30°$，$\therefore ∠ BOD=60°$.
$\because ∠ AOD=166°$，$\therefore ∠ AOB=166°-60°=106°$.$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-106°}{2}=37°$. 又$\because ∠ OBC=30°$，$\therefore ∠ ABC=∠ OBA+∠ OBC=67°$. $\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ BCE=90°-∠ ABC=23°$.
解析
【分析】
(1) 求∠OBD的度数时，首先回忆三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，可得OA=OB=OC，△OBC为等腰三角形。结合已知∠BAC=60°，利用三角形内角和以及等腰三角形底角相等的性质，即可推导出∠OBD的度数。
(2) 求∠BCE的度数时，已知CE是AB边上的高，可知△BCE是直角三角形，因此只需先求出∠ABC的度数，利用直角三角形两锐角互余即可计算。首先利用等腰三角形三线合一的性质得到OD⊥BC，求出∠BOD的度数，结合已知∠AOD的度数推导得到∠AOB，再在等腰△AOB中求出∠OBA的度数，和第一问得到的∠OBD相加得到∠ABC，最终算出∠BCE。
【解析】
(1) 连接OC，
∵点O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∴△OAB、△OBC、△OAC均为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OAC=∠OCA。
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°，
∴∠OBA+∠OCA=60°，
又
∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠OBA+∠OCA)=120°-60°=60°，
即$2∠ OBD=60°$，解得$∠ OBD=30°$。
(2)
∵△OBC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$OD⊥ BC$，
在Rt△OBD中，$∠ OBD=30°$，
∴$∠ BOD=90°-30°=60°$，
∵$∠ AOD=166°$，
∴$∠ AOB=∠ AOD-∠ BOD=166°-60°=106°$，
在等腰△AOB中，OA=OB，
∴$∠ OBA=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-106°)÷2=37°$，
∴$∠ ABC=∠ OBA+∠ OBD=37°+30°=67°$，
∵CE是AB边上的高，
∴$CE⊥ AB$，即$∠ BEC=90°$，
在Rt△BEC中，$∠ BCE=90°-∠ ABC=90°-67°=23°$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{23°}$
【知识点】
三角形外心的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的综合题型，解题核心是利用外心性质得到多组等腰三角形，再结合等腰三角形、直角三角形的角度关系逐步推导所求角，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠OBD的度数时，首先回忆三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，可得OA=OB=OC，△OBC为等腰三角形。结合已知∠BAC=60°，利用三角形内角和以及等腰三角形底角相等的性质，即可推导出∠OBD的度数。
(2) 求∠BCE的度数时，已知CE是AB边上的高，可知△BCE是直角三角形，因此只需先求出∠ABC的度数，利用直角三角形两锐角互余即可计算。首先利用等腰三角形三线合一的性质得到OD⊥BC，求出∠BOD的度数，结合已知∠AOD的度数推导得到∠AOB，再在等腰△AOB中求出∠OBA的度数，和第一问得到的∠OBD相加得到∠ABC，最终算出∠BCE。
【解析】
(1) 连接OC，
∵点O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∴△OAB、△OBC、△OAC均为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∠OAC=∠OCA。
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°，
∴∠OBA+∠OCA=60°，
又
∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠OBA+∠OCA)=120°-60°=60°，
即$2∠ OBD=60°$，解得$∠ OBD=30°$。
(2)
∵△OBC是等腰三角形，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$OD⊥ BC$，
在Rt△OBD中，$∠ OBD=30°$，
∴$∠ BOD=90°-30°=60°$，
∵$∠ AOD=166°$，
∴$∠ AOB=∠ AOD-∠ BOD=166°-60°=106°$，
在等腰△AOB中，OA=OB，
∴$∠ OBA=(180°-∠ AOB)÷2=(180°-106°)÷2=37°$，
∴$∠ ABC=∠ OBA+∠ OBD=37°+30°=67°$，
∵CE是AB边上的高，
∴$CE⊥ AB$，即$∠ BEC=90°$，
在Rt△BEC中，$∠ BCE=90°-∠ ABC=90°-67°=23°$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{23°}$
【知识点】
三角形外心的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的综合题型，解题核心是利用外心性质得到多组等腰三角形，再结合等腰三角形、直角三角形的角度关系逐步推导所求角，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11 如图,点O是△ABC的外心,连接AO并延长,交BC于点D.若∠B=40°,∠BAD=22°,则∠C的度数为
$68°$
.答案
11. $68°$
【解析】连接OB,OC. $\because$ 点O是$△ ABC$的外心，$\therefore OA=OB=OC$. $\therefore ∠ ABO=∠ BAD=22°$，$∠ OBD=∠ OCD$，$∠ OAC=∠ OCA$. $\because ∠ ABD=40°$，$\therefore ∠ OCD=∠ OBD=∠ ABD-∠ ABO=40°-22°=18°$. 设$∠ OAC=∠ OCA=x$. $\because ∠ BAC+∠ ABD+∠ ACB=180°$，$\therefore ∠ BAD+∠ OAC+∠ ABD+∠ OCD+∠ OCA=180°$. $\therefore 22°+x+40°+18°+x=180°$，解得$x=50°$，即$∠ OCA=50°$. $\therefore ∠ ACB=∠ OCD+∠ OCA=18°+50°=68°$.
