10 教材变式题 如图，BD，CE是$△ ABC$的高，M为BC的中点.求证:点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上.

10. 连接ME,MD. $\because BD,CE$ 是$△ ABC$ 的高, $\therefore ∠ BEC=∠ BDC=90°$. 又$\because M$ 为BC 的中点, $\therefore$ 易得$ME=MD=MC=MB=\frac{1}{2}BC$. $\therefore$ 点$B,C,D,E$ 在以点$M$ 为圆心的同一个圆上

11 在平面直角坐标系中，$\odot P$，$\odot Q$ 的位置如图所示. 下列四个点中, 在$\odot P$ 外部且在$\odot Q$ 内部的是 ()

A.(1,2)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(3,1)

11. C

12 转化与化归思想 如图，AB为$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于点C，四边形CDEF是正方形，连接BD.若$OC=3,OF=1$,则BD的长为（）

A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$13$
D.$2\sqrt{10}$

12. B

13 如图,半圆O的直径$AB=8$,半径$OC⊥AB$,D为$\overset{\frown}{AC}$上一点,$DE⊥OC$,$DF⊥OA$,垂足分别为E,F,连接EF,则EF的长为. (第13题)

13. 4

14 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=2$.以$BC$为直径的半圆$O$交$AB$于点$D$,$P$是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点,连接$AP$,则$AP$长的最小值为。

14. $\sqrt{5}-1$

15 如图，AB为$\odot O$的直径，弦ED与AB的延长线交于$\odot O$外一点C，且$AB=2CD$，$∠ C=25°$，求$∠ AOE$的度数。

15. 连接OD. $\because AB=2CD,\therefore$ 易得$OD=CD$. $\therefore ∠ DOC=∠ C=25°$. $\therefore ∠ EDO=∠ DOC+∠ C=50°$. $\because OD=OE$, $\therefore ∠ E=∠ EDO=50°$. $\therefore ∠ AOE=∠ E+∠ C=75°$

16 在$\odot O$中，直径$AB=6$，$BC$是弦，$∠ ABC=30°$，点$P$在$BC$上，点$Q$在$\odot O$上，且$OP ⊥ PQ$。
（1）如图①，当$PQ // AB$时，求$PQ$的长；
（2）如图②，当点$P$在$BC$上移动时，求$PQ$长的最大值。

16. （1）连接OQ,则易得 $OQ=3$. $\because PQ// AB,PQ⊥ OP$, $\therefore OP⊥ AB$. $\because AB=6,\therefore OB=3$. $\because ∠ ABC=30°,\therefore PB=2OP$. 设$OP=x$,则$PB=2x$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ PBO$ 中,$PB^2=OP^2+OB^2,\therefore (2x)^2=x^2+3^2$,解得 $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$(不合题意,舍去). $\therefore OP=\sqrt{3}$. $\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ POQ$ 中,由勾股定理,得 $PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{6}$
（2）连接OQ. 由勾股定理,得 $PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$. 要使 $PQ$ 的长取最大值,则 $OP$ 的长取最小值,此时 $OP⊥ BC$. $\because ∠ ABC=30°,\therefore OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$. $\therefore PQ$ 长的最大值为$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$