【解析】连接OB,OC. $\because$ 点O是$△ ABC$的外心，$\therefore OA=OB=OC$. $\therefore ∠ ABO=∠ BAD=22°$，$∠ OBD=∠ OCD$，$∠ OAC=∠ OCA$. $\because ∠ ABD=40°$，$\therefore ∠ OCD=∠ OBD=∠ ABD-∠ ABO=40°-22°=18°$. 设$∠ OAC=∠ OCA=x$. $\because ∠ BAC+∠ ABD+∠ ACB=180°$，$\therefore ∠ BAD+∠ OAC+∠ ABD+∠ OCD+∠ OCA=180°$. $\therefore 22°+x+40°+18°+x=180°$，解得$x=50°$，即$∠ OCA=50°$. $\therefore ∠ ACB=∠ OCD+∠ OCA=18°+50°=68°$.
解析
【分析】
本题已知三角形的外心，求内角的度数，解题思路如下：首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，因此考虑作辅助线连接OB、OC，得到三个等腰三角形；再利用等腰三角形等边对等角的性质，将已知的∠B、∠BAD转化为对应等腰三角形的底角，求出∠OCD的度数；最后设∠OCA为未知数，结合三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠C的度数。
【解析】
连接OB，OC。
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OA=OB=OC，
∴ ∠ABO=∠BAD=22°，∠OBD=∠OCD，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠ABD=40°，
∴ ∠OCD=∠OBD=∠ABD - ∠ABO=40°-22°=18°。
设∠OAC=∠OCA=x，
∵ 在△ABC中，∠BAC + ∠ABD + ∠ACB=180°，
∴ ∠BAD + ∠OAC + ∠ABD + ∠OCD + ∠OCA=180°，
代入得：$22°+x+40°+18°+x=180°$，
解得$x=50°$，即∠OCA=50°，
∴ ∠ACB=∠OCD + ∠OCA=18°+50°=68°。
【答案】
$68°$
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形外心性质的典型应用题型，解题核心是通过连接外心与三角形顶点构造等腰三角形，将角度关系进行转化，再结合三角形内角和定理建立方程求解，掌握外心的性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
本题已知三角形的外心，求内角的度数，解题思路如下：首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，因此考虑作辅助线连接OB、OC，得到三个等腰三角形；再利用等腰三角形等边对等角的性质，将已知的∠B、∠BAD转化为对应等腰三角形的底角，求出∠OCD的度数；最后设∠OCA为未知数，结合三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠C的度数。
【解析】
连接OB，OC。
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ OA=OB=OC，
∴ ∠ABO=∠BAD=22°，∠OBD=∠OCD，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠ABD=40°，
∴ ∠OCD=∠OBD=∠ABD - ∠ABO=40°-22°=18°。
设∠OAC=∠OCA=x，
∵ 在△ABC中，∠BAC + ∠ABD + ∠ACB=180°，
∴ ∠BAD + ∠OAC + ∠ABD + ∠OCD + ∠OCA=180°，
代入得：$22°+x+40°+18°+x=180°$，
解得$x=50°$，即∠OCA=50°，
∴ ∠ACB=∠OCD + ∠OCA=18°+50°=68°。
【答案】
$68°$
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形外心性质的典型应用题型，解题核心是通过连接外心与三角形顶点构造等腰三角形，将角度关系进行转化，再结合三角形内角和定理建立方程求解，掌握外心的性质是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
12 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 边于点 $D$.$\odot O$ 过 $B,D$ 两点,且圆心 $O$ 在 $AB$ 边上.
(1) 用直尺和圆规作出$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 若 $AB=9$,$AD=3$,则$\odot O$ 的半径为
(1) 用直尺和圆规作出$\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 若 $AB=9$,$AD=3$,则$\odot O$ 的半径为
4
.答案
12. (1) 如图所示
(2) 4
【解析】如图，连接OD.$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$. $\because OB=OD$，$\therefore ∠ ODB=∠ ABD$. $\therefore ∠ CBD=∠ ODB$. $\therefore OD// BC$. $\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$. $\therefore OD⊥ AC$. 设$\odot O$的半径为$x$. 在$Rt△ AOD$中，由勾股定理，得$3^2+x^2=(9-x)^2$，解得$x=4$. $\therefore \odot O$的半径为4.
解析
【分析】
(1) 要作过B、D两点且圆心在AB上的$\odot O$，根据圆的性质，圆心到B、D两点距离相等，因此圆心O是BD的垂直平分线与AB的交点，找到O点后以O为圆心、OB长为半径画圆即可。
(2) 求半径时首先连接OD，结合角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，可推出$OD// BC$，进而得到$OD⊥ AC$，此时$△ AOD$为直角三角形，设半径为$x$，用含$x$的式子表示AO的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作BD的垂直平分线，与AB交于点O，以O为圆心、OB为半径作圆，即为所求$\odot O$。
(2) 连接OD：
$\because$BD平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$，
$\because OB=OD$（$\odot O$的半径相等），$\therefore ∠ ODB=∠ ABD$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ODB$，$\therefore OD// BC$，
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$，即$OD⊥ AC$。
设$\odot O$的半径为$x$，则$OD=OB=x$，$AO=AB-OB=9-x$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得$AD^2+OD^2=AO^2$，
代入数值得$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开整理得$18x=72$，解得$x=4$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 4
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题关键是利用角的等量关系推得OD与AC垂直，将问题转化为直角三角形中利用勾股定理列方程求解，兼顾考查了作图实操能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要作过B、D两点且圆心在AB上的$\odot O$，根据圆的性质，圆心到B、D两点距离相等，因此圆心O是BD的垂直平分线与AB的交点，找到O点后以O为圆心、OB长为半径画圆即可。
(2) 求半径时首先连接OD，结合角平分线性质和等腰三角形等边对等角的性质，可推出$OD// BC$，进而得到$OD⊥ AC$，此时$△ AOD$为直角三角形，设半径为$x$，用含$x$的式子表示AO的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作BD的垂直平分线，与AB交于点O，以O为圆心、OB为半径作圆，即为所求$\odot O$。
(2) 连接OD：
$\because$BD平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$，
$\because OB=OD$（$\odot O$的半径相等），$\therefore ∠ ODB=∠ ABD$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ODB$，$\therefore OD// BC$，
$\because ∠ C=90°$，$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$，即$OD⊥ AC$。
设$\odot O$的半径为$x$，则$OD=OB=x$，$AO=AB-OB=9-x$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得$AD^2+OD^2=AO^2$，
代入数值得$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开整理得$18x=72$，解得$x=4$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 4
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题关键是利用角的等量关系推得OD与AC垂直，将问题转化为直角三角形中利用勾股定理列方程求解，兼顾考查了作图实操能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
13 如图①，在$△ ABC$中，$BA=BC$，$D$是平面内不与点$A$，$B$，$C$重合的任意一点，且$∠ ABC=∠ DBE$，$BD=BE$。
（1）求证：$△ ABD≌△ CBE$；
（2）如图②，当点$D$是$△ ABC$外接圆的圆心时，试判断四边形$BECD$的形状，并证明。
（1）求证：$△ ABD≌△ CBE$；
（2）如图②，当点$D$是$△ ABC$外接圆的圆心时，试判断四边形$BECD$的形状，并证明。
答案
13. (1) $\because ∠ ABC=∠ DBE$，$\therefore ∠ ABC+∠ DBC=∠ DBE+∠ DBC$. $\therefore ∠ ABD=∠ CBE$. 在$△ ABD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}BA=BC,\\∠ ABD=∠ CBE,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE$
(2) 四边形BECD是菱形 $\because △ ABD≌△ CBE$，$\therefore AD=CE$. $\because$ 点D是$△ ABC$外接圆的圆心，$\therefore AD=BD=CD$. 又$\because BD=BE$，$\therefore BD=BE=CE=CD$. $\therefore$ 四边形BECD是菱形
$\begin{cases}BA=BC,\\∠ ABD=∠ CBE,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE$
(2) 四边形BECD是菱形 $\because △ ABD≌△ CBE$，$\therefore AD=CE$. $\because$ 点D是$△ ABC$外接圆的圆心，$\therefore AD=BD=CD$. 又$\because BD=BE$，$\therefore BD=BE=CE=CD$. $\therefore$ 四边形BECD是菱形
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABD≌△ CBE$，已知两组对应边$BA=BC$、$BD=BE$，只需证明两组边的夹角相等即可。由已知$∠ ABC=∠ DBE$，给两个角同时加公共角$∠ DBC$就能得到相等的夹角，结合SAS全等判定定理即可完成证明。
（2）判断四边形$BECD$的形状时，首先利用（1）的全等结论可得$AD=CE$；再根据三角形外接圆圆心（外心）的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，可得$AD=BD=CD$，结合已知$BD=BE$，可推出四边形$BECD$的四条边都相等，根据菱形判定定理即可得出结论。
【解析】
（1）证明：$\because ∠ABC=∠DBE$，
$\therefore ∠ABC+∠DBC=∠DBE+∠DBC$，即$∠ABD=∠CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}BA=BC,\\∠ABD=∠CBE,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS})$。
（2）四边形$BECD$是菱形，证明如下：
$\because △ ABD≌△ CBE$，$\therefore AD=CE$。
$\because$点$D$是$△ ABC$外接圆的圆心，$\therefore AD=BD=CD$。
又$\because BD=BE$，$\therefore BD=BE=CE=CD$，
$\therefore$四边形$BECD$是菱形。
【答案】
（1）$△ ABD≌△ CBE$得证；
（2）四边形$BECD$是菱形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形外心的性质；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将全等三角形、三角形外心、菱形判定的核心知识点结合考查，解题时从已知条件出发推导边角关系，结合已证结论逐步推导即可，重点考查对基础定理的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ ABD≌△ CBE$，已知两组对应边$BA=BC$、$BD=BE$，只需证明两组边的夹角相等即可。由已知$∠ ABC=∠ DBE$，给两个角同时加公共角$∠ DBC$就能得到相等的夹角，结合SAS全等判定定理即可完成证明。
（2）判断四边形$BECD$的形状时，首先利用（1）的全等结论可得$AD=CE$；再根据三角形外接圆圆心（外心）的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，可得$AD=BD=CD$，结合已知$BD=BE$，可推出四边形$BECD$的四条边都相等，根据菱形判定定理即可得出结论。
【解析】
（1）证明：$\because ∠ABC=∠DBE$，
$\therefore ∠ABC+∠DBC=∠DBE+∠DBC$，即$∠ABD=∠CBE$。
在$△ ABD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}BA=BC,\\∠ABD=∠CBE,\\BD=BE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CBE(\mathrm{SAS})$。
（2）四边形$BECD$是菱形，证明如下：
$\because △ ABD≌△ CBE$，$\therefore AD=CE$。
$\because$点$D$是$△ ABC$外接圆的圆心，$\therefore AD=BD=CD$。
又$\because BD=BE$，$\therefore BD=BE=CE=CD$，
$\therefore$四边形$BECD$是菱形。
【答案】
（1）$△ ABD≌△ CBE$得证；
（2）四边形$BECD$是菱形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形外心的性质；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将全等三角形、三角形外心、菱形判定的核心知识点结合考查，解题时从已知条件出发推导边角关系，结合已证结论逐步推导即可，重点考查对基础定理的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
